【文档说明】四川省乐山市沫若中学2022-2023学年高二下学期4月月考数学（理）试题 含解析.docx，共(20)页，1.879 MB，由小赞的店铺上传

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沫若中学高2021级高二下第一次月考数学试题（理）一、单选题1.设命题p：xR，230xx−，则p为（）A.xR，230xx−B.xR，230xx−C.xR，230xx−D.xR，230xx−【答

案】B【解析】【分析】根据特称量词命题的否定为全称量词命题即可求解.【详解】p：xR，230xx−，则p：xR，230xx−，故选:B2.已知()21i2iz+=+，则z的虚部是（）A.12−B.1i2−C.i−D.

1−【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，结合复数的乘方及除法运算求出复数z，再求出z的虚部作答.【详解】依题意，2i2iz=+，即2i(2i)(i)12i1i2i2i(i)22z++−−====−−，所以复数z的虚部是1−.故选：D3.已

知某地A、B、C三个村的人口户数及贫困情况分别如图（1）和图（2）所示，为了解该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层随机抽样的方法抽取15%的户数进行调查，则样本容量和抽取C村贫困户的户数分别是（）．A.150，15B.150，20C.200，15D.200，20【答案】A【解析

】【分析】将饼图中的A、B、C三个村的人口户数全部相加，再将所得结果乘以10%得出样本容量，在C村人口户数乘以15%，再乘以50%可得出C村贫困户的抽取的户数.【详解】由图1得样本容量为()35020045015%100015%150++==，抽取贫困户的户数为200

15%30=户，则抽取C村贫困户的户数为300.515=户．故选：A.4.某地区2022年夏天迎来近50年来罕见的高温极端天气，当地气象部门统计了八月份每天的最高气温和最低气温，得到如下图表：根据图表判断，以下结论正确的是（）A.8月每天最高气温的极差小于1

5CB.8月每天最高气温的中位数高于40CoC.8月前15天每天最高气温方差大于后16天最高气温的方差D.8月每天最高气温的方差大于每天最低气温的方差【答案】D【解析】【分析】根据给定的每天最高气温与最低气温的折线图，结合平均数、中位数、方

差的意义逐项判断即可.【详解】对于A选项，8月每天最高气温的极差大于402515C−=，A错；对于B选项，8月每天最高气温不低于40Co的数据有8个，其它都低于40Co，把31个数据由小到大排列，中位数必小于40Co，B错；对于C选项，8月前15天每天最高气温的数据极差小，波

动较小，后16天每天最高气温的极差大，数据波动很大，因此8月前15天每天最高气温的方差小于后16天最高气温的方差，C错；的对于D选项，8月每天最高气温的数据极差大，每天最低气温的数据极差较小，每天最高气温的数据波动也比每天最低气温的数据波动大，因此8月每天最

高气温的方差大于每天最低气温的方差，D对.故选：D.5.四川乐山沙湾区是一个人杰地灵的好地方，大文豪郭沫若先生就出生于此地.乐山沫若中学高二（7）班文学小组的同学们计划在郭老先生的5部历史剧《屈原》《凤凰涅槃》《孔雀胆》《蔡文姬》《高渐离》

中，随机选两部排练节目参加艺术节活动，则《风凰涅槃》恰好被选中的概率为（）A.15B.25C.35D.45【答案】B【解析】【分析】对5部历史剧编号，利用列举法求出概率作答.【详解】记5部历史剧《屈原》《凤凰涅槃》《孔雀胆》《蔡文姬》《高渐离》分别为

a，b，c，d，e，从5部历史剧中随机选两部的试验含有的基本事件有：,,,,,,,,,abacadaebcbdbecdcede，共10个结果，《风凰涅槃》恰好被选中的事件A含有的基本事件有：,,,abbcbdbe，共4个结果，所以《风

凰涅槃》恰好被选中的概率42()105PA==.故选：B6.执行如图所示的程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填入的条件为（）A.4iB.5iC.6iD.7i【答案】A【解析】【分析】根据程序框图循环结构计算得到415231

,415Si=+==+=，结合输出的结果为31，从而确定填入的条件为4i.【详解】第一次，1123,112Si=+==+=；第二次，2327,213Si=+==+=;第三次，37215,314Si=+==+=;第四次，415231,415Si=+==+=.因为输出31,所以循环终

止，所以判断框中应填入的条件为4i.故选：A7.欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，也告诉我们熟能生巧，人外有人的道理.若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大

小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是（）A.116πB.14πC.12πD.1π【答案】B【解析】【分析】利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由几何概型的概率公式可知，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是2211π

24πP==.故选：B.8.某区高一年级从2019年秋季开始使用人教A版新教材，为了调查新教材的使用情况，将全区高一年级的3600名学生的期中考试数学成绩分成6组：)40,50，)50,60，)60,70，)70,80，)8

0,90，90,100加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.现从成绩不少于70分的学生中，利用分层抽样抽取120人进一步做能力测试，则期中考试成绩在)80,90的应抽取（）A.40人B.48人C.50人D.60人【答案】C【解析】【分析】根据频率分布直方图中的频率按比例计算

．【详解】由频率分布直方图应抽取人数为0.25120500.30.250.05=++．故选：C．9.已知过抛物线2:8xCy=的焦点F，且倾斜角为π3的直线l交抛物线C于A，B两点，则||AB=（）A.32B.323C.283D.

8【答案】A【解析】【分析】由题意可得直线l的方程为32yx=+，联立直线l与抛物线的方程得283160xx−−=，由韦达定理可得1228yy+=，再根据抛线的定义即可得答案.【详解】解：因为抛物线2:8Cxy=，所以(0,2)

F，4p=，所以直线l的方程为32yx=+，由2328yxxy=+=，得283160xx−−=，显然0，设1122(,),(,),AxyBxy则有1283xx+=，所以12123()428yyx

x+=++=，由抛物线定义可知12122|2|84322ppyyAByyp+++=+=+==+.故选：A.10.据一组样本数据()()()1122,,,,,,nnxyxyxy，求得经验回归方程为1.20.4yx=+，且3x=．现发

现这组样本数据中有两个样本点()1.2,0.5和()4.8,7.5误差较大，去除后重新求得的经验回归直线l的斜率为1.1，则（）A.去除两个误差较大的样本点后，y的估计值增加速度变快B.去除两个误差较大的样本点后

，重新求得的回归方程对应直线一定过点()3,5C.去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程为1.10.7yx=+D.去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点()2,2.7的残差为0.1【答案】C【解析】【分

析】根据直线l的斜率大小判断A；求出y判断B；再求出经验回归方程判断C；计算残差判断D作答.【详解】对于A，因为去除两个误差较大的样本点后，经验回归直线l的斜率变小，则y的估计值增加速度变慢，A错误；对于B，由1.20.4yx=+及3x=得：4y=，因为去除的两个样本

点()1.2,0.5和()4.8,7.5，并且1.24.80.57.53,422++==，因此去除两个样本点后，样本的中心点仍为(3,4)，因此重新求得的回归方程对应直线一定过点(3,4)，B错误；对于C，设去除后重新求得的经验回归直线l的方程为ˆ1.1yxa=+，由选项B知，ˆ41

.13a=+，解得ˆ0.7a=，所以重新求得的回归方程为1.10.7yx=+，C正确；对于D，由选项C知，1.10.7yx=+，当2x=时，1.120.72.9y=+=，则2.72.90.2−=−，因此去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点()2,2.7的残差为0.2−，

D错误.故选：C11.已知三棱锥−PABC的四个顶点都在球O的球面上，25,4PBPCABAC====，2PABC==，则球O的表面积为（）A.316π15B.79π15C.158π5D.79π5【答案】A【解析】【分析】

根据给定条件，证明PA⊥平面ABC，再确定球心O的位置，求出球半径作答.【详解】在三棱锥−PABC中，如图，22220ABPAPB+==，则PAAB⊥，同理PAAC⊥，而,,ABACAABAC=平面ABC，因

此PA⊥平面ABC，在等腰ABC中，4,2ABACBC===，则112cos4BCABCAB==，215sin1cos4ABCABC=−=，令ABC的外接圆圆心为1O，则1OO⊥平面ABC，1182sin15ACOAABC==，有1//OOPA，取PA中点D，连接OD，则有ODPA

⊥，又1OA平面ABC，即1OAPA⊥，从而1//OAOD，四边形1ODAO为平行四边形，11OOAD==，又11OOOA⊥，因此球O的半径22222211879()11515ROAOAOO==+=+=，所以球O的表面积23164ππ15SR==.故选：A12.已知双曲线C：()22221

0,0xyabab−=的左、右焦点分别为1F，2F，过1F的直线与圆222xya+=相切于点Q，与双曲线的右支交于点P，若线段PQ的垂直平分线恰好过右焦点2F，则双曲线C的离心率为（）A.132B.133C.52D.2【答案】A【解析】【分析】根据题意画出

草图，由题意O为12FF的中点可得12||||,||2||FQMQMFOQ==，求出1||FQb=，即可得到||MP，1||PF，根据双曲线定义推得2PF长度，在直角三角形2RtFMP中用勾股定理即可找到,ab之间的关系，即可求得

离心率.【详解】设()222210,0xyabab−=的焦距为2c，则1(,0)Fc−，2(,0)Fc由题意过1F的直线与圆222xya+=相切于点Q，连接OQ,则1OQFP⊥,连接2PF,设M为PQ的

中点，则221,MFPQMFPF⊥⊥,则2OQMF∥,因为O为12FF的中点，故Q为1FM的中点，即12||||,||2||FQMQMFOQ==,在1RtOQFV中，1||||OFcOQa==，，故2

21||FQcab=−=，则||MQb=，由于M为PQ的中点，所以||MPb=,即1||3=PFb,在双曲线22221xyab−=中，P在右支上，有12||2PFPFa−=，所以2||32PFba=−，又2||2||2MFOQa==，所以在2RtFMP

中，22222||||||MFMPPF+=,即2224(32)abba+=−，化简得23812,2bbaba==，故双曲线的离心率为29131()142cbeaa==+=+=，故选：A【点睛】关键点点睛：要求双曲线的离心

率，即要求出,,abc之间的关系，因而解答本题时，根据题意推出相关线段的长，特别是12,||PFPF，继而在2RtFMP中应用勾股定理即是关键所在.二、填空题13.某高中的三个年级共有学生2000人，其中高一600人，高二680人，高三720人，该校现在要了解学生对校本课程

的看法，准备从全校学生中抽取50人进行访谈，若采取分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是______．【答案】15【解析】【分析】根据分层抽样原则直接计算即可【详解】由题意，从全校2000人中抽取50人访谈，按照年级分层，则高一年级应该抽5060015

2000=人.故答案为：1514.有一组样本数据1234,,,xxxx，该样本的平均数和方差均为2．在该组数据中加入一个数2，得到新的样本数据，则新样本数据的方差为_______．【答案】85【解析】【分析】根据方差的定义计算.【详解】由题意22221234(2)(2)(2)(2)428

xxxx−+−+−+−==，123424+++=xxxx，因此1234225xxxx++++=，所求方差为2222221234(2)(2)(2)(2)22855xxxxs−+−+−+−+−==（）．故答案为：85．15.设izxy=+（x，yR），若()()33i2xy−++=，

则1z+的取值范围是________．【答案】3,7【解析】【分析】根据复数的几何意义可得复数z对应的点的轨迹方程为圆，再转化为圆上的点到定点的距离的最值问题即可得解.【详解】解：由()()33i2xy−++=，可得()()223

34xy−++=，表示(),xy在以()3,3−为圆心，2为半径的圆上，()2211zxy+=++，1z+的几何意义表示复平面内点(),xy与点()1,0−的距离，即圆()()22334xy−++=圆上的点与点()1,0−的距离，圆心()3,3−到点()1,0−的距离为1695+=，由圆的

几何意义得到范围是317z+．故答案为：3,7.16.《定理汇编》是一本十分重要的书籍，其中有一些定理是关于鞋匠刀型的，即由在同一直线上的三个半圆圆O，圆O1，圆O2围成的图形被阿基米德称为鞋匠刀型，其半径分别为12,,Rrr，其中12rr，如图所

示，在大半圆O内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为13，则12rr的值为______.【答案】23+##32+【解析】【分析】由题意可得12Rrr=+，分别求出半圆圆O的面积和阴影部分的面积再根据几何概型结合已知即可得解.【详解】由题意可得12Rrr=+，半圆圆O的面积211π2S

R=，阴影部分的面积222212111πππ222SRrr=−−，则22212221111πππ122213π2RrrSSR−−==，即()()2221212122221212122123rrrrrrrrrrrr+−−==+++，所以221212211

21221113222rrrrrrrrrr++=++=，令()121rttr=，则有14tt+=，即2410tt−+=，解得23t=+或23−（舍去），所以12rr的值为23+.故答案为：23+.【点睛】关键点点睛：根据12Rrr=+将半圆圆O的面积和阴

影部分的面积都用12,rr表示是解决本题的关键.三、解答题17.2019年4月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“312++”高考新模式．为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800名学生的选科情况，部分数据如下表：性别科目男生女生合计物理3

00历史150合计400800根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关？附：22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++．()20PKk0.0500.0100.0010k3.8416.

63510.828【答案】有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关【解析】【分析】根据题意完善列联表，结合表中求2K，并与临界值对比分析.【详解】根据题意可得：性别科目男生女生合计物理300250550历史100150250合计400

400800∵22800(300150250100)16014.54510.82855025040040011K−==，故有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关.18.已知命题p：1,0x−，()2log22xm+；命题q：关于x的方程2220xxm−

+=有两个不同的实数根．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．【答案】)11,1,2−+【解析】【分析】根据pq为真命题，pq为假命题得到命题p和命题q一真一假，然后分别求出命题p和命题q为真命

题时m范围，最后求命题p和命题q一真一假时m的范围即可.【详解】因为pq为真命题，pq为假命题，所以命题p和命题q一真一假，若命题p为真命题，1,0x−，()2log22xm+，则()2

max2log2mx+，因为函数()2log1yx=+单调递增，所以()()22maxlog2log021x+=+=，则21m，即12m；若命题q为真命题，则2440m=−，解得11m−；因为命题p和命题q一真一假，所以1211mmm−或或1

211mm−，解得m1或112m−；综上所述，实数m的范围为)11,1,2−+.19.COP15大会原定于2020年10月15－28日在昆明举办，受新冠肺炎疫情影响，延迟到今年10月11－24日在云南昆明举办，同期举行《生物安全议定书》､

《遗传资源议定书》缔约方会议．为助力COP15顺利举行，来自全省各单位各部门的青年志愿者们发扬无私奉献精神，用心用情服务，展示青春风采．会议结束后随机抽取了50名志愿者，统计了会议期间每个人14天的志愿服务总时长，得到如图的频率分布的

的直方图：（1）求x的值，估计抽取的志愿者服务时长的中位数和平均数.（2）用分层抽样的方法从))20,40,80,100这两组样本中随机抽取6名志愿者，记录每个人的服务总时长得到如图所示的茎叶图：①已知这6名志愿者服务时长的平均数为6

7，求m的值；②若从这6名志愿者中随机抽取2人，求所抽取的2人恰好都是)80,100这组的概率．【答案】（1）0.014x=，中位数为65，平均数63.6（2）①7m=；②25P=【解析】【分析】（1）根据频率和为1计算得到0.014x=，确定前三组频率之和

0.4，再计算中位数和平均数即可.（2）根据平均数的公式计算得到7m=，根据分层抽样的比例关系得到人数，列举出所有事件，统计满足条件的事件，得到概率.【小问1详解】()0.0020.0040.020.0080.002201x+++++=，解得0.014x=，前三

组频率之和()0.0020.0040.014200.4++=，设中位数为n，则()600.020.50.4n−=−，解得65n=，所以中位数为65；平均数为：()100.002300.004500.014700.0209

00.0081100.0022063.6+++++=.【小问2详解】①()223980818093667m++++++=，解得7m=，②))20,40,80,100两组频率比为0.004:0.008

1:2=，故)20,40组中所抽取2人编号为12,AA，)80,100组中所抽取4人标号为1234,,,BBBB，则基本事件如下：()()()()()()()()()121112131421222324,,,,

,,,,,,,,,,,,,AAABABABABABABABAB()()()()()()121314232434,,,,,,,,,,,BBBBBBBBBBBB，共15个．所抽取2人都在)80,100的基本事件有6个，所以概率62155P==．20.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD与

ABEF均为直角梯形，平面ABCD⊥平面ABEF，////222ADBCAFBEADABABAFADABBCBE⊥⊥====，，，，．（1）已知点G为AF上一点，且AG=1，求证：//BG平面DCE；（2）已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为55，求平

面DCE与平面BDF所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）89【解析】【分析】（1）连接AE,交BG于点O,取DE的中点H,连接HO,HC,GE，由中位线性质可得1//,2OHADOHAD=，结合题意可得四边形BCHO为平行四边形,可得//HCOB，利用线面平行的判定

定理即可证明；（2）利用面面垂直的性质定理可得AD⊥平面ABEF,建立空间直角坐标系，设AFa=，求出BF和平面DCE的法向量，利用线面角空间向量的求法可得到4a=，再求出平面BDF的法向量，利用面面角的空间向

量的求法即可求解【小问1详解】连接AE,交BG于点O,取DE的中点H,连接HO,HC,GE，//,,AGBEAGBE=四边形ABEG为平行四边形,O为AE的中点,1//,2OHADOHAD=,又1//,,//,2BCADBCADOHBCOHBC==,四边形

BCHO为平行四边形,//HCOB,HC平面,DCEOB平面DCE,//OB平面DCE,即//BG平面DCE.【小问2详解】平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD平面,ABEFABADAB=⊥

,AD平面ABCD,AD⊥平面ABEF,以A为原点,以AF,AB,AD所在直线为,,xyz轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设(0AFaa=且1)a,则(,0,0),(0,2,0),(0,0FaBD,2),(1,2,0),(

0,2,1)EC,(0,2,1),(1,2,2),(,2,0),(0,2,2),DCDEBFaBD=−=−=−=−设平面DCE的法向量为(,,)nxyz=,则00nDCnDE==,即20220yzxyz−=+

−=,令1y=,则2,(2,1,2)xzn===,直线BF与平面DCE所成角的正弦值为55,2225|cos,|5||||43BFnaBFnBFna−===+化简得21140160aa−−=,解得4a=或411−(舍),(4,2,0)BF=−设平面BDF的法向量为()

,,mxyz=,则00mBFmBD==,即420220xyyz−=−+=,令1x=,则2,(1,2,2)yzm===,88cos,||||339mnmnmn===，故平面DCE与平面BDF所成锐二面角

的余弦值为89.21.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为32，短轴长为2.（1）求椭圆C的标准方程；（2）点(4,0)D，斜率为k的直线l不过点D，且与椭圆C交于A，B两点，ADOBDO=(O为坐标原点).直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若

不过定点，说明理由.【答案】（1）2214xy+=；（2）过定点，()1,0.【解析】【分析】（1）根据已知条件列方程即可解得,ab值，方程可求解；（2）设直线l方程为ykxm=+，联立椭圆方程结合韦达定理得12,

xx关系，又ADOBDO=得0ADBDkk+=，代入坐标化简即可求解.【小问1详解】由题意可得2222232bcacab===−，解得24a=，21b=所以椭圆C的标准方程为2214xy+=.【小问

2详解】设直线l的方程为ykxm=+，()11,Axy，()22,Bxy联立2214ykxmxy=++=整理得()222418440kxkmxm+++−=，的则()()2228441(44)0kmkm=−+−，即22410km−+又122841kmxxk+=−+，21224441

mxxk−=+因为ADOBDO=，所以0ADBDkk+=，所以()()()()()()12211212124404444kxmxkxmxyyxxxx+−++−+==−−−−所以()12122(4)80kxxmkxxm+−+−=，即222448

2(4)804141mkmkmkmkk−+−−−=++整理得880km+=，即mk=−，此时2310k=+则直线l的方程为ykxk=−，故直线l过定点()1,0.22.为了监控某种零件的一

条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9．9510．129．969．9610．019．929．9810．04抽取次序91011121314

1516零件尺寸10．269．9110．1310．029．2210．0410．059．95经计算得16119.9716iixx===，()16162221111160.2121616iiiisxxxx===−=−，()()(

)16162118.518.439,8.52.78iiiixxi==−−−=−，其中ix为抽取的第i个零件的尺寸，1,2,...,16i=．（1）求()(),1,2,...,16ixii=的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零

件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若0.25r，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在()3,3xsxs−+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现

了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ⅱ）在()3,3xsxs−+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）

附：样本()(),1,2,...,iixyin=的相关系数()()12211ˆniiinniiiixynxyrxxyy===−=−−，0.0080.09．【答案】（1）可以；（2）（ⅰ）需要；（ⅱ）10.02，0.09.【解析】【分析】（1）依公式求r；（2）（i）由9.97,

0.212xs=，得抽取的第13个零件的尺寸在(3,3)xsxs−+以外，因此需对当天的生产过程进行检查；（ii）剔除第13个数据，则均值的估计值为10.02，方差为0.09．【详解】（1）由样本数据得()(),1,2,,1

6ixii=的相关系数为()()()()161161622118.52.780.180.2121618.4398.5iiiiixxirxxi===−−−==−−−.由于0.25r，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.

（2）（i）由于9.97,0.212xs=，由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在()3,3xsxs−+以外，因此需对当天的生产过程进行检查.（ii）剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为()1169.979.2210.021

5−=，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.162221160.212169.971591.134iix==+，剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为()2211591.1349.221510.020.00815−−，这条生

产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为0.0080.09.【点睛】解答新颖数学题时，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点．的