【文档说明】高一数学人教A版2019必修第一册同步备课试题 2.2 基本不等式（第2课时） Word版含解析.docx，共(23)页，1.947 MB，由小赞的店铺上传

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2.2基本不等式（第2课时）（2种题型分类基础练+能力提升练）【夯实基础】题型一：基本不等式求最值1．已知0ab，1ab+=，则11ab+的最小值为（）A．0.5B．1C．2D．4【答案】D【详解】因为0ab，1ab+=，

所以112ababbaababab+++=+=++224baab+=（当且仅当baab=，即12ab==时取等号），即11ab+的最小值为4.2．已知0a，0b且2510ab+=，则ab的最大值为（）A．2B．5C．32D．52【答案】D【详

解】因为2510225abab+=，所以52ab，当且仅当5,12ab==时，等号成立.所以ab的最大值为52.3．已知0a，用基本不等式求19aa+的最小值时，有11929aaaa+，则

取得最小值时a的值为（）A．19B．16C．13D．3【答案】C【详解】因为0a，所以11929aaaa+，当且仅当19aa=，即13a=时，等号成立，即取得最小值．4．下列说法正确的为（）A．12xx+B．函数()22243xyx+=+的最小值为4C．若0,x则(2)

xx−最大值为1D．已知3a时，44233+−−aaaa，当且仅当43=−aa即4a=时，43+−aa取得最小值8【答案】C【详解】对于选项A,只有当0x时，才满足基本不等式的使用条件，则A不正确；对于选项B,(

)22243xyx+=+()222223122333xxxx++==++++，令()233xtt+=，即()223yttt=+在)3,+上单调递增，则最小值为min2832333y=+=,则B不正确；对于选项C,()()22(2)211111xxxxx−=−−++=−−+，则C正确；

对于选项D,当3a时，()444332337333aaaaaa+=−++−+=−−−，当且仅当433aa−=−时，即5a=，等号成立，则D不正确.5.已知1x，则x+11x−的最值为（）A．最小值2B．

最大值2C．最小值3D．最大值3【答案】C【详解】因为1x，故111121311xxxx+=−+++=−−，当且仅当2x=时取得最小值3；令1,0xtt−=，对函数11ytt=++，其在()0,1单调递减，在

()1,+单调递增，无最大值.故1x时，x+11x−无最大值.6.若不等式11kxyyzxz+−−−对满足条件的xyz恒成立，则实数k的最大值为（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【详解】解：根据2112aba

b++(0)ab，，当且仅当ab=时，取等号，化简可得114abab++，因为xyz，所以0xy−，0yz−，所以运用114abab++，可得114xyyzxz+−−−，当且仅当xyyz−=−，即2yxz=+时，取等号，又因为11kxy

yzxz+−−−恒成立，所以4k，即k的最大值是4．7．（2022·全国·益阳平高学校高一期末）已知ab，且8ab=，则222abab+−−的最小值是（）A．6B．8C．14D．16【答案】A【详解】因为8ab=，所以()222216ababababababab−++==−+−−−.因为

ab，所以0ab−，所以16162()8abababab−+−=−−，即28abab+−，当且仅当4ab−=时，等号成立，故222abab+−−的最小值是6.8．（多选）设正实数mn､满足2mn+=，则（

）A．12mn+的最小值为22B．mn+的最小值为2C．mn的最大值为1D．22mn+的最小值为2【答案】CD【详解】对于选项A，322121222mnnmmnmnmn+=++=++32232222mnnm++=，当且仅当2=mnnm且2mn+

=时，即222m=−，422n=−时取等号，则A错误；对于选项B，()2222mnmnmnmn+=++=+24mn++=,当且仅当1mn==时等号成立，则2mn+，即mn+的最大值为2，则B错误；对于选项C，2mnmn+，即212mnmn+=

，当且仅当1mn==时，等号成立，则C正确；对于选项D，()222242mnmnmnmn+=+−=−24222mn+−=，当且仅当1mn==时，等号成立，则D正确,9.（多选）已知x，y都为正数，且21xy+=，则（）A．2xy的最大值为14

B．224xy+的最小值为12C．()xxy+的最大值为14D．11xy+的最小值为322+【答案】ABD【详解】对于A，因为x，y都为正数，且21xy+=，所以221224xyxy+=，当且仅

当2xy=即14x=，12y=时取等号，所以2xy的最大值为14，所以A正确，对于B，因为21xy+=，所以()22242414xyxyxyxy+=+−=−，由选项A可知18xy，所以2214142xyxy+=−，当且仅当14x=，

12y=时取等号，所以224xy+的最小值为12，所以B正确，对于C，因为21xy+=，所以()2124xxyxxy+++=，当且仅当xxy=+，即12x=，0y=时取等号，但x，y都为正数，故等号取不到，所以C错

误，对于D，因为x，y都为正数，且21xy+=，所以()1111223322yxxyxyxyxy+=++=+++，当且仅当2yxxy=即即212x=−，21y=−时取等号，所以11xy+的最小值为322+，所以D正确，10．已知54x，则函数1445yxx=

+−的最大值为___________.【答案】3【详解】因为54x，所以450x−，540x−,()1144554545yxxxx=+=−++−−()()11545254535454xxxx=−−++−−+=−−当且仅

当15454xx−=−，即1x=时，等号成立.故当1x=时，y取最大值，即max3y=.11.函数()()32211fxxxx=+−−的最小值是___________.【答案】26【详解】由题设知10x−，则33()2(1)22(1)2611fxxxxx=−+−=−−，当且仅当6112

x=+时等号成立，故函数最小值为26.12．若“()0,x+，不等式1axx+恒成立”为真命题，则实数a的取值范围是______．【答案】(),2−【分析】根据基本不等式求出()0,x+，12xx+，根据不等式“()0,x+，不等式1axx+恒成立”可得

答案.【详解】由基本不等式可知()0,x+，1122xxxx+=（当且仅当x＝1时取“＝”），因为“()0,x+，不等式1axx+恒成立”，故2a,故答案为：(),2−13．已知0x，0y，且112xy+=，则2x

y+的最小值为_________【答案】322+【详解】因为112xy+=，所以11122xy+=，所以()11133221222222222xyxyxyxyxyyxyx+=++=++++=+，当且仅当2xyyx=，

即2122,24xy++==时，等号成立，14．（2022·陕西·长安一中高一阶段练习）函数()28(1)1xfxxx+=−的最小值为___．【答案】8【详解】因为1x，令10tx=−，则1xt=+，又因为

()28(1)1xfxxx+=−，可得()22(1)89922ttftttttt++++===++，因为9926tttt+=，当且仅当9tt=时，即3t=，即4x=时，等号成立，所以()min8ft=，即()fx的最小值为

8.15．当2x−时，函数2462++=+xxyx的最小值为___________．【答案】22【详解】因为2x−，则20x+，则()()22224622222xxxyxxxx++++===+++++()222222xx+=+，当且仅当22

x=−时，等号成立，所以，当2x−时，函数2462++=+xxyx的最小值为22.16．设02x，求函数()383yxx=−的最大值.【答案】4【详解】解:根据题意,设3(83),02txxx=−则23(8

3)924txxxx=−=−+,(02)x分析可得当43x=时,3(83)txx=−有最大值16,则此时3(83)yxx=−有最大值164=;故函数3(83)yxx=−的最大值为4.17求函数2254x

yx+=+的最值.【答案】最小值为52，无最大值【详解】解：22222254114444xxyxxxx+++===+++++，令24tx=+，则2t，因为对勾函数1ytt=+在)2,+上单调递增，当2t=时，取得最小值52.故2254xyx+=+的最小值为52，无最大值.题型二：利用基本

不等式求实际问题的最值18．（2022·全国·高一课时练习）某汽车客运站购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：万元）与营运年数x()*xN为二次函数关系，如图所示，则当每辆客车营运的年平均利润yx最大时，其营运年数为（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【详解】

由题意可设()26110yax=−+()0a，且当4x=时，70y=，即()27046110a=−+，解得10a=−，所以()2106110yx=−−+()*xN，所以()21061102510120xyxx

xx−−+==−++252012020xx−+=，当且仅当25xx=，即5x=时取等号．19.设计用232m的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m，则车厢的最大容积是（）A．（38－373)m3B．16m3C．4

2m3D．14m3【答案】B【详解】设长方体车厢的长为xm，高为hm，则222232xhxh+=＋，即216xhxh+=＋，∴16222xhxhxhxh=+++，即22160xhxh+−，解得022xh，∴08x

h．∴车厢的容积为3216()Vxhm=．当且仅当2xh=且216xhxh+=＋，即4,2xh==时等号成立．∴车厢容积的最大值为316m．选B．20．用一根长为12m的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架（不计损耗），要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的宽为______m．【答案】3

2【详解】设框架的宽为x，则其高为62x−，要使这个窗户通过的阳光最充足，只要窗户的面积S最大，()()()2396223222xxSxxxx+−=−=−=，当且仅当3xx=−，即32x=时等号成立，故框架的宽为32m．故答案为：3221

．某校为了美化校园环境，计划在学校空地建设一个面积为224m的长方形草坪，如图所示，花草坪中间设计一个矩形ABCD种植花卉，矩形ABCD上下各留1m，左右各留1.5米的空间种植草坪，设花草坪长度为x（单位：m），宽度为y（

单位：m），矩形ABCD的面积为s（单位：2m）(1)试用x，y表示s；(2)求s的最大值，并求出此时x，y的值．【答案】(1)()()32sxy=−−(2)s的最大值为26m，此时6x=，4y=．（1）由题意可得,矩形ABCD长为(x-3)m,宽为(y-2)m,故()()32sxy=−−.（

2）∵24xy=，∴()()322362666sxyxyxyxyxy=−−=−−+−+=（当且仅当23xy=,即6x=，4y=时取等号）.故s的最大值为26m,此时6x=，4y=.【能力提升】1．（2022秋·江苏徐州·高一校考阶段练习）设正实数,,xyz满足22-3+4-=0xx

yyz，则当xyz取得最大值时，212+-xyz的最大值为（）A．9B．1C．94D．3【答案】B【详解】22340xxyyz−+−=，2234zxxyy=−+，又,,xyz均为正实数，2211===143+44+323xyxyxyzxxyyxyyxyx

−−−（当且仅当2xy=时取"=")，max1xyz=，此时2xy=.2222234(2)3242zxxyyyyyyy=−+=−+=，222121111111xyzyyyy+−=+−=−−+，当且仅当=1y时取得"="，满足题意.212xyz+−的最大值

为1.2．（多选）已知0x，0y，且30xyxy++−=，则（）A．xy的取值范围是1,9B．xy+的取值范围是)2,+C．4xy+的最小值是3D．2xy+的最小值是423−【答案】BD【详解】对于A，因为0x，0y，所以2xyxy+，当且仅当xy=时取等号，即32xyx

y−≥，解得01xy，即01xy，A错误；对于B,由0x，0y,()232xyxyxy+−+=，当且仅当xy=时取等号，得()()24120xyxy+++−，所以2xy+,B正确；对于C,由0x，0y，30xyxy++−=，得34111yxyy−+==−+++，

则()4441441511xyyyyy+=−++=++−++()4241531yy+−=+，当且仅当()4411yy=++，即0y=时等号成立,但0y，所以43xy+．（等号取不到）,故C错误；对于D，由C的分析知：0x，0y,411xy=−++,()442122134231

1xyyyyy+=−++=++−−++，当且仅当()4211yy=++，即21y=−时等号成立，D正确，故选：BD3.（多选）下列结论中，正确的结论有（）．A．如果01x，那么()43xx−取得最大值时x的值为23B．如果0x，0

y，39xyxy++=，那么3xy+的最小值为6C．函数()2254xfxx+=+的最小值为2D．如果0a，0b，且11121abb+=++，那么2+ab的最小值为2【答案】AB【详解】解：对于A.如果01x，那么()22433433yxxx=−−+=−，

当23x=时取得最大值，故正确；对于B.如果0x，0y，39xyxy++=则21393332xyxyxyxy+=++++整理得()()231231080xyxy+++−，所以36xy+或

318xy+−（舍去），当且仅当1,3yx==时取得最小值，故正确；对于C.函数()2222514244xfxxxx+==++++，当且仅当241x+=此时x无解，不能取得最小值2，故错误；对于D.如果0a，0b，且11121

abb+=++，那么()()112(24)23(1)3122abababb+=+=+++−()()111313(1)2323(1)1322122212bababbabbabb++=++++−=+

++−++++13(1)2112322122bababb+++=+++当且仅当23(1)abb+=+即313,323ab=+=时取得最小值，故错误.故选：AB4．（多选）（2023秋·河北石家庄·高

一统考期末）已知正数x、y，满足2xy+=，则下列说法正确的是（）A．xy的最大值为1B．xy+的最大值为2C．21xy+的最小值为22D．2211xyxy+++的最小值为1【答案】ABD【详解】对于A，因为0,0,2xyxy+=，

所以22xyxy=+，则1xy，当且仅当xy=且2xy+=，即1xy==时，等号成立，所以xy的最大值为1，故A正确；对于B，因为()2222222()2()0ababababab+−+=+−=−

，所以()222()2abab++，当且仅当ab=时，等号成立，所以()222()2()()24xyxyxy++=+=，则2xy+，当且仅当xy=且2xy+=，即1xy==时，等号成立，所以x

y+的最大值为2，故B正确；对于C，22112123()3132222212yxyxxyxyyyxyxx++=+=+++=+，当且仅当2yxxy=且2xy+=，即422,222xy=−=−

时等号成立，所以21xy+的最小值为322+，故C错误；对于D，令1sx=+，1ty=+，则1xs=−，1yt=−，24stxy+=++=，0,0st，所以()()22221111112211stxystxyststst−−+=+

=−++−+=+++()111112221444tstsstststst=++=+++=，当且仅当st=且4st+=，即2st==，即1xy==时，等号成立，所以2211xyxy+++的最小值为1，故D正确.故选：ABD.5．（多选）（2023秋

·吉林通化·高一梅河口市第五中学校考期末）下列关于基本不等式的说法正确的是（）A．若103x，则()13xx−的最大值为112B．函数()23311xxyxx++=−+的最小值为2C．已知1xy+=，0x，0y，则121xxy++的最小值为54D．若正

数x，y满足220xxy+−=，则3xy+的最小值是3【答案】AC【详解】因为103x，所以130x−，()2113131133(13)33212xxxxxx+−−=−=，当且仅当313

xx=−即16x=时，等号成立，故A正确；函数2233(1)21112131+11xxxxyxxxx+++++===++++=++，当且仅当111xx+=+，即2x=−时，等号成立，故B错误；因为1xy+=，0x

，0y，所以11211522122442444xxyxxyxxyxxyxxy+++=+=+++=+++，当且仅当242xyxxxy+=+，即21,33xy==时，等号成立，故C正确；由220xxy+−=可得2xyx+=，22322224xyxxyxxxx+=++=+=，当且

仅当22xx=，即1x=时等号成立，故D错误.6．（多选）（2023春·湖北武汉·高一武汉实验外国语学校期末）已知0a，0b，下列命题中正确的是（）A．若20abab−−=，则28ab+B．若2ab+=，则45bab+C．若

1ab+=，则24123ab+++D．若111123ab+=++，则1466abab+++【答案】ACD【详解】对于A，因为20abab−−=，所以2abab=+，因为0a，0b，所以222ababab=

+，当且仅当2ab=时取等号，所以()28abab，所以8ab，当且仅当24ab==时取等号，所以28ab+，当且仅当24ab==时取等号，所以A正确，对于B，因为2ab+=，所以2ba=−，所以424241241()12baababababab−+=+=+−=++−1

42612abba=++−22222222ababbaba=+++=+，当且仅当2abba=，即222,422ab=−=−取等号，所以B错误，对于C，由1ab+=，0a，0b，由柯

西不等式得()()222412211abab+++=+++()21(21)12ab++++=，所以24123ab+++，当且仅当2112ab++=，即21,33ab==时取等号，所以C正确，对于D，由111123ab+=++，得3(2)3(1)(1

)(2)baab+++=++，化简得27abab=++，所以271bab+=−，因为0a，0b，所以1b，所以414237371babababbb+++=++=++−183(1)141bb=−++−1823(1)1466141bb−+=+−，当

且仅当183(1)1bb−=−，即61b=+时取等号，所以1466abab+++，所以D正确，故选：ACD7．（多选）（2023秋·湖北武汉·高一武汉实验外国语学校期末）设正数,ab满足1ab+=，则有（）A．14abB

．3314ab+C．14845bab++D．221124abba+++【答案】ACD【详解】对于A，由基本不等式推论有()2144abab+=，当且仅当12ab==取等号.故A正确.对于B，()()()2332

2313ababababababab+=++−=+−=−，由A分析可知1144abab−−，则331134abab+=−，当且仅当12ab==取等号.故B正确.对于C，()141445454111abbaababababab++

=−+=+−=++−5454828845babaabab=+++=+，当且仅当2245ab=，即254525，ba=−=−时取等号.故C正确.对于D，()()()()22222211122349612121212babaabbababab

a−−+−+−+=+=+=+−++++++++()()()42911491126136412412abbababa++=++++−=++−++++()()42911113264124a

bba+++−=++，当且仅当()()224291ab+=+，即3255，ba==时取等号.故D正确.8．不等式20axbxc++的解集为R，则2222bac+的最大值为____________.【答案】2【详解】当0a=时，即不等式0bxc+的解集为R，则0b=，0c，

要使得2222bac+有意义，此时0c，则22202bac=+；当0a时，若不等式20axbxc++的解集为R，则20Δ40abac=−，即204abac，所以，22222422bacacac

++，因为24bac，则0ac，当0c=时，则0b=，此时22202bac=+；当0c时，则0ac，令0cta=，则2224444212121222actacttttt===+++，当且仅当242bacca

ac==时，等号成立.综上所述，2222bac+的最大值为2.9.已知a，bR+且1ab+=，那么下列不等式：①14ab；②1174abab+；③2ab+；④114ab+中，正确的序号是________．【答案】①②④【详解】解：对于①:a，bR+，1ab+=，21()2

4abab+=„（当且仅当12ab==时取得等号），所以①正确；对于②：由①有104ab„，设1yxx=+，则1yxx=+在10,4上单调递减．所以1117444abab++=…，所以②正确；对于③：2()22abababa

bab+=+++++=„（当且仅当12ab==时取得等号），2ab+„．所以③错误．对于④：()11112224abaabaabbabbab+=++=+++=（当且仅当baab=，即12ab==时等号成立），所以④正确．10.已知0x，0y，若不等式132mxyxy+

+恒成立，则m的最大值是______.【答案】526+【详解】0x>，0y，不等式132mxyxy++…恒成立，()(21)3mxyxy++„恒成立，又1366()(2)552526yxyxxyxyxyxy++=+++=+…当且仅当6yxxy

=即6yx=时取等号，()(123)xyxy++的最小值为526+，所以526m+„，即m的最大值为526+，11．已知0a，0b，且1ab=，则111abab+++的最小值为__________.【答案】52【详解】由题意，1111

1ababababababab+++=+=+++++，因为22abab+=，令()2tabt=+，1ytt=+，由对勾函数性质可知，当2t=时，y有最小值52，当且仅当1ab==时取到，故111abab+++的最小值为52.12．已知0x，0y，且2183xyxy+++，则2xyx

y+的最大值为____．【答案】16【详解】由0x，0y2183xyxy+++，得2183xyxy++−，即2212121(8)()()3()xyxyxyxy+++−+又2116(8)()

101021618yxxyxyxy++=+++=，当且仅当16yxxy=，即4xy=时，取等，故22121()3()18xyxy+−+，解得216xy+或213xy+−（舍）故111226xyxyyx=++，即2xyxy

+的最大值为16，13.若正实数,,abc满足22,2abababcabc=+=++，则c的最大值为________.【答案】4【详解】因为2abcabc=++，2=2abab+所以21abcab+=−2ab=1ab−，又22abab=+且222abab+，所以222abab

，解得2ab，c=2ab1ab−=211ab−结合2ab知，c有最大值4.14.若实数,xy满足2221xxyy+−=，则222522xyxxyy−−+的最大值为________.【答案】24【详解】

由2221xxyy+−=，得(2)()1xyxy−+=，设12,xytxyt−=+=，其中0t.则1121,3333xtyttt=+=−，从而2222112,522xytxxyyttt−=−−+=+，记1utt=−，则22225222xyu

xxyyu−=−++，不妨设0u，则1122422uuuu=+,当且仅当2uu=，即2u=时取等号，即最大值为24.15．（2023春·浙江杭州·高一校考期中）已知0,0xy，若1xy+=，则313213xyy+++的最小值是.【答案】85【详解】设()()32

13xykxyy++=+++，由对应系数相等得13123k==+=，得1319k===所以()()1113213939xyxyy++=+++整理得()()31132131010xyy=+++即()()()119613

10xyy=+++所以()()()3113196133213103213xyyxyyxyy+=++++++++()313196811032135yxyxyy++=++++….经验证当12xy==时，等号可取到.

16．（2023秋·山东临沂·高一山东省临沂第一中学校考期末）已知11,23ab，127ab+=，则312131ab+−−的最小值.【答案】20【详解】令11,2131xyab==−−，则1226711xya

bxy+=+=++，去分母化简得：57xyxy−−=，所以(1)(5)12xy−−=，所以3133(1)(5)823(1)(5)8202131xyxyxyab+=+=−+−+−−+=−−，当且仅当24,311ab==时，等号成立．17．（2023春·云南昆明·高一

云南省昆明市第五中学校考开学考试）已知0,0xy，则222224xyxyxyxy+++的最大值是.【答案】223【详解】222222144xyxyxyxyxyxyyxyx+=+++++，设(0)xtty=，所以原式=322422223()2123(

2)41441545tttttttttttttttt+++=+==++++++++，令2(0),22.uttut=+所以原式=233332211132224229uuuu===+++.18．（2023秋·山东枣庄·高一统考期末）已知0,0xy且111211xy+=++，则xy

+的最小值为.【答案】2【详解】解：令21ax=+，1by=+，因为0,0xy，所以1,1ab，则12ax−=，1yb=−，所以111ab+=,所以13113122222aaaxybbbab−+=+−=+−=

++−1312222222bababaababab=+++−=+=，当且仅当2111baabab=+=，即222b+=，21a=+，即22xy==时取“=”，所以xy+的最小值为2.19．（20

21秋·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考阶段练习）已知x，y∈R，且满足4x+y+2xy+1=0，则x2+y2+x+4y的最小值是.【答案】134−【详解】因为4x+y+2xy+1=0，则4x+y+2xy+2=1，即

()()2121xy++=令21,2xmyn+=+=，所以1mn=所以x2+y2+x+4y()2222111172482244mmnnmn−−=+−++−=+−由均值不等式22114mnmn+=，当且仅当1222mn==取等号所以x2+y2+x+4y的最小值为1713144−=−.2

0．（2021秋·江苏南京·高一南京市第十三中学校考期末）若实数,xy满足2221xxyy+−=，则222522xyxxyy−−+的最大值为.【答案】24【详解】由2221xxyy+−=，得(2)()1xyxy−+=，设12,xytxyt−=+=，其中0

t.则1121,3333xtyttt=+=−，从而2222112,522xytxxyyttt−=−−+=+，记1utt=−，则22225222xyuxxyyu−=−++，不妨设0u，则1122422uu

uu=+,当且仅当2uu=，即2u=时取等号，即最大值为24.21．（2022秋·江苏常州·高一常州市第一中学校考期中）已知a，b均为正数，且20abab−−=，则22214abab−+−的最小值为．【答案】7【详解】∵

a，b均为正数，且ab﹣a﹣2b=0，∴21ab+=1．则22214abab−+−=24a+b2﹣1．2a+b=212abab++=22baab++2≥2+2=4，当且仅当a=4，b=2时取等号．∴（24a+b2）（1+1）≥2()2ab+≥16，当且仅当a=4，b

=2时取等号．∴24a+b2≥8，∴22214abab−+−=24a+b2﹣1≥7．22．（2021·全国·高一课时练习）若对任意实数x，不等式223221xxkxx++++恒成立，求实数k的取值范围．【答案】2k【详解】令()()2222231132213111xxxxxxfxxxxxxx+

+−−+++===−++++++当1x=−时，()13f−=当1x−时，()()2113311111xfxxxxx+=−=−++++−+()1111211xxxx++=++++，当且仅当11x+=时等号成立()1121xx++−+或()1121xx+++即()11131xx++−−

+或()11111xx++−+()11013111xx−++−+或()1011111xx++−+()11013111xx−++−+或()1101111xx−−++−+())11032,3

3,13111xx−++−+综合得()211032,13xfxxx+=−++因为不等式223221xxkxx++++恒成立，则22min3221xxkxx++++2k.23.

（1）已知a，b，c均为正实数，求证：()2222222abbccaabc+++++++．（2）已知x，y，z是互不相等的正数，且1xyz++=，求证：1111118xyz−−−．【详解】（1）因为222abab+，当且仅当a

b=时等号成立，所以()()2222222abaabbab+++=+，所以()2222abab++，所以222abab++．①同理222bcbc++②，222caca++③．①＋②＋③，得()22222222222a

bcabbccaabc+++++++=++，当且仅当abc==时等号成立．（2）因为1xyz++=，x，y，z是正实数，所以2211121118yzxyyzxzxyxzxyzxyzxyz+++

−−−==，当且仅当13xyz===时等号成立．又x，y，z互不相等，所以1111118xyz−−−．24.若对任意的1,5x，对任意的)4,a+，不等式2axbx++恒成

立，求−ab的最大值.【答案】33【详解】设()afxxbx=++，当45a时，()()15ff，可得()fx的最小值为()2faab=+，最大值为55ab++，由题意可得22ab+，即为22ba−，则22325abaa−+−+；当

525a时，()()15ff，可得()fx的最小值为()2faab=+，最大值为1ab++，由题意可得22ab+，即为22ba−，则222510233abaa−+−+−=．当5a即25a

时，()fx在1,5递减，可得()fx的最大值为()11fab=++，最小值为55ab++，由题意可得525ab++，即为35ab−−，则63355aaaba−++=+，由25a，可得−ab无最大值．综上可得−ab的最大值为33．25．（202

3春·江西九江·高一校考期中）（1）已知0＜x＜12，求y＝12x(1－2x)的最大值．（2）已知x＜3，求f(x)＝43x−＋x的最大值．（3）已知x，y∈R＋，且x＋y＝4，求1x＋3y的最小值；【答案】（1）116；（2）-1；（3）312+.【详解】（1）因为102x，所以12

0x−，所以()()221211121244216xxyxx+−=−=，当且仅当12124xxx=−=时取“=”.则函数的最大值为116.（2）因为x＜3，所以30x−，所以()()()4433233133fxxxxx=−+−+−

−+=−−−，当且仅当4313xxx=−=−时取“=”.则函数的最大值为-1.（3）因为x，y∈R＋，且x＋y＝4，所以()313131334421444211xxxyyyyyyxxxyx++

=+=++=++，当且仅当()()32312334yxxxyyxy=−==−+=时取“=”.则函数的最小值为312+.26．（2022秋·浙江金华·高一浙江金华第一中学校考开学考试）若实数a使得对任意实数1234,,,xxxx

不等式：()22221234122334xxxxaxxxxxx+++++恒成立，试求a的最大值.【答案】51−【详解】因为()20ab−，故2220aabb−+，即222abab+，当且仅当ab=时取等号.设()01kk为待定常

数，则：22222341xxxx+++()()()()2222221223341xkxkxxkxx=++−+++()1223342212kxxkxxkxx+−+，令()221kk=−，即210kk+−=，解得512k−=，从而352k−=，代入不等式可得：()()2222123412233451

xxxxxxxxxx+++−++对任意实数1234xxxx、、、都成立，当且仅当1423515122xxxx−−===时取等号.另一方面，取14512xx−==，231xx==，代入()22221234122334xxxxaxxxxxx+++++，得55551aa−−.综上，max51a

=−.