【文档说明】天津市西青区杨柳青第一中学2022-2023学年高一下学期第一次适应性测试数学试题含解析.docx，共(16)页，1.234 MB，由小赞的店铺上传

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2022-2023学年第二学期高一年级第一次适应性测试数学学科试卷一、选择题（每小题4分，共36分，每小题只有一个正确答案）.1.下列命题正确的是（）A.若a，b都是单位向量，则ab=B.若向量ab∥，bc∥，则ac∥C.与非零向量a共线的单位向量是唯一的D.

已知,为非零实数，若aub=，则a与b共线【答案】D【解析】【分析】根据向量的基本概念和共线定理，逐项判断，即可得到结果.【详解】单位向量的方向不一定相同，故A错误；当0b=时，显然a与c不一定平行，故B错误；非零

向量a共线的单位向量有aa，故C错误；由共线定理可知，若存在非零实数,，使得aub=，则a与b共线，故D正确.故选：D.2.是()1,2a=−r，()3,4b=−，()3,2c=，则()2abc+=（）A.12B.0C.-3D.-11【答案】C【解析】【分析】计算出2a

b+的坐标，然后根据向量数量积计算公式计算即可.【详解】由题可知：()256ab+=−，，所以()()253623abc+=−+=−故选：C3.已知向量1e，2e是两个不共线的向量，122aee=−与12bee=+共线，则

=（）A.2B.2−C.12−D.12【答案】C【解析】【分析】根据向量共线的充要条件建立方程直接求解.【详解】因为122aee=−与12bee=+共线，所以kab=，0k，所以12121212(

)22=kkeeeeeeeek−+−=+，因为向量1e，2e是两个不共线的向量，所以21kk=−=，解得12=−，故选：C．4.在ABC中，已知D为AC上一点，若2ADDC=uuuruuur，则BD=（）A.1233BCBA−−B.1233BCBA+C.

2133BCBA−−D.2133BCBA+【答案】D【解析】【分析】作出图形，利用平面向量的加法和减法法则可得出BD关于BA、BC的表达式.【详解】如下图所示，()22123333BDBAADBAACBABCBABABC=+=+=+−=+.故选：D.5.在ABC中，23,2,60acA===，

则C=（）A.30°B.45°C.30°或150°D.60°【答案】A【解析】【分析】根据题意利用正弦定理运算求解，注意三角形的性质应用.【详解】由正弦定理sinsinacAC=，可得32sin12sin223cACa´×===，∵ac，则AC，即060C

，∴30C=.故选：A.6.在ABC中，若sincoscosABCabc==，则ABC是（）A.正三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.有一内角为60°的直角三角形【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理得到sincosBB=，sincosCC=，故4BC==，得到答案.【详解

】根据正弦定理：sinsinsinABCabc==，故sincosBB=，sincosCC=，即tantan1BC==，(),0,BC，故4BC==，故2A=.故选：C.【点睛】本题考查了利用正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的计算能力和应用能力.7.已知A

BC和点M满足0MAMBMC++=.若存在实数m使得ABACmAM+=成立，则m=A.2B.3C.4D.32【答案】B【解析】【分析】根据0MAMBMC++=得到M为重心，再根据2ABACAD+=（D为BC的中点）得到m的值．【详解】由题根据0MAMBMC++=，则M为ABC的重心．设点D为底

边BC的中点，则()()22113323AMADABACABAC==+=+，所以3ABACAM+=，故3m=，选B.【点睛】一般地，在ABC中，（1）如果0MAMBMC++=，则M为ABC的重心；（2）如果···MAMB

MBMCMCMA==，则M为ABC的垂心；（3）如果0aOAbOBcOC++=（,,abc为,,ABC的对边），则M为ABC的内心.8.四边形ABCD中，()1,1ABDC==，113BABCBD

BABCBD+=，则四边形ABCD面积为（）A.3B.2C.2D.33【答案】A【解析】【分析】根据单位向量结合向量线性运算分析可得四边形ABCD为菱形，2,6BABCBD===，再根据模长运算可得π3ABC=，结合菱形的性质求四边形的面积.【详解】若()1,1ABDC==，则四边形ABC

D为平行四边形，且2ABDC==，可知11,BABCBABC表示分别与,BABC同向的单位向量，若113BABCBDBABCBD+=，则对角线BD为ABC的角平分线，故四边形ABCD为菱形，则2BABC==，故()112232222BABCBABCBDBDBD

+=+==，则6BD=，∵()22222BDBABCBABABCBC=+=++，即2226BABC++=，解得1BABC=，故1cos2BABCABCBABC==，且()cos0,πABC，则π3ABC=，即ABC为

等边三角形，则2ACAB==，且ACBD⊥，∴四边形ABCD面积1126322SACBD===.故选：A.9.一条东西方向的河流两岸平行，河宽2503m，河水的速度为向正东3km/h．一艘小货船准备从河南岸码头P

处出发，航行到河对岸Q（PQ与河的方向垂直）的正西方向并且与Q相距250m的码头M处卸货，若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为5km/h，则当小货船的航程最短时，小货船航行速度的大小为（）A.33km/hB.6km/hC.7km/hD.36km/h【答案】C【解析】【分析】由已知条件

求解直角三角形，根据向量的平行四边形法则，结合向量的模长公式，即可求解小货船航行速度的大小．【详解】解：由题意，当小货船的航程最短时，航线路线为线段PM，设小货船航行速度为v，水流的速度为1v，水流的速度与小货船航行的速度的合速度为2v，作出示意图如下：2503mPQ=，25

0mQM=，在RtPQM△中，有2503tan3250PQPMQQM===，所以3PMQ=，6MPQ=，122,263vv=+=，所以21vvv=−，所以()222222121122253253cos73vvvvvvv=−=+−=+−=，所以小货

船航行速度的大小为7km/h，故选：C.二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）10.已知点A(2，1)，B(－2，3)，O为坐标原点，且OABC→→=，则点C的坐标为________.【答案】(0,4)【解析】【分析

】由向量的坐标表示计算即可.【详解】设C(x，y)，则(2,3),(2,1)BCxyOA→→=+−=.由OABC→→=，则x＝0，y＝4.则()0,4C.故答案为：(0,4)11.已知向量(3,1),(0,1),(

,3)abck==−=，若(2)abc−⊥，则k等于________．【答案】3−【解析】【分析】首先求出2ab−的坐标，再根据向量垂直得到(2)0abc−=，即可求出参数的值；【详解】解：因为(3,1),(0,1),(,3)abck==−=所以()()()23,120,13,3ab−=−

−=，因为(2)abc−⊥所以(2)3330abck−=+=，解得3k=−故答案为：3−12.已知向量AB与AC的夹角为120，且32ABAC==，，若APABAC=+uuuruuuruuur，且APBC⊥uuuruuur则实数的值为_________

_．【答案】712【解析】【详解】∵⊥，∴·＝(λ＋)·(－)＝－λ2＋2＋(λ－1)·＝0，即－λ×9＋4＋(λ－1)×3×2×＝0，解得λ＝.点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a·b＝|

a||b|cosθ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.13.已知点()()()()1,2,2,5,3,2,4,3ABCD，则向量AB在CD上

的投影向量坐标为________，投影向量的模为__________.【答案】①.()2,2②.22【解析】【分析】根据平面向量的线性运算，结合投影向量及投影向量的模运算求解.【详解】由题意可得：()()1,3,1,1ABCD==uuuruuur，则2211314,112ABCDCD=+=

=+=uuuruuuruuur，空1：向量AB在CD上的投影向量()()24cos,22,22CDABCDCDABCDABABCDABCDCDCDCDABCDCDCD=====uuuruuu

ruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur，故向量AB在CD上投影向量坐标为()2,2；空2：投影向量的模为222222+=.故答案为：()2,2；22.14.在A

BC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，3A=，2sin42sinbCB=，则ABC的面积为___________.【答案】6【解析】【分析】根据题意及正弦定理，求得42bc=，结合三角形的面积公式，即

可求解.【详解】因为2sin42sinbCB=，由正弦定理可得242bcb=，所以42bc=，所以ABC的面积为113sin426222SbcA===.故答案为：6.15.八卦是中国文化的基本哲学概念，

如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中1OA=，则下列结论正确的有________.①22OAOD=−②2OBOHOE+=−的③AHHOBCBO=④AH在AB向量上的投影向量为22AB−【答案】①②④【解析】【分析】首

先明确正八边形的特征，然后根据数量积的定义进行计算，可判断选项①③；根据向量的加法运算可判断选项②；根据向量投影向量的概念可判断④.【详解】图2中的正八边形ABCDEFGH中，每个边所对的圆心角皆为π4，其中||1OA=，对于①，3π211cos42OAOD==−，故①正确；对于②，π

,222BOHOBOHOAOE=+==−，故②正确．对于③，|||AHBC=，||||HOBO=，,AHHOuuuruuur的夹角为πAHO−,,BCBOuuuruuur的夹角为OBC，OBCAHO=,故AHHOBCBO=−uuuruu

uruuuruuur，故③错误．对于④，AH与AB的的夹角为3π4BAH=，AHAB=.AH在AB向量上投影向量为3π2cos42ABAHABAB=−，故④正确．故答案为：①②④．三、解答题（本大题共5

小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.已知向量(2,1),(1,)abx=−=．（Ⅰ）若()aab⊥+，求||b的值；（Ⅱ）若2(4,7)ab+=−，求向量a与b夹角的大小．【答案】（Ⅰ）52；（Ⅱ）4．【解析】【分析】（Ⅰ）首先求出ab+的坐标，再根据()aa

b⊥+，可得()0aab+=，即可求出x，再根据向量模的坐标表示计算可得；（Ⅱ）首先求出b的坐标，再根据cos,||||ababab=计算可得；的【详解】解：（Ⅰ）因为(2,1),(1,)abx=−=，所以(3,1)abx+=−+，由()aab⊥+，可得()0aa

b+=，即610x+−=，解得7x=，即(1,7)b=，所以22||1752b=+=；（Ⅱ）依题意2(4,21)(4,7)abx+=−=−，可得3x=−，即(1,3)b=−，所以232cos,2||||510ababab+===，因为,[0,]ab，所以a与b的夹角大

小是4．17.已知向量a与向量b的夹角为3，且1a=，()32aab⊥−.（1）求b；（2）若27amb−=，求m.【答案】（1）3b=r；（2）13m=−或1m=【解析】分析】（1）本小题先求出32ab=，再求3b=r即可；（2）本小题先求出23210mm−−=，再求

解m.【详解】解：（1）∵()23232320aabaabab−=−=−=，∴32ab=，∴13cos322ababb===，∴3b=r.（2）∵27amb−=，∴()222227244469ambamabm

bmm=−=−+=−+，整理得：23210mm−−=，.【解得：13m=−或1m=.【点睛】本题考查利用向量垂直求向量的数量积、向量的数量积公式、利用和与差的向量的模求参数，是中档题.18.在ABC中，内角、、ABC所对的边长分别为abc、、，且满足2cossinsinbABcC=.（1）求

A；（2）若43,4ab==，求ABCS.【答案】（1）π3（2）83【解析】【分析】（1）由正弦定理的边化角公式得出A；（2）由正弦定理得出1sin2B=，再由面积公式求解.【小问1详解】因为2cossinsinbABcC=，由正弦定理可

得，2sincossinsinsinBABCC=因为sinsin0BC，所以1cos2A=因为A为三角形的内角，所以π3A=【小问2详解】因为43a=，4b=，π3A=，由正弦定理可得：434sin32B=，所以1sin2B=因为A为三角形的内角，所以ππ,62BC=

=11sin4348322ABCSabC===.19.在①2sintanaBbA=，②sinsin3aBbA=+，③sinsin2BCbaB+=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答．问题：在AB

C中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且______．（1）求角A；（2）若角A的平分线AD长为1，且4bc=，求ABC外接圆的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）3（2）12【解析】【

分析】（1）若选①：根据题意边角转化得：2sinsincossinsinABAAB=，再求解即可；若选②：根据题意边角转化得：13sinsincossin22ABAB=，再求解即可；若选③：根据题意得：sinsin2AbaB−=，即sincossinsin2ABAB=，即2sisincnoss

in2cos22AAABB=，再求解即可；（2）根据题意得：ABDACDABCSSS+=△△△，即113444bcbc+=，再利用余弦定理求出a，再利用正弦定理求出外接圆半径即可求解.【小问1详解】若选①：在ABC中，因2sintanaBbA=，所以sin2sincosAaB

bA=，即2sincossinaBAbA=，由正弦定理可得，2sinsincossinsinABAAB=，又因为A，(0,)B，所以sin0A，sin0B，所以1cos2A=，则3A=，若选②：ABC中，因sinsin3aBbA=+，所以13sinsincos22aB

bAA=+，由正弦定理可得，13sinsinsinsincossin22ABABAB=+，所以13sinsincossin22ABAB=，在又因为(0,)B，所以sin0B，所以tan3A=，则3A=，若选③：在ABC中，因为sins

in2BCbaB+=，所以sinsin2AbaB−=，所以cossin2AbaB=，由正弦定理可得，sincossinsin2ABAB=，又因为(0,)B，所以sin0B，所以cossin2AA=，又sin2sincos22AAA=，即cos2si

ncos222AAA=，又(0,)A，所以(0,)22A，所以cos02A，所以1sin22A=，又因为(0,)A，所以26A=，则3A=，【小问2详解】因为角A的平分线为AD，又ABDACDABCSSS+=△△

△，所以111sin30sin30sin60222bADcADbc+=，即113444bcbc+=，即()343bcbc+==，又22222cos()336abcbcAbcbc=+−=+−=，

所以6a=，所以6243sin32aRA===，即23R=，故ABC外接圆的面积212SR==，20.已知向量3sin,14xm=，2cos,cos44xxn=，()fxmn=．（1）求函数()fx的单增区间；（2）若()1f

x=，求πcos3x+的值；（3）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足()2coscosacBbC−=，求函数()yfA=的范围．【答案】（1）4π2π4π,4π()33kkk−+Z;（2）12;（3）31,2

．【解析】【分析】（1）利用平面向量的数量积得到()fx的解析式，求解单调区间即可；（2）由（1）的解析式，利用()1fx=，结合倍角公式求πcos3x+的值即可；（3）结合正弦定理结合内角和公式，得到()yfA=的解析式，结合三角函数的

有界性求值域即可．【小问1详解】21cos3π123sincossinsin44222262xxxxxmn+=+=+=++，∴()π1sin262xfx=++．由πππ2π2π2262xkk−++，kZ

得：4π2π4π4π33kxk−+，kZ．()fx的递增区间是()4π2π4π4π33kkk−+Z，．【小问2详解】()23sincoscos444xxxfxmn==+311π1sincossin22222262xxx=++=++．∵()1fx=，∴π1sin2

62x+=，∴2ππ1cos12sin3262xx+=−+=．【小问3详解】∵()2coscos−=acBbC，由正弦定理得()2sinsincossincosACBBC−=．∴2sincossincossincosABCBBC−=．∴()2

sincossinABBC=+．∵πABC++=．∴()sinsin0BCA+=，∴1cos2B=．∵0πB．∴π3B=．∴2π03A．∴πππ6262A+，π1sin1262A+

，．又∵()π1sin262xfx=++，∴()π1sin262AfA=++．故函数()fA的取值范围是312，．四、附加题（本题10分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21.

设坐标平面上全部向量集合为A，已知由A到A的对应关系f由()()2fxxxaa=−确定，其中(),cos,sin,RxAa=.（1）当取值范围变化时，()ffx是否变化？试证明你的结论；（2）若5m=，52n=，且()2ffmn+与()2ffmn−垂直

，求向量m，n的夹角.【答案】（1）()()ffx的值不会随着取值范围的变化而变化，证明见解析（2）180【解析】【分析】（1）根据数量积的运算律求出()()ffx，即可得解；（2）由（1）知()()22ffmnmn+=+，()()22ffm

nmn−=−，即可得到()()220mnmn+−=，根据数量积的运算律得到mn，再根据夹角公式计算可得.【小问1详解】解：∵()cos,sina=，∴21a=，∵()()2fxxxaa=−，∴()()()()()()2222ffxfxxaaxx

aaxxaaaa=−=−−−()()222xxaaxaxaaaa=−−−()()222xxaaxaxaa=−−−()()22xxaaxaax=−+=，∴()()ffx的值不会随着取值范围的变化而变化.【小问2详解】解：由（1）知()

()22ffmnmn+=+，()()22ffmnmn−=−，又()2ffmn+与()()2ffmn−垂直，∴()()220mnmn+−=，即222320mmnn+−=，即222320mmnn+−=，又5m=，52n=，即

15302mn+=，解得52mn=−，设m、n的夹角为，则52cos1552mnmn−===−，又0180，∴180=，即向量m、n的夹角为180.