【文档说明】黑龙江省大庆市大庆实验中学2022届高三上学期开学考试文科数学试题 含答案.doc，共(12)页，1.287 MB，由小赞的店铺上传

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大庆实验中学2021-2022学年度高三上学期开学考试数学（文）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合10Axx=+，22150,ZBxxxx=+−，则AB=（）A．{}1,0,1,2-B．1,2,3−C．1,2,

3,4D．1,2,3,4,52．已知复数z满足()1i1iz−=+，则复数z的虚部为（）A．1B．iC．i−D．1−3．设nS是等比数列na的前n项和，若34S=，4566aaa++=，则96SS=（）A．32B．1910C．53D．1964

．已知1cos3=，则πsin22+=（）A．79B．79−C．29D．29−5．新冠肺炎病毒可以通过飞沫方式传染，已知甲通过检测确诊为新冠肺炎，经过追踪发现甲有,,,,ABCDE共5名密切接触者，现把这

5人分为2组（一组2人，一组3人），分别送到2个医院进行隔离观察，则,AB在同一个医院的概率为（）A．15B．310C．25D．126．双曲线()222210,0xyabab−=的一条渐近线方程为13yx=，则该双曲线的离心率为（）A．10B．2C．233D．1037．如图，在

正方体1111ABCDABCD−中，1AB与1CB所成的角为（）A．6B．3C．2D．238．设变量,xy满足约束条件0,1,21,xyxyxy+−+，则目标函数2zxy=−的最大值为（）A．12B．1C．32D．32−9．执行如图所

示的程序框图，若输入2021N=，则输出的结果是（）A．1010−B．1010C．1011D．1011−10．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝

合缝的十字立方体，其上、下、左右、前后完全对称，从外表上看，六根等长的正四棱柱分成三组，经90榫卯起来。如图，若正四棱柱的高为8，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值

为（）（容器壁的厚度忽略不计）A．21B．40C．41D．8411．已知函数()()sin3cos30fxxx=+−在0,2上有且仅有三个零点，则的取值范围是（）A．1014,33B．1014,33

C．144,3D．144,312．已知函数()fx满足：Rx，()()2cosfxfxx+−=，且()sin0fxx+.若角满足不等式(π)()0ff++，则的取值范围是（）A．[,)2−+

B．(,]2−−C．[,]22−D．[0,]2二、填空题（本大题共4题，每小题5分，满分20分）13．已知向量()4,2a=，向量(),1bx=−，若//ab，则b=.14．已知点F是抛物线24yx=的焦点，P是抛物线上的一个动点，(3,1)A，则AP

F周长的最小值为.15．已知函数()fx定义域为R，满足()(2)fxfx=−，且对任意121xx，均有()()12120xxfxfx−−成立，则不等式(21)(3)0fxfx−−−的解集为．16．在ABC中，60BAC

=，3BC=，D是BC上的点，AD平分BAC，若2AD=，则ABC的面积为.三、解答题（本大题共6题，满分70分）17．（本题满分12分）第32届奥运会于2021年7月23日至8月8日在日本东京举行，期间正值学校放暑假，某校工会对全校教职工在奥运会期间每天收看比赛的时间作了一次调

查，得到如下频数分布表：收看时间（单位：小时）)0,1)1,2)2,3)3,4)4,5)5,6收看人数143016282012（1）若将每天收看比赛时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”，否则

定义为“非体育达人”，请根据频数分布表补全22列联表：男女合计体育达人40非体育达人30合计并判断能否有90％的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关；（2）在全校“体育达人”中按性别分层抽样

抽取6名，再从这6名“体育达人”中选取2名做奥运会知识讲座.求抽取的这两人恰好是一男一女的概率.附表及公式：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++()20PKk0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k2.07

22.7063.8415.0246.6357.87910.82818．（本题满分12分）如图，在三棱柱111ABCABC−中，1AA⊥底面ABC，且ABC为等边三角形，16AAAB==，D为AC的中点．（1）求证：直

线1//AB平面1BCD；（2）求三棱锥1CBDC−的体积．19．（本题满分12分）已知等差数列na中，公差0d，1177S=，且2a，61a−，11a成等比数列．（1）求数列na的通项公式；（2）若nT为数列11nnaa+的前n项和，且存在*

nN，使得10nnTa+−成立，求实数的取值范围．20．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆()2222:10xyCabab+=的离心率为22且短轴长为2.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与椭圆C交于M，N两点，()0,1P，直线PM与直线

PN的斜率之积为16，证明：直线l过定点并求出该定点坐标.21．已知函数()32()fxxxaxa=−+R，()lngxxx=．（1）求曲线()gx在1x=处的切线方程；（2）对任意(0,xa，()()fxgx恒成立，求实数a的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做。则

按所做的第一题记分．答题时用2B铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.22．（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为312132xtyt=−=−+

（t为参数）.以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为23sin=−.（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）设点()1,3P−，直线l与曲线C相交于A，B两点，求22||||PAPB+的值.23．（本题满分10分）

选修4-5：不等式选讲已知关于x的不等式35xxm−+−的解集不是空集，记m的最小值为t.（1）求t；（2）已知0a，0b，221max,abcatb+=求证：1c.注：maxA表示数集A

中的最大数.大庆实验中学2021-2022学年度高三上学期开学考试数学（文）答案1-12ADBBCDBCCDDA13.514.45+15.4(,0],3−+16.33217．（本题满分12分）第32届奥运会于20

21年7月23日至8月8日在日本东京举行，期间正值学校放暑假，某校工会对全校教职工在奥运会期间每天收看比赛的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：收看时间（单位：小时）)0,1)1,2)2,3)3,4)4,5)5,6收看人数143016282

012（1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”，否则定义为“非体育达人”，请根据频数分布表补全22列联表：男女合计体育达人40非体育达人30合计并判断能否有90％的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关；（2）在全校“体育达人”中按性别分层抽

样抽取6名，再从这6名“体育达人”中选取2名作冬奥会知识讲座.求抽取的这两人恰好是一男一女的概率.附表及公式：()20PKk0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k2.0722.7063.

8415.0246.6357.87910.828()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++.【答案】（1）填表见解析；有90％的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关；（2）815.【分析】(1)依题意完善列联表，计算卡方，再跟参考值相

比较，即可判断；（2）记“抽取的这两人恰好是一男一女”为事件A，则()114226CCPAC=，计算可得；【详解】解:（1）由题意得下表：男女合计体育达人402060非体育达人303060合计70501202k的观测值

为()21201200600242.706705060607−=.所以有90％的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关.（2）由题意知抽取的6名“体育达人”中有4名男职工，2名女职工

，记“抽取的这两人恰好是一男一女”为事件A，()114226815CCPAC==.答：抽取的这两人恰好是一男一女的概率为815.【点睛】本题考查独立性检验以及古典概型的概率计算，属于基础题.18．如图，在三棱柱111ABCABC−中，1AA⊥底面

ABC，且ABC为等边三角形，16AAAB==，D为AC的中点．（1）求证：直线1//AB平面1BCD；（2）求证：平面1BCD⊥平面11ACCA；（3）求三棱锥1CBDC−的体积．【答案】（1）证明见详解；（2）证明

见详解；（3）93．【分析】（1）连接1BC交1BC于O，连接OD，则点O为1BC中点，根据三角形中位线可得1//ODAB，结合线面平行的判定定理，得直线1AB//面1BCD；（2）由1AA⊥面ABC，得1AABD⊥，正三角形ABC中，

中线ACBD⊥，结合线面垂直的判定定理，得BD⊥面11ACCA，最后由面面垂直的判定定理，证出面1BCD⊥面11ACCA；（3）解正三角形可得3CD=，33BD=，根据1113CBCDBCDVCCS−=可得结果.【详解】（1）连接1BC交1B

C于O，连接OD，在1BAC△中，D为AC中点，O为1BC中点，所以1//ODAB，又OD面1BCD，∴直线1AB//面1BCD；（2）∵1AA⊥面ABC，BD面ABC，∴1AABD⊥．又ACBD⊥，1AAACA=，∴1AA

，AC面11ACCA，∴BD⊥面11ACCA．又BD面1BCD，∴面1BCD⊥面11ACCA；（3）∵ABC为正三角形，D为AC中点，∴BDAC⊥，由6AB=，可知3CD=，33BD=．∴19322BCDSCDBD==，又∵1AA⊥面ABC，且16AAAB==，∴1C

C⊥面ABC，且16CC=，∴1111933CBCDCBCDBCDVVCCS−−===．【点睛】方法点睛：在证明线面平行时，主要通过以下几种形式得到线线平行：1、通过三角形中位线；2、通过构造平行四边形；3、通过面面平行；由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个

证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．19．已知等差数列na中，公差0d，1177S=，且2a，61a−，11a成等比数列．（1）求数列na的通项公式；（2）若nT为数列11nnaa+的前n项和，且存在*nN，使得10nnTa

+−成立，求实数的取值范围．【答案】（1）1nan=+；（2）1,16−．【分析】（1）由题中条件，列出方程组求解，得出首项和公差，即可得出通项公式；（2）根据裂项相消的方法，先求出nT，得出()222nn+，求出()222nn+的最大值

，即可得出结果.【详解】（1）由题意可得()()()121111110117725110adadadad+=+−=++即157,(74)(75)36addd+=−+=又因为0d，所以12,1.ad=

=所以1nan=+．（2）∵()()111111212nnaannnn+==−++++，∴111111233412nTnn=−+−++−=++()112222nnn−=++．∵存在*Nn，使得10nnTa+−成立．∴存在*Nn，使得()()2022nnn−+

+成立．即存在*Nn，使得()222nn+成立．∵()()21114244162224nnnn==++++（当且仅当2n=时取等号）．∴116，即实数的取值范围是1,16−．【点睛】结论点睛：裂

项相消法求数列和的常见类型：（1）等差型111111nnnnaadaa++=−，其中na是公差为()0dd的等差数列；（2）无理型1nknknnk+−=++；（3）指数型()11nnna

aaa+−=−；（4）对数型11logloglognaanannaaaa++=−.21．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆()2222:10xyCabab+=的离心率为22且短轴长为2.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与椭圆C交于M，N两点，()0,1

P，直线PM与直线PN的斜率之积为16，证明直线l过定点并求出该定点坐标.【答案】（1）2212xy+=；（2）证明见解析，()0,2.【分析】（1）由离心率和短轴长列方程组解得,,abc，可得椭圆方程；（2）讨论直线l斜率

不存在时，是否符合题意，斜率存在时设直线方程为:lykxm=+，()11,Mxy，()22,Nxy，直线方程代入椭圆方程，有0，应用韦达定理得1212,xxxx+，然后代入16PMPNkk=中求得m值，即得定点坐标．【详解】解：（1）由2222222cababc===

+得211abc===∴椭圆C的标准方程为2212xy+=（2）若直线l的斜率不存在，设(),Mst，则(),Nst−，此时22221111122PMPNstttkkssss−−−−====，与题设

矛盾，故直线l的斜率必存在.设:lykxm=+，()11,Mxy，()22,Nxy，联立2212ykxmxy=++=得：()222214220kxmkxm+++−=，()228210km=−+，∴122421mkxxk+=−+，21222221m

xxk−=+∵()()()2212121212121212121111()116PMPNkxxkmxxmyyyyyykkxxxxxx+−++−−−−++====代入122421mkxxk+=−+，21222221mxxk−=+整理得

：2320mm−+=，解得：2m=或1m=（舍去），即直线过定点()0,2.【点睛】本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交中的定点问题．解题方法是“设而不求”的思想方法，即设交点坐标为1122(,),(,)xyxy，设直线

方程，代入椭圆方程后应用韦达定理得1212,xxxx+（需要根据方便性，可能得1212,yyyy+），代入定点对应的表达式，利用恒等式知识求得定点坐标，利用基本不等式或函数的性质求得最值等等．21．已知函数()32()fxxxaxa=−+R，

()lngxxx=．（1）求曲线()gx在1x=处的切线方程；（2）对任意(0,xa，()()fxgx恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）1yx=−；（2）3(0,ln2)4+．【分析】（1）求出函数(

)gx的导函数，即可求得函数在1x=处的导数值，及曲线()gx在1x=处的切线的斜率，在求出曲线()gx在1x=处的函数值，利用直线的点斜式方程即可得出答案；（2）由对任意(0,xa，()()fxgx恒成立，则2ln0xxxa+−−恒成立，构造函数()2l

nxxxxa+−=−，(0,xa，根据函数的单调性求出函数()2lnxxxxa+−=−的最小值，从而可得出答案.【详解】解：（1）∵()lngxxx=，则()gx的定义域为()0,+?，∴()ln1gxx=+，∴()11g=，∵()10g＝，则切点为()1,0，曲线()

gx在1x=处的切线方程是：1yx=−．（2）∵对任意(0,xa，()()fxgx恒成立，对任意(0,xa，2lnxxax+−恒成立，即2ln0xxxa+−−恒成立，令()2lnxxxxa+−=−，(0,xa则1(1)(21)()21xxxxxx+−=+−=

，①当102a时，当(0,xa时，()0x＜，∴()x在(0,a上单调递减，∴()211111()ln()lnln2024224minxaaaa==−=+−−+，∴102a，②当12a时，当10,2

x时，()0x＜，∴()x在10,2上单调递减，当1,2xa时，()0x，∴()x在1,2a单调递增，∴()1111()lnln22443022minxaa

==+−−=+−，∴13ln224a+，综上，实数a的取值范围是3(0,ln2)4+．22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为312132xtyt=−=−+（t为参数）.以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立

极坐标系.曲线C的极坐标方程为23sin=−.（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）设点()1,3P−，直线l与曲线C相交于A，B两点，求22||||PAPB+的值.【答案】（1）l的普通方程为320xy

++=，曲线C的直角坐标方程为22230xyy++=（2）11【分析】（1）消去参数t可得直线l的普通方程，根据互化公式可得曲线C的直角坐标方程．（2）根据直线的参数方程t的几何意义可得．【详解】解：（1）消去参数t得直线l的普通方程为320xy++=；因为23sin=−，所以223

sin=−，因为cosx=，siny=，所以曲线C的直角坐标方程为22230xyy++=（2）易判断点()1,3P−是直线l上的点，设A，B两点所对应的参数分别为12,tt，将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得2320tt−−=.其中2(3)4(2)110=−−

−=，123tt+=，122tt=−.于是()2121212121212242222211||||ttttttPAPBtttttt+−−+=+===【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程、参数方程以及直线的参数方程t的几何意义，属中档题．23.解：（1）因为.当时取等号，故，即.（2）由（1

）知，则，等号当且仅当，即时成立.∵，∴.