【文档说明】重庆市璧山来凤中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(17)页，923.978 KB，由小赞的店铺上传

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来凤中学高二（上）数学第一次月考命题人：向宁波审题人：胡耀学区分度：0.32注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题1.直线30xy++=与直线230xy−+=的交点坐标为（）A.()3,0−B

.()2,3−−C.()0,1D.()1,0−2.在长方体1111ABCDABCD−中，1ABADBB++等于（）A.ACB.1ACC.1BCD.1BD3.已知平行四边形ABCD中，()4,1,3A，()2,5,1B−，()3,7,5C−，则顶点D的坐标为（）A.7,4,12−

B.()2,3,1C.()3,1,5−D.()5,13,3−4.已知()()2,,,mababab=−+−R是直线l的方向向量，()2,1,2n=−是平面的法向量.若l⊥，则下列选项正确的是（）A.340ab−−=B.350

ab−−=C.12a=−，32b=D.12a=，32b=−5.已知直线l：153xy−=的倾斜角为，则sin2=（）A.1534−B.1534C.1517−D.15176.在三棱锥PABC−中，PA⊥平面ABC，90BAC=，D，E，F分别是棱AB，BC

，CP的中点，2ABAC==，4PA=，则直线PA与平面DEF所成角的余弦值为（）A.255B.55C.35D.2357.如图，已知二面角l−−的大小为60°，A，B，,CDl，ACl⊥，BDl⊥且3ACB

D==，5CD=，则AB=（）A.34B.6C.213D.78.设直线l：20xy+−=，点()1,0A−，()1,0B，P为l上任意一点，则PAPB+的最小值为（）A.13B.10C.7D.5二、多选题9.若()16PAB=，()23PA=，()12

PB=，则下列说法正确的是（）A.()12PA=B.事件A与B不互斥C.事件A与B相互独立D.事件A与B不一定相互独立10.若直线l：()()21310axay−+−+=不经过第四象限，则实数a的可能取值为（）A.13B.43C.3D.411.已知单位向量

i，j，k两两所成的夹角均为（0π，且π2），若空间向量a满足()+,,axiyjkxzzy=+R，则有序实数组(),,xyz称为向量a在“仿射”坐标系Oxyz−（O为坐标原点）下的“仿射”坐

标，记作(),,axyz=，则下列命题正确的有（）A.已知()2,0,1a=−，()1,0,2b=，则0ab=B.已知()111,,axyz=，()222,,bxyz=，则()121212,,abxxyyzz−

=−−−C.已知()π31,0,0OA=，()π30,1,0OB=，()π30,0,1OC=，则三棱锥OABC−的体积212V=D.已知()π3,,0axy=，()π30,0,bz=，其中0xyz，则

当且仅当xy=，向量a，b的夹角取得最小值第II卷（非选择题）三、填空题12.设空间向量()1,,2am=−，()2,2,4b=−，若ab⊥，则m=__________.13.重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源.甲、乙两人相约来到重庆旅游，两人分

别从A，B，C，D四个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人恰好选择同一景点的概率为__________.14.在正方体1111ABCDABCD−中，点Р在侧面11BCCB（包括边界）上运动，满足1APBD⊥记直线1CP与平面1ACB所成角为，则sin

的取值范围是__________.四、解答题15.求经过直线1L：370xy+−=与直线2L：2310xy−−=的交点M，且满足下列条件的直线方程.（1）与直线210xy++=平行；（2）与直线210xy++=垂直.16.如

图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，E，F分别为棱1DD，11CD的中点.（1）求1BF∥平面1ABE；（2）求直线BE与平面11ABBA成角的正弦值.17.在ABC△中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足222sinsin

sinsinsinACBAC+=+.（1）求角B的大小；（2）若ABC△的面积为3，求ac+的最小值.18.2020年年底，某城市的地铁建设项目已经基本完工，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地铁站点随机抽取若干市民对该项目进行评分（评分均为整数，最低分40分，最高分100分），绘制如下频

率分布直方图，并将市民的所有打分分数从低到高分为四个等级：满意度评分低于60分60分到79分80分到89分不低于90分满意度等级不满意基本满意满意非常满意已知满意度等级为“基本满意”的市民有680人.（1）求频率分布于直方图中a的值，并依据频率分布直方图估计评分等级

为“不满意”的人数；（2）在（1）所得评分等级为“不满意”的市民中，老年人占13，中青年占23，现从该等级市民中按年龄分层抽取6人了解不满意的原因，并从中选取2人担任整改督导员，求至少有一位老年督导员的概率；（3

）相关部门对项目进行验收，验收的硬性指标是：市民对该项目的满意指数不低于0.8，否则该项目需进行整改.已知频率分布直方图中同一组中的数据用该组区间中点值代替，根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由.（注：满意指数=100满意度评分的平均分）19.如图，在四棱

锥PABCD−中，平面PAD⊥平面ABCD，ABAD⊥，5ABAD+=，2CD=，120PAD=，45ADC=.（1）求证：平面PAB⊥平面PAD；（2）设ABAP=.①若直线PB与平面PCD所成角的正弦值为3344，求线段AB的长.②在线段AD上是否存在点G，使得点P，C，

D在以G为球心的球上？若存在，求线段AB的长；若不存在，说明理由.参考答案一、单选题1.【答案】A【分析】由两直线交点坐标的求法，只需联立两直线方程，解方程组即可得解.【详解】解：联立两直线方程30230xyxy++=−

+=，解得30xy=−=，故两直线的交点坐标为()3,0−，故选A.2.【答案】B【分析】根据长方体1111ABCDABCD−，得到相等的向量，再利用空间向量的加法法则进行计算.【详解】如图，可得ADBC=，11BBCC=，所以111ABA

DBBABBCCCAC++=++=.故选：B3.【答案】D【分析】利用ABDC=，代入坐标运算，即可求解.【详解】因为四边形ABCD是平行四边形，所以ABDC=，设点(),,Dxyz，()2,6,2AB=−−−，()3,7,5D

Cxyz=−−−−，所以327652xyz−=−−=−−−=−，解得：5x=，13y=，3z=−，即定点D的坐标是()5,13,3−.故选：D4.【答案】C【分析】根据l⊥可得m与n共线，由向量的

坐标表示可得答案.【详解】若l⊥，则mn=，即222abab−=+=−−=，解得11232ab=−=−=，且193522ab−=−−=−，即350ab−+=.故选：C.5.【答

案】D【分析】由直线方程可得3tan5=，计算得出正弦、余弦值再利用二倍角公式计算可得结果.【详解】将直线l方程化为斜截式得335yx=−，即3tan5lk==，所以π02，又sin3tancos5==，22sincos1+=，得3sin34=，5cos34=，所以15si

n22sincos17==.故选：D6.【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式，结合线面角的定义进行求解即可.【详解】由90BAC=，得BAAC⊥，又PA⊥平面ABC，,BAAC平面ABC，则PAAC⊥，PAAB⊥，以A为坐标原点，直线AB，AC

，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，()0,0,0A，()0,0,4P，()1,0,0D，()1,1,0E，()0,1,2F，()0,0,4AP=，()0,1,0DE=，()1,1,2DF=−，设平面DEF的法向量为(),,m

xyz=，则020mDEymDFxyz===−++=，令1z=，得()2,0,1m=，设直线PA与平面DEF所成角为，则45sincos,545APmAPmAPm====，所以2525cos155=−=.故选：A7.【答案】A

【分析】根据题意得到ABACCDDB=++，利用()22ABACCDDB=++结合向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】因为二面角l−−的大小为60°，A，B，,CDl，ACl⊥，BDl⊥，所以AC与DB的夹角为120°，又因为ABACCDDB=++，所以(

)22222222ABACCDDBACCDBDACCDCDDBDBAC=++=+++++1925900233342=+++++−=，所以34AB=，即34AB=.故选：A.8.【答案】B【分析】先求得点()1,0A−关于直线l的对称点A的坐标，则AB即为PAPB

+的最小值.【详解】设点()1,0A−关于直线l的对称点为(),Amn，则有()12022111mnnm−+−=−=−+，解之得23mn==，则()2,3A，则PAPB+的最小值为()()22213010AB

=−+−=故选：B二、多选题9.【答案】BC【分析】利用对立事件概率和为1可判断A错误；根据互斥事件不可能同时发生，可判断B正确；根据相互独立事件的定义和性质，可以判断C正确，D错误.【详解】∵()23PA=，∴

()21133PA=−=，故A错误；又()106PAB=，所以事件A与B不互斥，故B正确；∵()()()111326PAPBPAB===，则事件A与B相互独立，故C正确；因为事件A与B相互独立，所以事件A与B一定相互独立，故D错误.

故选：BC.10.【答案】BC【分析】由直线过定点12,55−，讨论直线斜率范围即可.【详解】直线方程可化为()2310axyxy+−−+=，由20310xyxy+=−−+=，解得1525xy=−=，即直线过定点12,55−，定点在第二象限，直线

l：()()21310axay−+−+=不经过第四象限，则直线斜率不存在或斜率大于等于0，3a=时，直线斜率不存在；斜率大于等于0，即2103aa−−−，解得132a.综上可知，实数a的取值范围为1,32，BC选项符合.故选：BC.11.【答案】BC【分析】对于A，根据“仿射”

坐标的定义结合向量数量积的定义分析判断，对于B，根据“仿射”坐标的定义结合向量的加减法运算分析判断，对于C，由题意可得三棱锥OABC−是棱长为1的正四面体，从而可求出其体积，对于D，根据“仿射”坐标的定义结合向量的夹角公式分析判断.【详解】对于A，2aik=−，2bik=+，∴()223co

sabikik=−+=，∵π2，∴0ab，故A错；对于B，∵()111,,axyz=，()222,,bxyz=，∴111axiyjzk=++，222bxiyjzk=++∴()()()121212abxxiyyjzzk−=−+−+−，∴()121212,

,abxxyyzz−=−−−，故B对；对于C，由题意，三棱锥OABC−是棱长为1的正四面体，则正四面体的高为222361323h=−=，∴113621322312OABCV−==，故C对；对于D，由()π3,,0axy=，()π30,0,bz=，得axiyj

=+，bzk=∴()()()12abxiyjzkxzyz=+=+，22axyxy=++，2bz=，∴()2222222,0122cos,,,02xyzxzyzxyxyabxyxyxyzzxyxy++++==+++−++当xy=时，3,03cos,3,

03xzxabxzx=−，当0x时，3,03cos,3,03zabz=−，则a与b的夹角不一定取得最小值，故D错.故选：BC.三、填空题12.【答案】5【分析】根据空间向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.【详解】因为ab⊥，所以01222405abmm=

−+−==，故答案为：513.【答案】14/0.25【分析】利用古典概型的概率公式进行求解即可.【详解】甲、乙选择的景点可能为：AA，AB，AC，AD，BA，BB，BC，BD，CA，CB，CC，CD，DA，DB，DC，DD共1

6种可能；甲、乙两人恰好选择同一景点的可能为AA，BB，CC，DD共4种可能；因此甲、乙两人恰好选择同一景点的概率为41164=.故答案为：14.14.【答案】36,33【分析】利用坐标法，可得点P在1BC上，

然后利用线面角的向量求法可得()221sin31xx=+−，然后利用二次函数的性质即得.【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则()1,1,0B，()10,0,1D，()10,1,1C，()1,0,0A，由题可设(),1,Pxz，则()11,1,1BD

=−−，()1,1,APxz=−，∴1110BDAPxz=−−+=，即0xz−=，∴点P在1BC上，又()1,0,1CPxx=−，0,1x，平面1ACB的一个法向量可取()11,1,1BD=−−，∴11221sincos,3(1)CPBDxx==+−221132211

13222xxx==−+−+，又0,1x，∴21112,1222x−+，36sin,33，即sin的取值范围是36,33.故答案为：36,33.四、解答题15.【答案】（1）2

50xy+−=；（2）20xy−=.【分析】先求出交点坐标，再根据直线的点斜式，即可求解.【详解】解：（1）∵直线1L：370xy+−=与直线2L：2310xy−−=的交点M，∴3702310xyxy+−=−−=，解得21

xy==，所以交点()2,1M，∵所求直线方程与直线210xy++=平行，∴所求直线的斜率为-2，∴所求直线方程为()122yx−=−−，即250xy+−=.（2）∵所求直线与直线210xy++=垂直，∴所求直线的斜率为12，∴所求直

线方程为()1122yx−=−，即20xy−=16.【答案】（1）见解析（2）23【分析】（1）建空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行；（2）利用空间向量求线面角的正弦值即可.【详解】（1）以A为原点，AB，AD，1AA

所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.依题意，得()2,0,0B，()0,2,1E，()0,0,0A，()0,2,0D，则()12,0,2AB=−，()10,2,1AE=−，设平面1ABE的法向量()1111,,nxyz=，1

11100ABnAEn==，所以111122020xzyz−=−=，取12z=，得()12,1,2n=.因为()11,2,0BF=−，所以112200BFn=−++=.所以11BFn⊥.又1BF面1ABE.所以1BF∥面.（2）()0,2,0BC=，正方体

1111ABCDABCD−中，BC⊥平面11ABBA故BC是平面11ABBA的法向量，因为()2,2,1BE=−，所以2cos,3BEBCBEBCBEBC==，所以直线BE和平面11ABBA所成的角的正弦值为23.17.【答案】（1）π3B=（2）4【分析】（1）利用边角互化思想得

222acbac+−=，由余弦定理求出cosB的值，从而得出角B的值；（2）由三角形的面积公式得出ac的值，再由基本不等式即可计算得解.【详解】（1）由正弦定理得222acbac+=+，又由余弦定理得2221cos222acbacBacac+−===，因为B是三角形内角，所以π3B=；（

2）由三角形面积公式得：11π3sinsin32234ABCSacBacac====△，解得4ac=，因为24acac+=，当且仅当2ac==时取等号，所以ac+的最小值为4，此时ABC△为等边三角形.18.【答案】（1）0.025a=，不满意的人数为120人；（2）35；（3）能通过验收，

理由见解析.【分析】（1）由频率分布直方图知，0.025a=，进而可得结果.（2）由分层抽样可得中青年抽取4人分别记为1A、2A、3A、4A，老年人抽取2人分别记为1B、2B，由古典概型即可得出结果.（3）计算可得市民满意程度的平均得分为80.7，进而可得结果.【详解】（1

）由频率分布直方图知，0.035+0.020+0.014+0.004+0.002=0.075，由()100.0751a+=解得0.025a=，设总共调查了N个人，则基本满意的为()100.0140.020680N+=，解得2000N=人.不满意的频率为()100.00

20.0040.06+=，所以共有2000×0.06=120人，即不满意的人数为120人.（2）评分等级为“不满意”的120名市民中按年龄分层抽取6人，则中青年抽取4人分别记为1A、2A、3A、4A，老年人抽取2人分别记为1B、2B，从6人中选取2人担任整改督导员的

所有的抽取方法有12AA、13AA、14AA、11AB、12AB、23AA、24AA、21AB、22AB、34AA、31AB、32AB、41AB、42AB、12BB共15种，抽不到老年人的情况为6种，所以至少有一位老年督导员的概率631155P=

−=.（3）所选样本满意程度的平均得分为：450.02550.04650.14750.2850.35950.2580.7+++++=，估计市民满意程度的平均得分为80.7，所以市民满意指数为80.70.8070.8100

=，故该项目能通过验收.19.【答案】（1）证明见解析（2）①2AB=或7023AB=；②不存在点G，理由见解析【分析】（1）利用面面垂直的性质可证得AB⊥平面PAD，再利用面面垂直的判定定理即可证得结论；（2）①依题意建立适当空间直角坐标系，设ABt=，利用题

设条件，分别求得相关点和向量的坐标，利用空间向量坐标的夹角公式列出方程，求解即得t的值；②假设存在点G，可由GCGD=推得1GD=，得点G坐标，由GPGD=得方程24150tt−+=，因此方程无实数解，假设不成立.【详解】（1）在四棱锥PABCD

−中，平面PAD⊥平面ABCD，ABAD⊥，AB平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，所以AB⊥平面PAD，又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD；（2）如图以A为原点，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，建立如图所示直角空间坐标系Axyz−，设ABt=，则APt=，由5

ABAD+=，2CD=，120PAD=，45ADC=，则(),0,0Bt，30,,22ttP−，因5ADt=−，则()0,5,0Dt−，(1,4,0)Ct−，所以31,4,22ttCP=−−

，(1,1,0)CD=−，①设平面PCD的法向量为(,,)nxyz=，由nCP⊥，nCD⊥，得：830220ttxyzxy−−++=−+=，可取101,1,3tnt−=，设直线PB与平面PCD所成角为，则有

：sincos,nBP=，3|,,22ttBPt=−−，即：22221033224410311443tttttttt−−−+=−++++，化简得：2231161400tt−+=，解得2t=或7023t=，即2AB=或7023AB=，②如图，假设在线段A

D上是否存在点G，使得点P，C，D在以G为球心的球上，由GCGD=，得45GCDGDC==，所以90CGD=，所以cos451GDCD==，又ABt=得5ADt=−，4AGADGDt=−=−，所以(0,4,0)Gt−，30,,22ttP−

，由GPGD=得223(4)122ttt−−−+=，即2234124tt−+=，亦即24150tt−+=（*），因为2(4)4150=−−△，所以方程（*）无实数解，所以线段AD上不存在点G，使得点P，C，D在以G为球心的球上.