【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修三）专题7.4 离散型随机变量及其分布列（重难点题型检测） Word版含解析.docx，共(16)页，42.570 KB，由小赞的店铺上传

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专题7.4离散型随机变量及其分布列（重难点题型检测）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·高二课时练习）下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在1小时内经过的车辆数ξ是一个随机变量

；②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η是一个随机变量；③某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数ξ是一个随机变量；④1天内的温度η是一个随机变量.其中是离散型随机变量的为（）A．①②B．③④C

．①③D．②④【解题思路】根据离散型随机变量的概念逐一判断即可.【解答过程】①中经过的车辆数和③中寻呼次数都能列举出来，而②④中都不能列举出来，所以①③中的ξ是一个离散型随机变量.故选：C.2．（3分）（2022·高二课时练习）设X是一个离散型随机

变量，则下列不能作为X的分布列的一组概率取值的数据是（）A．12，12B．0.1，0.2，0.3，0.4C．p，1−𝑝(0<𝑝<1)D．11×2，12×3，…，17×8【解题思路】根据分布列的性质可知，所有的概率

和等于1，且0≤𝑃≤1，逐一判断选项即可.【解答过程】根据分布列的性质可知，所有的概率之和等于1，且0≤𝑝𝑘≤1，𝑘=1,2,⋅⋅⋅,𝑛．对于A，因为12+12=1，满足0≤𝑝𝑘≤1，所以A选项能成为X的分布列的一组概率取值的数据；对于

B，因为0.1+0.2+0.3+0.4=1，且满足0≤𝑝𝑘≤1，所以B选项能成为X的分布列的一组概率取值的数据；对于C，因为𝑝+1−𝑝=1，且满足0≤𝑝𝑘≤1，所以C选项能成为X的分布列的一组概率取值的数据；对于D，因为

11×2+12×3+⋅⋅⋅+17×8=1−18=78，所以D选项不能成为X的分布列的一组概率取值的数据．故选：D．3．（3分）（2022·高二课时练习）下列选项中的随机变量不服从两点分布的是（）A．抛掷一枚骰子，所得点数𝑋B．某射击手射击一次，击中目标的次数𝑋C．从装有除颜色外其余

均相同的5个红球，3个白球的袋中任取1个球，设𝑋={1,取出白球0,取出红球D．某医生做一次手术，手术成功的次数𝑋【解题思路】根据两点分布的概念结合题意即可求解.【解答过程】对于选项A，抛掷一枚骰子，所得点数

𝑋的取值范围为{1，2，3，4，5，6}，所以A中的随机变量不服从两点分布；对于选项B，射击手射击一次，有击中或者不击中目标两种可能的结果，B中的随机变量服从两点分布；对于选项C，袋中只有红球和白球，取出1个球，可能取到红球或者白球

，C中的随机变量服从两点分布；对于选项D，医生做一次手术，手术可能成功，也可能失败，D中的随机变量服从两点分布.故选A.4．（3分）（2022·全国·高三专题练习）下表是离散型随机变量X的概率分布，则常数�

�的值是（）X3456P𝑎216+𝑎1216A．16B．112C．19D．12【解题思路】由随机变量分布列中概率之和为1列出方程即可求出a.【解答过程】由𝑎2+16+𝑎+12+16=1，解得𝑎=19.故选：C.5

．（3分）（2022·高二课时练习）下列表中，可以作为某离散型随机变量的分布列的是（其中0<𝑝<1）（）A．𝑋123𝑃𝑝𝑝−12−2𝑝B．𝑋123𝑃𝑝2𝑝3𝑝6C．𝑋123𝑃𝑝𝑝−�

�21−2𝑝+𝑝2D．𝑋123𝑃𝑝1𝑝1−𝑝−1𝑝【解题思路】分析选项ABD不满足离散型随机变量的分布列的性质，选项C满足离散型随机变量的分布列的性质，即得解.【解答过程】解：选项A中

𝑝−1<0，所以选项A不满足题意；选项B中概率之和为𝑝，事实上𝑝<1，所以选项B不满足题意；选项D中1𝑝>1，都不符合概率的意义．所以选项D不满足题意；选项C中，0<𝑝<1，0<𝑝−𝑝2<1，

0<1−2𝑝+𝑝2<1，且𝑝+(𝑝−𝑝2)+(1−2𝑝+𝑝2)=1，显然𝑝有解．所以选项C满足题意.故选：C.6．（3分）（2023·全国·高三专题练习）随机变量𝑋的概率分布列规律为

𝑃(𝑋=𝑛)=𝑎𝑛(𝑛+1)(𝑛=1,2,3,4),其中𝑎为常数，则𝑃(12<𝑋<52)的值为.A．23B．34C．45D．56【解题思路】根据所给的概率分步规律，写出四个变量对应的概率，根据分布列的性质，写出四个概率之和是1，解出𝑎的值，要求的变量的概率包括两个变量的概率

，相加得到结果．【解答过程】根据题意，由于𝑃(𝑋=𝑛)=𝑎𝑛(𝑛+1)，那么可知，(𝑛=1，2，3，4）时，则可得概率和为1，即𝑎2+𝑎6+𝑎12+𝑎20=1.∴𝑎=54∴𝑃(12<𝑋<52)=𝑃(𝑋=1)+𝑃(𝑋=2)=

54×12+54×16=56故选D.7．（3分）（2022春·河南·高二期中）已知𝜉的分布列如表所示，其中a，b都是非零实数，则1𝑎+1𝑏的最小值是（）𝜉1234P1616abA．12B．6C．83D．176【解题思路】由分布列的性质可得𝑎

+𝑏=23，利用1𝑎+1𝑏=32(1𝑎+1𝑏)(𝑎+𝑏)结合基本不等式，即可求得答案.【解答过程】根据分布列的性质知𝑎>0，𝑏>0．且𝑎+𝑏=1−16−16=23，所以1𝑎+1𝑏=32(1𝑎+1𝑏)(𝑎+𝑏)=32(𝑏𝑎+𝑎𝑏+2)≥32(2√𝑏𝑎

⋅𝑎𝑏+2)=6，当且仅当𝑎=𝑏=13时等号成立,故选:B．8．（3分）（2023·上海·高三专题练习）信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X所有可能的取值为1，2，…，n，且𝑃(𝑋=𝑖)=𝑝𝑖>0(𝑖=1,2,⋯,𝑛),∑𝑝𝑖𝑛𝑖=1=1，定义X的信息熵𝐻

(𝑋)=−∑(𝑝𝑖𝑛𝑖=1log2𝑝𝑖)．命题1：若𝑝𝑖=1𝑛(𝑖=1,2,⋯,𝑛)，则𝐻(𝑋)随着n的增大而增大；命题2：若𝑛=2𝑚，随机变量Y所有可能的取值为1，2，…，m，且𝑃(𝑌=𝑗)=𝑝𝑗+�

�2𝑚+1−𝑗(𝑗=1,2,⋯,𝑚)，则𝐻(𝑋)≤𝐻(𝑌)．则以下结论正确的是（）A．命题1正确，命题2错误B．命题1错误，命题2正确C．两个命题都错误D．两个命题都正确【解题思路】根据信息熵公式，利用对数的运算性质及对数函数的

单调性判断命题1；由已知公式得到𝐻(𝑋),𝐻(𝑌)关于𝑝𝑖的展开式，应用作差法及对数的性质判断𝐻(𝑋),𝐻(𝑌)的大小判断命题2.【解答过程】若𝑝𝑖=1𝑛(𝑖=1,2,⋯,𝑛)，则𝐻(𝑋)=−𝑛×1𝑛×

log21𝑛=log2𝑛，故𝐻(𝑋)随着n的增大而增大，命题1正确；𝑃(𝑋=𝑖)=𝑝𝑖>0(𝑖=1,2,⋯,𝑛)，则𝐻(𝑋)=−(𝑝1log2𝑝1+𝑝2log2𝑝2+...+𝑝2𝑚log2𝑝2𝑚)，而𝑛=2𝑚，𝑃(𝑌=𝑗)=𝑝𝑗+𝑝2�

�+1−𝑗(𝑗=1,2,⋯,𝑚)，𝐻(𝑌)=−[(𝑝1+𝑝2𝑚)log2(𝑝1+𝑝2𝑚)+(𝑝2+𝑝2𝑚−1)log2(𝑝2+𝑝2𝑚−1)+...+(𝑝𝑚+𝑝𝑚+

1)log2(𝑝𝑚+𝑝𝑚+1)]=−[𝑝1log2(𝑝1+𝑝2𝑚)+𝑝2log2(𝑝2+𝑝2𝑚−1)+...+𝑝2𝑚log2(𝑝2𝑚+𝑝1)]，所以𝐻(𝑋)−𝐻(𝑌)=𝑝1log2𝑝1+𝑝2𝑚𝑝1+𝑝2log2𝑝

2+𝑝2𝑚−1𝑝2+...+𝑝2𝑚log2𝑝2𝑚+𝑝1𝑝2𝑚>0，故𝐻(𝑋)>𝐻(𝑌)，命题2错误；故选：A.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·高二课时练习）下列关于随机变量及分布的说法正确的是（）A．抛

掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量B．某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数𝑋服从两点分布C．离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1D．离散型随机变量的各个可能值

表示的事件是彼此互斥的【解题思路】根据离散型随机变量、两点分布的概念，进行求解即可.【解答过程】对于选项A：抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数可能是0，也可能是1，故是随机变量，故选项A正确；对于选项B：某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次是三次独立重复实

验，命中的次数𝑋服从二项分布𝐵(3,0.5)而不是两点分布，故选项B错误；对于选项C：离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和一定等于1，故选项C错误；对于选项D：由互斥事件的定义可知选项D正确．故选：AD.10

．（4分）（2023·全国·高三专题练习）设随机变量𝜉的分布列为𝑃(𝜉=𝑘5)=𝑎𝑘，（𝑘=1,2,3,4,5），则（）A．15𝑎=1B．𝑃(0.4<𝜉<0.8)=0.2C．𝑃(0.1<𝜉<0.6)=0.2D．𝑃(𝜉=

1)=0.3【解题思路】由已知，选项A，可根据𝑃(𝜉=𝑘5)=𝑎𝑘，分别列出𝑘=1,2,3,4,5时的概率，求和即可得到；选项B，根据𝑃(0.4<𝜉<0.8)=𝑃(𝜉=0.6)，令𝑘=3

带入𝑃(𝜉=𝑘5)=𝑎𝑘中即可求解；选项C，根据𝑃(0.1<𝜉<0.6)=𝑃(𝜉=0.2)+𝑃(𝜉=0.4)，分别令𝑘=1，𝑘=2带入𝑃(𝜉=𝑘5)=𝑎𝑘中即可求解；选项D，令𝑘=5带入𝑃(𝜉=𝑘5)=𝑎𝑘中即可求解，即可做出

判断.【解答过程】选项A，由已知可得，𝑎+2𝑎+3𝑎+4𝑎+5𝑎=1，即15𝑎=1，故该选项正确；选项B，𝑃(0.4<𝜉<0.8)=𝑃(𝜉=0.6)=3𝑎=315=0.2，故该选项正确；选项C，𝑃(0.1<𝜉<0.6)=𝑃(𝜉=0.2)

+𝑃(𝜉=0.4)=𝑃(𝜉=15)+𝑃(𝜉=25)=115+215=0.2，故该选项正确；选项D，𝑃(𝜉=1)=115×5=13≠0.3，故该选项错误.故选：ABC.11．（4分）（2022春·全国·高二专题练习）(多

选)已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差数列，则（）X－101PabcA．a＝13B．b＝13C．c＝13D．P(|X|＝1)＝23【解题思路】本题根据等差数列性质得出a，b，c之间的关系，再利

用分布列的性质即可求解.【解答过程】解：由题意得：∵a，b，c成等差数列∴2b＝a＋c.由分布列的性质得a＋b＋c＝3b＝1∴𝑏=13∴𝑃(|𝑋|＝1)＝𝑃(𝑋＝1)＋𝑃(𝑋＝－1)＝1－𝑃(𝑋＝0)＝1−13=23.故B、D

正确；因为题目中未给出a与c的关系，本题我们只知道𝑎＋𝑐=23，故无法求出a与c的值，故A、C错误；故选：BD.12．（4分）（2022春·全国·高二期末）设随机变量X表示从1到n这n个整数中随机抽取的一个整

数，随机变量Y表示从1到X这X个整数中随机抽取的一个整数，记𝑃(𝑋=𝑎,𝑌=𝑏)表示𝑋=𝑎，𝑌=𝑏同时发生的概率，则（）A．当𝑛=3时，𝑃(𝑋=2,𝑌=1)=13B．当𝑛=4时，𝑃(𝑋+𝑌=4)=524C．当𝑛=𝑘（𝑘≥2且𝑘∈𝑁∗）时，𝑃(𝑋=

𝑘,𝑌=1)=1𝑘2D．当𝑛=2时，Y的均值为54【解题思路】此题考查条件概率、概率的乘法公式以及随机变量的分布列与均值，本题要注意两个随机变量X，Y的取值范围.【解答过程】对于A：当𝑛=3时，𝑃(𝑋=2)

=13，𝑃(𝑌=1|𝑋=2)=12，则𝑃(𝑋=2,𝑌=1)=𝑃(𝑋=2)⋅𝑃(𝑌=1|𝑋=2)=13×12=16，选项A错误；对于B，当𝑛=4时，由𝑋+𝑌=4，𝑋≥𝑌，可得

𝑋=3，𝑌=1或𝑋=2，𝑌=2，所以𝑃(𝑋+𝑌=4)=𝑃(𝑋=3,𝑌=1)+𝑃(𝑋=2,𝑌=2)=14×13+14×12=524，选项B正确；对于C，当𝑛=𝑘（𝑘≥2且𝑘∈𝑁∗）时，𝑃(𝑋=𝑘)=1

𝑘，𝑃(𝑌=1|𝑋=𝑘)=1𝑘，则𝑃(𝑋=𝑘,𝑌=1)=1𝑘2，选项C正确；对于D，当𝑛=2时，Y的可能取值为1，2，则𝑃(𝑌=1)=𝑃(𝑋=1,𝑌=1)+𝑃(𝑋=2,𝑌=1)=12×1+12×12=34，𝑃(𝑌=2)=�

�(𝑋=2,𝑌=2)=12×12=14，则Y的均值为1×34+2×14=54，选项D正确．故选：BCD.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2023·高二课时练习）已知下列四个变量：①某高铁候车室中一天的旅客数量𝑋1；②某次学术讲座中学

员向主讲教授提问的次数𝑋2；③某一天中长江的水位𝑋3；④某次大型车展中销售汽车的数量𝑋4．其中，所有离散型随机变量的序号为①②④．【解题思路】根据离散型随机变量的定义即可解答.【解答过程】①②④中的随机变量可能的取值可以按照一定次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量；

③中的𝑋3可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故其不是离散型随机变量.故答案为：①②④.14．（4分）（2022春·全国·高二专题练习）若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝0.8.【解题思路】由Y＝－2

，根据Y＝3X－2，求得X＝0，即可求解.【解答过程】由Y＝－2，且Y＝3X－2，得X＝0，∴P(Y＝－2)＝0.8.故答案为：0.8.15．（4分）（2023·全国·高二专题练习）设随机变量𝑋的分布列如下表：𝑋1234𝑃1614𝑚13则𝑃(|𝑋−2|=1)等于512．【解题

思路】结合分布列性质得𝑚=14，进而根据𝑃(|𝑋−2|=1)=𝑃(𝑋=1)+𝑃(𝑋=3)求解.【解答过程】解：由所有概率和为1，可得𝑚=14，所以𝑃(|𝑋−2|=1)=𝑃(𝑋=1)+𝑃(𝑋=3)=16+14=512．

故答案为：512.16．（4分）（2022·高二课时练习）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的分布列

为ξ01√2P411611111．【解题思路】正方体的12条棱中任取两条共有𝐶122种情况，若两条棱相交，则交点必在正方体的顶点处，过任意一个顶点的棱有3条，共有8𝐶32对相交棱，若两条棱平行，则它们的距

离为1或√2，而距离为√2的共有6对，ξ的可能取值为0，1，√2，分别求出其概率即可.【解答过程】ξ的可能取值为0，1，√2.若两条棱相交，则交点必在正方体的顶点处，过任意一个顶点的棱有3条，所以P(ξ＝0

)＝8𝐶32𝐶122＝411，若两条棱平行，则它们的距离为1或√2，而距离为√2的共有6对，则P(ξ＝√2)＝6𝐶122＝111，P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝√2)＝1－411－111＝611，所以随机变量ξ的分布列为：ξ01√

2P411611111故答案为：ξ01√2P411611111四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022·高二课时练习）判断下列变量是否是随机变量，若是，是否为离散型随机变量.（1）某市医院明天接到1

20急救电话的次数ξ；（2）公交车司机下周一收取的费用ξ；（3）某单位下个月的用水量ξ；（4）某家庭上个月的电话费ξ.【解题思路】根据离散型随机变量的定义依次判断即可．【解答过程】（1）ξ的取值，随各种原因的变化而变化，可能为0，1，2

，…，是随机变量，也是离散型随机变量；（2）ξ的取值随乘客的数量变化而变化，是随机变量，也是离散型随机变量.（3）ξ的取值，随各种原因的变化而变化，可能取[0，＋∞)内某一区间上的所有值，无法一一列出，是随机变量，

但不是离散型随机变量.（4）ξ的取值是一个定值，故不是随机变量.18．（6分）（2023·全国·高三专题练习）设离散型随机变量𝑋的分布列为𝑋01234𝑃0.20.10.10.3𝑚试求：(1)2𝑋+1的分

布列；(2)|𝑋−1|的分布列.【解题思路】（1）由0.2+0.1+0.1+0.3+𝑚=1，求得m，得到2𝑋+1的取值，列出分布列；（1）由0.2+0.1+0.1+0.3+𝑚=1，求得m，得到|𝑋−1|的取值，列出分布列；【解答过程】（1）解：由分布列的性质知0.2+0.1+0.1+0

.3+𝑚=1，所以𝑚=0.3.列表为𝑋012342𝑋+113579|𝑋−1|101232𝑋+1的分布列为2𝑋+113579𝑃0.20.10.10.30.3（2）|𝑋−1|的分布列为|𝑋−1|

0123𝑃0.10.30.30.319．（8分）（2022·高二课时练习）已知离散型随机变量𝑋的分布列𝑃(𝑋=𝑘5)=𝑎𝑘(𝑘=1,2,3,4,5)．(1)求常数𝑎的值；(2)求𝑃(𝑋≥35)；(3)求𝑃(110<𝑋<35)．【解题思路】（1）依题意得到随

机变量𝑋的分布列，根据分布列的性质得到方程，解得即可；（2）由𝑋≥35，即可得到𝑋=35或𝑋=45或𝑋=1，根据互斥事件的概率公式计算可得；（3）由110<𝑋<35可得𝑋=15或𝑋=2

5，根据互斥事件的概率公式计算可得；【解答过程】（1）解：由题意得随机变量𝑋的分布列如下表所示．𝑋152535451𝑃𝑎2𝑎3𝑎4𝑎5𝑎由分布列的性质得，𝑎+2𝑎+3𝑎+4𝑎+5𝑎=1，解得𝑎=115．（2）解：𝑃(𝑋≥35)=𝑃(𝑋=35)+𝑃(

𝑋=45)+𝑃(𝑋=1)=315+415+515=45．（3）解：∵110<𝑋<35，∴𝑋=15或𝑋=25，∴𝑃(110<𝑋<35)=𝑃(𝑋=15)+𝑃(𝑋=25)=115+2

15=15．20．（8分）（2023·全国·高三专题练习）甲乙参加英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行考试，至少

答对2道题才算合格．(1)若一次考试中甲答对的题数是𝜉，求𝜉的概率分布列，并求甲合格的概率；(2)若答对1题得5分，答错1题扣5分，记𝑌为乙所得分数，求𝑌的概率分布列．【解题思路】（1）求出𝜉的所有可能值，利用组合及古典概率公式求出各个值对应的概率，列出分布列，求出甲合

格的概率作答.（2）分析并求出乙得分的所有可能值，再求出各个值对应的概率列出分布列作答.【解答过程】（1）依题意，𝜉的可能取值为0，1，2，3，𝑃(𝜉=0)=C43C103=130，𝑃(𝜉=1)=C42C61C10

3=310，𝑃(𝜉=2)=C41C62C103=12，𝑃(𝜉=3)=C63C103=16，𝜉的分布列：𝜉0123𝑃1303101216所以甲合格的概率𝑃=𝑃(𝜉≥2)=12+16=23.（2）依题意，乙答3题，

答对题数可能为1，2，3，则𝑌的可能取值为-5，5，15，𝑃(𝑌=−5)=C22C81C103=115，𝑃(𝑌=5)=C21C82C103=715，𝑃(𝑌=15)=C83C103=715，𝑌的分布列：𝑌-5515𝑃1157

1571521．（8分）（2022·高二课时练习）某高校对该校学生进行了一次“身体素质测试”，包括铅球、50米跑、立定跳远三项．现将这三项的指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示合格，2表示优良，再用综合指标

𝜔=𝑥+𝑦+𝑧的值评定身体素质等级，若𝜔≥4，则为一级；若2≤𝜔≤3，则为二级；若0≤𝜔≤1，则为三级．为了了解该校学生身体素质的情况，随机抽取了10人的测试成绩，得到如下表所示结果：编号𝐴1𝐴

2𝐴3𝐴4𝐴5(𝑥,𝑦,𝑧)(0,1,0)(1,2,1)(2,1,1)(2,2,2)(0,1,1)编号𝐴6𝐴7𝐴8𝐴9𝐴10(𝑥,𝑦,𝑧)(1,1,2)(2,1,2)(2,0,1)(2,2,1)(0,2,1)（1）在这10人中任取2人，求抽取的2人指标z相同

的概率；（2）从等级是一级的人中任取1人，其综合指标记为m，从等级不是一级的人中任取1人，其综合指标记为n，记随机变量𝑋=𝑚−𝑛，求X的分布列．【解题思路】（1）根据题意，进行求解即可；（2）先求

概率，再求分布列.【解答过程】（1）由表可知，指标z为0的有𝐴1，指标z为1的有𝐴2，𝐴3，𝐴5，𝐴8，𝐴9，𝐴10，指标z为2的有𝐴4，𝐴6，𝐴7．在这10人中任取2人，所有的情况种数为C102=45，抽取的2人指标z相同包含的情况种数为C62+C32=18，所以抽取的2人指

标z相同的概率𝑃=1845=25．（2）由题意得10人的综合指标如表：编号𝐴1𝐴2𝐴3𝐴4𝐴5𝐴6𝐴7𝐴8𝐴9𝐴10综合指标1446245353其中等级是一级的有𝐴2，𝐴3，𝐴4，𝐴6，𝐴7，𝐴9，共6个，等

级不是一级的有𝐴1，𝐴5，𝐴8，𝐴10，共4个．随机变量X的取值范围为{1,2,3,4,5}，𝑃(𝑋=1)=C31C21C61C41=14，𝑃(𝑋=2)=C31C11+C21C21C61C41=724，𝑃(

𝑋=3)=C31C11+C11C21+C21C11C61C41=724，𝑃(𝑋=4)=C21C11+C11C11C61C41=18，𝑃(𝑋=5)=C11C11C61C41=124，所以X的分布列为：X

12345P147247241812422．（8分）（2022·高二课时练习）甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得−

1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为12，乙每次投球命中的概率为23，且各次投球互不影响．(1)经过1轮投球，记甲的得分为𝑋，求𝑋的分布列；(2)若经过𝑛轮投球，用𝑝𝑖表示经过第𝑖轮投

球，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率．①求𝑝1，𝑝2，𝑝3；②规定𝑝0=0，经过计算机计算可估计得𝑝𝑖=𝑎𝑝𝑖+1+𝑏𝑝𝑖+𝑐𝑝𝑖−1(𝑏≠1)，请根据①中𝑝1，𝑝2，𝑝3的值分别写出𝑎，𝑐

关于𝑏的表达式．【解题思路】（1）经过1轮投球，甲的得分𝑋的取值为−1,0,1，记一轮投球，甲投中为事件𝐴，乙投中为事件𝐵，𝐴,𝐵相互独立，计算概率后可得分布列；（2）由（1）得𝑝1，由两轮的得分可计算出𝑝2，计算𝑝3时可先计算出经过2轮后甲的得分𝑌的分布列（𝑌的取值为−

2,−1,0,1,2），然后结合𝑋的分布列和𝑌的分布可计算𝑝3，由𝑝0=0，代入𝑝𝑖=𝑎𝑝𝑖+1+𝑏𝑝𝑖+𝑐𝑝𝑖−1(𝑏≠1)，得两个方程，解得𝑎,𝑐，从而得到数列{𝑝𝑛}的递推式，变形后得{𝑝𝑛−𝑝𝑛−1}是等比数列，由等

比数列通项公式得𝑝𝑛−𝑝𝑛−1，然后用累加法可求得𝑝𝑛．【解答过程】(1)记一轮投球，甲命中为事件𝐴，乙命中为事件𝐵，则𝐴,𝐵相互独立，由题意𝑃(𝐴)=12，𝑃(𝐵)=23，甲的得分𝑋的取值为−1，0，1，𝑃(𝑋=−1

)=𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)=(1−12)×23=13，𝑃(𝑋=0)=𝑃(𝐴𝐵)+𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)+𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)=12×23+(1−12)×(1−23)=12，𝑃(𝑋=1

)=𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)=12×(1−23)=16，∴𝑋的分布列为𝑋−101𝑃131216(2)①由（1）知𝑝1=16，𝑝2=𝑃(𝑋=0)⋅𝑃(𝑋=1)+𝑃(𝑋=1)⋅[𝑃(𝑋=0)+𝑃(𝑋=1)]=12×16+16×(12+16)=

736同理，经过2轮投球，甲的得分𝑌的可能取值为−2，−1，0，1，2．记𝑃(𝑋=−1)=𝑥，𝑃(𝑋=0)=𝑦，𝑃(𝑋=1)=𝑧，则𝑃(𝑌=−2)=𝑥2，𝑃(𝑌=−1)=�

�𝑦+𝑦𝑥，𝑃(𝑌=0)=𝑥𝑧+𝑧𝑥+𝑦2，𝑃(𝑌=1)=𝑦𝑧+𝑧𝑦，𝑃(𝑌=2)=𝑧2．由此得甲的得分𝑌的分布列为𝑌−2−1012𝑃1913133616136∴𝑝3=13×136+12×(16+136)+16×(1336+16+136)=432

16．②∵𝑝𝑖=𝑎𝑝𝑖+1+𝑏𝑝𝑖+𝑐𝑝𝑖−1(𝑏≠1)，𝑝0=0，∴{𝑝1=𝑎𝑝2+𝑏𝑝1,𝑝2=𝑎𝑝3+𝑏𝑝2+𝑐𝑝1,即{736𝑎+16𝑏=16,43216𝑎+736𝑏+16𝑐=736

,∴{𝑎=6(1−𝑏)7,𝑐=1−𝑏7.