【文档说明】四川省射洪中学2022-2023学年高一下学期（强基班）第三次月考数学试题 含解析.docx，共(23)页，2.728 MB，由小赞的店铺上传

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射洪中学高2022级强基班高一（下）第三次学月考试数学试题命题人：罗渔审题人：龚子贵（时间：120分钟满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1.若4tan3=，()0,π，则cos的值为（）A.35B.

35-C.45D.45−【答案】A【解析】【分析】利用商关系和平方关系建立方程组可得答案.【详解】因为4tan3=，所以sin4cos3=；因为22sincos1+=，所以2216coscos19+=，解得3cos5

=；因为()π4t,,an030=，所以π0,2，所以3cos5=.故选：A.2.在四边形ABCD中，若ACABAD=+，且0ACBD=，则四边形ABCD一定是（）A.正方形B.

平行四边形C.矩形D.菱形【答案】D【解析】【分析】由向量的运算可得ADBC=，四边形ABCD为平行四边形；利用0ACBD=，说明四边形对角线互相垂直，然后得到结果．【详解】解：由ACABAD=+,得ADACABBC=−=可知，四边形AB

CD为平行四边形；又由0ACBD=可知，四边形对角线互相垂直，故四边形ABCD为菱形．故选：D．3.若a，b为两条异面直线，，为两个平面，a，b，l=，则下列结论中正确的是()A.l至少与a，b中一条相交B.l至多与a，b中一条相交C.l至少与a，b中一条平行D.l必与a，

b中一条相交，与另一条平行【答案】A【解析】【分析】此种类型的题可以通过举反例判断正误.【详解】因为a，b为两条异面直线且a，b，l=，所以a与l共面，b与l共面.若l与a、b都不相交，则a∥l，b∥l，a∥b，与a、b异面矛盾，故A对；当a、b为如图所示的位置时，可知l与a、b都

相交，故B、C、D错.故选：A.4.若sin2cos=，则()cos1sin2sincos+=+（）A.35B.25C.25−D.35-【答案】A【解析】【分析】根据二倍角公式，结合同角三角函数的关系求解即可【详解】因为sin2cos=，显然cos0，故tan2=，()(

)2cos1sin2cossincossincossincos++=++()2222cossincostan1213sincostan1215+++====+++故选：A5.已知3a=，5b=，设a，b的夹角为135，则b在a上的投影向量是（）A.526

a−B.526aC.3210a−D.3210a【答案】A【解析】【分析】根据投影向量的求法求得正确答案.【详解】b在a上的投影向量是：cos135252cos1355236ababaaaabaaaaaa===−=−.故选：

A6.已知A、B、C是直线上三个相异的点，平面内的点O不在此直线上，若正实数x、y满足32OCxOAyOB=+，则2xyxyxy++的最小值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】首先根据平面向量线性运算得到2133xy+=，再利用基本不等式求解即可.【详解

】因为32OCxOAyOB=+，所以233xyOCOAOB=+，因为已知A、B、C是直线上三个相异的点，平面内的点O不在此直线上，所以2133xy+=.所以2212122284811243333393xyxyxyxyxy

yxyxyx++=++=+++=+++=当且仅当2233xyyx=，即1xy==时取等号.故选：D7.已知菱形ABCD的边长为3，60ABC=，沿对角线AC折成一个四面体，使平面ACD垂直平面ABC，则经过这

个四面体所有顶点的球的体积为（）．A.515π2B.6πC.515πD.12π【答案】A【解析】【分析】设球心为O，OFx=，则3BF=，32EF=，可得22222333(3)()()22Rxx=+=−+，求出x，可得R，即可求出球的体积．【详解】E是AC的中点，由题意可知：DE⊥平面ABC,如图

所示，设球心为O，在平面ABC中的射影为F，E是AC的中点，OFx=，则233BFBE==，1332EFBE==,33322DEAD==所以22222333(3)()()22Rxx=+=−+，32x=2154R=球的体积为34π515π32R=．故选：A．8

.如图，屋顶的断面图是等腰三角形ABC，其中ACBC=，横梁AB的长为8米，BAC=，为了使雨水从屋顶（设屋顶顶面为光滑斜面）上尽快流下，则的值应为（）A.30B.45C.60D.75【答案】B【解析】【分析】根据物体受力分析，利用二倍角的正弦公式化简后，由正弦函数的性质

求出雨水流下时间的最小值对应的值.【详解】设雨水的质量为m，下滑加速度为a，ACs=，取AB的中点D，连接CD.则CDAB⊥,且12ADBDAB==.因为sinFmgma==，所以sinag=；在直角三角形ACD中，

21,cos2ADsat==所以222216,cossincossin2ADABABABtagggg====当sin21=,即45=时等号成立，故选：B.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共2

0分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.一组数据2，6，8，3，3，3，7，8，则（）A.这组数据的平均数是5B.这组数据的方差是112C.这组数据的众数是8D.这

组数据的75百分位数是6【答案】AB【解析】【分析】将数据从小到大排列，根据数据特征，逐项判断即可.【详解】解：数据从小到大排列为：2，3，3，3，6，7，8，8，则这组数据的平均数为2333678858+++++++=，故A项正确

；这组数据的方差为：22222222111(25)(35)(35)(35)(65)(75)(85)(85)82−+−+−+−+−+−+−+−=，故B项正确；这组数据中有3个3，2个8，1个2，1个6，1个7，所以众数为3，故C项错误；因为80.

756=，这组数据的75百分位数是7，故D项错误.故选：AB.10.在等腰直角三角形ABC中，斜边2AB=，向量a，b满足2ABa=，2ACab=−uuurrr，则（）的A.2b=B.1ab=−C.1ab−=rrD.()abAB−⊥【答案】ACD【解

析】【分析】先由BCACABb=−=−uuuruuuruuurr，结合等腰直角三角形ABC，可求出,ab对应的模及其夹角，即可判断A，由,cosababab=可判断B；由()2222ababaabb−=−=−+rrrrrrrr可判断C；由()222abABaa

b−=−是否等于0可判断D【详解】由题意，等腰直角三角形ABC，2,2ABACBC===，2,ACABBCabBCACABb=+=−=−=−uuuruuuruuurrruuuruuuruuurrQ，bCB=ruur，又,2ABa=uuurrπ2coscos

,1,22,42ABababCB======对A，2bBC==，故A对；对B，,1cosababab==，故B错；对C，()22221ababaabb−=−=−+=rrrrrrrr，故C对；对D，()()2220,abABaab

abAB−=−=−⊥，故D对；故选：ACD11.已知函数()()()sin0,0,πfxAxA=+的部分图像如图，下列结论正确的有（）A.π12x=是函数()fx的一条对称轴B.函数π12fx+为奇函数C.函数()fx在ππ,62为增函数D.

函数()fx在区间()0,10π上有20个零点【答案】ACD【解析】【分析】由图分别计算,AT值，从而得2=，代入点计算可得值，从而得函数的解析式，利用三角函数的性质对选项逐一计算分析即可得答案.【详解】由图可知，2A=，5π262π3πT=−=，得πT=，

所以2π2π==，()π22πZ3kk+=，得()2π2πZ3kk=−+，因为π，所以2π3=−，所以得()2π2sin23fxx=−，则ππ2π2sin2212123f=−=−，所以π12x=是函数()fx的一条对称轴，故A

正确；函数ππ2ππ2sin22sin22cos2121232fxxxx+=+−=−=−，所以函数π12fx+偶函数，故B错误；()π2ππ2π22πZ232kxkk−+−+，得()π7πππ

Z1212kxkk++，所以函数()fx的单调递增区间为()π7ππ,πZ1212kkk++，当0k=时，函数()fx的单调递增区间为π7π,1212，所以函数()fx在ππ,

62上为增函数，故C正确；当()0fx=时，即()2π2πZ3xkk−=，得()ππZ32kxk=+，因为()0,10πx，可得k的取值是为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19，函数()fx在区间

()0,10π上有20个零点，故D正确；故选：ACD12.在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是矩形，2AD=，1ABAPPD===，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PC上运动（不含端点），则（）A.存在点M使得BDAM⊥B.四棱锥PABCD−外接

球的表面积为3πC.直线PC与直线AD所成角为π3D.当动点M到直线BD的距离最小时，过点A，D，M作截面交PB于点N，则四棱锥PADMN−的体积是18【答案】BCD【解析】【分析】取AD的中点G，证明BD⊥平面P

GC，然后由线面垂直的性质定理判断A，把四棱锥PABCD−补形成一个如图2的正方体，根据正方体的性质判断BC，由BD⊥平面PGC，当动点M到直线BD的距离最小时HMPC⊥，从而得M为PC的中点，N为QA的中点，再由体积公式计算后判

断D．【详解】如图1，取AD的中点G，连接GC，PG，BD，GCBDH=,则PGAD⊥，因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，PG平面PAD，所以PG⊥平面ABCD，BD平面ABCD，则PGBD⊥．又因为tanta

n1ABCDADBDGCADGD==，所以GCBD⊥，又PGGCG=，,PGGC平面PGC，所以BD⊥平面PGC．因为M平面PGC，A平面PGC，所以BDAM⊥不成立，A错误．因为△APD为等腰

直角三角形，将四棱锥的侧面APD作为底面一部分，补成棱长为1的正方体．如图2，则四棱锥PABCD−的外接球即为正方体的外接球，其半径32R=，即四棱锥PABCD−外接球的表面积为3π，B正确．如图2，直线PC与直线AD所成角即为直线PC与直线BC所成角，为π3，C正确

．如图1，因为BD⊥平面PGC，当动点M到直线BD的距离最小时HMPC⊥，由上推导知PGGC⊥，22261()22GC=+=，16cos362DCDCGCG===，6cos3CHDCDCH==，66GHGCCH=−=，22222266[1()]()263PHPG

GH=+=−+=，PHCH=，因此M为PC的中点．如图3，由M为PC的中点，即为QD中点,平面ADM即平面ADQ与BP的交点也即为QA与BP的交点,可知N为QA的中点，故3331144468PADMNPAQDQAPDVVV−−−====，D正确．故选：BCD．【点睛】方法点睛：

空间几何体外接球问题，（1）直接寻找球心位置，球心都在过各面外心用与该面垂直的直线上，（2）对特殊的几何体，常常通过补形（例如把棱锥）补成一个长方体或正方体，它们的外接球相同，而长方体（或正方体）的对角线即为外接球的直径，由此易得球的半径或球心位置．三、填空题（本题共4小题，每小题

5分，共20分.）13.已知是锐角，3sin5=，则πcos4−的值是_________．【答案】7210##7210【解析】【分析】结合同角三角函数的基本关系式、两角差的余弦公式求得正确答案.【详解】由于是锐角，3sin5=，所以24cos1sin5=

−=，所以πππ23472coscoscossinsin44425510−=+=+=.的故答案为：721014.已知圆柱12OO的底面半径和母线长均为1，A，B分别为圆2O、圆1O上的点，若2AB=，则异面直线1OB，2

OA所成的角为_________.【答案】π3【解析】【分析】利用异面直线所成角的定义、勾股定理、余弦定理运算即可得解.【详解】解：如上图，过点A作圆1O所在平面的垂线，垂足为D，即AD是母线，连接DB，∵12OO⊥圆2O所在平面，∴12//ADOO，12ADOO=

，所以四边形12ADOO是平行四边形，12//ODOA，2OA与1OB所成的角就是1DOB或其补角；由题意可知，2AB=，1AD=，在直角ABD△中，223DBABAD=−=，在等腰1ODB中，由余弦定理可得：2221111

11131cos222ODOBDBDOBODOB+−+−===−，∴12π3DOB=，又因异面直线夹角的范围是π0,2，∴2OA与1OB所成的角是1DOB的补角，即π3.故答案为：π3.15.曲柄连杆机构的示意图如图所示，当

曲柄OA在水平位置OB时，连杆端点P在Q的位置，当OA自OB按顺时针方向旋转角时，P和Q之间的距离是cmx，若3cmOA=，7cmAP=，120=，则x的值是_________．【答案】5【解析】【分析】根据余弦定理解决实际问题，直接计算即可.【详解】如下图，在APO△中，由余弦定理

可知249923cos5OPOPAOPOPcm=+-醋仔?，另外，由图可知，在点A与点B重合时，10,OQAPOAcm=+=1055PQOQOPcm\=-=-=,故答案为：516.在ABC中，有()()2A

CABBCCBCAAB−=−，则tanC的最大值是_______【答案】142##1142【解析】【分析】根据数量积的运算律化简，结合数量积定义以及余弦定理可得22223abc+=，再利用余弦定理以及基本不等式即可求得答案.【详解】在ABC中，因为()()2ACABBC

CBCAAB−=−，所以22ACABACBCCBCACBAB−=−，又ACBCCACB=，CBABBCBA=，所以23ACABBCBACBCA+=，又ABC中，,|||,|||abcBCACA

B===uuuruuuruuur，则222cos2bcaACABbcA+−==，222cos2acbBCBAacB+−==，222cos2abcCBCAabC+−==，所以2222222223()()22bcaabcacb+−+−++−=，即22223a

bc+=，22222221(2)23cos22236363abababcababCababbaba+−++−===+=，当且仅当36abba=即2ba=时取等号，结合22223abc+=即3025bac==，显然C为锐角，要使tanC取最大值，则

cosC取最小值23，此时27sin1cos3CC=−=，所以7sin143tancos223CCC===，即tanC的最大值是142．故答案为：142四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文

字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知向量a，b满足1a=，3b=，()3,1ab−=−．求：（1）ab+；（2）ab+与ab−的夹角．【答案】（1）2ab+=（2）2π3【解析】【分析】（1）根据向量模的坐标运算以及向量的基本运算可以直接求得；（2）根据

向量数量积的定义进行计算即可得到结果.【小问1详解】由()3,1ab−=−，得()()22312ab−=+=-，故2224abab+−=，代入1a=，3b=，得0ab=，由22224ababab+=++=，得2ab+=【小问2详解】由()()22131cos,222abababa

bababababab+−−−+−===−+−+−=,由于,0,πabab+−，故ab+与ab−的夹角为2π3.18.如图，在三棱锥−PABC中，PC⊥平面,3,1,2,,ABCABBCAC

PCEF====分别是,PAPC的中点．求证：（1）//AC平面BEF；（2）PA⊥平面BCE．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由线面平行判定定理可得答案；（2）由线面垂直的判定定理和性质定理可得答案.【

小问1详解】如图所示，在PAC△中，,EF分别为,PAPC的中点，//EFAC．又EF平面,BEFAC平面BEF，//AC平面BEF；【小问2详解】在ABC中，3,1,2ABBCACPC====，222,ABACBCBCAC=+⊥，PC⊥平面,ABCBC平面,

ABCPCBC⊥，又,ACPCCAC=平面,PACPC平面PAC，BC⊥平面PAC．PA平面,PACBCPA⊥，在PAC△中，,ACPCE=为PA的中点，PAEC⊥，又,,PABCECBCCCE⊥=平面,BCEBC平面BCE，PA⊥平面BCE．19.已知函数()s

incos6fxxx=++．的（1）求函数()fx的最小值，并写出当()fx取最小值时x的取值集合；（2）若0,2，3365f+=，求(2)f的值．【答案】（1）最小值3−，72,Z6xxkk=

+（2）2432150−【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）由3365fa=+，即可求出cos，再根据同角三角函数的基本关系求出sin，再根据二倍角公式求出cos2

、sin2，最后利用两角和的正弦公式计算可得；【小问1详解】解：31()sincossincoscos622fxxxxxx=++=++333sincos3sincos3si21n2223xx

xxx=+=+=+．当32()32xkk+=+Z，即72(Z)6xkk=+时，()fx取得最小值3−．此时x的取值集合为72,Z6xxkk=+．【小问2详解】解：由（1）知，

()3sin3fxx=+，又3365fa=+，所以333sin3cos635aa==++，即3cos5=，因为π02，，所以24sin1cos5=-=，所以43

24sin22sincos25525===，27cos22cos125=−=−，所以3332437(2)3sin2sin2cos23222252525f=+=+=−=2432150−．20.某研究小组

经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳

性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()pc；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()qc．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．（1）当漏诊率()0.5

pc=％时，求临界值c和误诊率()qc；（2）设函数()()()fcpcqc=+，当95,105c时，求()fc的解析式，并求()fc在区间95,105的最小值．【答案】（1）97.5c=，()3.5%qc=；（2）0.

0080.82,95100()0.010.98,100105ccfccc−+=−，最小值为0.02．【解析】【分析】（1）根据题意由第一个图可先求出c，再根据第二个图求出97.5c的矩形面积即可解出；（2）根据题意确定分段点10

0，即可得出()fc的解析式，再根据分段函数的最值求法即可解出．【小问1详解】依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为50.0020.5%，所以95100c，所以()950.0020.5%c−=，解得：97.5c=，()()0.011

0097.550.0020.0353.5%qc=−+==．【小问2详解】当[95,100]c时，()()()(95)0.002(100)0.0150.002fcpcqccc=+=−+−+0.0080.820.02c=−+；当(100,

105]c时，()()()50.002(100)0.012(105)0.002fcpcqccc=+=+−+−0.010.980.02c=−,故0.0080.82,95100()0.010.98,100105ccfccc−+=−，所以()fc在区

间95,105的最小值为0.02．21.如图，四棱锥SABCD−的底面为菱形，60BAD=，2AB=，4SD=，SD⊥平面ABCD，点E在棱SB上.（1）证明：ACDE⊥；（2）若三棱锥EABC−的体积为233，求直线

AE与平面SAC所成角的余弦.【答案】（1）证明见解析（2）13685119【解析】【分析】（1）通过证明AC⊥平面SBD可得ACDE⊥(线面垂直得线线垂直)；（2）先由已知得点E是棱SB的中点，再通过构造点到面的垂线段，结合线面角的定义作出线面角，在直角三角形中计算即

可.【小问1详解】如图，连接BD，因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD⊥，因为SD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以SDAC⊥，又因为SDBDD=，SD平面SBD，BD平面SBD，所以AC⊥平面SBD，又因为DE平面SBD，所以ACDE⊥.【小问2详解】设点E到平面AB

C的距离为h，则三棱锥EABC−的体积13ABCVSh=△()1111323sin18022323223ABBCDABhh=−==，解得2h=.因为SD⊥平面ABCD，4SD=，所以2SDh=，即E是棱SB的中点.设ACBDO=，如图，连接EO

，则EO⊥平面ABCD，所以EODB⊥，过点E作SO的垂线，垂足为F，连接AF，由（1）知，AC⊥平面SBD，所以ACEF⊥，又ACSOO=，AC平面SAC，SO平面SAC，所以EF⊥平面SAC，则EAF为直线AE与平面SAC的所成角

，因为2ABAD==，60BAD=，所以2BD=，又因为()111222SOESDBSDOEOBSSSSBDSDDOSDOBOE=−+=−+△△△△1112414121222=−+=，因为2216117SOSD

DO=+=+=，所以1117122SOESSOEFEF===△，所以21717EF=，又22347AEAOOE=+=+=，所以224195571717AFAEEF=−=−=，在RtAFE中，19551368517cos119

7AFEAFAE===，所以直线AE与平面SAC所成角的余弦值为13685119.22.已知函数()()sin0,0hxAxA=的最大值为22，与直线22y=的相邻两个交点的距离为π.将()hx的图象先向右平移π8个单位，保持纵坐标不变，再将每个点的横

坐标伸长为原来的2倍，得到函数()fx.（1）求()fx的解析式.（2）若π()2()4gxfx=+，且方程π(2)()()102gxagxagxa+−−−−=在ππ,42−上有实数解，求实数a的取值范围.【答案】（1）2π()sin24fxx=−

（2）0a【解析】【分析】（1）由三角函数的相关知识与图象的变换求解即可；（2）方程有解求参数的取值范围问题，转化为求函数的最值问题求解即可.【小问1详解】因为函数()()sin0,0hxAxA=的最

大值为22，所以22A=，又与直线22y=的相邻两个交点的距离为π，所以2ππT==，所以2=，则2()sin22hxx=.将()hx的图象先向右平移π8个单位，保持纵坐标不变，得到2π2πsin2sin22824yxx=−=−，再将每个点的横坐

标伸长为原来的2倍，得到函数2π()sin24fxx=−.【小问2详解】π()2()sin4gxfxx=+=，π(2)()()102gxagxagxa+−−−−=ππ,42−上有实数解，即sin2sincos10xaxaxa+−−−=在ππ,42−上有实数解，

即()2sincossincos10xxaxxa+−−−=在ππ,42−上有实数解，令sincosxxt−=，所以πsincos2sin()4txxx=−=−，由ππ42x−，所以πππ244x−−，所以π

22sin()14x−−，则21t−，同时()22sincosxxt−=，所以22sincos1xxt=−，所以()2sincossincos10xxaxxa+−−−=在ππ,42−上有实数解，等价于2110tata−+−−=在2,1−上有解，即2(1)a

tt−=在2,1−上有解，①1t=时，a无解；②)2,1t−时，21tat=−有解，即21111tattt==++−−在)2,1t−有解，即211211tattt==−++−−在)2,1t−有解，令1()121httt=−++−，)2,1t−，则)112

,0t−−−，则()()()()11()12212011httttt=−−−++−−−+=−−−−，当且仅当()()111tt−−=−−，即0=t时，等号成立，在所以1()121httt=−++−的值域为(,0−

，所以211211tattt==−++−−在)2,1t−有解等价于0a.综上：0a.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com