【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修一）专题3.3 椭圆的简单几何性质-重难点题型精讲（学生版）.docx，共(8)页，301.484 KB，由小赞的店铺上传

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专题3.3椭圆的简单几何性质-重难点题型精讲1．椭圆的范围设椭圆的标准方程为(a>b>0)，研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范围.(1)从形的角度看：椭圆位于直线x=a和y=b所围成的矩形框里.(2)从数的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=

1-≥0，故≤1，即-b≤y≤b.2．椭圆的对称性(1)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.(2)从数的角度看：在椭圆的标准方程(a>b>0)中以-y代替y，方程并不改变，这说明当点P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点(x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称；同理，以-

x代替x，方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改变，所以椭圆关于原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心.3．椭圆的顶点与长轴、短轴以椭圆的标准方程(a>b>0)为例.(1

)顶点令x=0，得y=b；令y=0，得x=a.这说明(-a,0)，(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，(0,-b),(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点.(2)长

轴、短轴线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴.长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长.4．椭圆的离心率(1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=.(2)离心率的范围：0<e<1.(3)

椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度.当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为.5．椭圆的几何性质的挖掘(1)椭圆的

通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦称为椭圆的通径，通径长为=.说明：无论焦点在x轴上还是在y轴上，椭圆的通径长均为.(2)椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点.(3)椭圆的焦半径a.焦半径定义：椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径.

b.焦半径公式：已知点P在椭圆上，且，分别是左(下)、右(上)焦点，当焦点在x轴上时，=a+，=a-；当焦点在y轴上时，=a+，=a-.【题型1利用椭圆的几何性质求标准方程】【方法点拨】(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标

准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：a.确定焦点的位置；b.设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；c.根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数.列方程(组)时常用的

关系式有，e=等.(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件确定的椭圆的标准方程可能有两个.【例1】（2022·河南·高三阶段练习（文））已知椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的焦距为2，离心率𝑒=12，则椭圆

𝐶的标准方程为（）A．𝑥22+𝑦2=1B．𝑥24+𝑦2=1C．𝑥24+𝑦23=1D．𝑥216+𝑦212=1【变式1-1】（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏

>0)的离心率为13，𝐴1,𝐴2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若𝐵𝐴1→⋅𝐵𝐴2→=−1，则C的方程为（）A．𝑥218+𝑦216=1B．𝑥29+𝑦28=1C．𝑥23+𝑦22=1D．𝑥22+𝑦2=1

【变式1-2】（2022·全国·高二课时练习）焦点在𝑦轴上，长轴长为10，离心率为35的椭圆的标准方程为（）A．𝑥2100+𝑦264=1B．𝑦2100+𝑥264=1C．𝑥225+𝑦216=1D．𝑥216+𝑦22

5=1【变式1-3】（2022·全国·高二课时练习）中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为√32，且过点(2,0)的椭圆方程是（）A．𝑥24+𝑦2=1B．𝑥24+𝑦2=1或𝑥2+𝑦24=1C．𝑥24+𝑦216=1D．𝑥

24+𝑦2=1或𝑥24+𝑦216=1【题型2椭圆的焦距与长轴、短轴】【方法点拨】根据已知条件，结合椭圆的焦距与长轴、短轴等知识，进行求解即可.【例2】（2022·全国·高二课时练习）椭圆𝐶:𝑥216+𝑦24=1的长轴长、短轴长和焦点坐标依次为（）．A．8，4，(±2√3,

0)B．8，4，(0,±2√3)C．4，2，(±2√3,0)D．4，2，(0,±2√3)【变式2-1】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆𝑥2+2𝑦2=2与2𝑥2+𝑦2=1，则两个椭圆（）A．有相同

的长轴与短轴B．有相同的焦距C．有相同的焦点D．有相同的离心率【变式2-2】（2021·重庆市高二阶段练习）椭圆𝑥237+𝑦212=1的焦距为（）A．2√3B．5C．4√3D．10【变式2-3】（2022·全国·高二课时练习）若椭圆𝑥225+𝑦29=1与椭圆𝑥225−𝑘+𝑦29−�

�=1(𝑘<9,𝑘≠0)，则两椭圆必定（）．A．有相等的长轴长B．有相等的焦距C．有相等的短轴长D．长轴长与焦距之比相等【题型3求椭圆的离心率或其取值范围】【方法点拨】求椭圆的离心率通常有如下两种方法：①若给定椭圆的方程，则根据椭圆的焦

点位置确定，求出a，c的值，利用公式e=直接求解；②若椭圆方程未知，则根据条件及几何图形建立a，b，c，e满足的关系式，化为a，c的齐次方程，得出a，c的关系或化为e的方程求解，此时要注意e∈(0,1).【例3】（2022·江苏

·高二阶段练习）已知椭圆𝐶:𝑥2𝑚+𝑦24=1的焦距是2，则离心率e的值是（）A．√55B．12或√55C．12或√32D．√55或2√55【变式3-1】（2022·安徽蚌埠·一模）若椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦24=1(𝑎>2)上存在两点𝐴(𝑥1,

𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2)(𝑥1≠𝑥2)到点𝑃(𝑎5,0)的距离相等，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．(0,√55)B．(√55,1)C．(0,√33)D．(√33,1)【变式3-2】

（2022·江西省高二阶段练习）设椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的左、右焦点分别为𝐹1，𝐹2，点M，N在C上（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若|𝑀𝑁|=|𝐹1𝐹2|，2√2|𝑀𝐹2|=|𝑁𝐹2|，则C的离心率

为（）A．√24B．12C．6√2−37D．3√2−37【变式3-3】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)上存在点𝑃，使得|𝑃𝐹1|=3|𝑃𝐹2|，其中𝐹1，�

�2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．(0,14]B．(14,1)C．(12,1)D．[12,1)【题型4根据椭圆的离心率求参数】【方法点拨】根据椭圆的离心率和已知条件及几何图

形建立a，b，c，e满足的关系式，得出含有参数的有关a，c的关系式或化为e的方程，即可求解，此时要注意e∈(0,1).【例4】（2022·全国·高三专题练习）若椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2=1(𝑎>0)的离心率为√22，则𝑎的值为（）A．√2B

．12C．√2或√22D．√2或12【变式4-1】（2022·甘肃定西·高二开学考试（理））如果椭圆𝑥2𝑘+8+𝑦29=1(𝑘>−8)的离心率为𝑒=12，则𝑘=（）A．4B．4或−54C．−45D．4或−45【变式4-2】（2021·

甘肃·高二阶段练习（理））“𝑚=8”是“椭圆𝑥2𝑚+𝑦24=1的离心率为√22”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【变式4-3】（2022·全国·高二课时练习）设�

�是椭圆𝑥2𝑘+𝑦24=1的离心率，且𝑒∈(12,1)，则实数𝑘的取值范围是A．(0,3)B．(3,163)C．(0,2)D．(0,3)∪(163,+∞)【题型5椭圆中的最值问题】【方法点拨】求解此类问题一般

有以下两种思路：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量

表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.【例5】（2020·广西·高二阶段练习（文））若点𝑂和点𝐹分别为椭圆𝑥24+𝑦23=1的中心和左焦

点，点𝑃为椭圆上点的任意一点，则𝑂𝑃⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝐹𝑃⃑⃑⃑⃑⃑的最大值为（）A．5B．6C．7D．8【变式5-1】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆C：𝑥29+𝑦2𝑏2=1(𝑏>0)上的动点P到右

焦点距离的最小值为3−2√2，则𝑏=（）A．1B．√2C．√3D．√6【变式5-2】（2022·重庆八中模拟预测）已知𝐹1，𝐹2分别为椭圆𝐶:𝑥24+𝑦2=1的两个焦点，P为椭圆上一点，则|𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2|的最大值为（）A．

2B．2√3C．4D．4√3【变式5-3】（2022·河南洛阳·三模（理））已知点𝑀是椭圆𝐶：𝑥24+𝑦23=1上异于顶点的动点，𝐹1，𝐹2分别为椭圆的左、右焦点，𝑂为坐标原点，𝐸为𝑀𝐹1的中点，∠𝐹1𝑀𝐹2的平分线与直线𝐸𝑂交于点

𝑃，则四边形𝑀𝐹1𝑃𝐹2的面积的最大值为（）A．1B．2C．3D．2√2【题型6椭圆的实际应用问题】对于椭圆的实际应用问题，结合具体条件建立坐标系，得出椭圆的基本量或基本量之间的关系，利用椭圆的性质进行求解，注意要满足实际情况.【例6

】（2021春•浙江期中）如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为12厘米，底面半径为2厘米．球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不计），一个平面与两个乒乓球均相切，且此

平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为（）A．√154B．√32C．2√65D．15【变式6-1】（2021春•山东期末）国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某

校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于−58，则椭圆的离心率为（）A．34B．58C．√74D．√64【变式6-2】（2021·江苏南通·高二期中）某高速公路隧道设计为单向

三车道，每条车道宽4米，要求通行车辆限高5米，隧道全长1.5千米，隧道的断面轮廓线近似地看成半个椭圆形状（如图所示）.（1）若最大拱高ℎ为6米，则隧道设计的拱宽𝑙至少是多少米？（结果取整数）（2）如何设计拱高ℎ和拱宽𝑙，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（结果取整数）参考数据：√

11≈3.3，椭圆的面积公式为𝑆=𝜋𝑎𝑏，其中𝑎，𝑏分别为椭圆的长半轴和短半轴长.【变式6-3】（2022·全国·高二课时练习）已知地球绕太阳运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，长轴长约为3.0×108km，椭圆焦距与长轴长的比约为160．求地

球的轨道中心与太阳间的距离以及近日点和远日点到太阳的距离（地球与太阳的半径忽略不计，精确到0.001×108km）．