【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修一）专题3.1 椭圆及其标准方程-重难点题型精讲 Word版含解析.docx，共(15)页，436.574 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

专题3.1椭圆及其标准方程-重难点题型精讲1．椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点,的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.(2)椭圆定义的集合表示P={,2a>}.2

．椭圆的标准方程椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：3．椭圆方程的求解(1)用定义法求椭圆的标准方程根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.(2)用待定系数法求椭圆的标准方程①如果明确了椭圆的中心在原

点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）.②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点在x轴上和焦点在y轴上

利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答.4．椭圆的焦点三角形(1)焦点三角形的概念设M是椭圆上一点，,为椭圆的焦点，当点M,,不在同一条直线上时，它们构成一个三角形——焦

点三角形，如图所示.(2)焦点三角形的常用公式①焦点三角形的周长L=2a+2c.②在中，由余弦定理可得.③设，，则.【题型1曲线方程与椭圆】【方法点拨】根据所给曲线方程表示椭圆，结合椭圆的标椎方程进行求解，即可得出所求.【例1】（2022·湖北·高三期末）已

知曲线𝐶:𝑥24𝑎+𝑦23𝑎+2=1，则“𝑎>0”是“曲线C是椭圆”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据已知曲线的方程和椭圆的方程特点，结合充分条件和必要条

件的判定即可【解答过程】若曲线𝐶是椭圆，则有：{4𝑎>03𝑎+2>04𝑎≠3𝑎+2解得：𝑎>0，且𝑎≠2故“𝑎>0”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件故选：C.【变式1-1】（2021·全国·

高二专题练习）“1<𝑚<5”是“方程𝑥2𝑚−1+𝑦25−𝑚=2表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据椭圆的标准方程可得{−1>0,5−𝑚>0,𝑚−1≠5−𝑚,，解不等式组得出1<𝑚<5且𝑚≠3，再利用

必要不充分条件定义即可求解.【解答过程】若方程表示椭圆，则有{−1>0,5−𝑚>0,𝑚−1≠5−𝑚,因此1<𝑚<5且𝑚≠3，故“1<𝑚<5”是“方程𝑥2𝑚−1+𝑦25−𝑚=2表示椭圆”的必要不充分条件．故选

：B.【变式1-2】（2022·全国·高二课时练习）已知方程𝑥225−𝑚+𝑦2𝑚+9=1表示焦点在𝑦轴上的椭圆，则𝑚的取值范围是（）A．−9<𝑚<25B．−8<𝑚<25C．9<𝑚<25D．8<𝑚<25【解题思路】由题知𝑚+9>25−𝑚>0

，再解不等式即可.【解答过程】解：∵方程𝑥225−𝑚+𝑦2𝑚+9=1表示焦点在𝑦轴上的椭圆，∴𝑚+9>25−𝑚>0，解得：8<𝑚<25．故选：D．【变式1-3】（2022·全国·高二课时练习）若方程𝑥225−𝑘+𝑦2𝑘−9=1表示的曲线为焦点在

𝑦轴上的椭圆，则实数𝑘的取值范围为（）A．(9,25)B．(−∞,9)∪(25,+∞)C．(17,25)D．(25,+∞)【解题思路】根据题意可得𝑘−9>25−𝑘>0，解之即可得解.【解答过程】解：因为方程𝑥225−𝑘+𝑦2𝑘−9=1表示的曲

线为焦点在𝑦轴上的椭圆，所以𝑘−9>25−𝑘>0，解得17<𝑘<25，所以实数𝑘的取值范围为(17,25).故选：C.【题型2椭圆的定义】【方法点拨】利用椭圆的定义解决涉及焦点相关问题的计算：一般地，遇到有关焦点问题时，首先应考虑用定义来解题，如题目中有椭圆上的点到两

焦点的距离可考虑用定义解题，另外，对定义的应用也应有深刻理解，知道何时应用、怎样应用.【例2】（2023·全国·高三专题练习）点P为椭圆4𝑥2+𝑦2=16上一点，𝐹1，𝐹2为该椭圆的两个焦点，若|𝑃𝐹1|=3，则|

𝑃𝐹2|=（）A．13B．1C．7D．5【解题思路】写出椭圆的标准方程，由椭圆的定义得到|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|=2𝑎=8，从而求出答案.【解答过程】椭圆方程为：𝑥24+𝑦216=1，由椭圆定义可知：|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|=2𝑎=8，故|𝑃𝐹2|

=5，故选：D.【变式2-1】（2022·全国·高二课时练习）设P为椭圆𝐶:𝑥216+𝑦212=1上的点，𝐹1，𝐹2分别为椭圆C的左、右焦点，且|𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2|=83，则|𝑃𝐹1||𝑃𝐹2|=（）A．3

2B．2C．56D．3【解题思路】先利用椭圆得到𝑎=4，根据椭圆的定义可得到|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|=8，结合|𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2|=83可算出|𝑃𝐹1|，|𝑃𝐹2|，即可算出答案【解答过程】解：由椭圆𝐶:𝑥216+𝑦212=1可得𝑎2=16即𝑎=4，因为P

为椭圆𝐶:𝑥216+𝑦212=1上的点，所以|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|=2𝑎=8，因为|𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2|=83，所以|𝑃𝐹1|=163，|𝑃𝐹2|=83，故|𝑃𝐹1||𝑃𝐹2|=2，故选：B．【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）已知𝐹1

，𝐹2是椭圆𝐶:𝑥29+𝑦23=1的两个焦点，点M在椭圆C上，则|𝑀𝐹1|⋅|𝑀𝐹2|的最大值为（）A．13B．12C．9D．6【解题思路】根据椭圆方程求得𝑎=3，再由椭圆的定义可得|𝑀𝐹1|+|𝑀𝐹2|=6，利用基本不等

式即可求解．【解答过程】解：由椭圆𝐶:𝑥29+𝑦23=1可得𝑎2=9，所以𝑎=3，因为点𝑀在𝐶上，所以|𝑀𝐹1|+|𝑀𝐹2|=2𝑎=6，所以|𝑀𝐹1|⋅|𝑀𝐹2|≤(|𝑀𝐹1|+|𝑀𝐹2|2)2=(62)2=9，当且仅当|𝑀𝐹

1|=|𝑀𝐹2|=3时等号成立，|𝑀𝐹1|⋅|𝑀𝐹2|最大值为9.故选：C．【变式2-3】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆𝑥29+𝑦22=1的左、右焦点分别为𝐹1,𝐹2，点𝑀在椭圆上，若|

𝑀𝐹1|=4，则∠𝐹1𝑀𝐹2=（）A．30°B．60°C．120°D．150°【解题思路】根据椭圆方程求得|𝐹1𝐹2|=2√7，由椭圆的定义，得|𝑀𝐹1|+|𝑀𝐹2|=2𝑎=6，求得|𝑀𝐹1|=4，所以|𝑀

𝐹2|=2，在△𝐹1𝑀𝐹2中，再由余弦定理列出方程，求得cos∠𝐹1𝑀𝐹2=−12，即可求解．【解答过程】解：由题意，椭圆方程𝑥29+𝑦22=1，可得𝑎=3,𝑏=√2,𝑐=√𝑎2−𝑏2=√7，所以焦点𝐹1(−√7,0),𝐹2(√7,

0)，又由椭圆的定义，可得|𝑀𝐹1|+|𝑀𝐹2|=2𝑎=6，因为|𝑀𝐹1|=4，所以|𝑀𝐹2|=2，在△𝐹1𝑀𝐹2中，由余弦定理可得|𝐹1𝐹2|2=|𝑀𝐹1|2+|𝑀𝐹2|2−2|𝑀𝐹1||

𝑀𝐹2|cos∠𝐹1𝑀𝐹2,所以(2√7)2=42+22−2×4×2cos∠𝐹1𝑀𝐹2，解得cos∠𝐹1𝑀𝐹2=−12，又由∠𝐹1𝑀𝐹2∈(0∘,180∘)，所以∠𝐹1𝑀𝐹2=120∘.故选:C．【题型3椭圆方程的求解】【方法点拨】(1)用

定义法求椭圆的标准方程根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.(2)用待定系数法求椭圆的标准方程根据所给条件设出椭圆的标准方程，代入点，即可得解.【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的

两个焦点为𝐹1(−√5,0)，𝐹2(√5,0)，M是椭圆上一点，若𝑀𝐹1⊥𝑀𝐹2，|𝑀𝐹1|⋅|𝑀𝐹2|=8，则该椭圆的方程是（）A．𝑥27+𝑦22=1B．𝑥22+𝑦27=1C．𝑥29+𝑦24=1D．𝑥24+𝑦29=1【解题思路】首

先设|𝑀𝐹1|=𝑚，|𝑀𝐹2|=𝑛，再利用焦点三角形是直角三角形，列式求𝑚+𝑛，即可求得𝑎,𝑏的值.【解答过程】设|𝑀𝐹1|=𝑚，|𝑀𝐹2|=𝑛，因为𝑀𝐹1⊥𝑀𝐹2，|𝑀𝐹1|⋅

|𝑀𝐹2|=8，|𝐹1𝐹2|=2√5，所以𝑚2+𝑛2=20，𝑚𝑛=8，所以(𝑚+𝑛)2=𝑚2+𝑛2+2𝑚𝑛=36，所以𝑚+𝑛=2𝑎=6，所以𝑎=3．因为𝑐=√5，所以𝑏=√𝑎2−𝑐2=2．所以椭圆的方程是𝑥29+𝑦24=1．故选：C.【变式3

-1】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(−2√2,0)和(2√2,0)，且椭圆经过点(4,0)，则该椭圆的标准方程是（）A．𝑥216+𝑦28=1B．𝑦216+𝑥28=1C．𝑥224+𝑦216=1D．𝑥224+𝑦29=1【解题思路】根据椭圆的焦点可求�

�，根据经过点(4,0)，可得𝑎，进而可求解𝑏，即可得椭圆方程.【解答过程】因为焦点坐标为(−2√2,0)和(2√2,0)，所以𝑐=2√2.椭圆经过点(4,0)，且焦点在x轴上，所以𝑎=4，所以𝑏2=𝑎2−𝑐2=8，则椭圆的

标准方程为𝑥216+𝑦28=1.故选:A.【变式3-2】（2022·宁夏二模（文））已知椭圆C的一个焦点F（0，-√5），P为C上一点，满足|𝑂𝑃|=|𝑂𝐹|,|𝑃𝐹|=4则椭圆C的标准方程为（）A．𝑦215+𝑥210=1B．𝑦29+𝑥24=1C

．𝑦212+𝑥27=1D．𝑦28+𝑥23=1【解题思路】设出点𝑃(𝑚,𝑛),根据题意列出等式即可求出点𝑃.再将其带入椭圆即可求出答案.【解答过程】由题意可知椭圆的焦点在𝑦轴上，设椭圆为𝑦2𝑎2+𝑥2𝑏2=1；由题意知：设𝑃(𝑚,𝑛).则{|𝑂𝑃|2

=|𝑂𝐹|2|𝑃𝐹|2=16⇒{𝑚2+𝑛2=5𝑚2+(𝑛+√5)2=16⇒{𝑚2=165𝑛2=95.将𝑃(𝑚,𝑛)代入椭圆：{95𝑎2+165𝑏2=1𝑎2=𝑏2+5⇒{𝑎2=9𝑏2=4所以椭圆C的

标准方程为𝑦29+𝑥24=1.故选:B.【变式3-3】（2021·全国·高二课时练习）椭圆的焦点坐标为(﹣5，0)和(5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（）A．𝑥2169+𝑦2144＝1B．𝑥2144+𝑦2169＝1C．𝑥2169+𝑦225

＝1D．𝑥2144+𝑦225＝1【解题思路】由椭圆定义求得𝑎，已知焦点坐标得𝑐，再求出𝑏可得椭圆方程．【解答过程】∵椭圆的焦点坐标为(﹣5，0)和(5，0)，椭圆上一点与两焦点的距离和是26，∴椭圆的焦点在x轴上，c＝5，a＝13，∴𝑏=√𝑎2−𝑐2

＝12，∴椭圆的方程为𝑥2169+𝑦2144＝1．故选：A．【题型4动点轨迹方程的求法】【方法点拨】解椭圆有关的动点轨迹问题主要有以下两种思路：(1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了

且易于表达，我们只需把这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程.(2)定义法：若动点的轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量.【例4】（2021·全国·高二课时练习）已知A(0，－1)，B(

0，1)两点，△ABC的周长为6，则△ABC的顶点C的轨迹方程是（）A．𝑥24+𝑦23＝1(x≠±2)B．𝑦24+𝑥23＝1(y≠±2)C．𝑥24+𝑦23＝1(x≠0)D．𝑦24+𝑥23＝1(y≠0)【解题思路】用定义法求出轨迹方程，把上下

两个顶点去掉.【解答过程】解析：因为2c＝|AB|＝2，所以c＝1，所以|CA|＋|CB|＝6－2＝4＝2a，所以顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(A，B，C不共线)．因此，顶点C的轨迹方程为𝑦24+𝑥23=1(y≠±2)．故选：B.【变式4-1】

（2021·全国·高二课前预习）若动点𝑀(𝑥,𝑦)始终满足关系式√𝑥2+(𝑦+2)2+√𝑥2+(𝑦−2)2=8，则动点M的轨迹方程为（）A．𝑥216+𝑦212=1B．𝑥212+𝑦216=

1C．𝑥212−𝑦216=1D．𝑥216−𝑦212=1【解题思路】由等式√𝑥2+(𝑦+2)2+√𝑥2+(𝑦−2)2=8表示的几何意义，结合相应圆锥曲线定义即可得解.【解答过程】因动点𝑀(𝑥,𝑦)满足关系式√𝑥2+(𝑦+2)2+√𝑥2

+(𝑦−2)2=8，则该等式表示点𝑀(𝑥,𝑦)到两个定点𝐹1(0,−2),𝐹2(0,2)的距离的和为8，而|𝐹1𝐹|=4<8，即动点M的轨迹是以𝐹1,𝐹2为焦点，长轴长2𝑎=8的椭圆，于是短半轴长b有𝑏2=

𝑎2−22=12，所以动点M的轨迹方程为𝑥212+𝑦216=1.故选：B.【变式4-2】（2022·江苏·高二开学考试）已知圆C的方程为(𝑥−1)2+𝑦2=16，𝐵(−1,0)，A为圆C上任意一点，若点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点，则点P的轨

迹方程为（）A．𝑥216+𝑦29=1B．𝑥216−𝑦29=1C．𝑥24+𝑦23=1D．𝑥24−𝑦23=1【解题思路】由椭圆定义确定𝑃点轨迹是椭圆，然后求出𝑎,𝑏，可得其方程．【解答过程】因为点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点，所以|𝑃𝐴|=|𝑃𝐵|，所以|

𝑃𝐵|+|𝑃𝐶|=|𝑃𝐴|+|𝑃𝐶|=|𝐴𝐶|=4，而|𝐵𝐶|=2，所以𝑃点轨迹是以𝐵,𝐶为焦点，长轴长是4的椭圆．设其方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)，2𝑎=4，𝑎=2，𝑐=1，则𝑏=√𝑎2−𝑐2=√3，所以𝑃点

轨迹方程是𝑥24+𝑦23=1．故选：C．【变式4-3】（2022·全国·高二专题练习）已知△𝐴𝐵𝐶的周长等于10，|𝐵𝐶|=4，通过建立适当的平面直角坐标系，顶点𝐴的轨迹方程可以是（）A．𝑥29+𝑦25=1(𝑦≠0)B．𝑥29+

𝑦24=1(𝑦≠0)C．𝑥236+𝑦220=1(𝑦≠0)D．𝑥236+𝑦216=1(𝑦≠0)【解题思路】根据椭圆的定义进行求解即可.【解答过程】因为△𝐴𝐵𝐶的周长等于10，|𝐵𝐶|=4，所以|𝐴𝐵|+|𝐴𝐶|=6>|𝐵𝐶|，因此点𝐴的轨迹是以𝐵,𝐶为焦

点的椭圆，且𝐴不在直线𝐵𝐶上，因此有2𝑎=6,2𝑐=4⇒𝑎=3,𝑐=2⇒𝑏2=𝑎2−𝑐2=5，所以顶点𝐴的轨迹方程可以是𝑥29+𝑦25=1(𝑦≠0)，故选：A.【题型5椭圆中的焦点三角形问题】【方法点拨】①

关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出=2a，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法.②在椭圆中，焦点三角形引出的问题很多，在处理这些问题时，经常利用定义结合正弦

定理、余弦定理及勾股定理等来解决，还经常用到配方法、解方程及把看成一个整体等.【例5】（2022·全国·高二课时练习）已知点𝑃在椭圆𝑥216+𝑦24=1上，𝐹1与𝐹2分别为左、右焦点，若∠𝐹1𝑃𝐹2=2𝜋3，则△𝐹1𝑃

𝐹2的面积为（）A．4√3B．6√3C．8√3D．13√3【解题思路】由椭圆的定义结合余弦定理解得|𝑃𝐹1||𝑃𝐹2|=16，通过三角形面积公式即可求得答案.【解答过程】由{|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2

|=8cos∠𝐹1𝑃𝐹2=|𝑃𝐹1|2+|𝑃𝐹2|2−|𝐹1𝐹2|22|𝑃𝐹1||𝑃𝐹2|，，又|𝐹1𝐹2|=4√3，解得|𝑃𝐹1||𝑃𝐹2|=16，𝑆△𝐹1𝑃𝐹2=1

2|𝑃𝐹1||𝑃𝐹2|sin∠𝐹1𝑃𝐹2=12×16×√32=4√3.故选：A.【变式5-1】（2022·全国·高三专题练习）若F为椭圆C：𝑥225+𝑦216=1的右焦点，A，B为C上两动点，则△ABF周长的最大值

为（）A．4B．8C．10D．20【解题思路】设𝐹1为椭圆𝐶的左焦点，则由椭圆的定义可得：|𝐴𝐹|+|𝐵𝐹|+|𝐴𝐵|=2𝑎−|𝐴𝐹1|+2𝑎−|𝐵𝐹1|+|𝐴𝐵|，当𝐴,𝐵,𝐹1共线时，△ABF周长取

得最大值，从而可得出答案.【解答过程】解：设𝐹1为椭圆𝐶的左焦点，则由椭圆的定义可得：|𝐴𝐹|+|𝐵𝐹|+|𝐴𝐵|=2𝑎−|𝐴𝐹1|+2𝑎−|𝐵𝐹1|+|𝐴𝐵|=4𝑎+|𝐴𝐵|−|𝐴𝐹1|−|𝐵𝐹1|=20+|�

�𝐵|−|𝐴𝐹1|−|𝐵𝐹1|，当𝐴,𝐵,𝐹1共线时，|𝐴𝐵|−|𝐴𝐹1|−|𝐵𝐹1|=0，当𝐴,𝐵,𝐹1不共线时，|𝐴𝐵|−|𝐴𝐹1|−|𝐵𝐹1|<0，所以△ABF周长

的最大值为20.故选：D.【变式5-2】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆𝑥24+𝑦23=1的两个焦点为𝐹1，𝐹2，过𝐹2的直线交椭圆于𝑀，𝑁两点，若△𝐹1𝑀𝑁的周长为（）A．2B．4C．6D．8【解题思路】运用椭圆的定义进行求解即可.【解答过程】由𝑥24+𝑦23=

1⇒𝑎=2.因为𝑀，𝑁是椭圆的上的点，𝐹1、𝐹2是椭圆的焦点，所以𝑀𝐹1+𝑀𝐹2=2𝑎,𝑁𝐹1+𝑁𝐹2=2𝑎，因此△𝐹1𝑀𝑁的周长为𝑀𝐹1+𝑀𝑁+𝑁𝐹1=𝑀𝐹1+𝑀𝐹2+𝑁𝐹2+𝑁𝐹1=2𝑎+2𝑎=4𝑎=8，故选：D

.【变式5-3】（2022·全国·高二专题练习）设𝑃为椭圆𝑥225+𝑦216=1上一点，𝐹1，𝐹2为左、右焦点，且|𝑃𝐹1|=4|𝑃𝐹2|，则（）A．△𝑃𝐹1𝐹2为锐角三角形B．△𝑃𝐹1𝐹2

为钝角三角形C．△𝑃𝐹1𝐹2为直角三角形D．𝑃，𝐹1，𝐹2三点构不成三角形【解题思路】根据椭圆方程求出𝑎,𝑏,𝑐，然后结合椭圆定义和已知条件求出|𝑃𝐹1|,|𝑃𝐹2|并求出|𝐹1𝐹2|，进而判

断答案.【解答过程】由题意可知，𝑎=5,𝑏=4⇒𝑐=√𝑎2−𝑏2=3，由椭圆的定义可知|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|=10，而|𝑃𝐹1|=4|𝑃𝐹2|，联立方程解得|𝑃𝐹1|=8,|𝑃𝐹2|=2，且|𝐹1𝐹2|=6，则6+2=8，即𝐹1,𝑃,𝐹2不构成三角形

.故选：D.【题型6椭圆中的最值问题】【例6】（2022·全国·高二课时练习）已知F是椭圆𝐶:𝑥24+𝑦23=1的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为(1,1)，则|𝑃𝑄|+|𝑃𝐹|的最大值为（）A．3B．5C．√41D．13【解

题思路】由|𝑃𝑄|+|𝑃𝐹|=|𝑃𝑄|+2𝑎−|𝑃𝐹′|≤|𝑄𝐹′|+2𝑎，结合图形即得.【解答过程】因为椭圆𝐶:𝑥24+𝑦23=1，所以𝑎=2,𝑏=√3,𝑐=1，𝐹(−1,0)，则椭圆的右焦点为𝐹′(1,0)，由椭圆的定义得：|𝑃𝑄|+|𝑃

𝐹|=|𝑃𝑄|+2𝑎−|𝑃𝐹′|≤|𝑄𝐹′|+2𝑎=5，当点P在点𝑃′处，取等号，所以|𝑃𝑄|+|𝑃𝐹|的最大值为5，故选：B.【变式6-1】（2022·全国·高二课时练习）�

�1，𝐹2分别为椭圆𝑥24+𝑦23=1的左､右焦点，𝑀为椭圆上的动点，设点𝐴(12,12)，则|𝑀𝐴|+|𝑀𝐹2|的最小值为（）A．4−√102B．2−√102C．4+√102D．2+√102【解题思路】由椭圆方程得𝐹1(−1

,0),𝐹2(1,0)，连接𝑀𝐹1，进而根据椭圆定义将问题转化为|𝑀𝐴|+|𝑀𝐹2|=4+|𝑀𝐴|−|𝑀𝐹1|，再根据||𝑀𝐴|−|𝑀𝐹1||≤|𝐴𝐹1|得−|𝐴𝐹1|≤|𝑀𝐴|−|𝑀𝐹1|，进而得

|𝑀𝐴|+|𝑀𝐹2|≥4−|𝐴𝐹1|，进而得答案.【解答过程】解：由椭圆方程得𝐹1(−1,0),𝐹2(1,0)，如图，连接𝑀𝐹1，由于|𝑀𝐹1|+|𝑀𝐹2|=2𝑎=4，所以|𝑀𝐹2|=4−|�

�𝐹1|，所以|𝑀𝐴|+|𝑀𝐹2|=|𝑀𝐴|+4−|𝑀𝐹1|=4+|𝑀𝐴|−|𝑀𝐹1|，因为||𝑀𝐴|−|𝑀𝐹1||≤|𝐴𝐹1|，当且仅当𝑀,𝐴,𝐹1三点共线时等号成立，

所以−|𝐴𝐹1|≤|𝑀𝐴|−|𝑀𝐹1|≤|𝐴𝐹1|所以|𝑀𝐴|+|𝑀𝐹2|=4+|𝑀𝐴|−|𝑀𝐹1|≥4−|𝐴𝐹1|=4−√102故选：A.【变式6-2】（2022·全国·高二课时

练习）已知点P是椭圆𝑥225+𝑦216=1上一动点，Q是圆(𝑥+3)2+𝑦2=1上一动点，点𝑀(6,4)，则|𝑃𝑄|−|𝑃𝑀|的最大值为（）A．4B．5C．6D．7【解题思路】易知圆(𝑥+3)2+𝑦2=1的圆心

是𝐹1(−3,0)为椭圆的左焦点，利用椭圆的定义得到|𝑃𝑄|≤|𝑃𝐹1|+1=10−|𝑃𝐹2|+1=11−|𝑃𝐹2|，然后由|𝑃𝑄|−|𝑃𝑀|≤11−|𝑃𝐹2|−|𝑃𝑀|求解.【解答过程】如图所示：由𝑥225+�

�216=1，得𝑎2=25,𝑏2=16，则𝑐=√𝑎2+𝑏2=3，则圆(𝑥+3)2+𝑦2=1的圆心是𝐹1(−3,0)为椭圆的左焦点，则右焦点为𝐹2(3,0)，由椭圆的定义得|𝑃𝐹1|+|

𝑃𝐹2|=2𝑎=10，所以|𝑃𝑄|≤|𝑃𝐹1|+1=10−|𝑃𝐹2|+1=11−|𝑃𝐹2|，又|𝑀𝐹2|=√(6−3)2+(4−0)2=5，所以|𝑃𝑄|−|𝑃𝑀|≤11−|𝑃𝐹2|−|𝑃𝑀|，=11−(|�

�𝐹2|+|𝑃𝑀|)≤11−|𝑀𝐹2|=11−5=6，故选：C.【变式6-3】（2022·全国·高二课时练习）已知𝐴(1,1)，𝐹1是椭圆5𝑥2+9𝑦2=45的左焦点，点P是椭圆上的动点，求|𝑃𝐴|+|𝑃𝐹1|的最大值和最小值分别为（）A．6+√2；6−√2B．4+√2

；4−√2C．6+2√2；6−2√2D．4+2√2；4−2√2【解题思路】根据椭圆定义可知|𝑃𝐴|+|𝑃𝐹1|=|𝑃𝐴|+2𝑎−|𝑃𝐹2|，|𝑃𝐴|+|𝑃𝐹1|取得最值时，即|𝑃�

�|−|𝑃𝐹2|最值，根据||𝑃𝐴|−|𝑃𝐹2||≤|𝐴𝐹2|=√2可得答案.【解答过程】解：由已知可得𝑥29+𝑦25=1，得𝑎=3,𝑐=2，∴|𝐴𝐹2|=√12+12=√2根据椭圆定义：|

𝑃𝐴|+|𝑃𝐹1|=|𝑃𝐴|+2𝑎−|𝑃𝐹2|，∴|𝑃𝐴|+|𝑃𝐹1|取得最大值时，即|𝑃𝐴|−|𝑃𝐹2|最大，|𝑃𝐴|+|𝑃𝐹1|取得最小值时，即|𝑃𝐴|−|𝑃𝐹2|最小，

根据三角形的两边之差小于第三边有||𝑃𝐴|−|𝑃𝐹2||<|𝐴𝐹2|=√2，当𝑃,𝐴,𝐹2三点共线，且点P不在线段𝐴𝐹2上时，||𝑃𝐴|−|𝑃𝐹2||=|𝐴𝐹2|=√2，即−√2≤|𝑃𝐴|−|𝑃𝐹2|≤√2，如图所示：|𝑃

𝐴|+|𝑃𝐹1|≥2𝑎+|𝐴𝐹2|=6+√2，|𝑃𝐴|+|𝑃𝐹1|≤2𝑎−|𝐴𝐹2|=6−√2，当P点在线段𝐴𝐹2的延长线上，即P运动到图中点N的位置时取得最大值．当P点在线段𝐹2𝐴的延长线上，即P运动到图中点M的位置时取得最小值．∴|�

�𝐴|+|𝑃𝐹1|的最大值和最小值分别为6+√2；6−√2.故选：A.