【文档说明】重庆市璧山来凤中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题 解析.pdf，共(7)页，1.097 MB，由小赞的店铺上传

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第1页共14页◎第2页共14页来凤中学高二（上）数学第一次月考命题人：向宁波审题人：胡耀学区分度：0.32注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题

）一、单选题1．直线30xy++=与直线230xy−+=的交点坐标为A．()3,0−B．()2,3−−C．()0,1D．()1,0−【答案】A【分析】由两直线交点坐标的求法，只需联立两直线方程，解方程组即

可得解.【详解】解：联立两直线方程30230xyxy++=−+=，解得30xy=−=，故两直线的交点坐标为()3,0−，故选A.【点睛】本题主要考查两直线的位置关系及两直线的交点坐标的求法，属基础题.2．在长方体1111ABCDABCD−中，1A

BADBB++等于（）A．АCB．1АCC．1BCD．1BD【答案】B【分析】根据长方体1111ABCDABCD−，得到相等的向量，再利用空间向量的加法法则进行计算.【详解】如图，可得ADBC=，11BBCC=，所以111ABADBBABBCCCAC++=++=.故选：B3．

已知平行四边形ABCD中，A（4，1，3），()2,5,1B−，()3,7,5C−，则顶点D的坐标为（）A．7,4,12−B．（2，3，1）C．()3,1,5−D．()5,13,3−【答案】D【分析】利用ABDC=，代入坐标运算，即可求解.【详解】因为四边形ABCD是平行四

边形，所以ABDC=，设点(),,Dxyz，()2,6,2AB=−−−，()3,7,5DCxyz=−−−−，所以327652xyz−=−−=−−−=−，解得：5x=，13y=，3z=−，即定点D的坐标是()5,13,3−.故选：D4．已知(2,,)(

,)=−+−mabababR是直线l的方向向量，(2,1,2)=−n是平面的法向量．若l⊥，则下列选项正确的是（）A．340ab−−=B．350ab−−=C．13,22ab=−=D．13,22ab==−【答案】C【分析】根据l⊥可得m与n共线，由向量的坐标表示可得答案.【详解】若l⊥

，则mn=，即222abab−=+=−−=，解得11232ab=−=−=，且193522−=−−=−ab，即350−+=ab.故选：C.5．已知直线:153xyl−=的倾斜角为，则sin2=（）A．1534−B．1534C．1517−D

．1517【答案】D【分析】由直线方程可得3tan5=，计算得出正弦、余弦值再利用二倍角公式计算可得结果.【详解】将直线l方程化为斜截式得335yx=−，即3tan5lk==，所以π02，又22sin3tan,sincos1cos5==+=，得35sin,cos343

4==，所以15sin22sincos17==．{#{QQABJYAEogAgAABAAQgCAQ2ACkIQkhAACYgGAEAEsAAByANABAA=}#}第3页共14页◎第4页共14页故选：D6．在三棱锥PABC−中，PA⊥平面ABC，90BAC=，

D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，2ABAC==，4PA=，则直线PA与平面DEF所成角的余弦值为（）A．255B．55C．35D．235【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式，结合线面角的定义进行求解即可.【详解】由90BA

C=，得BAAC⊥，又PA⊥平面ABC，,BAAC平面ABC，则,PAACPAAB⊥⊥，以A为坐标原点，直线ABACAP，，分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，()()()()()0,0,0,0,0,4,1,0,0,1,1,0,0,1,2AP

DEF，(0,0,4)AP=，(0,1,0)DE=，()1,1,2DF=−，设平面DEF的法向量为(,,)mxyz=，则020mDEymDFxyz===−++=，令1z=，得()2,0,1m=，设直线PA与平面DEF所成角为，则||4

5sin|cos,|5||||45APmAPmAPm====，所以2525cos1()55=−=.故选：A7．如图，已知二面角l−−的大小为60o，A，B，,CDl，,ACl

BDl⊥⊥且3ACBD==，5CD=，则AB=（）A．34B．6C．213D．7【答案】A【分析】根据题意得到ABACCDDB=++，利用()22ABACCDDB=++结合向量的数量积的运算公式，即可求解．【详解】因为二面角l−−的大小为60，A，B，,CDl，ACl⊥，BD

l⊥，所以AC与DB的夹角为120，又因为ABACCDDB=++，所以()22222222ABACCDDBACCDBDACCDCDDBDBAC=++=+++++1925900233342=+++++−=，所以34A

B=，即34AB=．故选：A．8．设直线l：20xy+−=，点()1,0A−，()10B,，P为l上任意一点，则PAPB+的最小值为（）A．13B．10C．7D．5【答案】B【分析】先求得点()1,0A−关于直线l的

对称点A的坐标，则AB即为PAPB+的最小值.【详解】设点()1,0A−关于直线l的对称点为(),Amn，则有12022(1)11mnnm−+−=−=−+，解之得23mn==，则()2,3A，则PAPB+的最小

值为()()22213010AB=−+−=故选：B{#{QQABJYAEogAgAABAAQgCAQ2ACkIQkhAACYgGAEAEsAAByANABAA=}#}第5页共14页◎第6页共14页二、多选题9．若()()()121,,632PABPAPB===，则下列说法正确的是（）A．()

12PA=B．事件A与B不互斥C．事件A与B相互独立D．事件A与B不一定相互独立【答案】BC【分析】利用对立事件概率和为1可判断A错误；根据互斥事件不可能同时发生，可判断B正确；根据相互独立事件的定义和性质，可以判断C正确，D错误.【详解】()221,()

1,333PAPA==−=故A错误；又()10,6PAB=所以事件A与B不互斥，故B正确；111()()(),326PAPBPAB===则事件A与B相互独立，故C正确；因为事件A与B相互独立，所以事件A与B一定相互独立，故D错误.

故选：BC.10．若直线:(21)(3)10laxay−+−+=不经过第四象限，则实数a的可能取值为（）A．13B．43C．3D．4【答案】BC【分析】由直线过定点12,55−，讨论直线斜率范围即可

.【详解】直线方程可化为()2310axyxy+−−+=，由20310xyxy+=−−+=，解得1525xy=−=，即直线过定点12,55−，定点在第二象限，直线:(21)(3)10

laxay−+−+=不经过第四象限，则直线斜率不存在或斜率大于等于0，3a=时，直线斜率不存在；斜率大于等于0，即2103aa−−−，解得132a.综上可知，实数a的取值范围为1,32，BC选项符合.故选：BC.11．已知单位向量i，j，k两两所成的夹

角均为（0π，且π2），若空间向量a满足(),,Raxiyjzkxyz=++，则有序实数组(),,xyz称为向量a在“仿射”坐标系Ozyz−（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作(),,axyz=，则下列命题正确的有（）A．已知(2,0,1)a=−，(1

,0,2)b=，则0ab=B．已知111(,,)axyz=，222(,,)bxyz=，则121212(,,)abxxyyzz−=−−−C．已知3π(1,0,0)OA=，3π(0,1,0)OB=，3π(0,0,1)OC=，则三棱锥OABC−的体积21

2V=D．已知π3(,,0)axy=，π3(0,0,)bz=，其中0xyz，则当且仅当xy=，向量a，b的夹角取得最小值【答案】BC【分析】对于A，根据“仿射”坐标的定义结合向量数量积的定义分析判断，对于B，根据“仿射”坐标的定义结合向量的加减法运算分析判断，对于C，由题意可得三棱锥OABC

−是棱长为1的正四面体，从而可求出其体积，对于D，根据“仿射”坐标的定义结合向量的夹角公式分析判断.【详解】对于A，2aik=−，2bik=+，(2)(2)3cosabikik=−+=，π2，0ab，故A错；对于B

，∵111(,,)axyz=，222(,,)bxyz=，∴111axiyjzk=++，222bxiyjzk=++∴()()()121212abxxiyyjzzk−=−+−+−，()121212,,abxxyyzz−=−−−，故B对；对于C，由题意，三棱锥

OABC−是棱长为1的正四面体，则正四面体的高为222361323h=−=，113621322312OABCV−==，故C对；对于D，由π3(,,0)axy=，π3(0,0,

)bz=，得axiyj=+，bzk=∴()()()12abxiyjzkxzyz=+=+，22axyxy=++，2bz=，∴2222222,01()22cos,,02xyzxzyzxyxyabxyxyxyzzxyxy++++==+++−++，{#{QQABJYAEogAg

AABAAQgCAQ2ACkIQkhAACYgGAEAEsAAByANABAA=}#}第7页共14页◎第8页共14页当xy=时，3,03cos,3,03xzxabxzx=−，当0x时，3,03cos

,3,03zabz=−，则a与b的夹角不一定取得最小值，故D错．故选：BC．【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数

学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答.第II卷（非选择题）三、填空题12．设空间向量()1,,2am=−，()2,2,4b=−，若ab⊥，则m=.【答案】5【分析】根据空间向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.【详解】因为ab⊥，所以01222405abm

m=−+−==，故答案为：513．重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源.甲、乙两人相约来到重庆旅游，两人分别从,,,ABCD四个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人恰好选择同一景点的概率为.【答案】14/0.25【分析】利

用古典概型的概率公式进行求解即可.【详解】甲、乙选择的景点可能为：,,,,,,,,,,,,,,,AAABACADBABBBCBDCACBCCCDDADBDCDD共16种可能；甲、乙两人恰好选择同一景点的可能为,,,AABBCCDD共4种可能；因此甲、乙两

人恰好选择同一景点的概率为41164=.故答案为：14.14．在正方体ABCD−1111DCBA中，点Р在侧面11BCCB(包括边界)上运动，满足AP1BD⊥记直线1CP与平面1ACB所成角为α，则sin的取值范围是【答案】36,33【分析】利用坐标法，可得点P在1

BC上，然后利用线面角的向量求法可得()221sinα=31xx+−，然后利用二次函数的性质即得.【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则()()()()111,1,0,0,0,1,0,1,1,1,0,0BDCA，由题可设(),1,Pxz，则()()11,1,1,1,1

,BDAPxz=−−=−，∴1110BDAPxz=−−+=，即0xz−=，∴点P在1BC上，又()1,0,1PxxC=−，0,1x，平面1ACB的一个法向量可取()11,1,1BD=−−，∴()11221sinα=cos31,PB

DCxx=+−22113221113222xxx==−+−+，又0,1x，∴21112,1222x−+，36sinα,33，{#{QQABJYAEogAgAABAAQgCAQ2ACkIQkhAACYgGAEAEsAAByANABAA=

}#}第9页共14页◎第10页共14页即sin的取值范围是36,33.故答案为：36,33.四、解答题15．求经过直线1L：370xy+−=与直线2L：2310xy−−=的交点M，且满足下列条件的直线方程.（1）与直线210xy++=平行；（2）与直线210xy

++=垂直.【答案】（1）250xy+−=；（2）20xy−=.【分析】先求出交点坐标，再根据直线的点斜式，即可求解.【详解】解：()1直线1L：370xy+−=与直线2L：2310xy−−=的交点M，3702310xyxy+−=−−=，解得21xy==，

所以交点()21M，，所求直线方程与直线210xy++=平行，所求直线的斜率为2−，所求直线方程为()122yx−=−−，即250xy+−=.()2所求直线与直线210xy++=垂直，所求直线的斜率为12，所求直线方程为()1122yx−=−，即2

0xy−=16．如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，E，F分别为棱1DD，11CD的中点.(1)求1BF//平面1ABE；(2)求直线BE与平面11ABBA所成角的正弦值.【答案】(1)见解析(2)

23【分析】（1）建空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行；（2）利用空间向量求线面角的正弦值即可.【详解】（1）以A为原点，1,,ABADAA所在直线分别为,,xyz轴，建立如图所示的空间直角坐标系．依题意，得()()()()2,0,0,0,2,1,0,0,0,0,2,0BEAD

，则()()112,0,2,0,2,1ABAE=−=−，设平面1ABE的法向量()1111,,nxyz=，111100ABnAEn==，所以111122020xzyz−=−=，取12z=，得()12,1,2.n=因为()11,2,0BF=−，所以112200BFn

=−++=．所以11BFn⊥．又1BF面1ABE．所以1//BF面1ABE．（2）()0,2,0,BC=正方体1111ABCDABCD−中，⊥BC平面11ABBA故BC是平面11ABBA的法向量，因为()2,2,1BE=−，所以2cos,3BEBCBEBCBE

BC==，所以直线BE和平面11ABBA所成的角的正弦值为23．17．在ABCV中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足222sinsinsinsinsinACBAC+=+.(1)求角B的大小；{#{QQABJYAEogAgAABAAQgCAQ2ACk

IQkhAACYgGAEAEsAAByANABAA=}#}第11页共14页◎第12页共14页(2)若ABCV的面积为3，求ac+的最小值．【答案】(1)π3B=(2)4【分析】（1）利用边角互化思想得222a

cbac+−=，由余弦定理求出cosB的值，从而得出角B的值；（2）由三角形的面积公式得出ac的值，再由基本不等式即可计算得解．【详解】（1）由正弦定理得222acbac+=+，又由余弦定理得2221cos222acbacBacac+−===，因为B是三角形内角，所以π3B=；（

2）由三角形面积公式得：11π3sinsin32234ABCSacBacac====，解得4ac=，因为24acac+=，当且仅当2ac==时取等号，所以ac+的最小值为4，此时ABCV为等边三角形．18．2020年年底，某城市的地铁建设项目已经基本完工，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地

铁站点随机抽取若干市民对该项目进行评分(评分均为整数，最低分40分，最高分100分)，绘制如下频率分布直方图，并将市民的所有打分分数从低到高分为四个等级：满意度评分低于60分60分到79分80分到89分不低于90分满意度等级不满意基本满意满意非常满意已知满意度等

级为“基本满意”的市民有680人．（1）求频率分布于直方图中a的值，并依据频率分布直方图估计评分等级为“不满意”的人数；（2）在（1）所得评分等级为“不满意”的市民中，老年人占13，中青年占23，现从该等级市民中按

年龄分层抽取6人了解不满意的原因，并从中选取2人担任整改督导员，求至少有一位老年督导员的概率；（3）相关部门对项目进行验收，验收的硬性指标是：市民对该项目的满意指数不低于0.8，否则该项目需进行整改．已知频率分布直方图中同一组中的数据用该组区间中点值代替，根据你所学的统计

知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由．（注：满意指数=100满意度评分的平均分）【答案】（1）0.025a=，不满意的人数为120人；（2）35；（3）能通过验收，理由见解析．【分析】（1）由频率分布直方图知，0.025a=，进而可

得结果.（2）由分层抽样可得中青年抽取4人分别记为1234AAAA、、、，老年人抽取2人分别记为12BB、，由古典概型即可得出结果.（3）计算可得市民满意程度的平均得分为80.7，进而可得结果.【详解】（

1）由频率分布直方图知，0.0350.0200.0140.0040.0020.075,++++=由100.075)1a+=（解得0.025a=，设总共调查了N个人，则基本满意的为10(0.0140.020)680N+=，解得2000N=人．不满意的

频率为10(0.0020.004)0.06+=，所以共有20000.06120=人，即不满意的人数为120人．（2）评分等级为“不满意”的120名市民中按年龄分层抽取6人，则中青年抽取4人分别记为1234AAAA、、、

，老年人抽取2人分别记为12BB、，从6人中选取2人担任整改督导员的所有的抽取方法有12131411122324AAAAAAABABAAAA、、、、、、、2122343132414212ABABAAABABABABBB、、、、、、、共15种

，抽不到老年人的情况为6种，所以至少有一位老年督导员的概率631-155P==．（3）所选样本满意程度的平均得分为：450.02550.04650.14750.2850.35950.2580.7+++++=，估计市民满意程度的平均得分为80.

7，所以市民满意指数为80.70.8070.8100=，故该项目能通过验收．19．如图，在四棱锥PABCD−中，平面PAD⊥平面ABCD，ABAD⊥，5ABAD+=，2CD=，120PAD=，=45ADC.{#{

QQABJYAEogAgAABAAQgCAQ2ACkIQkhAACYgGAEAEsAAByANABAA=}#}第13页共14页◎第14页共14页(1)求证：平面PAB⊥平面PAD；(2)设ABAP=.①若直线PB与平面PCD所成角

的正弦值为3344，求线段AB的长.②在线段AD上是否存在点G，使得点P，C，D在以G为球心的球上？若存在，求线段AB的长；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)①2AB=或7023AB=；②不存在点G，理由见解析【分析】（1）利用面面垂直的性质可证得AB⊥平面PAD，再利用面面垂直

的判定定理即可证得结论；（2）①依题意建立适当空间直角坐标系，设ABt=，利用题设条件，分别求得相关点和向量的坐标，利用空间向量坐标的夹角公式列出方程，求解即得t的值；②假设存在点G，可由GCGD=推得1GD=，得点G

坐标，由GPGD=得方程24150tt−+=，因此方程无实数解，假设不成立.【详解】（1）在四棱锥PABCD−中，平面PAD⊥平面ABCD，ABAD⊥，AB平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，所以AB⊥平面PAD，又AB平面PAB，所以平面P

AB⊥平面PAD；（2）如图以A为原点，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，建立如图所示直角空间坐标系Axyz−，设ABt=，则APt=，由5ABAD+=，2CD=，120PAD=，=45ADC，则(),0,0Bt，30,,22ttP−

，因5ADt=−，则()0,5,0Dt−，()1,4,0Ct−，所以31,4,22ttCP=−−，()1,1,0CD=−，①设平面PCD的法向量为𝑛⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，由nCP⊥，nCD⊥

，得：830220ttxyzxy−−++=−+=，可取101,1,3tnt−=，设直线PB与平面PCD所成角为，则有：sincos,nBP=，3,,22ttBPt=−−，即：22221033224410311443tttttttt−−−+=−+

+++，化简得：2231161400tt−+=，解得2t=或7023t=，即2AB=或7023AB=，②如图，假设在线段AD上是否存在点G，使得点P，C，D在以G为球心的球上，由GCGD=，得45GCDGDC==，所以90CGD=，所以cos451GDC

D==，又ABt=得5ADt=−，4AGADGDt=−=−，所以()0,4,0Gt−，30,,22ttP−，由GPGD=得()2234122ttt−−−+=，即2234124tt−+=

，亦即24150tt−+=（*），因为()2Δ44150=−−，所以方程（*）无实数解，所以线段AD上不存在点G，使得点P，C，D在以G为球心的球上.【点睛】方法点睛：根据题意，创建合适的空间直角坐标系，利

用空间向量夹角的坐标表达式即可求解相关问题，对于开放性问题，一般是假设结论成立，通过推理计算求得结论成立的条件或者推导出矛盾.{#{QQABJYAEogAgAABAAQgCAQ2ACkIQkhAACYgGAEAEsAAB

yANABAA=}#}