【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修三）专题7.7 二项分布与超几何分布（重难点题型精讲）（学生版）.docx，共(9)页，225.082 KB，由小赞的店铺上传

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专题7.7二项分布与超几何分布（重难点题型精讲）1．伯努利试验(1)伯努利试验的概念把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.(2)n重伯努利试验的两个特征①同一个伯努利试验重复做n次；②各次试验的结果相互独立.2．二项分布一般地，在

n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)=，k=0，1，2，，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p).3．二项

分布的期望与方差一般地，如果XB(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p).4．超几何分布(1)定义一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的

n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，，r.其中n,N,M∈，MN，nN，m={0，n-N+M}，r=.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.若随机变量X服从超几何分布，

则其均值E(X)==np.(2)求超几何分布的分布列①判断随机变量是不是服从超几何分布；②套用超几何分布中的概率公式,注意理解公式中各量的意义.5．超几何分布与二项分布的关系(1)超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率求解有截然

不同的表达式，但看它们的概率分布列，会发现其相似点.超几何分布与二项分布是两个非常重要的概率模型，许多实际问题都可以利用这两个概率模型来求解.在实际应用中，理解并辨别这两个概率模型是至关重要的.(2)事实上，在次品件数为确定数M的足够多的产品中，任意抽取n

件(由于产品件数N无限多，无放回与有放回无区别，故可看作n重伯努利试验)，其中含有次品的件数服从二项分布.【题型1二项分布的概率计算】【方法点拨】对于二项分布的概率计算问题，根据二项分布的定义及二项分布的分布列，进行

求解即可.【例1】（2022春·新疆·高二阶段练习）已知随机变量𝑋服从二项分布𝑋∼𝐵(6,13)，则𝑃(𝑋=2)等于（）A．1316B．4243C．13243D．80243【变式1-1】（2

022·高二单元测试）已知随机变量𝑋~𝐵(2,𝑝)，Y服从两点分布，若𝑃(𝑋≥1)=0.64，𝑃(𝑌=1)=𝑝，则𝑃(𝑌=0)=（）A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8【变式1-2】（2022·高二课时练习

）设随机变量𝑋~𝐵(2,𝑝)，若𝑃(𝑋≥1)=59，则𝑝的值为（）A．13B．23C．√53D．49【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）设随机变量𝜉~𝐵(2,𝑝)，𝜂~𝐵(4,𝑝)，若𝑃(𝜉≥1)=89，则𝑃(𝜂≥

1)=（）A．8081B．6581C．5581D．4081【题型2二项分布的期望与方差】【方法点拨】根据题目条件，结合二项分布的期望与方差公式，进行转化求解即可.【例2】（2022·高二课时练习）已知随机变量X服从二项分布𝐵(12,𝑝)，若𝐸(2𝑋−3

)=5，则𝐷(3𝑋)等于（）A．83B．8C．12D．24【变式2-1】（2022春·安徽滁州·高二阶段练习）德国数学家莱布尼茨是世界上第一个提出二进制记数法的人.二进制数被广泛应用于电子电路､计算机等领域.某电子电路每运行

一次都随机出现一个四位二进制数𝐴=𝑎1𝑎2𝑎3𝑎4，其中𝑎𝑖(𝑖=1,2,3,4)出现0的概率为13，出现1的概率为23，记𝑋=𝑎1+𝑎2+𝑎3+𝑎4，当电路运行一次时，𝑋的数学期望𝐸(𝑋)

=（）A．43B．2C．83D．3【变式2-2】（2022春·北京·高二期末）已知随机变量𝜉+𝜂=8，若𝜉∼𝐵(10,0.3)，则𝐸(𝜂),𝐷(𝜂)分别是（）A．4和2.4B．5和2.1C．2和2.4D．4和5.

6【变式2-3】（2022秋·河南南阳·高三阶段练习）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为𝑝，各成员的支付方式相互独立，设𝑋为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，𝐷(𝑋)=2.4，且𝑃(𝑋=4)<𝑃(𝑋=6)，则

𝐸(𝑋)=（）A．6B．5C．4D．3【题型3二项分布中的最大值问题】【方法点拨】对于二项分布中的最值问题，结合P(X=k)的单调性确定P(X=k)的最大值和对应的k的值，进行求解即可.【例3】（2022春·山东枣庄·高二期末）某人在11次射击中击中目标的次数为X，若𝑋~𝐵(11

,0.8)，若𝑃(𝑋=𝑘)最大，则k＝（）A．7B．8C．9D．10【变式3-1】（2022春·北京通州·高二期末）若𝑋∼𝐵(10,12)，则𝑃(𝑋=𝑘)取得最大值时，𝑘=（）A．4B．5C．6D．5或6【变式3-2】（2022春·广东云浮·高二期末）已知�

�∼𝐵(𝑛,𝑝)，若4𝑃(𝑋=2)=3𝑃(𝑋=3)，则𝑝的最大值为（）A．56B．45C．34D．23【变式3-3】（2022·全国·高三专题练习）经检测有一批产品合格率为34，现从这批

产品中任取5件，设取得合格产品的件数为𝜉，则𝑃(𝜉=𝑘)取得最大值时𝑘的值为（）A．2B．3C．4D．5【题型4超几何分布的判断】【方法点拨】对于所给的随机变量X，根据超几何分布的定义来进行判断即可.【例4】（2022·全

国·高三专题练习）下列随机事件中的随机变量𝑋服从超几何分布的是（）A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为𝑋B．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为𝑋C．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为𝑋D．盒中有4个白球和3个黑

球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为𝑋【变式4-1】（2023·全国·高二专题练习）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：①X表示取出的最大

号码；②X表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分；④X表示取出的黑球个数．这四种变量中服从超几何分布的是()A．①②B．③④C．①②④D．①②③④【变式4-2】（2023·全国·高二专题练习）在15个村

庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为（）A．N＝15，M＝7，n＝10B．N＝15，M＝10，n＝7C．N＝22，M＝10，n＝7D．N＝22，M＝7

，n＝10【变式4-3】（2022春·黑龙江绥化·高二期末）一个袋子中100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量𝑋表示样本中黄球的个数，则𝑋服从（）A．二项分布，且𝐸(𝑋)=8

B．两点分布，且𝐸(𝑋)=12C．超几何分布，且𝐸(𝑋)=8D．超几何分布，且𝐸(𝑋)=12【题型5二项分布的实际应用】【方法点拨】利用二项分布模型解决实际问题的一般步骤：(1)根据题意设出随机变量；(2)分析随机变量是否服从二项分布；(3)若服从二项分布，则求出参数

n和p的值；(4)根据需要列出相关式子并解决问题.【例5】（2023·全国·高二专题练习）为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互

独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，期望𝐸(𝑋)=3，方差𝐷(𝑋)=32．(1)求n和p的值，并写出X的分布列.；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．【变式5-1

】（2022·高二课时练习）某公园种植了4棵棕榈树，各棵棕榈树成活与否是相互独立的，且成活率均为23，设𝜉为成活棕榈树的棵数.(1)求𝜉的分布列；(2)若有2棵或2棵以上的棕榈树未成活，则需要补种，求需要补种棕榈树的概率.【变式5-2】（2022秋·辽宁沈

阳·高二期末）新疆棉以绒长、品质好、产量高著称于世．现有两类以新疆长绒棉为主要原材料的均码服装，A类服装为纯棉服饰，成本价为120元/件，总量中有30%将按照原价200元/件的价格销售给非会员顾客，有50%将按照8.5折的价格销售给会

员顾客．B类服装为全棉服饰，成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格销售给非会员顾客，有40%将按照8.5折的价格销售给会员顾客．这两类服装剩余部分将会在换季促销时按照原价6折的价格销售给顾客，并能全部售完．(1)设A类服装单件销售价格为𝜉元，B类服装单件销售价格为𝜂元

，分别写出两类服装单件销售价格的分布列，并通过计算比较这两类服装单件收益的期望（收益=售价-成本）的大小；(2)某服装专卖店店庆当天，全场A，B两类服装均以会员价销售，假设每位来店购买A，B两类服装的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买了服装的顾客中购买A类服装的概率均为1

3．已知该店店庆当天这两类服装共售出5件，设X为该店当天所售服装中B类服装的件数，若𝑃(𝑋≤𝑛)≤0.5(𝑛∈N)，求n的所有可能取值．【变式5-3】（2022春·上海闵行·高二期末）2022年冬奥会刚刚结束，比赛涉及到的各项运动让人们津津乐道．高山滑雪（A1p

ineSkiing）是以滑雪板、雪鞋、固定器和滑雪杖为主要用具，从山上向山下，沿着旗门设定的赛道滑下的雪上竞速运动项目．冬季奥运会高山滑雪设男子项目、女子项目、混合项日．其中，男子项目设滑降、回转、大回转、超级大回转、全能5个小项，其中回转和大回转

属技术项目．现有90名运动员参加该项目的比赛，组委会根据报名人数制定如下比赛规则：根据第一轮比赛的成绩，排名在前30位的运动员进入胜者组，直接进入第二轮比赛，排名在后60位的运动员进入败者组进行一场加赛，加赛排名在

前10位的运动员从败者组复活，进入第二轮比赛．现已知每位参赛运动员水平相当．(1)求每位运动员进入胜者组的概率，及每位败者组运动员复活的概率；(2)从所有参赛的运动员中随机抽取5人，设这5人中进入胜者组的人数为X，求X的分布列和数学期望；(3)从败者组中选取10人，其中最有可能有多少

人能复活？试用你所学过的数学和统计学理论进行分析．【题型6超几何分布的实际应用】【方法点拨】利用超几何分布模型解决实际问题的一般步骤：(1)根据题意设出随机变量；(2)分析随机变量是否服从超几何分布；(3)若服从超几何分布，则求出随机变量的概率及分布列；(4)根据需要列出相关式子并解决问题.【

例6】（2022春·安徽滁州·高二阶段练习）北京时间2月20日，北京2022年冬奥会闭幕式在国家体育场举行.北京2022年冬奥会的举行激发了人们的冰雪兴趣，带火了冬季旅游，某旅游平台计划在注册会员中调查对冰雪运动的爱

好情况，其中男会员有1000名，女会员有800名，用分层抽样的方法随机抽取36名会员进行详细调查，调查结果发现抽取的这36名会员中喜欢冰雪运动的男会员有8人，女会员有4人.(1)在1800名会员中喜欢冰雪运动的估计有多少人？(2)在抽取的喜欢冰雪运动的会员中任选3人，记

选出的3人中男会员有𝑋人，求随机变量𝑋的分布列与数学期望.【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）为提高天津市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了天津市旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游4名，其中高级导游2

名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游3名.从这9名导游中随机选择4人参加比赛.(1)设𝐴为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件𝐴发生的概率；(2)设𝜉为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量𝜉的分布列和数学期望.【变式

6-2】（2022春·黑龙江哈尔滨·高二期中）近年来，某市为促进生活垃圾分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾桶．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾桶中的生活垃圾，总计400吨，数据统计如下表（单位：吨）．厨

余垃圾桶可回收物桶其他垃圾桶厨余垃圾602020可回收物104010其他垃圾3040170(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率𝑃；(2)某社区成立了垃圾分类宣传志愿者小组，有7名女性志愿者，3名男性志愿者，现从这10名志愿者中随机选取3名，利用节假日到街道

进行垃圾分类宣传活动（每名志愿者被选到的可能性相同）．设𝑋为选出的3名志愿者中男性志愿者的个数，求随机变量𝑋的分布列及数学期望．【变式6-3】（2022春·江苏苏州·高二期中）为了解昆山震川高级中学中学高二年级学生身视力情

况，对高二年级（1）班—（8）班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行视力监测．经统计，每班10名学生中视力监测成绩达到优秀的人数统计如下：班号12345678人数86947598(

1)若用散点图预测高二年级学生视力情况，从高二年级学生中任意抽测1人，求该生视力监测成绩达到优秀的概率；(2)若从以上统计的高二（2）班的10名学生中按分层抽样抽出5人，再从5人中任取2人，设X表示2人中视力监测成绩达到优秀的人数，求

X的分布列及其数学期望；(3)假设每个班学生视力优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的视力优秀率相等．现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“𝜉𝑘=1”表示第k班抽到的这名同学视力优秀，“𝜉𝑘=0”表示第k班抽到的这名同学视力不是优秀（𝑘=1，2，

，8）．写出方差𝐷(𝜉1)，𝐷(𝜉2)，𝐷(𝜉3)，𝐷(𝜉4)的大小关系．