【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修一）专题1.7 空间向量及其运算的坐标表示-重难点题型精讲 Word版含解析.docx，共(12)页，251.944 KB，由小赞的店铺上传

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专题1.7空间向量及其运算的坐标表示-重难点题型精讲1．空间直角坐标系(1)空间直角坐标系及相关概念①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{}i，j，k，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴

、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz.②相关概念：O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正

方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．2．空间一点的坐标在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量OA→，且点A的位置由向量OA→唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(

x，y，z)，使OA→＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量OA→对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．3．空间向量

的坐标在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作OA→＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．4

．空间向量的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有向量运算向量表示坐标表示加法a＋ba＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)减法a－ba－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘λaλ

a＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R数量积a·ba·b＝a1b1＋a2b2＋a3b35．空间向量的平行、垂直及模、夹角设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有当b≠0时，a∥b⇔a＝λb

⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；|a|＝a·a＝a21＋a22＋a23；cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23b21＋b22＋

b23.6．空间两点间的距离公式设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝|P1P2→|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2＋(z2－z1)2.【题型1求空间点的坐标】【方法点拨】(1)求

某点M的坐标的方法：作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z)．(2)空间点对称问题的解题策略：①空间

点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．②对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．【例1】（2022春•溧阳市期中）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，𝐴𝐶→=(1

，2，3)，𝐶1(−1，2，4)，则点A1的坐标为（）A．（0，4，7）B．（﹣2，0，1）C．（2，0，﹣1）D．（2，0，1）【解题思路】点A1的坐标为（a，b，c），由𝐴1𝐶1→=𝐴𝐶→，能求

出点A1的坐标．【解答过程】解：平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，𝐴𝐶→=(1，2，3)，𝐶1(−1，2，4)，设点A1的坐标为（a，b，c），则由𝐴1𝐶1→=𝐴𝐶→，得（﹣1﹣a，2﹣b，4﹣c）＝（1，2，3），解得a＝﹣2，b＝0，c＝1，则点A1的坐标

为（﹣2，0，1）．故选：B．【变式1-1】（2021秋•蕲春县期中）设点M（1，1，1），A（2，1，﹣1），O（0，0，0）．若𝑂𝑀→=𝐴𝐵→，则点B的坐标为（）A．（1，0，﹣2）B．（

3，2，0）C．（1，0，2）D．（3，﹣2，0）【解题思路】根据空间向量的线性坐标运算法则，即可得解．【解答过程】解：设B（x，y，z），则𝐴𝐵→=（x﹣2，y﹣1，z+1），因为𝑂𝑀→=𝐴𝐵→，𝑂𝑀→=（1，1，1），所以（1，1，1）＝（x﹣2，y﹣

1，z+1），所以x＝3，y＝2，z＝0，即点B为（3，2，0）．故选：B．【变式1-2】（2020秋•西昌市期末）空间直角坐标系中，点P（﹣1，2，﹣3）关于平面yOz对称的点P1的坐标为（）A．（﹣1，﹣2，﹣3）B．（1，2，﹣3）C．（1

，﹣2，﹣3）D．（1，2，3）【解题思路】直接利用点关于面的对称的应用求出结果．【解答过程】解：空间直角坐标系中，点P（﹣1，2，﹣3）关于平面yOz对称的点P1的坐标为B（1，2，﹣3）．故选：B．【变式1-3】（2021秋•新

源县期末）如图三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C是边长为2菱形，∠CBB1＝60°，BC1交B1C于点O，AO⊥侧面BB1C1C，且△AB1C为等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，则点A1的坐标

为（）A．(−1，√3，1)B．(−√3，1，1)C．(−1，2，√3)D．(−2，1，√3)【解题思路】过A1作A1E⊥平面BCC1B1，垂足是E，连结B1E，C1E，则B1E∥OC1，C1E∥OB1，A1E∥AO，由此能求出点A1的坐标

．【解答过程】解：三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C是边长为2菱形，∠CBB1＝60°，BC1交B1C于点O，AO⊥侧面BB1C1C，且△AB1C为等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系O﹣xyz

，过A1作A1E⊥平面BCC1B1，垂足是E，连结B1E，C1E，则B1E∥OC1，C1E∥OB1，A1E∥AO，∴点A1的坐标为（−√3，1，1）．故选：B．【题型2空间向量运算的坐标表示】【方法点拨】空间向量坐标运算的规

律及注意点:(1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定；(2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算．(3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标．【例2】（2021秋

•河池期末）已知𝑎→=（1，2，3），𝑏→=（0，﹣1，4），则2𝑎→+3𝑏→等于（）A．（﹣4，6，14）B．（﹣4，0，6）C．（﹣4，3，6）D．（2，1，18）【解题思路】运用空间向量坐标的线性运算即可得出答案．【解答过程】解：由𝑎

→=（1，2，3），𝑏→=（0，﹣1，4），可得2𝑎→+3𝑏→=2（1，2，3）+3（0，﹣1，4）＝（2，1，18），故选：D．【变式2-1】（2021秋•柯桥区期末）在空间直角坐标系中，向量𝑎→=(2，−

3，5)，𝑏→=(−2，4，5)，则向量𝑎→+𝑏→=（）A．（0，1，10）B．（﹣4，7，0）C．（4，﹣7，0）D．（﹣4，﹣12，25）【解题思路】进行向量坐标的加法运算即可．【解答过程】解：∵𝑎→=(2，−3

，5)，𝑏→=(−2，4，5)，∴𝑎→+𝑏→=(0，1，10)．故选：A．【变式2-2】（2021秋•乌兰察布月考）已知向量𝑎→=（2，3，﹣4），𝑏→=（﹣4，﹣3，﹣2），𝑏→=12𝑐→−2𝑎→，则𝑐→=（）A．（0，3，﹣6）B．（0，

6，﹣20）C．（0，6，﹣6）D．（6，6，﹣6）【解题思路】推导出𝑐→=4𝑎→+2𝑏→，利用向量坐标运算法则直接求解．【解答过程】解：∵向量𝑎→=（2，3，﹣4），𝑏→=（﹣4，﹣3，﹣2），𝑏→=12𝑐→−2𝑎→，∴𝑐→=4𝑎→+2𝑏→=（8，12，﹣16）+（﹣8

，﹣6，﹣4）＝（0，6，﹣20）．故选：B．【变式2-3】（2021秋•和平区期末）已知𝑎→=（2，﹣3，1），𝑏=（2，0，3），𝑐→=（0，1，﹣2），则𝑎→+4𝑏→−3𝑐→等于（）A．（4，﹣4，6）B．（﹣6，﹣6，﹣5）C．（10，0，7）D．（10，﹣6，19）【

解题思路】使用向量的坐标运算计算．【解答过程】解：𝑎→+4𝑏→−3𝑐→=（2，﹣3，1）+（8，0，12）﹣（0，3，﹣6）＝（10，﹣6，19）．故选：D．【题型3空间向量数量积运算的坐标表示】【例3】（2021秋•黄陵县校级期末）已知𝑎→=(−1，−3，2)，𝑏→=(1，2，

0)，则𝑎→⋅𝑏→=（）A．﹣5B．﹣7C．3D．13【解题思路】利用向量空间向量坐标运算法则求解．【解答过程】解：∵𝑎→=(−1，−3，2)，𝑏→=(1，2，0)，∴𝑎→⋅𝑏→=−1﹣6+0＝﹣7．故选：B．【变式3-1】（2022春•厦门期末）若A（2，﹣4，﹣1），B（﹣1，5

，1），C（3，﹣4，1），则𝐶𝐴→⋅𝐶𝐵→=（）A．﹣11B．3C．4D．15【解题思路】先求出𝐶𝐴→，𝐶𝐵→的坐标表示，再利用向量数量积的坐标表示计算即可【解答过程】解：由已知，𝐶𝐴→=（2﹣3，﹣

4﹣（﹣4），﹣1﹣1）＝（﹣1，0，﹣2），𝐶𝐵→=（﹣1﹣3，5﹣（﹣4），1﹣1）＝（﹣4，9，0），∴𝐶𝐴→⋅𝐶𝐵→=4+0+0＝4，故选：C．【变式3-2】（2020秋•泉州期末）已知𝑎→=(1，3，5)，𝑏→=(2，6，𝑥)，𝑎→⋅

𝑏→＜0，则x的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣4）B．（﹣∞，10）C．（﹣4，+∞）D．（10，+∞）【解题思路】利用向量数量积公式直接求解．【解答过程】解：∵𝑎→=(1，3，5)，𝑏→=(2，

6，𝑥)，𝑎→⋅𝑏→＜0，∴𝑎→⋅𝑏→=2+18+5x＜0，解得x＜﹣4，∴x的取值范围是（﹣∞，﹣4）．故选：A．【变式3-3】（2021秋•无锡期末）（理科）若向量𝑎→、𝑏→的坐标满足𝑎→+𝑏→=(−2，−1，2)，𝑎→−𝑏→=(4，−3，

−2)，则𝑎→•𝑏→等于（）A．﹣1B．﹣5C．5D．7【解题思路】利用向量的运算和数量积运算即可得出．【解答过程】解：∵𝑎→=12[(𝑎→+𝑏→)+(𝑎→−𝑏→)]=12[(−2，−1，2)+(4，−3，−2)]=（1

，﹣2，0）；𝑏→=12[(𝑎→+𝑏→)−(𝑎→−𝑏→)]=12[(−2，−1，2)−(4，−3，−2)]=（﹣3，1，2）．∴𝑎→⋅𝑏→=1×（﹣3）﹣2×1+0＝﹣5．故选：B．【题型4空间向量的模与两点间的距离】【方法

点拨】求空间中两点间的距离的步骤:(1)建立适当的空间直角坐标系，求出相应点的坐标A()，B()；(2)利用公式|AB|=||==求A、B间的距离.【例4】（2021秋•临沂期末）若𝐴𝐵→=（﹣1，2，3），𝐵�

�→=（1，﹣1，﹣5），则|𝐴𝐶→|=（）A．√5B．√10C．5D．10【解题思路】求出𝐴𝐶→=𝐴𝐵→+𝐵𝐶→，由此能求出|𝐴𝐶→|．【解答过程】解：∵𝐴𝐵→=（﹣1，2，3），𝐵𝐶→=（1，﹣1，﹣5），∴𝐴𝐶→=𝐴𝐵→+𝐵𝐶

→=（0，1，﹣2），则|𝐴𝐶→|=√02+12+(−2)2=√5．故选：A．【变式4-1】（2022春•古田县校级月考）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（2，﹣1，1）关于y轴的对称点为B，则|AB|＝（）A．2√2B．2√6C．2√5D．

√6【解题思路】首先求出关于y轴的对称点坐标，再根据空间两点的距离公式计算可得结果．【解答过程】解：点A（2，﹣1，1）关于y轴的对称点为B（﹣2，﹣1，﹣1），∴|AB|=√(−2−2)2+(−1+1)2+(−1−1)2=2√5．故选：C．【变式4-2】（2022•湛江校级模拟）已知向量𝑎→

=（0，﹣1，1），𝑏→（4，1，0），|λ𝑎→+𝑏→|=√29且λ＞0，则λ＝（）A．﹣2B．2C．﹣3D．3【解题思路】对|λ𝑎→+𝑏→|=√29两边平方，列出方程解出．【解答过程】解：|𝑎→|=√2，|𝑏→|=√17，𝑎→⋅

𝑏→=−1．∵|λ𝑎→+𝑏→|=√29，∴（𝜆𝑎→+𝑏→）2＝29．即λ2|𝑎→|2+2λ𝑎→⋅𝑏→+|𝑏→|2＝29，∴2λ2﹣2λ﹣12＝0，∵λ＞0，∴λ＝3．故选：D．【变式4-3】（20

22春•盐城期中）在空间直角坐标系中，B（﹣1，2，3）关于x轴的对称点为点B'，若点C（1，1，﹣2）关于Oxz平面的对称点为点C'，则|B'C'|＝（）A．√2B．√6C．√14D．√30【解题思路】写出B关于x轴的对称点B'，点C关于Oxz平面的对称点C'，再计算|B'C'

|的值．【解答过程】解：空间直角坐标系中，B（﹣1，2，3）关于x轴的对称点为点B'（﹣1，﹣2，﹣3），点C（1，1，﹣2）关于Oxz平面的对称点为点C'（1，﹣1，﹣2），所以|B'C'|=√(1

+1)2+(−1+2)2+(−2+3)2=√6．故选：B．【题型5空间向量夹角问题】【方法点拨】建立适当的空间直角坐标系，求出相应点的坐标，求出相关向量的坐标表示，利用空间向量的夹角的余弦值公式进行求解即可.【例5】（2022春•内江期末）已知�

�→=(2，−2，−3)，𝑏→=(2，0，4)，则𝑐𝑜𝑠〈𝑎→，𝑏→〉=（）A．4√8585B．−4√8585C．0D．1【解题思路】利用空间向量的夹角余弦值公式𝑐𝑜𝑠＜𝑎→，𝑏

→＞=𝑎→⋅𝑏→|𝑎→|⋅|𝑏→|，即可求得．【解答过程】解：∵𝑎→=(2，−2，−3)，𝑏→=(2，0，4)，∴𝑐𝑜𝑠＜𝑎→，𝑏→＞=𝑎→⋅𝑏→|𝑎→|⋅|𝑏→|=4+0−12√17⋅2√5=−4√8585．故选：B．【变式5

-1】（2021秋•禅城区校级期中）已知向量𝑎→=(√3，0，1)，𝑏→=（k，2，0），若𝑎→与𝑏→夹角为2𝜋3，则k的值为（）A．−√2B．√2C．﹣1D．1【解题思路】根据空间向量坐标求得|𝑎→|=√3+1=2，|𝑏→|=√𝑘2+4，由空间向量的夹角公式和向量的数量积运

算得𝑐𝑜𝑠〈𝑎→，𝑏→〉=𝑎→⋅𝑏→|𝑎→||𝑏→|=√3𝑘2×√𝑘2+4=−12，即可求出k的值．【解答过程】解：因为𝑎→=(√3，0，1)，𝑏→=(𝑘，2，0)，且𝑎→与𝑏→夹角为2𝜋3，则|𝑎→|=√3+1=2，|𝑏→|=√𝑘2+4，所以

𝑐𝑜𝑠〈𝑎→，𝑏→〉=𝑐𝑜𝑠2𝜋3=𝑎→⋅𝑏→|𝑎→||𝑏→|=√3𝑘2×√𝑘2+4=−12，可知k＜0，解得：𝑘=−√2．故选：A．【变式5-2】（2021秋•渭滨区期末）已知𝑎→=(1，0，1)，𝑏→=(𝑥，1，−2)，且

𝑎→⋅𝑏→=−3，则向量𝑎→与𝑏→的夹角为（）A．5𝜋6B．2𝜋3C．𝜋3D．𝜋6【解题思路】通过空间向量的数量积求解x，然后求解向量的夹角．【解答过程】解：𝑎→=(1，0，1)，𝑏→

=(𝑥，1，−2)，且𝑎→⋅𝑏→=−3，可得x﹣2＝﹣3，解得x＝﹣1，向量𝑎→与𝑏→的夹角为θ，cosθ=−3√2⋅√1+1+4=−√32，θ∈[0，π]，所以θ=5𝜋6．故选：A．【变式5-3】（2021秋•广东期中）已知向量𝑎→=（2，﹣1，3），𝑏→=（﹣4

，2，t）的夹角为钝角，则实数t的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣6）B．(−∞，−6)∪(−6，103)C．(103，+∞)D．(−∞，103)【解题思路】向量𝑎→=（2，﹣1，3），𝑏→=（﹣4，2，t）的夹角为钝角，得{𝑎→⋅𝑏→=−8−2+3𝑡＜0𝑡≠−6，由此能求出实数t的

取值范围．【解答过程】解：∵向量𝑎→=（2，﹣1，3），𝑏→=（﹣4，2，t）的夹角为钝角，∴{𝑎→⋅𝑏→=−8−2+3𝑡＜0𝑡≠−6，解得t＜103，且t≠﹣6，∴实数t的取值范围为（﹣∞，﹣6）∪（﹣6，103）．故选：B．【题型6空间向量的平行与垂直】【方法点拨】(1)利用空

间向量证明两直线平行的步骤①建立适当的空间直角坐标系，求出相应点的坐标；②求出直线的方向向量；③证明两向量共线；④说明其中一个向量所在直线上的点不在另一个向量所在直线上，即表示方向向量的有向线段不共线，即可得证.(2)利用空间向量证明两直线垂直的步骤①建立

适当的空间直角坐标系，求出相应点的坐标；②求出直线的方向向量的坐标；③计算两向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直.【例6】（2021秋•迎江区校级月考）已知向量𝑎→=(𝜆，−2，0)，𝑏→=(1+𝜆，1，𝜆2)，若𝑎→⊥𝑏→，则实数λ的值为（）A．1B．

1或﹣2C．﹣2D．2【解题思路】利用向量垂直的性质列方程直接求解．【解答过程】解：∵向量𝑎→=(𝜆，−2，0)，𝑏→=(1+𝜆，1，𝜆2)，𝑎→⊥𝑏→，∴𝑎→⋅𝑏→=λ（1+λ）﹣2＝0，解得实数λ＝1或λ＝﹣2．故选：B．【变式6-1】（2021秋•安康期末）已知A（2

，1，3），B（1，3，1），C（4，y，z），若𝐴𝐵→∥𝐴𝐶→，则y﹣2z＝（）A．﹣20B．﹣17C．11D．4【解题思路】根据已知条件，结合空间向量的坐标运算，即可求解．【解答过程】解：∵A（2，1，3），B（1，3，1），C（4，y，z），∴𝐴𝐵→

=(−1，2，−2)，𝐴𝐶→=(2，𝑦−1，𝑧−3)，∵𝐴𝐵→∥𝐴𝐶→，∴−12=2𝑦−1=−2𝑧−3，解得y＝﹣3，z＝7，∴y﹣2z＝﹣17．故选：B．【变式6-2】（2021秋•庆安县校级期末）已知𝐴𝐵→=（1，5，﹣2），𝐵𝐶

→=（3，1，z），若𝐴𝐵→⊥𝐵𝐶→，则实数z的值为（）A．5B．2C．3D．4【解题思路】根据𝐴𝐵→⊥𝐵𝐶→，则𝐴𝐵→•𝐵𝐶→=0，然后利用数量积的坐标关系建立等式，可求出z的值．【解答过程】解：∵�

�𝐵→=（1，5，﹣2），𝐵𝐶→=（3，1，z），𝐴𝐵→⊥𝐵𝐶→，∴𝐴𝐵→•𝐵𝐶→=0即1×3+5×1+（﹣2）×z＝0，解得：z＝4．故选：D．【变式6-3】（2021秋•屯溪

区校级期中）已知向量𝑎→=（1，1，0），𝑏→=（﹣1，0，2），且k𝑎→−𝑏→与2𝑎→+𝑏→互相平行，则k＝（）A．1B．﹣2C．﹣1D．2【解题思路】利用向量坐标运算法则先求出k𝑎→−�

�→，2𝑎→+𝑏→，再由k𝑎→−𝑏→与2𝑎→+𝑏→互相平行，列方程能求出k．【解答过程】解：向量𝑎→=（1，1，0），𝑏→=（1，0，2），∴k𝑎→−𝑏→=（k﹣1，k，﹣2），2𝑎→+𝑏→=（3，2，2），∵k𝑎→

−𝑏→与2𝑎→+𝑏→互相平行，∴𝑘−13=𝑘2=−22，解得k＝﹣2．故选：B．