【文档说明】2025届高三一轮复习数学试题（人教版新高考新教材）考点规范练3　等式的性质与不等式的性质、基本不等式 Word版含解析.docx，共(4)页，44.021 KB，由小赞的店铺上传

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考点规范练3等式的性质与不等式的性质、基本不等式一、基础巩固1.已知a>b,c>d,且c,d都不为0,则下列不等式成立的是()A.ad>bcB.ac>bdC.a-c>b-dD.a+c>b+d答案:D解析:由不等式的同向可加性得a+c>b+d.2.(2021新高

考Ⅰ,5)已知F1,F2是椭圆C:𝑥29+𝑦24=1的两个焦点,点M在椭圆C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为()A.13B.12C.9D.6答案:C解析:由题意知|MF1|+|MF2|=2a=6,则√|𝑀𝐹1|·|𝑀𝐹2|≤|𝑀𝐹1|+|𝑀𝐹2|2=3,则|M

F1|·|MF2|≤9,当且仅当|MF1|=|MF2|=3时,等号成立.故|MF1|·|MF2|的最大值为9.3.设a,b∈[0,+∞),A=√𝑎+√𝑏,B=√𝑎+𝑏,则A,B的大小关系是()A.A≤BB.A≥BC.A<BD.A>B答案:B解析:由题

意知B2-A2=-2√𝑎𝑏≤0,且A≥0,B≥0,可得A≥B,故选B.4.下列函数中最小值为4的是()A.y=x2+2x+4B.y=|sinx|+4|sin𝑥|C.y=2x+22-xD.y=lnx+4ln𝑥答案:C解析:A项,y=(x+1)2+3,故ymin=3,故该项不符

合题意;B项,设t=|sinx|,则y=t+4𝑡,t∈(0,1].因为函数y=t+4𝑡在区间(0,1]上单调递减,所以当t=1时,y取最小值,且ymin=1+41=5,该项不符合题意;C项,y=2x+22-

x=2x+42𝑥,设t=2x,则t>0,于是y=t+4𝑡≥2√𝑡×4𝑡=4,当且仅当t=2,即x=1时等号成立.所以该项符合题意.D项,因为当x∈(0,1)时,lnx<0,所以存在x使y<0,故该项不符合题意.5.(多选)已知6<a<60,15<b<18,则下列

结论正确的是()A.𝑎𝑏∈(13,4)B.a+2b∈(21,78)C.a-b∈(-12,45)D.𝑎+𝑏𝑏∈(76,5)答案:AC解析:因为15<b<18⇒118<1𝑏<115,又6<a<60,所以根据不等式的性质可得6×118<a×1𝑏<60×115,即13<𝑎𝑏<4,

故A正确;因为30<2b<36,所以36<a+2b<96,故B错误;因为-18<-b<-15,所以-12<a-b<45,故C正确;𝑎+𝑏𝑏=𝑎𝑏+1∈(43,5),故D错误.6.若两个正实数x,y满足2𝑥+1𝑦=1,且x+2y>m2+2m恒

成立,则实数m的取值范围是()A.(-∞,-2)∪[4,+∞)B.(-∞,-4]∪[2,+∞)C.(-2,4)D.(-4,2)答案:D解析:因为x>0,y>0,2𝑥+1𝑦=1,所以x+2y=(x+2y)·(2𝑥+1𝑦)=2+4𝑦𝑥+𝑥𝑦+2≥8,当且仅当4𝑦𝑥=𝑥𝑦,

即x=2y时等号成立.由x+2y>m2+2m恒成立,可知m2+2m<8,即m2+2m-8<0,解得-4<m<2.7.已知a>0,b>0,且ab=1,则12𝑎+12𝑏+8𝑎+𝑏的最小值为.答案:4解析:∵ab=1,∴b=1𝑎.∴12𝑎+12𝑏+8𝑎+𝑏=12𝑎+𝑎2+

8𝑎+1𝑎=12(1𝑎+𝑎)+8𝑎+1𝑎.令1𝑎+a=t>0,则原式=𝑡2+8𝑡≥2√𝑡2·8𝑡=2√4=4.当且仅当t2=16,即t=4时,等号成立,此时1𝑎+a=4.二、综合应用8.(多选)若正实数a,b满足a+b=1,则下列说法正确的是()A.ab

有最大值14B.√𝑎+√𝑏有最大值√2C.1𝑎+1𝑏有最小值2D.a2+b2有最大值12答案:AB解析:对于选项A,ab≤(𝑎+𝑏2)2=(12)2=14,当且仅当a=b=12时取等号.故A正确.对于选项B,(√𝑎

+√𝑏)2=a+b+2√𝑎𝑏≤a+b+a+b=2,故√𝑎+√𝑏≤√2,当且仅当a=b=12时取等号.故B正确.对于选项C,1𝑎+1𝑏=(1𝑎+1𝑏)(a+b)=2+𝑏𝑎+𝑎𝑏≥2+

2√𝑏𝑎·𝑎𝑏=4,当且仅当a=b=12时取等号.所以1𝑎+1𝑏有最小值4.故C错误.对于选项D,由(a+b)2=1,得a2+2ab+b2=1≤a2+(a2+b2)+b2,即a2+b2≥12,

当且仅当a=b=12时取等号.故a2+b2有最小值12.故D错误.9.如图,计划在一块空地上种植面积为2400m2的草坪,草坪的四周留有人行通道.设计要求草坪外侧南北的人行通道宽2m,东西的人行通道宽3m,则人行通道的占地面积最小是()A.550m2B.538m

2C.528m2D.504m2答案:D解析:设草坪的长(东西方向)为xm,则宽为2400𝑥m,道路占用面积S=6×(2400𝑥+4)+4x=14400𝑥+4x+24≥2√14400𝑥×4𝑥+24

=504,当且仅当14400𝑥=4x,即x=60时,等号成立.故道路占地最小面积为504m2.10.已知不等式|y+4|-|y|≤2x+𝑎2𝑥对任意实数x,y都成立,则实数a的最小值为()A.1B.2C.3D.4答案

:D解析:令f(y)=|y+4|-|y|,则f(y)≤|y+4-y|=4,即f(y)max=4.∵不等式|y+4|-|y|≤2x+𝑎2𝑥对任意实数x,y都成立,∴2x+𝑎2𝑥≥f(y)max=4,∴a≥-(2x

)2+4×2x=-(2x-2)2+4恒成立;令g(x)=-(2x)2+4×2x,则a≥g(x)max=4,∴实数a的最小值为4.11.已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+18𝑏的最小值为.答案:14解析:因为2a>0,18𝑏>0,所以2a+18𝑏=

2a+2-3b≥2√2𝑎·2-3𝑏=2√2𝑎-3𝑏,当且仅当a=-3,b=1时,等号成立.因为a-3b+6=0,所以a-3b=-6.所以2a+18𝑏≥2√2-6=14,即2a+18𝑏的最小值为14.12.已知存在实数a满足ab2>a>ab,则实数b的取值范围是.答案:(-∞,-

1)解析:由ab2>a>ab,得a≠0.当a>0时,有b2>1>b,即{𝑏2>1,𝑏<1,解得b<-1;当a<0时,有b2<1<b,即{𝑏2<1,𝑏>1,无解.综上可得b<-1.13.已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是.答案:45解析:∵5x

2y2+y4=1,∴y≠0,且x2=1-𝑦45𝑦2,∴x2+y2=1-𝑦45𝑦2+y2=15𝑦2+4𝑦25≥2√15𝑦2·4𝑦25=45,当且仅当15𝑦2=4𝑦25,即x2=310,y2=12时取等号.∴x2+y2的最小值为

45.14.已知实数x,y满足-1<x+y<4,2<x-y<3,则3x+2y的取值范围是.答案:(-32,232)解析:令3x+2y=m(x+y)+n(x-y),则{𝑚+𝑛=3,𝑚-𝑛=2,解得{𝑚=52,𝑛=12,即3x+2y=52(

x+y)+12(x-y).由于-1<x+y<4,2<x-y<3,则-52<52(x+y)<10,1<12(x-y)<32,所以-32<52(x+y)+12(x-y)<232,即-32<3x+2y<232.15.已知x>0,a为大于2x的常数.(1)求函数y=x(a-2x)的最大值;(2

)求y=1𝑎-2𝑥-x的最小值.解:(1)由于x>0,a>2x,则y=x(a-2x)=12×2x(a-2x)≤12×[2𝑥+(𝑎-2𝑥)2]2=𝑎28,当且仅当x=𝑎4时取等号,故函数y=x(a-2x)的最大值为𝑎28.(2)由于x>0,a>2x,则y=1𝑎-2

𝑥-x=1𝑎-2𝑥+𝑎-2𝑥2−𝑎2≥2√12−𝑎2=√2−𝑎2,当且仅当x=𝑎-√22时取等号.故y=1𝑎-2𝑥-x的最小值为√2−𝑎2.三、探究创新16.(2021浙江,8)已知α,β,γ是互不相同的锐角,则在sinαcosβ

,sinβcosγ,sinγcosα三个值中,大于12的个数的最大值是()A.0B.1C.2D.3答案:C解析:由基本不等式有sinαcosβ≤sin2𝛼+cos2𝛽2,同理sinβcosγ≤sin2𝛽+cos2𝛾2,sinγcosα≤sin2

𝛾+cos2𝛼2,故sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα≤32,故sinαcosβ,sinβcosγ,sinγcosα不可能均大于12.取α=π6,β=π3,γ=π4,则sinαcosβ=

14<12,sinβcosγ=√64>12,sinγcosα=√64>12,故三式中大于12的个数的最大值为2.17.设实数x,y满足3≤xy2≤8,4≤𝑥2𝑦≤9,则𝑥3𝑦4的最大值为.答案:27解析:

令𝑥3𝑦4=(𝑥2𝑦)𝑚·(xy2)n,则x3·y-4=x2m+n·y2n-m,所以{2𝑚+𝑛=3,2𝑛-𝑚=-4,解得m=2,n=-1,所以𝑥3𝑦4=(𝑥2𝑦)2·(xy2)-1,由于4≤𝑥2𝑦≤9,3≤xy2≤8,则16≤(𝑥2𝑦)2≤81,18

≤1𝑥𝑦2≤13,所以𝑥3𝑦4=(𝑥2𝑦)2·(xy2)-1∈[2,27],故𝑥3𝑦4的最大值为27.