【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修一）专题3.3 椭圆的简单几何性质-重难点题型精讲（学生版）.docx，共(8)页，301.484 KB，由小赞的店铺上传

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专题3.3椭圆的简单几何性质-重难点题型精讲1．椭圆的范围设椭圆的标准方程为(a>b>0)，研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范围.(1)从形的角度看：椭圆位于直线x=a和y=b所围成的矩形框里.(2)从数的角度看

：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，即-b≤y≤b.2．椭圆的对称性(1)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.(2)从数的角度看：在椭圆的标准方程(a>

b>0)中以-y代替y，方程并不改变，这说明当点P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点(x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称；同理，以-x代替x，方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改变，所以椭圆关于原点对称.坐

标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心.3．椭圆的顶点与长轴、短轴以椭圆的标准方程(a>b>0)为例.(1)顶点令x=0，得y=b；令y=0，得x=a.这说明(-a,0)，(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，(

0,-b),(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点.(2)长轴、短轴线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴.长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭

圆的长半轴长和短半轴长.4．椭圆的离心率(1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=.(2)离心率的范围：0<e<1.(3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度.当e越接近于1时，c越接近于a，从而b

=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为.5．椭圆的几何性质的挖掘(1)椭圆的通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的

弦称为椭圆的通径，通径长为=.说明：无论焦点在x轴上还是在y轴上，椭圆的通径长均为.(2)椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点.(3)椭圆的焦半径a.焦半径定义：椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径.b.焦半径公式：已知点

P在椭圆上，且，分别是左(下)、右(上)焦点，当焦点在x轴上时，=a+，=a-；当焦点在y轴上时，=a+，=a-.【题型1利用椭圆的几何性质求标准方程】【方法点拨】(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系

数法，其步骤是：a.确定焦点的位置；b.设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；c.根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数.列方程(组)时常用的关系式有，e=等.(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率

不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件确定的椭圆的标准方程可能有两个.【例1】（2022·河南·高三阶段练习（文））已知椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的焦距为2，离心率𝑒=12，则椭圆𝐶的标准方程为（）A．𝑥

22+𝑦2=1B．𝑥24+𝑦2=1C．𝑥24+𝑦23=1D．𝑥216+𝑦212=1【变式1-1】（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的离心率为13，𝐴1,𝐴2分别为C的左、右顶

点，B为C的上顶点．若𝐵𝐴1→⋅𝐵𝐴2→=−1，则C的方程为（）A．𝑥218+𝑦216=1B．𝑥29+𝑦28=1C．𝑥23+𝑦22=1D．𝑥22+𝑦2=1【变式1-2】（2022·全国·高二课时练习）焦点在𝑦轴上，长轴长为10，离心率为35的椭圆的标准方程为（）A．�

�2100+𝑦264=1B．𝑦2100+𝑥264=1C．𝑥225+𝑦216=1D．𝑥216+𝑦225=1【变式1-3】（2022·全国·高二课时练习）中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为√32，且过点(2,0)的椭圆方程是（）A．𝑥24+𝑦2=1B

．𝑥24+𝑦2=1或𝑥2+𝑦24=1C．𝑥24+𝑦216=1D．𝑥24+𝑦2=1或𝑥24+𝑦216=1【题型2椭圆的焦距与长轴、短轴】【方法点拨】根据已知条件，结合椭圆的焦距与长轴、短轴等知识，进行求解即可.【例2】（2022

·全国·高二课时练习）椭圆𝐶:𝑥216+𝑦24=1的长轴长、短轴长和焦点坐标依次为（）．A．8，4，(±2√3,0)B．8，4，(0,±2√3)C．4，2，(±2√3,0)D．4，2，(0,±2√3)【变式2-1】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆𝑥2+2𝑦2=2与2𝑥2

+𝑦2=1，则两个椭圆（）A．有相同的长轴与短轴B．有相同的焦距C．有相同的焦点D．有相同的离心率【变式2-2】（2021·重庆市高二阶段练习）椭圆𝑥237+𝑦212=1的焦距为（）A．2√3B．5C．4√3D．10【变式2-3】（20

22·全国·高二课时练习）若椭圆𝑥225+𝑦29=1与椭圆𝑥225−𝑘+𝑦29−𝑘=1(𝑘<9,𝑘≠0)，则两椭圆必定（）．A．有相等的长轴长B．有相等的焦距C．有相等的短轴长D．长轴长与焦距之比相等【题型3求椭圆的离心率或其取值范围】【方法点拨】求

椭圆的离心率通常有如下两种方法：①若给定椭圆的方程，则根据椭圆的焦点位置确定，求出a，c的值，利用公式e=直接求解；②若椭圆方程未知，则根据条件及几何图形建立a，b，c，e满足的关系式，化为a，c的齐次方程，得出a，c的关系或化为e的方程求解，此时要注意e∈(0,1)

.【例3】（2022·江苏·高二阶段练习）已知椭圆𝐶:𝑥2𝑚+𝑦24=1的焦距是2，则离心率e的值是（）A．√55B．12或√55C．12或√32D．√55或2√55【变式3-1】（2022·安徽蚌埠·一模）若椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦24=1(𝑎>2)上存在两点𝐴(

𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2)(𝑥1≠𝑥2)到点𝑃(𝑎5,0)的距离相等，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．(0,√55)B．(√55,1)C．(0,√33)D．(√33,1)【变式3-2】（2022·江西省高二阶段练习）设椭圆𝐶:𝑥2𝑎

2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的左、右焦点分别为𝐹1，𝐹2，点M，N在C上（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若|𝑀𝑁|=|𝐹1𝐹2|，2√2|𝑀𝐹2|=|𝑁𝐹2|，则C的离心率为（）A．√24B．12C．

6√2−37D．3√2−37【变式3-3】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)上存在点𝑃，使得|𝑃𝐹1|=3|𝑃𝐹2|，其中𝐹1，𝐹2分别为椭

圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．(0,14]B．(14,1)C．(12,1)D．[12,1)【题型4根据椭圆的离心率求参数】【方法点拨】根据椭圆的离心率和已知条件及几何图形建立a，b，c，e满足的关系式，得出含有参数的有关a

，c的关系式或化为e的方程，即可求解，此时要注意e∈(0,1).【例4】（2022·全国·高三专题练习）若椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2=1(𝑎>0)的离心率为√22，则𝑎的值为（）A．√2B．12C．√2或√22D．√2或12【变式4-1】（2022·甘肃定西·高二开学考试（理））

如果椭圆𝑥2𝑘+8+𝑦29=1(𝑘>−8)的离心率为𝑒=12，则𝑘=（）A．4B．4或−54C．−45D．4或−45【变式4-2】（2021·甘肃·高二阶段练习（理））“𝑚=8”是“椭圆𝑥2𝑚+𝑦24=1的离心率为√22”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分

条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【变式4-3】（2022·全国·高二课时练习）设𝑒是椭圆𝑥2𝑘+𝑦24=1的离心率，且𝑒∈(12,1)，则实数𝑘的取值范围是A．(0,3)B．(3,1

63)C．(0,2)D．(0,3)∪(163,+∞)【题型5椭圆中的最值问题】【方法点拨】求解此类问题一般有以下两种思路：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质

来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个

(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.【例5】（2020·广西·高二阶段练习（文））若

点𝑂和点𝐹分别为椭圆𝑥24+𝑦23=1的中心和左焦点，点𝑃为椭圆上点的任意一点，则𝑂𝑃⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝐹𝑃⃑⃑⃑⃑⃑的最大值为（）A．5B．6C．7D．8【变式5-1】（2022·全国·高二课时练习）已

知椭圆C：𝑥29+𝑦2𝑏2=1(𝑏>0)上的动点P到右焦点距离的最小值为3−2√2，则𝑏=（）A．1B．√2C．√3D．√6【变式5-2】（2022·重庆八中模拟预测）已知𝐹1，𝐹2分别为椭圆𝐶:𝑥24+𝑦2=1的两个焦点，P为椭圆上一点，则|𝑃�

�1|−|𝑃𝐹2|的最大值为（）A．2B．2√3C．4D．4√3【变式5-3】（2022·河南洛阳·三模（理））已知点𝑀是椭圆𝐶：𝑥24+𝑦23=1上异于顶点的动点，𝐹1，𝐹2分别为椭圆的左、右焦点，𝑂为坐标原点，𝐸为𝑀𝐹1的中点，∠𝐹1𝑀𝐹2的平分线与直线𝐸�

�交于点𝑃，则四边形𝑀𝐹1𝑃𝐹2的面积的最大值为（）A．1B．2C．3D．2√2【题型6椭圆的实际应用问题】对于椭圆的实际应用问题，结合具体条件建立坐标系，得出椭圆的基本量或基本量之间的关系，利用椭圆的性质进行求解，注意要满足实际情况.

【例6】（2021春•浙江期中）如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为12厘米，底面半径为2厘米．球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不计），一个平面与两个乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为（）A．√1

54B．√32C．2√65D．15【变式6-1】（2021春•山东期末）国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内

层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于−58，则椭圆的离心率为（）A．34B．58C．√74D．√64【变式6-2】（2021·江苏南通·高二期中）某高速公路隧道设计为单向三车道，每条车道宽4米，

要求通行车辆限高5米，隧道全长1.5千米，隧道的断面轮廓线近似地看成半个椭圆形状（如图所示）.（1）若最大拱高ℎ为6米，则隧道设计的拱宽𝑙至少是多少米？（结果取整数）（2）如何设计拱高ℎ和拱宽𝑙，才能使半个椭圆形隧道的土方工程

量最小？（结果取整数）参考数据：√11≈3.3，椭圆的面积公式为𝑆=𝜋𝑎𝑏，其中𝑎，𝑏分别为椭圆的长半轴和短半轴长.【变式6-3】（2022·全国·高二课时练习）已知地球绕太阳运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点

上，长轴长约为3.0×108km，椭圆焦距与长轴长的比约为160．求地球的轨道中心与太阳间的距离以及近日点和远日点到太阳的距离（地球与太阳的半径忽略不计，精确到0.001×108km）．