【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修一）专题2.2 直线的倾斜角与斜率-重难点题型检测 Word版含解析.docx，共(11)页，182.178 KB，由小赞的店铺上传

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专题2.2直线的倾斜角与斜率-重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·河南省高二阶段练习）直线𝑥+√3𝑦−2=0的倾斜角为（）A．𝜋6B．𝜋4C．𝜋3D．5π6【解题思路】利用斜率和倾斜角的关系即可求倾斜角.【解答过

程】设斜率为𝑘，倾斜角为𝛼，∵𝑦=−√33𝑥+23√3，∴𝑘=−√33=tan𝛼，𝛼=5𝜋6．故选：D．2．（3分）（2022·全国·高二专题练习）已知经过两点𝑃(𝑎,2)，𝑄(−2,1)的直线斜率为1，则𝑎=

（）A．－3B．3C．1D．－1【解题思路】由两点式计算斜率为1，即可求出𝑎的值.【解答过程】由题意知1−2−2−𝑎=1，得𝑎=−1．故选：D.3．（3分）（2022·全国·高二课时练习）下列说法正确的是（）A．若直线的斜率为tan�

�，则该直线的倾斜角为𝛼B．直线的倾斜角𝛼的取值范围是0≤𝛼<πC．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率D．直线的倾斜角越大，其斜率就越大【解题思路】根据直线的斜率与倾斜角的关系即可逐一判断.【

解答过程】对于A，若斜率为𝑘=tan240∘=√3，但倾斜角不是240∘，此时倾斜角为60∘，故A错，对B，直线的倾斜角𝛼的取值范围是0≤𝛼<π，当直线与𝑥轴重合或者平行时，倾斜角为0，故B正确，对于C，当直线垂直于𝑥轴时，倾斜角为90∘，但此时直

线没有斜率，故C错误，对于D，当直线的倾斜角为锐角时，斜率为正值，但倾斜角为钝角时，斜率为负值，故D错误，故选：B.4．（3分）（2022·全国·高二课时练习）如图，已知直线PM、QP、QM的斜率分别为𝑘1、𝑘2、𝑘3，则�

�1、𝑘2、𝑘3的大小关系为（）A．𝑘1<𝑘2<𝑘3B．𝑘1<𝑘3<𝑘2C．𝑘2<𝑘1<𝑘3D．𝑘3<𝑘2<𝑘1【解题思路】首先判断三条直线的倾斜角，进而根据倾斜角与斜率的关系即可得出结论..【解答过程】由于直线PM的倾斜角为钝角，QP、QM的倾斜

角为锐角，当倾斜角为锐角时，斜率为正，即𝑘3>0,𝑘2>0，当倾斜角为钝角时，斜率为负，即𝑘1<0，又因为倾斜角为[0,𝜋2)时，倾斜角越大，斜率越大，即𝑘3<𝑘2；所以𝑘1<𝑘3<𝑘2.故选：B.5．（3分）

（2023·全国·高三专题练习）已知条件𝑝：直线4𝑥+𝑦−4=0与直线(𝑎+1)𝑥+𝑎2𝑦−1=0垂直，条件𝑞：𝑎=−2，则𝑝是𝑞的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解题思路】由两条直线垂直可求

得𝑎=−2，结合充要条件的定义即可求出答案.【解答过程】直线4𝑥+𝑦−4=0与直线(𝑎+1)𝑥+𝑎2𝑦−1=0垂直，所以4(𝑎+1)+𝑎2=0，则𝑎=−2，所以𝑝是𝑞的充要条件.故选：A.6．（3分）（2022·全国·高二专题练习）顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C

(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是（）A．平行四边形B．直角梯形C．等腰梯形D．以上都不对【解题思路】结合直角梯形的性质，利用两直线间的平行和垂直关系来判断即可得出结论.【解答过程】𝑘𝐴𝐵=3−5−4−2=13=

𝑘𝐶𝐷=3−06−(−3)，𝑘𝐴𝐷=3−0−4+3=−3,𝑘𝐶𝐵=5−32−6=−12，则𝑘𝐴𝐷≠𝑘𝐶𝐵，所以𝐴𝐵//𝐶𝐷,𝐴𝐷与𝐵𝐶不平行，𝑘𝐴𝐷⋅𝑘𝐴𝐵=−1因此𝐴𝐷⊥𝐴𝐵故构成

的图形为直角梯形.故选：B.7．（3分）（2022·全国·高二课时练习）已知两条直线𝑙1：𝑚𝑥−𝑦+6=0，𝑙2：𝑦=𝑥，当𝑙1、𝑙2的夹角在(0,𝜋12)内变动时，则实数𝑚的取值范围为（）A．(0,1

)B．(√33,√3)C．(√33,1)∪(1,√3)D．(1,√3)【解题思路】由𝑙2的倾斜角为π4知𝑙1倾斜角范围为(π6,π4)∪(π4,π3)，结合直线方程求m的范围.【解答过程】由题设，𝑙2的倾斜角为π4，故𝑙1倾斜角范围为(π6,π

4)∪(π4,π3)，所以tanπ6≤𝑚≤tanπ3且𝑚≠tanπ4=1，即𝑚∈(√33,1)∪(1,√3).故选：C.8．（3分）（2022·江西省高一阶段练习（理））已知𝐴(−1,2),𝐵(4,7)，若过点𝐶(2,0)的直线与线段𝐴𝐵相交，则该直线

斜率的取值范围是（）A．(−∞,−23]∪[72,+∞)B．(−23,72)C．(−32，27)D．(−∞,−23)∪(72,+∞)【解题思路】数形结合，计算𝑘𝐴𝐶,𝑘𝐵𝐶，判断斜率不存在的情况，从而写出斜率的取值范围.【解答

过程】如图所示，过点𝐶的直线与线段𝐴𝐵相交，𝑘𝐴𝐶=2−0−1−2=−23，𝑘𝐵𝐶=7−04−2=72；又因为该直线与𝑥轴垂直时，斜率不存在，所以过点𝐶与线段𝐴𝐵相交的直线斜率取值范围为(−∞,−23]∪[72,+∞).故选：A.二．多选题（共4小题，

满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·全国·高二课时练习）如图所示，下列四条直线𝑙1，𝑙2，𝑙3，𝑙4，斜率分别是𝑘1，𝑘2，𝑘3，𝑘4，倾斜角分别是𝛼1，𝛼2，𝛼3，𝛼4，则下列关系正确的是（）A．𝑘2<𝑘1<𝑘4<𝑘3B．𝑘3<𝑘2<𝑘1<

𝑘4C．𝛼2<𝛼1<𝛼4<𝛼3D．𝛼3<𝛼2<𝛼1<𝛼4【解题思路】根据直线的图像特征，结合直线的斜率与倾斜角定义，得出结论.【解答过程】直线𝑙1，𝑙2，𝑙3，𝑙4，斜率分别是𝑘1，𝑘2，𝑘3

，𝑘4，倾斜角分别是𝛼1，𝛼2，𝛼3，𝛼4，由倾斜角定义知0<𝛼1<𝛼4<𝜋2，𝛼3>𝜋2，𝛼2=0，∴𝛼2<𝛼1<𝛼4<𝛼3，故C正确；由𝑘=tan𝛼，知𝑘2=0，𝑘3<0，0<𝑘1<𝑘4

，∴𝑘3<𝑘2<𝑘1<𝑘4，故B正确；故选：BC.10．（4分）（2023·全国·高三专题练习）直线l过点𝑃(1,3)且斜率为k，若直线l与线段AB有公共点，𝐴(−1,−4)，𝐵(2,−3)，则k可

以取（）A．－8B．－5C．3D．4【解题思路】根据题意，做出图形，分析直线斜率可知𝑘≥𝑘𝑃𝐴,𝑘≤𝑘𝑃𝐵，再利用斜率公式求解𝑘𝑃𝐴，𝑘𝑃𝐵即可.【解答过程】解：由于直线l过点𝑃(1,3)且斜率为k，与连接两点𝐴(−1,−4

)，𝐵(2,−3)的线段有公共点，则𝑘𝑃𝐴=72，𝑘𝑃𝐵=−6，由图可知，𝑘∈(−∞,−6]∪[72,+∞)时，直线与线段有交点，根据选项，可知AD符合．故选：AD．11．（4分）（2022·全国·高二课时练习）已知直线𝑙1：𝑥sin𝛼+𝑦=0与

𝑙2：3𝑥+𝑦+𝑐=0，则下列结论正确的是（）A．直线𝑙1与直线𝑙2可能重合B．直线𝑙1与直线𝑙2可能垂直C．直线𝑙1与直线𝑙2可能平行D．存在直线𝑙1上一点P，直线𝑙1绕点P旋转后可与直线𝑙2重合【解题思

路】分别求出直线𝑙1，𝑙2的斜率，根据两直线平行和垂直斜率满足的关系即可逐一求解.【解答过程】∵直线𝑙1:𝑥sin𝛼+𝑦=0的斜率为𝑘1=−sin𝛼，直线𝑙2:3𝑥+𝑦+𝑐=0的斜率𝑘2=−3，∵−1≤si

n𝛼≤1，∴𝑘1，𝑘2不可能相等，∴直线𝑙1与直线𝑙2不可能重合，也不可能平行，故A，C均错误；当sin𝛼=−13时，𝑘1𝑘2=−1，𝑙1⊥𝑙2，∴直线𝑙1与直线𝑙2可能垂直，故B正确；∵直线𝑙1与直线

𝑙2不可能重合，也不可能平行，∴直线𝑙1与直线𝑙2一定有交点𝑃，∴存在直线𝑙1上一点𝑃，直线𝑙1绕点𝑃旋转后可与直线𝑙2重合，故D正确．故选：BD．12．（4分）（2022·全国·高二课时练习）已知点𝑂(0,0)，𝐴(0,𝑏)，𝐵(𝑎,𝑎3)．若△𝑂𝐴

𝐵为直角三角形，则可能有（）A．𝑏=𝑎3B．𝑏=𝑎3+1𝑎C．∠𝐴𝑂𝐵=90°D．|𝑏−𝑎3|+|𝑏−𝑎3−1𝑎|=0【解题思路】若△𝑂𝐴𝐵为直角三角形，则直角顶点有三种情况，以�

�,𝐴,𝐵分别为直角顶点，讨论找关系，得到AB选项正确，CD选项错误，最后得答案.【解答过程】由题意知𝑎≠0,𝑏≠0，若𝑂为直角顶点，则𝐵在𝑥轴上，则𝑎必为0，此时𝑂，𝐵重合，不符合题意，故C错误；若𝐴为直角顶点

，则𝑏=𝑎3，故A正确；若B为直角顶点，根据斜率关系𝑘𝑂𝐵⋅𝑘𝐴𝐵=−1,可知𝑎2⋅𝑎3−𝑏𝑎=−1，所以𝑎(𝑎3−𝑏)=−1，即𝑏=𝑎3+1𝑎，故B正确；𝑏=𝑎3和𝑏=𝑎3+1𝑎不可能同时成立，所以|𝑏−𝑎3|+|𝑏−𝑎3−1𝑎|=0不

可能成立，故D错误.故选：AB．三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022·全国·高二课时练习）已知一直线的倾斜角为𝛼，且45∘≤𝛼≤150∘，则该直线的斜率的取值范围是(−∞,−√33

]∪[1,+∞)．【解题思路】由倾斜角和斜率的关系𝑘=tan𝛼进行求解.【解答过程】因为直线的倾斜角为𝛼，且45∘≤𝛼≤150∘，当45∘≤𝛼<90∘时，𝑘=tan𝛼≥tan45∘=1；当90∘<𝛼≤1

50∘时，𝑘=tan𝛼≤tan150∘=−√33；即该直线的斜率的取值范围是(−∞,−√33]∪[1,+∞).故答案为：(−∞,−√33]∪[1,+∞).14．（4分）（2022·上海市高三开学考试）已知直线𝑙1:(𝑎−3)𝑥+(1−𝑎)�

�−1=0,𝑙2:(𝑎−1)𝑥+(2𝑎−3)𝑦+1=0，则当实数𝑎=53时，𝑙1∥𝑙2.【解题思路】根据两直线平行的条件列方程求解𝑎的值即可.【解答过程】若𝑙1∥𝑙2，则(𝑎−3)(2𝑎−3)=(1−𝑎)(𝑎−1)，解得𝑎=53或𝑎=

2，当𝑎=2时，𝑙1和𝑙2重合，舍去，所以𝑎=53.故答案为：53.15．（4分）（2022·河南省高二阶段练习）经过点𝑃(2,7)作直线𝑙，若直线𝑙与连接𝐴(1,1)，𝐵(4,5)两点的线段总有公共点，则直线𝑙的斜率𝑘的取值

范围为(−∞,−1]∪[6,+∞)．【解题思路】根据题意结合图像，求出𝑘𝑃𝐴,𝑘𝑃𝐵的斜率即可得到结果.【解答过程】𝑘𝑃𝐴=7−12−1=6，𝑘𝑃𝐵=7−52−4=−1，在射线𝑃𝐴逆时针旋转至射线𝑃𝐵时斜率逐渐变

大，直线𝑙与线段𝐴𝐵总有公共点，所以𝑘的取值范围为(−∞,−1]∪[6,+∞)．故答案为:(−∞,−1]∪[6,+∞).16．（4分）（2022·全国·高二课时练习）已知四边形𝑀𝑁𝑃𝑄的顶点𝑀(1,1),𝑁(3,−1),𝑃(4,0),𝑄(2,2)，则四边形

𝑀𝑁𝑃𝑄的形状为矩形.【解题思路】分别求出直线𝑀𝑁,𝑃𝑄,𝑀𝑄,𝑁𝑃的斜率，根据斜率判断对应直线得位置关系，即可得出结论.【解答过程】解：∵𝑘𝑀𝑁=1−(−1)1−3=−1,𝑘𝑃𝑄=2−0

2−4=−1，且𝑃不在直线𝑀𝑁上，∴𝑀𝑁//𝑃𝑄.又∵𝑘𝑀𝑄=2−12−1=1,𝑘𝑁𝑃=0−(−1)4−3=1，且𝑁不在直线上，∴𝑀𝑄//𝑁𝑃，∴四边形𝑀𝑁𝑃𝑄为平行四边形.又∵𝑘𝑀𝑁⋅�

�𝑀𝑄=−1,∴𝑀𝑁⊥𝑀𝑄.∴平行四边形𝑀𝑁𝑃𝑄为矩形.故答案为：矩形.四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022·全国·高三专题练习）求经过𝐴(𝑚,3)（其中𝑚≥1）、𝐵(1,2)两点的直线的倾斜角𝛼的取值范围．【解题思路】当𝑚=1时，斜率不存在

，当𝑚>1时，利用斜率公式求解【解答过程】由题意，当𝑚=1时，倾斜角𝛼=90°，当𝑚>1时，tan𝛼=3−2𝑚−1=1𝑚−1>0，即倾斜角𝛼为锐角；综上得：0<𝛼≤90°．18．（6分）（2022·江苏·高二课时练习）根据

图中提供的信息，按从大到小的顺序排列图中各条直线𝑙𝑖(𝑖=1,2,3,4,5)的斜率𝑘𝑖，并写出各条直线的斜率.【解题思路】利用斜率公式可求得各直线的斜率，由此可得出这五条直线斜率的大小关系.【解答过程】解：由已知可得𝑘1=5−14−(−2)=23，𝑘2=5−

12−1=4，𝑘3=6−0−4−0=−32，𝑘4=3−54−(−1)=−25，𝑘5=0，所以，𝑘2>𝑘1>𝑘5>𝑘4>𝑘3.19．（8分）（2022·全国·高二专题练习）已知△𝐴𝐵𝐶的顶

点分别为𝐴(5,−1)、𝐵(1,1)、𝐶(2,𝑚)，若△𝐴𝐵𝐶为直角三角形，求实数m的值．【解题思路】根据直角顶点分类讨论，由垂直关系列式求解【解答过程】①若∠𝐴为直角，则𝐴𝐶⊥𝐴𝐵

，所以𝑘𝐴𝐶⋅𝑘𝐴𝐵=−1，即𝑚+12−5×1+11−5=−1，解得𝑚=−7；②若∠𝐵为直角，则𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，所以𝑘𝐴𝐵⋅𝑘𝐵𝐶=−1，即1+11−5×𝑚−12−1=−1，解得𝑚=3；③若∠𝐶为直角，则𝐴𝐶⊥𝐵𝐶，所

以𝑘𝐴𝐶⋅𝑘𝐵𝐶=−1，即𝑚+12−5×𝑚−12−1=−1，解得𝑚=±2．综上，m的值为−7，−2，2或3．20．（8分）（2022·全国·高三专题练习）已知直线𝑙：𝑘𝑥−𝑦+1+2𝑘=0(𝑘∈𝑅)，𝑃(3,−1)，𝑄(

−3,3)，若直线𝑙与线段𝑃𝑄恒有公共点，求𝑘的取值范围.【解题思路】先判断直线𝑙所过定点，再数形结合求𝑘的取值范围【解答过程】𝑘𝑥−𝑦+1+2𝑘=0⇒𝑦−1=𝑘(𝑥+2)故直线过定点𝑇(

−2,1)如下图所示：𝑘𝑇𝑃=1−(−1)−2−3=−25，𝑘𝑇𝑄=1−3−2−(−3)=−2若直线𝑙与线段恒有公共点，则𝑘≤𝑘𝑇𝑄或𝑘≥𝑘𝑇𝑃即𝑘∈(−∞,−2]∪[−25,+∞).21．（8分）（2022·全国·高三专题练习）已知直线𝑙1:(�

�+2)𝑥+(𝑚2−3𝑚)𝑦+4=0和直线𝑙2:2𝑚𝑥+2(𝑚−3)𝑦+𝑚+2=0(𝑚∈𝑅).(1)当m为何值时，直线𝑙1和𝑙2平行？(2)当m为何值时，直线𝑙1和𝑙2重合？【解题思路】（1）由直线平行的公式列方程

组求解.（2）由直线重合的公式列方程组求解.【解答过程】（1）由题意，{2(𝑚−3)(𝑚+2)−2𝑚(𝑚2−3𝑚)=0(𝑚+2)2−4×2𝑚≠0，得{(𝑚−3)(𝑚−2)(𝑚+1)=0(𝑚−2)2≠

0，解得𝑚=3或𝑚=−1当𝑚=3或𝑚=−1时，直线𝑙1和𝑙2平行.（2）由题意，{2(𝑚−3)(𝑚+2)−2𝑚(𝑚2−3𝑚)=0(𝑚+2)2−4×2𝑚=0，得{(𝑚−3)(𝑚−2)(𝑚+1)=0(𝑚−

2)2=0，解得𝑚=2，当𝑚=2时，直线𝑙1和𝑙2重合.22．（8分）（2022·江苏·高二课时练习）已知直线𝑙1:𝑎𝑥+𝑏𝑦+6=0和直线𝑙2:(𝑎−1)𝑥+𝑦+2=0，求分别满足下列条件的𝑎,𝑏的值.(1)直线𝑙1过点(−3,0)，且直

线𝑙1和𝑙2垂直；(2)若直线𝑙1和𝑙2平行，且直线𝑙1在𝑦轴上的截距为−3；(3)若直线𝑙1和𝑙2重合.【解题思路】（1）根据直线垂直可知斜率相乘等于−1，进而可求.（2）根据平行直线斜率相等可求.（

3）两直线重合，斜率和在𝑦轴上的截距均相等，进而可求.【解答过程】（1）由于直线𝑙1和𝑙2垂直，故𝑎⋅(𝑎−1)+𝑏⋅1=0，又直线𝑙1过点(−3,0)，故−3𝑎+6=0，联立两式，解得𝑎=2,𝑏=

−2.故有𝑎=2,𝑏=−2.（2）由于直线𝑙1和𝑙2平行，故{𝑎⋅1=(𝑎−1)⋅𝑏𝑏⋅2≠6×1，直线𝑙1在𝑦轴上的截距为−3，则{𝑏≠0−6𝑏=−3，联立解得𝑎=2,𝑏=2.故有𝑎=2,𝑏=2.（3）若直线𝑙1和𝑙2重合，故{𝑎⋅1=(𝑎−1)⋅�

�𝑏⋅2=6×1，解得𝑎=32,𝑏=3.故有𝑎=32,𝑏=3.