【文档说明】高一数学人教A版2019必修第一册同步备课试题 2.2 基本不等式（第1课时） Word版含解析.docx，共(16)页，1.465 MB，由管理员店铺上传

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2.2基本不等式（第1课时）（3种题型分类基础练+能力提升练）【夯实基础】题型一：利用基本不等式比较大小1.若0ab，则下列不等式成立的是（）A．2ababab+B．2abaabb+C．2ababab+D．2abaabb+【答案】B【详解】因为0ab，则

02abab+，又22ababbb+=，所以2abaabb+.2．若实数a，b满足0ab，且1ab+=.则下列四个数中最大的是（）A．12B．22ab+C．2abD．a【答案】B【详解】由题知：0ab，且1ab+=，所以102a，112b，故排除

D.因为()222122abab++=，故排除A.因为222abab+，故排除C.3.若0ab，有下面四个不等式：（1）22ab；（2）2baab+，（3）abab+，（4）33ab.则不正确的不等式的个数是（）A．0B．1C．2D．3

【答案】C【详解】因为0ab，所以22ab，33ab成立，所以（1）不正确，（4）不正确；因为0abab+，所以（3）正确；,aabb都大于0且不等于1，由基本不等式可知（2）正确．4.（多选）已知0,0ab，且4ab+=.则下列不等式

恒成立的是（）A．228ab+B．2abC．114abD．111ab+【答案】AC【详解】当1,3ab==时，112,1abab+，所以BD选项错误.A，()22282abab++=，当且仅当2ab==时，等号成立，A正确.C，2042abab+=，114a

b，当且仅当2ab==时，等号成立，C正确.5.（多选）已知0ab，Rc，则下列不等式成立的是（）A．acbc−−B．acbcC．11abD．2abab+【答案】ACD【详解】对于A，因为0ab，Rc，所以acbc−−，所以A正

确；对于B，由0ab，当0c时，acbc，所以B不正确；对于C，因为0ab，Rc，所以110baabab−−=，故11ab，所以C正确；对于D，因为0ab，所以均值不等式得2abab+，所以D正确；题型二：利用基本不等式求最值6．函数4(0)yx

xx=+的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【详解】解：因为0x，所以4424yxxxx=+=，当且仅当4xx=，即2x=时取等号；7．已知正数xy，满足4xy+=，则xy的最大值（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【详解】因为正数xy，满足4xy+

=，所以有4224xyxyxyxy=+，当且仅当2xy==时取等号，8.若1x，则函数221xyxx+=+−的最小值为（）A．4B．5C．7D．9【答案】C【详解】解：因为1x，所以10x−，所以()2142211xxyxxxx−++=+=+−−()()

4442132137111xxxxxx=++=−++−+=−−−，当且仅当()411xx−=−，即3x=时取等号，所以函数221xyxx+=+−的最小值为7；9.已知x，y都是正数，若2xy+=，则14xy+的最小值为（）A．74B．92C．134D．

1【答案】B【详解】因为2xy+=，所以1414141422xyyxxyxyxy++=+=+++．因为x，y都是正数，由基本不等式有：4424yxyxxyxy+=，所以141491422yxxyxy+=+++

，当且仅当2,?2,yxxy=+=即2,343xy==时取“＝”．故A，C，D错误.10．若2x−，则()12fxxx=++的最小值为___________.【答案】0【详解】由2x−，得

12002xx++，，所以111()222(2)20221fxxxxxxx=+=++−+−=+++，当且仅当122xx+=+即1x=−时等号成立.11．已知点(,)ab在直线1xy+=上，当0,0ab时，12ab+的最小值

为______．【答案】322+【详解】因为点(,)ab在1xy+=上，所以1ab+=.所以12122()()3322ababababba+=++=+++，当且仅当2abba=时等号成立.12．若函数()(0,0)fxaxbab=+在区间[1,2]上的最小值为3，则ab的最大值为_____

___．【答案】94【详解】()(0,0)fxaxbab=+单调递增，所以在区间[1，2]上()()min13fxfab==+=，所以2239224abab+==，因为0,0ab，所以当且仅当3

2ab==时，等号成立.13．已知x，0y，且满足2xy+=，则xyxy++的最大值为__________.【答案】3【详解】因为x，0y，且满足2xy+=，则22()232xyxyxyxy+++=++=„当且仅当1xy==时取等号，所以xyxy++的最大

值为3.14.已知0a，0b，若2ab+=，求1411+++ab的最小值．【答案】94．【详解】因为0a，0b，所以10a+，10+b．又2ab+=，所以114ab+++=，()()141141111411ababab+=++++++++()41115

411abab++=++++()41119524114abab+++=++当且仅当()411112ababab++=+++=，即1353ab==时取等号，所以1411+++ab的

最小值为94．15.（1）已知1x，求1411xx++−的最小值；（2）已知01x，求()43xx−的最大值．【答案】（1）9；（2）43．【详解】（1）因为1x，所以10x−，所以()()1114141524159111xxxxxx++=−++−+=−−−，当且仅当

()1411xx−=−，即32x=时取等号，所以1411xx++−的最小值为9．（2）因为01x，所以()()()2113434433433323xxxxxx+−−=−=，当且仅当3

43xx=−，即23x=时取等号，故()43xx−的最大值为43．题型三：利用基本不等式证明不等式16．利用基本不等式证明：已知,,abc都是正数，求证：()()()8abbccaabc+++【详解】,,abc都是正数，20abab+（当且仅当ab=时取等号）；2

0bcbc+（当且仅当bc=时取等号）；20caca+（当且仅当ca=时取等号）；()()()2228abbccaabbccaabc+++=（当且仅当abc==时取等号），即()()()8abbccaabc+++.17．已知000abc，，，求证222abc

abbcca++++.【详解】∵222abab+…，①222bcbc+…，②222caac+…，③①+②+③得；222222222abcabbcac++++….∴222abcabbcca++++…(当且仅当abc==等号成立).18．证明：

（1）22111xx++；（2）22322xx++.【详解】（1）()222222111121111111xxxxxx+=+−+−+++=+，当且仅当211x+=时，即0x=时，等号成立.（2）2222222232111222222

22xxxxxxxx+++==+++=++++，当且仅当22122xx+=+时取等号，此时21x=−，显然x的值不存在，所以等号不成立，所以22322xx++.【能力提升】一、单选题1．若0x，则124xx+−有（）A．最小值1−B．最小值3−C．最大值1

−D．最大值3−【答案】D【详解】因为0x，所以11122223444xxxxxx+−=−−+−−−−=−−−，当且仅当14xx−=−，即12x=−时等号成立，故124xx+−有最大值3−．2．在商丘一高新校区某办公室有一台质量有问题的坏天平，某物理老师欲修好此天平，经仔细检

查发现天平两臂长不等，其余均精确，有老师要用它称物体的质量，他将物体放在左、右托盘各称一次，取两次称重结果分别为a，b，设物体的真实质量为G，则()A．2abG+=B．2abG+C．2abG+D．abG+

【答案】C【详解】设天平的左、右臂长分别为1l，2l，物体放在左、右托盘称得的质量分别为a，b，真实质量为G，由杠杆平衡原理知：12lGla=，21lGlb=，由上式得2Gab=，即Gab=，由于12ll，故ab¹，由基本

不等式，得2ababG+=.3．若a，b，c均为正实数，则三个数1ab+，1bc+，1ca+（）A．都不大于2B．都不小于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2【答案】D【详解】解：A.都不大于2，结论不一定成立，如2,3,4abc===时，三个数1ab

+，1bc+，1ca+都大于2，所以选项A错误；B.都不小于2，即都大于等于2，不一定成立，如1,2,ab==则12ab+，所以选项B错误；C.至少有一个不大于2，不一定成立，因为它们有可能都大于2，如2,3,4abc===时，三个数

1ab+，1bc+，1ca+都大于2，所以选项C错误.由题意，∵a，b，c均为正实数，∴1111112226abcabcbcaabc+++++=+++++++=．当且仅当abc==时，取“=”号，若12ab+

，12ba+，12cc+，则结论不成立，∴1ab+，1bc+，1ca+至少有一个不小于2，所以选项D正确；4．若正实数,ab满足1ab+=，则（）A．ab有最大值14B．11ab+有最大值4C．ab有最小值14

D．11ab+有最小值2【答案】A【详解】因为正实数,ab满足1ab+=所以2124abab+=，当且仅当1ab+=，ab=，即12ab==取等号，故A正确、C错误．2111142+==+ababab，当且仅当1ab

+=，ab=，即12ab==取等号，故B、D错误．故选：A5．若2a，3b，则2223abab+−−的最小值是（）A．16B．18C．20D．22【答案】C【详解】因为2a，3b，所以2222449

9492310232323abababababab−+−++=+=−++−++−−−−−−()()492223102023abab−+−++=−−(当且仅当4,6ab==时，等号成立)，所以2223abab+−−的最小值是20.二、多选题6

．（2023秋·河北石家庄·高一统考期末）已知正数x、y，满足2xy+=，则下列说法正确的是（）A．xy的最大值为1B．xy+的最大值为2C．21xy+的最小值为22D．2211xyxy+++的最小值为1【答案】ABD【详解】对于A，因为0,0,2xy

xy+=，所以22xyxy=+，则1xy，当且仅当xy=且2xy+=，即1xy==时，等号成立，所以xy的最大值为1，故A正确；对于B，因为()2222222()2()0ababababab+−+=+−

=−，所以()222()2abab++，当且仅当ab=时，等号成立，所以()222()2()()24xyxyxy++=+=，则2xy+，当且仅当xy=且2xy+=，即1xy==时，等号成立，所以xy+的最大值为2，故B正确；对于C，2

2112123()3132222212yxyxxyxyyyxyxx++=+=+++=+，当且仅当2yxxy=且2xy+=，即422,222xy=−=−时等号成立，所以21xy+的最小值为322+，故C错误；对于D，令1sx=+，1ty=+，则

1xs=−，1yt=−，24stxy+=++=，0,0st，所以()()22221111112211stxystxyststst−−+=+=−++−+=+++()111112221444tstsstststst=++=+++=，当且仅当

st=且4st+=，即2st==，即1xy==时，等号成立，所以2211xyxy+++的最小值为1，故D正确.故选：ABD.7．（2023秋·吉林通化·高一梅河口市第五中学校考期末）下列关于基本不等式的说法正确的是（）A．若1

03x，则()13xx−的最大值为112B．函数()23311xxyxx++=−+的最小值为2C．已知1xy+=，0x，0y，则121xxy++的最小值为54D．若正数x，y满足220xxy+−=，则3xy+的最小值是3【答案】AC【详解】因为103x，所以

130x−，()2113131133(13)33212xxxxxx+−−=−=，当且仅当313xx=−即16x=时，等号成立，故A正确；函数2233(1)21112131+11xxxxyxxxx+++++===++++

=++，当且仅当111xx+=+，即2x=−时，等号成立，故B错误；因为1xy+=，0x，0y，所以11211522122442444xxyxxyxxyxxyxxy+++=+=+++=+++，当且仅当242xyxxxy+=+，即21,33xy

==时，等号成立，故C正确；由220xxy+−=可得2xyx+=，22322224xyxxyxxxx+=++=+=，当且仅当22xx=，即1x=时等号成立，故D错误.8．（2023秋·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）设正数,ab满足1ab+=，则有（）A．14

abB．3314ab+C．14845bab++D．221124abba+++【答案】ACD【详解】对于A，由基本不等式推论有()2144abab+=，当且仅当12ab==取等号.故A正确.对于B，()(

)()23322313ababababababab+=++−=+−=−，由A分析可知1144abab−−，则331134abab+=−，当且仅当12ab==取等号.故B正确.对于C，()141445454111abbaababababab++=−+=+−=++−

5454828845babaabab=+++=+，当且仅当2245ab=，即254525，ba=−=−时取等号.故C正确.对于D，()()()()22222211122349612121212

babaabbabababa−−+−+−+=+=+=+−++++++++()()()42911491126136412412abbababa++=++++−=++−++++()()429111132

64124abba+++−=++，当且仅当()()224291ab+=+，即3255，ba==时取等号.故D正确.三、填空题9．（2023春·浙江杭州·高一校考期中）已知0,0xy，若1xy+=，则3

13213xyy+++的最小值是.【答案】85【详解】设()()3213xykxyy++=+++，由对应系数相等得13123k==+=，得1319k===所以()()1113213939xyxyy++=+++整理得()()31132

131010xyy=+++即()()()11961310xyy=+++所以()()()3113196133213103213xyyxyyxyy+=++++++++()313196811032135yxyxyy++=++++….经验证当12xy==

时，等号可取到.10．（2023秋高一山东省临沂第一中学校考期末）已知11,23ab，127ab+=，则312131ab+−−的最小值.【答案】20【详解】令11,2131xyab==−−，则1226711xyabxy+=+=++，去分母化简得：57xyxy−−=，

所以(1)(5)12xy−−=，所以3133(1)(5)823(1)(5)8202131xyxyxyab+=+=−+−+−−+=−−，当且仅当24,311ab==时，等号成立．11．（2023秋·山东枣庄

·高一统考期末）已知0,0xy且111211xy+=++，则xy+的最小值为.【答案】2【详解】解：令21ax=+，1by=+，因为0,0xy，所以1,1ab，则12ax−=，1yb=−，所以111ab+=,所以13113122222aaaxybbba

b−+=+−=+−=++−1312222222bababaababab=+++−=+=，当且仅当2111baabab=+=，即222b+=，21a=+，即22x

y==时取“=”，所以xy+的最小值为2.12．若aR，0b，3ab+=，则当=a______时，1||3||aab+取得最小值．【答案】32−【详解】解：因为3ab+=，0b，所以30ba=−，即3a．当0<<3a时，111723||999999aabababaabababab

++=+=+++=，当且仅当34a=时取等号，所以当34a=时，13aab+取得最小值79；当0a时，1112399999aabababaabababab+−+=−−=−−−−+−59=，当且仅当32a=−时取等号，所以当32a=−时，13aab

+取得最小值59．综上所述，当32a=−时，13aab+取得最小值．13．已知0a，0b，且122243ab+=+−，则2ab+的最小值为________.【答案】12【详解】∵0a，0b，且

122243ab+=+−，∴31222(2)(4)2(2)(4)224abababab+=++−=++−++−()344(2)3444122242baab−+=+++=+−，当且仅当44(2)24

baab−+=+−，即14a=，172b=时取等号，故2ab+的最小值为12．四、解答题14．（2023春·江西九江·高一校考期中）（1）已知0＜x＜12，求y＝12x(1－2x)的最大值．（2）已知x＜3，求f(x)＝43x−＋x的最大值．（3

）已知x，y∈R＋，且x＋y＝4，求1x＋3y的最小值；【答案】（1）116；（2）-1；（3）312+.【详解】（1）因为102x，所以120x−，所以()()221211121244216xxyx

x+−=−=，当且仅当12124xxx=−=时取“=”.则函数的最大值为116.（2）因为x＜3，所以30x−，所以()()()4433233133fxxxxx=−+−+−

−+=−−−，当且仅当4313xxx=−=−时取“=”.则函数的最大值为-1.（3）因为x，y∈R＋，且x＋y＝4，所以()313131334421444211xxxyyyyyyxxxyx++=+=++=+

+，当且仅当()()32312334yxxxyyxy=−==−+=时取“=”.则函数的最小值为312+.15．已知,,abc均为正实数．(1)求证：233223323bcaacbabcabc+−+−+−++．(2)若3abc++=，证明：11132abb

cca+++++．证明.（1）因为,,abc均为正实数，所以222baab+（当且仅当2ab=时等号成立），323caac+（当且仅当3ac=时等号成立），32223cbbc+（当且仅当23bc=时等号成立），以上三

式相加，得233262323bacacbabacbc+++++（当且仅当23abc==时等号成立），所以233211132323bacacbabacbc+−

++−++−（当且仅当23abc==时等号成立），即233223323bcaacbabcabc+−+−+−++（当且仅当23abc==时等号成立）．（2）由题可得()()()6abbcca+++++=，则左边()()()

()()()()()()16abbccaabbccaabbccaabbcca+++++++++++++++=+++++136abbcabbcbcabcaacabcabcca++=++++++++++++++++13322262bcabcaabc

abcabbcabcabcca+++++++++=++++++，当且仅当bcababbc++=++，caababca++=++，cabcbcca++=++，3abc++=，即1abc===时取“＝”．故11132abbcca+++++成立．16．已知a，b，c均为正

实数，求证：(1)abcabbcac++++；(2)()2222222abbccaabc+++++++．（1）证明：左边()()()()1122222abbcacabbcacabbcac=+++++++=++，当且仅当abc==时取“＝”．

故abcabbcac++++．（2）证明：因为222abab+，当且仅当ab=时取“＝”，所以()()2222222abaabbab+++=+，所以()2222abab++，所以222abab++，①同理222bcbc++，当且仅当bc=时取取“

＝”，②222caca++，当且仅当ac=时取“＝”．③①+②+③，得()22222222222abcabbccaabc+++++++=++，当且仅当abc==时等号成立．17．已知x、y、z都是正数．(1)求证：0xyyzzxyzzxxy−−−++；(2)若()222112

2xymmyxxy+−−+恒成立，求实数m的取值范围．(1)证明：要证0xyyzzxyzzxxy−−−++，左右两边同乘以xyz可知即证2220xxyyyzzxz−+−+−，即证222xyzx

yyzxz++++．因为x、y、z都是正数，由基本不等式可知222xyxy+，222yzyz+，222xzxz+，当且仅当xyz==时，以上三式等号成立，将上述三个不等式两边分别相加并除以2，得222xy

zxyyzxz++++．所以，原不等式得证．(2)解：()()33222222112222xyxyxxyymmmmyxxyxyxyxy+−++−−+−−=+，因为221211xxyyxyxyxyyxyx−+=+

−−=，当且仅当xy=时等号成立，所以，2221mm−−，即2230mm−−，解得13m−≤≤，故实数m的取值范围为13m−≤≤．18．（1）0ab，比较()bab−与24a的大小；（2）已知0

ab，求代数式225()abab+−的最小值及取最小值时,ab的值.【详解】（1）0ab，0ab−，22()()24bababab+−−=，当且仅当bab=−，即2ba=时，等号成立.所以2()4abab−.（2）由（1）知20()4

abab−，214()baba−2222225100100220()aaababaa++=−，当且仅当22100aa=时取等号，显然要使22520()abab+=−成立，需满足221000ba

baaa=−=，解得10102ab==综上可知，当1010,2ab==，代数式225()abab+−取得最小值20.19．已知,,abcR,且1abc++=.证明：（Ⅰ）22213abc++；（

Ⅱ）2221abcbca++.【详解】证明(Ⅰ)a，b，c+R，且1abc++=，()22222221()2223abcabcabbcacabc=++=+++++++，22213abc++，当且仅当abc==时，等号成立.(Ⅱ2)2abab+，22bcbc+，22c

aca+，()2222abcabcabcbca+++++++，2221abcabcbca++++=，2221abcbca++