【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修一）专题2.12 圆的方程-重难点题型检测 Word版含解析.docx，共(12)页，86.494 KB，由小赞的店铺上传

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专题2.12圆的方程-重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·四川省高二阶段练习（理））圆C：x2＋y2－4x＋2y－4＝0的，圆心坐标和半径分别是（）A．（－2，1），9B．（－2，

1），3C．（2，－1），9D．（2，－1），3【解题思路】将圆的一般方程化为标准方程，可求出其圆心和半径【解答过程】由𝑥2+𝑦2−4𝑥+2𝑦−4=0，得(𝑥−2)2+(𝑦+1)2=9，所以圆的圆心(2,−1)，半径

为3，故选：D.2．（3分）（2021·广东·高二阶段练习）若点𝐴(1,2)，圆的一般方程为𝑥2+𝑦2+2𝑥−4𝑦+1=0，则点A与圆位置关系（）A．圆外B．圆内且不是圆心C．圆上D．圆心【解题思路】根据

题意，将点A的坐标代入圆的方程，结合点与圆的位置关系，分析可得答案．【解答过程】解：根据题意，圆的一般方程为𝑥2+𝑦2+2𝑥−4𝑦+1=0，将点𝐴(1,2)代入，可得1+4+2−8+1=0，则点A在圆上，故选：C.3．（3

分）（2022·吉林·高二期末）若曲线𝑥2+𝑦2+2𝑥+𝑚𝑦+2=0表示圆，则m的取值范围是（）A．(2,+∞)B．[2,+∞)C．(−∞,−2)∪(2,+∞)D．(−∞,−2]∪[2,+∞)【解题思路】按照圆的一般方程满足的条件𝐷2+𝐸2−4𝐹>0求解即可.【解答过程】22+

𝑚2−8>0,𝑚<−2或𝑚>2.故选：C.4．（3分）（2022·全国·高二）已知圆M的圆心在直线𝑥+𝑦−4=0上，且点𝐴(1,0)，𝐵(0,1)在M上，则M的方程为（）A．(𝑥−2)2+(𝑦−

2)2=13B．(𝑥−1)2+(𝑦−1)2=1C．(𝑥−2)2+(𝑦−2)2=5D．(𝑥+1)2+(𝑦+1)2=5【解题思路】由题设写出𝐴𝐵的中垂线，求其与𝑥+𝑦−4=0的交点即得圆心坐标，再应用两点距离公式

求半径，即可得圆的方程.【解答过程】因为点𝐴(1,0)，𝐵(0,1)在M上，所以圆心在𝐴𝐵的中垂线𝑥−𝑦=0上．由{𝑥+𝑦−4=0𝑥−𝑦=0，解得{𝑥=2𝑦=2，即圆心为(2,2)，

则半径𝑟=√(2−1)2+(2−0)2=√5，所以M的方程为(𝑥−2)2+(𝑦−2)2=5．故选：C.5．（3分）（2022·江西省高一阶段练习（文））圆(𝑥−1)2+(𝑦+2)2=2关于直线l：𝑥+𝑦−2=0对称的圆的方程为（）A．(

𝑥−4)2+(𝑦−1)2=2B．(𝑥+4)2+(𝑦+1)2=2C．(𝑥−4)2+(𝑦+1)2=2D．(𝑥+4)2+(𝑦−1)2=2【解题思路】首先求出圆(𝑥−1)2+(𝑦+2)2=2的圆心坐标与半径，再设圆心(1,−2)关于直线�

�:𝑥+𝑦−2=0对称的点的坐标为(𝑎,𝑏)，即可得到方程组，求出𝑎、𝑏，即可得到圆心坐标，从而求出对称圆的方程；【解答过程】解：圆(𝑥−1)2+(𝑦+2)2=2的圆心为(1,−2)，半径𝑟=√2，

设圆心(1,−2)关于直线𝑙:𝑥+𝑦−2=0对称的点的坐标为(𝑎,𝑏)，则{𝑏+2𝑎−1×(−1)=−11+𝑎2+𝑏−22−2=0，解得{𝑎=4𝑏=1，即圆(𝑥−1)2+(𝑦+2)2=2关于直线𝑙:𝑥+𝑦−2=0对称的圆的圆心为(4,1)，半径𝑟=√2

，所以对称圆的方程为(𝑥−4)2+(𝑦−1)2=2；故选：A.6．（3分）（2021·广西·高三阶段练习（理））已知定点𝐵(3,0)，点𝐴在圆(𝑥+1)2+𝑦2=4上运动，则线段𝐴𝐵的中点𝑀的轨迹方程是（）A．(𝑥+1)2+𝑦2=1B．(𝑥−2)2+

𝑦2=4C．(𝑥−1)2+𝑦2=1D．(𝑥+2)2+𝑦2=4【解题思路】设𝑀(𝑥,𝑦)再表达出𝐴的坐标代入圆方程(𝑥+1)2+𝑦2=4化简即可.【解答过程】设𝑀(𝑥,𝑦)，则𝐴(𝑥𝐴,𝑦𝐴)满足(𝑥

𝐴+32,𝑦𝐴2)=(𝑥,𝑦).故{𝑥𝐴=2𝑥−3𝑦𝐴=2𝑦.故𝐴(2𝑥−3,2𝑦).又点𝐴在圆(𝑥+1)2+𝑦2=4上.故(2𝑥−3+1)2+(2𝑦)2=4⇒(𝑥−1)2+𝑦2=1.故选:C.7．（3分）（2022·安徽·模拟预测（理））古希腊著名数学家

阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点𝐴，𝐵的距离之比为定值𝜆（𝜆>0，且𝜆≠1）的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，𝐴(−4,0)，𝐵(2,0)，点𝑃满足|𝑃𝐴||𝑃𝐵|

=2，则点𝑃的轨迹的圆心坐标为（）A．(4,0)B．(0,4)C．(−4,0)D．(2,0)【解题思路】根据题设，应用两点距离公式可得√(𝑥+4)2+𝑦2=2√(𝑥−2)2+𝑦2，整理并化为圆的标准形式，即可确定圆心.【解答过程】令P(x，y)，则√(𝑥+4)2+�

�2=2√(𝑥−2)2+𝑦2，两边平方并整理得：(𝑥−4)2+𝑦2=16，∴圆心为(4，0)．故选：A．8．（3分）（2022·全国·高三专题练习）已知A，B是曲线|𝑥|−1=√4−(𝑦−1)2上两个不同的点，𝐶(0,1)，则|𝐶𝐴|+|𝐶𝐵|

的最大值与最小值的比值是（）A．3√55B．√2C．√62D．√3【解题思路】方程|𝑥|−1=√4−(𝑦−1)2表示的曲线为圆𝑃:(𝑥+1)2+(𝑦−1)2=4的左半部分和圆𝑄:(𝑥−1)2+(𝑦−1)2=4的右半部分，数形结合求出|𝐶�

�|+|𝐶𝐵|的最大值和最小值，进而求出比值.【解答过程】由|𝑥|−1=√4−(𝑦−1)2，得(|𝑥|−1)2+(𝑦−1)2=4.因为|𝑥|−1=√4−(𝑦−1)2≥0，所以𝑥≤−1或𝑥≥1.当𝑥≤−1时，(𝑥+1)2+(𝑦−1)2=4；

当𝑥≥1时，(𝑥−1)2+(𝑦−1)2=4.所以方程|𝑥|−1=√4−(𝑦−1)2表示的曲线为圆𝑃:(𝑥+1)2+(𝑦−1)2=4的左半部分和圆𝑄:(𝑥−1)2+(𝑦−1)2=4的右半部分.当A，B分别与图中的M，N重合时

，|𝐶𝐴|+|𝐶𝐵|取得最大值，且最大值为6；当A，B为图中E，F，G，H四点中的某两点时，|𝐶𝐴|+|𝐶𝐵|取得最小值，且最小值为2√5.故|𝐶𝐴|+|𝐶𝐵|的最大值与最小值的比值是62√5=3√55

.故选：A.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·江苏省高二阶段练习）使方程𝑥2+𝑦2−𝑎𝑥+2𝑎𝑦+2𝑎2+𝑎−1=0表示圆的实数a的可能取值为（）A．−2B．0C．−1D．34【解题思路】

配方后，利用半径的平方大于0，得到不等式，解不等式求出实数a的取值范围.【解答过程】𝑥2+𝑦2−𝑎𝑥+2𝑎𝑦+2𝑎2+𝑎−1=0，配方得：(𝑥−𝑎2)2+(𝑦+𝑎)2=−34�

�2−𝑎+1，要想表示圆，则−34𝑎2−𝑎+1>0，解得：−2<𝑎<23，故选：BC.10．（4分）（2022·全国·高二课时练习）(多选)已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则（）

A．圆心C1到直线x－y－1＝0的距离为3√22B．圆心C1到直线x－y－1＝0的距离为√22C．圆C2的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝4D．圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4【解题思路】根据点到直线

的距离公式求得圆心C1到直线x－y－1＝0的距离，根据点关于直线的对称点的方法可求得圆C2的圆心，从而得出圆C2的方程.【解答过程】根据题意，设圆C2的圆心为(a，b)，圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，其圆心为(－1，1)，半径为2，所以圆心C1到直

线x－y－1＝0的距离d＝|−1−1−1|√2＝3√22.若圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C1与圆C2的圆心关于直线x－y－1＝0对称，且圆C2的半径为2，则有{𝑏−1𝑎+1=−1,𝑎−12−𝑏+12−1=0,解得{𝑎=2,𝑏=−2,

则圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4.故选：AD.11．（4分）（2022·全国·高二课时练习）已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q（－2，3），则下列说法正确的是（）A．圆心C的坐标为（2，7）B．点Q

在圆C外C．若点P（m，m＋1）在圆C上，则直线PQ的斜率为14D．若M是圆C上任一点，则|MQ|的取值范围为[2√2,6√2]【解题思路】A选项，把圆的一般方程化为标准方程，求出圆心坐标；B选项，求出CQ的长度，与半径相比，判断点与圆的位置关系；C选项，把P点坐标代入，求出𝑚的值，进

而求出直线PQ的斜率；D选项，由B选项求出点Q在圆C外，M是圆C上任一点，所以MQ|的长度满足|𝐶𝑄|−𝑟≤|𝑀𝑄|≤|𝐶𝑄|+𝑟，求出MQ|的取值范围.【解答过程】将𝑥2+𝑦2−4𝑥−14𝑦+45=0化为(𝑥−2)2+(𝑦−7)2=8，所以圆心

C坐标为(2,7)，故A正确：因为𝐶(2,7),𝑄(−2,3)两点之间的距离为√(−2−2)2+(3−7)2=4√2>2√2，所以点Q在圆C外．故B正确，因为点𝑃(𝑚,𝑚+1)在圆C上，所以𝑚2+(𝑚+1)2−4𝑚−14(𝑚+1)+45=0，所以𝑚=4，即𝑃(4,5)．

所以直线𝑃𝑄的斜为13，故C错误，因为圆心𝐶(2,7)，半径𝑟=2√2,|𝐶𝑄|=4√2所以|𝐶𝑄|−𝑟≤|𝑀𝑄|≤|𝐶𝑄|+𝑟，即2√2≤|𝑀𝑄|≤6√2，故D正确故选：ABD

．12．（4分）（2022·江苏·高二课时练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，A（－2，0），B（4，0），点P满足|𝑃𝐴||𝑃𝐵|＝12.设点P的轨迹为C，则下列

结论正确的是（）A．轨迹C的方程为（x＋4）2＋y2＝9B．在x轴上存在异于A，B的两点D，E使得|𝑃𝐷||𝑃𝐸|＝12C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线D．在C上存在点M，使得|𝑀𝑂|

=2|𝑀𝐴|【解题思路】根据阿波罗尼斯圆的定义，结合两点间距离公式逐一判断即可.【解答过程】在平面直角坐标系xOy中，A（－2，0），B（4，0），点P满足|𝑃𝐴||𝑃𝐵|=12，设P（x，y），则

√(𝑥+2)2+𝑦2√(𝑥−4)2+𝑦2=12，化简得（x＋4）2＋y2＝16，所以A错误；假设在x轴上存在异于A，B的两点D，E使得|𝑃𝐷||𝑃𝐸|=12，设D（m，0），E（n，0），则√(𝑥−𝑛)2+𝑦2=2√(𝑥−𝑚)

2+𝑦2，化简得3x2＋3y2－（8m－2n）x＋4m2－n2＝0，由轨迹C的方程为x2＋y2＋8x＝0，可得8m－2n＝－24，4m2－n2＝0，解得m＝－6，n＝－12或m＝－2，n＝4（舍去），即在x轴上存在异于A

，B的两点D，E使|𝑃𝐷||𝑃𝐸|=12，所以B正确；当A，B，P三点不共线时，|𝑂𝐴||𝑂𝐵|=12=|𝑃𝐴||𝑃𝐵|，可得射线PO是∠APB的平分线，所以C正确；若在C上存在点M，使得|𝑀𝑂|=2|𝑀𝐴|，可设M（x，y），

则有√𝑥2+𝑦2＝2√(𝑥+2)2+𝑦2，化简得x2＋y2＋163x＋163＝0，与x2＋y2＋8x＝0联立，方程组无解，故不存在点M，所以D错误．故选：BC.三．填空题（共4小题，满分16分

，每小题4分）13．（4分）（2022·四川乐山·高一期末）点(1,0)与圆𝑥2+𝑦2−4𝑥−2𝑦+1=0的位置关系是在圆内．（填“在圆内”、“在圆上”、“在圆外”）【解题思路】利用点(1,0)到圆心的距离与圆的半径的大小关系去判断点(1,0)与圆𝑥2+𝑦2−4𝑥−2𝑦+

1=0的位置关系即可.【解答过程】圆𝑥2+𝑦2−4𝑥−2𝑦+1=0的圆心坐标为(2,1)，半径为2点(1,0)到圆心的距离√(2−1)2+(1−0)2=√2，因为√2<2，所以点(1,0)在圆

内．故答案为：在圆内.14．（4分）（2022·全国·高二课时练习）经过(5,0)，(−2,1)两点，且圆心在直线𝑥−3𝑦−10=0上的圆的标准方程为(𝑥−1)2+(𝑦+3)2=25.【解题思路】首先设圆的标准方程

为(𝑥−𝑎)2+(𝑦−𝑏)2=𝑟2，根据题意得到{(5−𝑎)2+𝑏2=𝑟2(−2−𝑎)2+(1−𝑏)2=𝑟2𝑎−3𝑏−10=0，再解方程即可.【解答过程】设圆的标准方程为(𝑥−𝑎)2+(𝑦−𝑏)2=𝑟2，由题知：{(5

−𝑎)2+𝑏2=𝑟2(−2−𝑎)2+(1−𝑏)2=𝑟2𝑎−3𝑏−10=0⇒{𝑎=1𝑏=−3𝑐=5，所以标准方程为(𝑥−1)2+(𝑦+3)2=25.故答案为：(𝑥−1)2+(𝑦+3)2=25.15．（4分）（2022·江苏·高二课时练习）已知圆𝑥2+

𝑦2+𝑎𝑥+𝑏𝑦+1=0关于直线𝑥+𝑦=1对称的圆的方程为𝑥2+𝑦2=1，则𝑎+𝑏＝−4．【解题思路】由题意，设(0，0)关于直线𝑥+𝑦=1的对称点为(𝑚，𝑛)，列出方程组{𝑚2+𝑛2=1𝑚𝑛=1，求解方程组即可得圆𝑥2+𝑦2=1关于直线

𝑥+𝑦=1对称的圆的方程，从而即可得答案.【解答过程】解：圆𝑥2+𝑦2=1的圆心是坐标原点(0，0)，半径为1，设(0，0)关于直线𝑥+𝑦=1的对称点为(𝑚，𝑛)，则{𝑚2+𝑛2=1𝑚𝑛=1，解得{𝑚=

1𝑛=1，所以点(0，0)关于直线𝑥+𝑦=1对称的点的坐标为(1,1)，因为圆𝑥2+𝑦2+𝑎𝑥+𝑏𝑦+1=0关于直线𝑥+𝑦=1对称的圆的方程为𝑥2+𝑦2=1，所以圆𝑥2+𝑦2=1关于直线𝑥+𝑦=1对称的圆的方程为(𝑥−1)2+(𝑦−1)2=1，即𝑥2+

𝑦2−2𝑥−2𝑦+1=0，所以𝑎=𝑏=−2，即𝑎+𝑏=−4．故答案为：−4.16．（4分）（2022·全国·高二课时练习）如图，已知圆𝑂:𝑥2+𝑦2=16,𝐴,𝐵是圆𝑂上两个动点，点𝑃(2,0)，则矩形𝑃𝐴𝐶𝐵的顶点𝐶的轨迹方

程是𝑥2+𝑦2=28．【解题思路】设点𝐶(𝑥,𝑦)，连接𝐴𝐵,𝑃𝐶交于𝑀，可写出𝑀的坐标，再在直角△𝑂𝑀𝐵中，𝑂𝑀⊥𝑀𝐵，利用勾股定理列方程可得x,y的关系式，即顶点𝐶的轨迹方程.【解答过程】设点𝐶(𝑥,𝑦)，

如图连接𝐴𝐵,𝑃𝐶交于𝑀，由矩形𝑃𝐴𝐶𝐵可知𝑀为𝑃𝐶的中点，𝑀(𝑥+22,𝑦2)，𝑃𝑀=𝑀𝐵连接𝑂𝐵,𝑂𝑀，在直角△𝑂𝑀𝐵中，𝑂𝑀⊥𝑀𝐵，则�

�𝐵2=𝑂𝑀2+𝐵𝑀2=𝑂𝑀2+𝑀𝑃2即16=(𝑥+22)2+(𝑦2)2+(𝑥+22−2)2+(𝑦2)2，整理得𝑥2+𝑦2=28，所以顶点𝐶的轨迹方程是𝑥2+𝑦2=28故答案为：𝑥2+𝑦2=28.四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022·全

国·高二课时练习）下列方程是圆的方程吗？若不是，请说明理由．(1)(𝑥+1)2+(𝑦−1)2=−5；(2)(𝑥+1)2+(𝑦−1)2=𝑘．【解题思路】利用圆的标准方程，需要𝑟2>0，对（1）、（2）进行判断.【解答过程】(1)圆的标准方程为(𝑥−𝑎)2+(𝑦−

𝑏)2=𝑟2，其中圆心(a，b)，a∈R，b∈R半径为r(r>0).因为-5<0，所以方程(𝑥+1)2+(𝑦−1)2=−5不是圆的方程.(2)圆的标准方程为(𝑥−𝑎)2+(𝑦−𝑏)2=𝑟2，其中圆心(a，b)，a∈R，b∈R，半径为r(r>0).当k>0时，方程(𝑥+1

)2+(𝑦−1)2=𝑘表示圆心为(-1，1)，半径为√𝑘的圆的方程；当k=0时，方程(𝑥+1)2+(𝑦−1)2=𝑘表示点(-1，1)，不表示圆的方程；当k<0时，方程(𝑥+1)2+(𝑦−1)2=𝑘无解，不表示圆

的方程.18．（6分）（2022·江苏省高二阶段练习）已知圆过点𝐴(1,−2)，𝐵(−1,4)．(1)求圆心在直线2𝑥−𝑦−4=0上的圆的标准方程；(2)若圆心的纵坐标为2，求圆的标准方程．【解题思路】（1）设圆的标准方程为(𝑥−𝑎)2+(𝑦−𝑏)2

=𝑟2(𝑟>0)，利用待定系数法求出𝑎,𝑏,𝑟即可得解；（2）设所求圆的标准方程为(𝑥−𝑚)2+(𝑦−2)2=𝑛2(𝑛>0)，利用待定系数法求出𝑚,𝑛即可得解.【解答过程】（1）解：设圆的标准方程为(𝑥−𝑎)2+(𝑦−𝑏)2=𝑟2(𝑟>0)

，则有{2𝑎−𝑏−4=0(1−𝑎)2+(−2−𝑏)2=𝑟2(−1−𝑎)2+(4−𝑏)2=𝑟2，解得{𝑎=3𝑏=2𝑟2=20，所以所求圆的标准方程为(𝑥−3)2+(𝑦−2)2=20；（2）解：设所求圆的标准方程为(𝑥−𝑚)2+(𝑦−2)2=𝑛2(𝑛>0)，则有{(

1−𝑚)2+(−2−2)2=𝑛2(−1−𝑚)2+(4−2)2=𝑛2，解得{𝑚=3𝑛2=20，所以所求圆的标准方程为(𝑥−3)2+(𝑦−2)2=20.19．（8分）（2022·全国·高二课时练习）已知圆N的标准

方程为(𝑥−5)2+(𝑦−6)2=𝑎2(𝑎>0)．(1)若点M（6，9）在圆N上，求半径a；(2)若点P（3，3）与Q（5，3）有一点在圆N内，另一点在圆N外，求实数a的取值范围．【解题思路】（1）根据已知，建立方程计算求解即可.（2）通过已知，利用点与圆的位置关系进行求解.

【解答过程】（1）因为点M（6，9）在圆N上，所以(6−5)2+(9−6)2=𝑎2，即𝑎2=10，又𝑎>0，所以𝑎=√10．（2）因为圆心𝑁(5,6)，𝑃(3，3)，𝑄(5，3)，所以𝑃𝑁=√(5−3)2+(6−3)2=√13，𝑄𝑁=√(5−5)2+(6−3)2=3，所以�

�𝑁>𝑄𝑁，故点P在圆N外，点Q在圆N内，又因为圆N的半径为𝑎，所以3<𝑎<√13，故实数a的取值范围是(3,√13)．20．（8分）（2021·福建省高二期中）已知圆C经过点𝐴(1,0)，点𝐵(3,−2)，且它的圆心在直线2𝑥+𝑦=0上.（1）求圆C的标准方程；（2）若圆

D与圆C关于直线𝑥−𝑦+1=0对称，求圆D的标准方程.【解题思路】（1）先求得线段AB的垂直平分线方程，与2𝑥+𝑦=0联立，求得圆心即可；（2）根据圆D与圆C关于直线𝑥−𝑦+1=0对称，求得圆心C关于直线𝑥−𝑦+1=0的对称点即可.【解答过程】（1）已知圆C经过点𝐴(1,

0)，点𝐵(3,−2)，则线段AB的垂直平分线方程为：𝑦+1=𝑥−2，即𝑥−𝑦−3=0，又它的圆心在直线2𝑥+𝑦=0上，联立{2𝑥+𝑦=0𝑥−𝑦−3=0，解得{𝑥=1𝑦=−2，所以其圆心为𝐶(1,−2)，𝑅=|𝐴𝐶|=2，所以圆C的标准方程(𝑥−1)2+

(𝑦+2)2=4；（2）设圆D的圆心为𝐷(𝑥,𝑦)，因为圆D与圆C关于直线𝑥−𝑦+1=0对称，所以{𝑥+12−𝑦−22+1=0𝑦+2𝑥−1=−1，解得{𝑥=−3𝑦=2，所以圆D的标准方程是(𝑥+3)2+(𝑦−2)2=4.21．

（8分）（2021·全国·高三专题练习）在平面直角坐标𝑥𝑂𝑦中曲线𝑦=𝑥2−6𝑥+1与坐标轴的交点都在圆𝐶上，若点𝑀(𝑥,𝑦)是圆𝐶上的一点，求𝑥2+2𝑥+𝑦2+4𝑦的最值.【解题思路】根据二次曲线与

坐标轴的交点及圆的性质求得圆的方程(𝑥−3)2+(𝑦−1)2=9，两圆方程作差即可得公共弦所在的直线方程，将目标式的最小问题转化为求圆上点到定点的距离平方的最小值即可.【解答过程】由题设，𝑦=𝑥2−6𝑥+1与y轴的交点为(0,1)，对称轴为𝑥=3，若与x轴交点横坐标分别为𝑚,�

�，则𝑚+𝑛=6，𝑚𝑛=1，∴|𝑚−𝑛|=√(𝑚+𝑛)2−4𝑚𝑛=4√2，若圆𝐶半径为𝑟，圆心为(3,𝑏)，∴{𝑏2+8=𝑟29+(𝑏−1)2=𝑟2，解得{𝑏=1𝑟=3，∴圆𝐶半径

为𝑟=3，圆心为(3,1)，则圆的方程为(𝑥−3)2+(𝑦−1)2=9，𝑥2+2𝑥+𝑦2+4𝑦=(𝑥+1)2+(𝑦+2)2−5，只需求圆𝐶上点到定点(−1,−2)的最小距离即可.又圆心(3,1)到(−1,−2)的距离为𝑑=√42+32=5，而𝑟=3，∴𝑑−𝑟=2≤√

(𝑥+1)2+(𝑦+2)2≤𝑑+𝑟=8，故目标式的最小值为−1.22．（8分）（2022·河南·高二阶段练习）已知圆𝑀:(𝑥+1)2+𝑦2=36，点𝐴(1,0)，𝑃为𝑀上一动点，𝑄始终为𝑃𝐴的中点.(1)求动点𝑄的轨迹方程；(2)若

存在定点𝐵(𝑏,0)和常数𝑘(𝑘≠1)，对𝑄轨迹上的任意一点𝑆，恒有|𝑆𝐴||𝑆𝐵|=𝑘，求𝑏与𝑘的值.【解题思路】（1）设𝑃(𝑥0,𝑦0),𝑄(𝑥,𝑦)，由中点公式可得{𝑥0=2𝑥−

1𝑦0=2𝑦，代入到圆的方程中，整理即可求解；（2）设𝑆(𝑥′,𝑦′)，由两点间距离公式可得|𝑆𝐴||𝑆𝐵|=√(𝑥′−1)2+𝑦′2√(𝑥′−𝑏)2+𝑦′2=𝑘，结合𝑥′2+𝑦′2=9，可得10−9𝑘2−𝑏2𝑘2+2(𝑘2𝑏−1)𝑥′=0，由式子

恒成立，可知{10−9𝑘2−𝑏2𝑘2=0𝑘2𝑏−1=0，即可求解.【解答过程】（1）设𝑃(𝑥0,𝑦0),𝑄(𝑥,𝑦)，因为𝑄为𝑃𝐴的中点，𝐴(1,0)，所以{𝑥0+1=2𝑥𝑦0=2𝑦，即{𝑥0=2

𝑥−1𝑦0=2𝑦，因为圆的方程为𝑀:(𝑥+1)2+𝑦2=36，则(𝑥0+1)2+𝑦02=36，整理得，𝑥2+𝑦2=9，故动点Q的轨迹方程为𝑥2+𝑦2=9.（2）设𝑆(𝑥′,𝑦′)，则|𝑆𝐴||�

�𝐵|=√(𝑥′−1)2+𝑦′2√(𝑥′−𝑏)2+𝑦′2=𝑘(𝑘>0且𝑘≠1)，整理得(1−𝑘2)(𝑥′2+𝑦′2)+2(𝑘2𝑏−1)𝑥′+1−𝑏2𝑘2=0，因为𝑆在Q的轨迹上，所以𝑥′2+𝑦′2=9，故1

0−9𝑘2−𝑏2𝑘2+2(𝑘2𝑏−1)𝑥′=0，当且仅当{10−9𝑘2−𝑏2𝑘2=0𝑘2𝑏−1=0时上式恒成立，此时，𝑘2=1𝑏，则10−9𝑏−𝑏=0，解得𝑏=1或9，当𝑏=1时，𝑘=1，不合题意，舍去；当𝑏=1时，𝑘=13，符合

题意，故𝑏=1，𝑘=13.