【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修一）专题2.13 直线与圆的位置关系-重难点题型精讲 Word版含解析.docx，共(22)页，856.538 KB，由小赞的店铺上传

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专题2.13直线与圆的位置关系-重难点题型精讲1．直线与圆的位置关系及判定方法(1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下：(2)直线与圆的位置关系的判定方法①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即>0，则直线与圆相交；若有

两组相同的实数解，即=0，则直线与圆相切；若无实数解，即<0，则直线与圆相离.②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离.2．圆的切线及切线方程(1)自一点引圆的切线的条数：①若点在

圆外，则过此点可以作圆的两条切线；②若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；③若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.(2)求过圆上的一点的圆的切线方程：①求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或k不

存在，则由图形可直接得切线方程.②重要结论：a.经过圆上一点P的切线方程为.b.经过圆上一点P的切线方程为.c.经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为.3．圆的弦长问题设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为

，求弦长的方法有以下几种：(1)几何法如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：.(2)代数法将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B.①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元

后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式.4．解与圆有关的最值问题(1)利用圆的几何性质求最值的问题求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线.①如图2-5-1-4①，当

直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d为圆心到直线的距离；②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r；③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离

时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r.(2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围)问题解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用

圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径.①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问

题.(3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦.5．直线与圆的方程的应用(1)解决实际问题的步骤：(2)建系原则建立适当的平面直角坐标系要把握两个原则：①对称性原则.可以选择对称中心为坐标原点，对称轴所在的直线为坐标轴.到两个定点

的距离问题，可以选择两个定点所在的直线以及线段的垂直平分线为坐标轴等.有两条相互垂直的直线的问题则可选其为坐标轴.②集中性原则.可以让曲线上尽可能多的特殊点在坐标轴上.如与三角形有关的问题，可以考虑将三角形的三个顶点全部放在坐标轴上.【题型1直线与圆的位置关系及判定】【方法点拨】①代数法：通过联

立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即=0，则直线与圆相切；若无实数解，即<0，则直线与圆相离.②几何法：由圆心到直线的距离d

与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离.【例1】（2022·江西省高一阶段练习（理））直线mx-2y-m+1=0与圆x2+y2-4x-2y+1=0的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定【解题思路】先根据

圆的方程求出圆心和半径，然后根据不等式恒成立的法则可知3𝑚2+2𝑚+15>0对任意𝑚恒成立，即可知𝑑<2恒成立，即直线与圆相交.【解答过程】解：由题意得：已知圆的方程可化为(𝑥−2)2+(𝑦−1)2=4，即圆心的坐标为(2,1)，半

径为𝑟=2圆心(2,1)到直线𝑚𝑥−2𝑦−𝑚+1=0的距离为𝑑=|2𝑚−2−𝑚+1|√𝑚2+4=|𝑚−1|√𝑚2+4当𝑑<2时，即|𝑚−1|√𝑚2+4<2，则(𝑚−1)2<4(𝑚2+4)整理可知：3𝑚2+2𝑚+15>0，根据

二次函数的性质，𝑎=3>0,Δ=4−4×3×15<0，故不等式恒成立，直线与圆相交；当𝑑≥2时，即|𝑚−1|√𝑚2+4≥2，不等式无解；故直线mx-2y-m+1=0与圆x2+y2-4x-2y+1=0的位置关系是相交；故选：A.【变式1-1】（2022·河南·高二阶段练习）对于任意实数�

�，圆𝐶:𝑥2+𝑦2−6𝑥−8𝑦+12=0与直线𝑙:𝑘𝑥−𝑦−4𝑘+3=0的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．与𝑘的取值有关【解题思路】根据直线方程得到直线经过定点(4,3)，再通过比较点到圆心的距离和半径的大小得到点𝑃在圆的内部，从而得到直线与圆的位置关系.

【解答过程】∵直线𝑙的方程𝑘𝑥−𝑦−4𝑘+3=0，整理得𝑘(𝑥−4)−𝑦+3=0，令{𝑥−4=0−𝑦+3=0，解得{𝑥=4𝑦=3，∴直线𝑙过定点𝑃(4,3)，∵圆𝐶的方程为𝑥2+𝑦2−6�

�−8𝑦+12=0，整理得(𝑥−3)2+(𝑦−4)2=13，∴圆𝐶的圆心𝐶（3，4），半径𝑟=√13，∴圆心𝐶（3，4）到定点𝑃(4,3)的距离为：𝑑=√(3−4)2+(4−3)2=√2

<𝑟，∴点𝑃在圆𝐶的内部，直线与圆的位置关系是相交.故选：A.【变式1-2】（2022·全国·高二课时练习）已知直线𝑙:𝑥−𝑦+2=0与圆𝐶:𝑥2+𝑦2−2𝑦−2𝑚=0相离，则实数m的取值范围是（）A．(−∞,0)B．(−12,+∞)C．(−∞,−14)D．(−

12,−14)【解题思路】由圆心到直线的距离大于半径即可求解.【解答过程】由𝑥2+𝑦2−2𝑦−2𝑚=0，得𝑥2+(𝑦−1)2=2𝑚+1，∵直线𝑙:𝑥−𝑦+2=0与圆𝐶:𝑥2+𝑦2−2𝑦−2𝑚=0相离，∴{2𝑚+1>0,

|0−1+2|√2>√2𝑚+1解得−12<𝑚<−14．∴实数m的取值范围是(−12,−14)，故选:D．【变式1-3】（2022·全国·高二课时练习）已知点𝑀(𝑎,𝑏)(𝑎𝑏≠0)在圆𝑥2+𝑦2=𝑟2内，直线𝑚是以𝑀为中点的弦所在直线，直线𝑙的方程

为𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑟2=0，则（）A．𝑙//𝑚且与圆相离B．𝑙⊥𝑚且与圆相切C．𝑙//𝑚且与圆相交D．𝑙⊥𝑚且与圆相离【解题思路】由圆的性质可确定直线𝑚的斜率，进而得到𝑚方程，可知𝑙//𝑚；结合点在圆内的

特点，利用点到直线距离公式可确定圆心到直线𝑙的距离𝑑>𝑟，由此可得结论.【解答过程】∵直线𝑚以𝑀为中点，∴直线𝑚的斜率𝑘=−𝑎𝑏，∴直线𝑚的方程为：𝑦−𝑏=−𝑎𝑏(𝑥−𝑎)，即𝑎𝑥+𝑏𝑦−(𝑎2+𝑏2)=0，则𝑙//𝑚，∵𝑀在圆内，∴𝑎2+𝑏

2<𝑟2，则圆心到直线𝑙的距离𝑑=𝑟2√𝑎2+𝑏2>𝑟，∴𝑙与圆相离.故选：A.【题型2圆的切线问题及切线方程的求解】【方法点拨】①当一条直线l与圆C相切时，毫无疑问地要用到圆心C到直线l的距离d=r(r为圆C的半径).②当一条直线l与圆C

相切于点P时，则lPC.③过圆外一点P向圆C作切线，切点为Q，则必定会用到.【例2】（2022·全国·高三专题练习）过点𝑀(3,1)作圆𝑥2+𝑦2−2𝑥−6𝑦+2=0的切线𝑙，则𝑙的方程为（）A．𝑥+𝑦−

4=0B．𝑥+𝑦−4=0或𝑥=3C．𝑥−𝑦−2=0D．𝑥+𝑦−2=0或𝑥=3【解题思路】根据题意，设圆x2+y2﹣2x﹣6y+2＝0的圆心为C，分析可得点M在圆上，求出直线MC的斜率，即可得切线的斜率k，由直线的点斜式方程分析可得答案．【解答过程】解：根据题意，设圆x2+y2

﹣2x﹣6y+2＝0的圆心为C，圆x2+y2﹣2x﹣6y+2＝0，即(𝑥−1)2+(𝑦−3)2=8，其圆心为（1，3），又由点M的坐标为（3，1），有(3−1)2+(1−3)2=8，即点M在圆上，则𝑘𝑀𝐶=1−33−1=−1，则切线的斜率k＝1，则切线的方程为y﹣

1＝（x﹣3），即x﹣y﹣2＝0；故选：C．【变式2-1】（2021·山西大同·高三阶段练习（文））已知圆心在𝑥轴上，半径为2√2的圆上有一点𝑀(1,2)，则圆在点M处的切线方程是（）A．𝑥−𝑦+1=0B．2𝑥−𝑦=0或𝑥+𝑦−3=0C

．𝑥+𝑦−3=0D．𝑥−𝑦+1=0或𝑥+𝑦−3=0【解题思路】求得圆心坐标，根据点斜式求得切线方程.【解答过程】设圆心𝐶(𝑥,0)，则|𝑀𝐶|=√(𝑥−1)2+22=2√2，解得𝑥=−1或𝑥=3.当𝑥=−1时，�

�(−1,0)，𝑘𝑀𝐶=1，切线方程为𝑦−2=1×(𝑥−1),𝑥−𝑦+1=0.当𝑥=3时，𝐶(3,0)，𝑘𝑀𝐶=−1，切线方程为𝑦−2=−1×(𝑥−1),𝑥+𝑦−3=0.所以切线方程为𝑥−𝑦+1=

0或𝑥+𝑦−3=0.故选：D.【变式2-2】（2022·安徽蚌埠·一模）过直线𝑥+𝑦=5上的点作圆𝐶:𝑥2+𝑦2−2𝑥+4𝑦−1=0的切线，则切线长的最小值为（）A．3√2B．2√3C．√15D．√6【解题思路】要切线长最小，就要直线上的点到圆心的距离最小，则此最

小值为圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理可求出切线长的最小值.【解答过程】圆𝐶:(𝑥−1)2+(𝑦+2)2=6的圆心为𝐶(1,−2)，半径为√6，因为圆心(1,−2)到直

线𝑥+𝑦=5的距离𝑑=|1−2−5|√2=3√2，所以切线长最小值为𝑙=√𝑑2−𝑟2=√18−6=2√3.故选：B.【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，已知圆𝐶：𝑥2+(𝑦−3)2=2，点𝐴是𝑥轴上的一个动点

，𝐴𝑃，𝐴𝑄分别切圆C于P，Q两点，则线段𝑃𝑄长的取值范围是（）A．[2√73,2√2)B．[2√143,2√2)C．[2√53,2√3)D．[2√33,2√5)【解题思路】设𝐴𝐶=𝑥，利用面积相等得到𝑃𝑄=2×𝑃𝐶⋅𝐴𝑃𝐴𝐶=2√2⋅√1−2𝑥2，再

根据𝑥≥3即可求得𝑃𝑄的取值范围.【解答过程】设𝐴𝐶=𝑥，则𝑥≥3，由𝑃𝐶⊥𝐴𝑃可知𝐴𝑃=√𝐴𝐶2−𝑃𝐶2=√𝑥2−2，∵AC垂直平分PQ，∴𝑃𝑄=2×𝑃𝐶⋅𝐴𝑃𝐴𝐶=2×√2⋅√𝑥2−2𝑥=2√2⋅√1−2

𝑥2，∴当𝑥=3时，PQ取得最小值2√2×√1−29=2√143，又√1−2𝑥2<1，∴𝑃𝑄<2√2，∴2√143≤𝑃𝑄<2√2．故选：B．.【题型3圆的弦长问题】【方法点拨】当直线与圆相交时，因几何法求弦长较方便，一般不用代数法.用几何法求解圆的弦长的一

般步骤：第一步：确定圆的半径r；第二步：求解圆心到直线的距离d；第三步：代入公式求解弦长.【例3】（2022·全国·高二课时练习）直线𝑙:3𝑥+4𝑦−1=0被圆𝐶:𝑥2+𝑦2−2𝑥−4𝑦−4=0所

截得的弦长为（）A．2√5B．4C．2√3D．2√2【解题思路】直接利用直线被圆截得的弦长公式求解即可.【解答过程】由题意圆心𝐶(1,2)，圆C的半径为3，故C到𝑙:3𝑥+4𝑦−1=0的距离为|3+8−1|√32+42=2，故所求弦长为2√32−22=2√

5.故选：A.【变式3-1】（2022·全国·高三专题练习）过点𝐴(2,2)，作倾斜角为π3的直线l，则直线l被圆𝑂:𝑥2+𝑦2=16−8√3截得的弦长为（）A．1−√32B．2−√3C．3−√3D．6−2√3【解题思路】由题，由点斜式写出直线，由点线距离公式求出圆心到直线距

离，可结合垂径定理得出所截弦长【解答过程】依题意，直线l的方程为𝑦−2=√3(𝑥−2)，即√3𝑥−𝑦−2√3+2=0，则圆心O到直线l的距离𝑑=|−2√3+2|√3+1=√3−1.又因为圆的半径𝑟=√16−8√3，所以所求的弦长为2√𝑟2−𝑑2=2√

16−8√3−(4−2√3)=2(3−√3)=6−2√3，故选：D.【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线𝑙：𝑚𝑥−𝑦−3𝑚+1=0恒过点𝑃，过点𝑃作直线与圆C：(𝑥−1)2+(𝑦−2)2=25相交于A，B两点，则|𝐴𝐵|的最小值

为（）A．4√5B．2C．4D．2√5【解题思路】写出直线的定点坐标并判断与圆的位置关系，进而确定|𝐴𝐵|最小时直线与直线𝐶𝑃的位置关系，即可得结果.【解答过程】由𝑚(𝑥−3)−𝑦+1=0恒过𝑃(3,1)，又(3−1)2+(1−2)2=5<25，

即𝑃在圆C内，要使|𝐴𝐵|最小，只需圆心𝐶(1,2)与𝑃的连线与该直线垂直，所得弦长最短，由|𝐶𝑃|=√5，圆的半径为5，所以|𝐴𝐵|=2×√25−5=4√5.故选：A.【变式3-3】（2023·全国·高三专题练

习）已知圆O：𝑥2+𝑦2=10，已知直线l：𝑎𝑥+𝑏𝑦=2𝑎−𝑏(𝑎,𝑏∈𝑅)与圆O的交点分别M，N，当直线l被圆O截得的弦长最小时，|𝑀𝑁|=（）A．3√52B．5√52C．2√5D．3√5【解题思路】直线过定点𝐴(

2,−1)，当直线与𝑂𝐴垂直时，弦长最短．【解答过程】直线l：𝑎𝑥+𝑏𝑦=2𝑎−𝑏(𝑎,𝑏∈𝑅)，即𝑎(𝑥−2)+𝑏(𝑦+1)=0，所以直线过定点𝐴(2,−1)，|𝑂𝐴|=√22+

(−1)2=√5，圆𝑂半径𝑟=√10，点𝐴在圆𝑂内，所以当直线与𝑂𝐴垂直的时候，|𝑀𝑁|最短，此时|𝑀𝑁|=2√𝑟2−|𝑂𝐴|2=2√5．故选：C．【题型4直线与圆有关的最值问题】【方法点拨】解直线与圆的最值问题主要有以下两种思

路：①代数法：利用平面几何中的有关公式，构造函数，把问题转化为函数的最值，然后根据函数最值的求法进行求解.在转化过程中常用到向量的数量积、一元二次方程根与系数的关系、换元等知识和方法.②几何法：找到所求式的几何意义，在坐标系中与圆建立联系，分析其与圆的位置变化情

况，找到最大、最小取值点.【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知圆𝐶：𝑥2+𝑦2−4𝑥−2𝑦+1=0，点𝑃是直线𝑦=4上的动点，过𝑃作圆的两条切线，切点分别为𝐴，𝐵，则|𝐴𝐵|的最小值为（）A．2√53B．

4√53C．2√55D．√5【解题思路】利用面积相等求出|𝐴𝐵|=4|𝐴𝑃||𝐶𝑃|.设|𝐶𝑃|=𝑥，得到|𝐴𝐵|=4√1−4𝑥2.利用几何法分析出|𝐶𝑃|min=3，即可求出|𝐴𝐵|的最小值.【解答过程】圆𝐶：𝑥2+𝑦2−4𝑥−2𝑦+1=0化为标准方程

：(𝑥−2)2+(𝑦−1)2=4，其圆心𝐶(2,1),半径𝑟=2.过点P引圆C的两条切线,切点分别为点A、B,如图：在△PAC中,有𝑆△𝑃𝐴𝐶=12×|𝐶𝐴|×|𝐴𝑃|=12×|𝐴𝐵|2×|𝐶𝑃|，即|𝐴𝑃|=

|𝐴𝐵|4×|𝐶𝑃|，变形可得：|𝐴𝐵|=4|𝐴𝑃||𝐶𝑃|.设|𝐶𝑃|=𝑥，则|𝐴𝐵|=4√𝑥2−4𝑥=4√1−4𝑥2.所以当|𝐶𝑃|的值即x最小时，4𝑥2的值最大，此时|𝐴𝐵|最小.而|𝐶𝑃|的最小值

为点C到直线𝑦=4的距离，即|𝐶𝑃|min=3，所以|𝐴𝐵|min=4√1−432=4√53.故选：B.【变式4-1】（2022·全国·高三专题练习）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这

条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐵=𝐴𝐶，点𝐵(−1,1)，点𝐶(3,5)，过其“欧拉线”上一点Р作圆O：𝑥2+𝑦2=4的两条切线，切点分别为M，N，则|𝑀𝑁|的最小值为（）A．√2B．2√2C．√3D．2

√3【解题思路】求𝐵𝐶中垂线方程，结合点线距离判断“欧拉线”与圆O的位置关系并求出圆心到直线的距离，由几何关系判断|𝑀𝑁|的最小时𝑃的位置，进而求|𝑀𝑁|的最小值.【解答过程】由题设，𝐵,𝐶中点为(1,3)，

“欧拉线”斜率为𝑘=−1𝑘𝐵𝐶=−1，所以“欧拉线”方程为𝑦−3=−(𝑥−1)，即𝑥+𝑦−4=0，又𝑂到𝑥+𝑦−4=0的距离为𝑑=4√2>2，即“欧拉线”与圆O相离，要使|𝑀𝑁|的最小，则在Rt△𝑃𝑀𝑂与Rt△𝑃𝑁𝑂中∠𝑀𝑂𝑃=∠𝑁𝑂𝑃最

小，即∠𝑀𝑃𝑁最大，而仅当𝑂𝑃⊥“欧拉线”时∠𝑀𝑃𝑁最大，所以𝑑=|𝑂𝑃|=2√2，则|𝑀𝑁|=2𝑟sin∠𝑁𝑂𝑃，且圆O半径𝑟=2，cos∠𝑁𝑂𝑃=𝑟𝑑=√22，所以sin∠𝑁𝑂𝑃=√22，

即|𝑀𝑁|min=2√2.故选：B.【变式4-2】（2022·江苏·高二专题练习）已知点𝑄在圆𝑀:(𝑥+3)2+(𝑦−3)2=4上，直线𝑙:2𝑥−3𝑦+6=0与𝑥轴、𝑦轴分别交于点𝑃、𝑅，

则下列结论中正确的有（）①点𝑄到直线𝑙的距离小于4.5②点𝑄到直线𝑙的距离大于1③当∠𝑄𝑅𝑃最小时，|𝑅𝑄|=√6④当∠𝑄𝑅𝑃最大时，|𝑅𝑄|=√6A．1个B．2个C．3个D．4个【解题思路】计算出点𝑄到直线𝑙的距离的最大值和最小值，可判断①②的正误；利用∠𝑄�

�𝑃最小和最大时，确定点𝑄的位置，求出|𝑅𝑄|的值，可判断③④的正误.【解答过程】圆𝑀的圆心为𝑀(−3,3)，半径为𝑟=2，圆心𝑀到直线𝑙的距离为|−6−9+6|√13=9√1313>2，所以，直线𝑙与圆𝑀相离，点𝑄到直线𝑙的距离的最大值

为9√1313+2，最小值为9√1313−2，因为9√1313−2<1，9√1313+2<4.5，故①对，②错；直线𝑙:2𝑥−3𝑦+6=0交𝑥轴于点𝑃(−3,0)，交𝑦轴于点𝑅(0,2)，|𝑀𝑅|=√10，过点𝑅作圆

𝑀的两条切线，切点分别为𝐸、𝑁，如下图所示：当∠𝑄𝑅𝑃最小时，点𝑄与点𝐸重合，此时|𝑄𝑅|=√|𝑅𝑀|2−𝑟2=√6，当∠𝑄𝑅𝑃最大时，点𝑄与点𝑁重合，此时|𝑄𝑅|=√|𝑅𝑀|2−𝑟2=√6，

③④都对.故选：C.【变式4-3】（2021·湖北·高二期中）已知圆𝐶1:(𝑥−2)2+(𝑦+3)2=1，圆𝐶2:(𝑥−3)2+(𝑦−4)2=9，𝑀、𝑁分别是圆𝐶1、𝐶2上动点，𝑃是𝑥轴上动点，则|𝑃𝑁|−|𝑃𝑀|的最大值是（）A．5√2+4B

．√2C．5√2D．√2+4【解题思路】根据两圆及𝑃的位置关系，将|𝑃𝑁|−|𝑃𝑀|的最大转化为求|𝑃𝐶2|−|𝑃𝐶1|最大，再应用将军饮马模型作𝐶1关于𝑥轴的对称点，利用三角形的三边关系确定|𝑃𝐶2|−|𝑃𝐶1|的最大值，进而求|𝑃𝑁|−|𝑃𝑀|的最大

值.【解答过程】要使|𝑃𝑁|−|𝑃𝑀|的最大，需|𝑃𝑁|尽可能大，|𝑃𝑀|尽可能小，∴连接𝑃𝐶2、𝑃𝐶1，让两直线与两圆的交点，𝑁离𝑃尽可能远，𝑀离𝑃尽可能近，如下图示：在△𝑃𝐶1𝐶2中|𝑃𝐶2|−|𝑃𝐶1|最大即可，令𝑃(𝑥,0)

，𝐶1关于𝑥轴的对称点为𝐶(2,3)，∴|𝑃𝐶2|−|𝑃𝐶|最大，故𝑃,𝐶,𝐶2共线时|𝑃𝐶2|−|𝑃𝐶|的最大值为|𝐶𝐶2|=√(3−2)2+(4−3)2=√2，∴|𝑃𝑁|

−|𝑃𝑀|的最大值为|𝐶𝐶2|+3+1=4+√2.故选：D.【题型5直线与部分圆的相交问题】【方法点拨】一条直线和一个圆的一部分有交点时，如果用代数法去研究，则要转化为一元二次方程根的取值情况，过程比较繁琐，因此这类问题一般采用数形结合

的方法去研究，研究应抓住两类直线：一是切线；二是过端点的直线.【例5】（2022·湖南·高二阶段练习）若直线𝑙:𝑘𝑥−𝑦−2=0与曲线𝐶:√1−(𝑦−1)2=𝑥−1有两个交点，则实数k的取值范围是（）A．(43,2]B．(43,4)C．[−2,43)∪(43,2]D．(43

,+∞)【解题思路】确定直线𝑙:𝑘𝑥−𝑦−2=0恒过定点(0,−2)，确定曲线𝐶:√1−(𝑦−1)2=𝑥−1表示以点(1,1)为圆心，1为半径，且位于直线𝑥=1右侧的半圆，包括点(1,2)，(1,0)．由直线与圆的位置关系可得结论（需要求出切

线的斜率）【解答过程】直线𝑙:𝑘𝑥−𝑦−2=0恒过定点(0,−2)，曲线𝐶:√1−(𝑦−1)2=𝑥−1表示以点(1,1)为圆心，1为半径，且位于直线𝑥=1右侧的半圆，包括点(1,2)，(1,0)．如图，当直线l经过点(1,0)时，l与曲线C有两个交点，此时

𝑘=2，直线记为𝑙1；当l与半圆相切时，由|𝑘−3|√𝑘2+1=1，得𝑘=43，切线记为𝑙2．由图可知当43<𝑘≤2时，l与曲线C有两个交点，故选：A．【变式5-1】（2021·山东泰安·高二期中）设点𝑃(𝑥,𝑦)是曲线𝑦=−√4−(𝑥−1)2上的

任意一点，则𝑦−2𝑥−4的取值范围是（）A．[0，125]B．[25，125]C．[0,2]D．[25,2]【解题思路】点𝑃(𝑥,𝑦)是曲线𝑦=−√4−(𝑥−1)2上的任意一点，故点𝑃满足方程(𝑥−1)2+𝑦2=4(𝑦≤

0)，𝑦−2𝑥−4可表示点𝑃(𝑥,𝑦)与点𝑄(4,2)连线斜率，由几何意义易得结论.【解答过程】曲线𝑦=−√4−(𝑥−1)2表示以(1,0)为圆心，2为半径的下半圆，如图所示：𝑦−2𝑥−4可表示点𝑃(𝑥,𝑦

)与点𝑄(4,2)连线斜率𝑘当直线𝑃𝑄与圆相切时：设直线方程为𝑦−2=𝑘(𝑥−4)，即𝑘𝑥−𝑦−4𝑘+2=0圆心到直线距离𝑑=|𝑘−4𝑘+2|√1+𝑘2=2，解得𝑘=125或𝑘=0，又𝑦≤0，所以𝑘=125，当直线经过点𝐴(−

1,0)时，𝑦−2𝑥−4=25，综上𝑘∈[25，125]，故选：B.【变式5-2】（2021·天津高二阶段练习）设曲线𝑥=√1−(1−𝑦)2上的点到直线𝑥−𝑦−2=0的距离的最大值为𝑎，最小值为𝑏，则𝑎−𝑏的值为()A．√2B．2−√22C．2D．√22+1【解题思

路】将曲线化成圆的方程的形式，结合图像，过曲线上任意一点作平行于直线𝑥−𝑦−2=0的直线𝑙，可得到当直线𝑙的方程为𝑥−𝑦−2=0时，直线𝑙与直线𝑥−𝑦+2=0的距离为𝑎，然后利用圆心到直线𝑥−

𝑦−2=0的距离减去半径可得𝑏，进而可得到答案.【解答过程】由𝑥=√1−(1−𝑦)2≥0可知，𝑥2+(𝑦−1)2=1，且𝑥≥0，即曲线是以(0,1)为圆心，半径为1的半圆，过曲线𝑥=√1−(1−𝑦)2上任一点作平行于直线𝑥−𝑦−2=0的直线𝑙，如下图所示：

其中实线为直线𝑥−𝑦−2=0，虚线为直线𝑙，曲线𝑥=√1−(1−𝑦)2上的点到直线𝑥−𝑦−2=0的距离可转化为直线𝑙与直线𝑥−𝑦−2=0之间的距离，结合图像易知，当直线𝑙过(0,2)时，直线𝑙与直线𝑥−𝑦−2=0之间的距离最大，即曲线𝑥

=√1−(1−𝑦)2上的点到直线𝑥−𝑦−2=0的距离最大，易知此时直线𝑙的方程为：𝑥−𝑦+2=0，由平行线间的距离公式可得，𝑎=|0−2−2|√12+(−1)2=2√2，因为(0,1)到直线𝑥−𝑦−2=0的距离为𝑑=|0−1−2|√1

2+(−1)2=3√22，所以曲线𝑥=√1−(1−𝑦)2上的点到直线𝑥−𝑦−2=0的距离的最小值为𝑏=𝑑−1=3√22−1，从而𝑎−𝑏=√22+1.故选：D.【变式5-3】（2021·山东·高二阶段练习）过点(2,−1)引直线𝑙与曲线𝑦=√1−𝑥2相交于𝐴､�

�两点，则直线𝑙的斜率取值范围是（）A．[−1,−34]B．(−43,−1]C．(−1,−34]D．[−43,−34]【解题思路】画出曲线表示的图象，数形结合即可求出.【解答过程】设直线𝑙为𝑦=𝑘(𝑥−2)−1，曲线𝑦=√1−𝑥2表示圆心在原点，半径为1的圆的上半部分，如

图：当直线𝑙与圆相切于第一象限时，则由|2𝑘+1|√𝑘2+1=1，解得𝑘=0（舍去）或𝑘=−43，又𝑘𝑃𝑀=−1−02−1=−1，因为直线𝑙与曲线𝑦=√1−𝑥2相交于𝐴､𝐵两点，所以数形结合可得−43<𝑘≤−1.故选：B.【题型6直线与圆的方

程的应用】【方法点拨】用坐标法解决几何问题时应注意以下几点：①应在利于解题的原则下建立适当的平面直角坐标系，不可随便建立；②在实际问题中，有些量具有一定的限制条件，转化成代数问题时要注意取值范围；③最后一定要将代数结果转化成几何结论.【例6】（2022·全国·高二课时练

习）如图，某海面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40√2千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点．(1)求圆C的方程；(2)若圆C区域内

有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险?【解题思路】（1）根据给定条件，求出点A，B的坐标，设出圆C的一般方程，利用待定系数法求解作答.（2）求出船D的航线所在直线的方程，再利用点到直线距离公式计算判断作

答.【解答过程】（1）依题意，因A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40√2千米处，则点𝐴(40,40)，又B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处，则𝐵(20,0)，设过O，A，B三点的圆C的方程为𝑥2+𝑦2+𝐷𝑥+𝐸𝑦+

𝐹=0，则{𝐹=0402+402+40𝐷+40𝐸+𝐹=0202+20𝐷+𝐹=0，解得{𝐷=−20𝐸=−60𝐹=0，所以圆C的方程为𝑥2+𝑦2−20𝑥−60𝑦=0．（2）因船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处

，则𝐷(−20,−20√3)，而船D沿着北偏东45°方向行驶，则船D的航线所在直线l的斜率为1，直线l的方程为𝑥−𝑦+20−20√3=0，由（1）知，圆C的圆心为𝐶(10,30)，半径𝑟=10√10

，则圆心C到直线l的距离𝑑=|10−30+20−20√3|√2=10√6，则𝑑<𝑟，所以该船有触礁的危险.【变式6-1】（2022·湖北·高二期末）为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的北偏西45°方向2√2km处设立

观测点A，在平台O的正东方向12km处设立观测点B，规定经过O、A、B三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系．(1)试写出A，B的坐标，并求两个观测点A，B之间的距离；(2)某日经观测发现，在该平台O正南10kmC处，有一

艘轮船正以每小时8√7km的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？【解题思路】（1）先求出A，B的坐标，再由距离公式得出A，B之间的距离；（2）由𝐴,𝑂,𝐵三点的坐标列出方程组

得出经过𝑂,𝐴,𝐵三点的圆的方程，设轮船航线所在的直线为𝑙，再由几何法得出直线𝑙与圆截得的弦长，进而得出安全警示区内行驶时长.【解答过程】(1)由题意得𝐴(−2,2),𝐵(12,0)，∴|𝐴𝐵|=√142+22=10√2km；(2)设圆的方程为

𝑥2+𝑦2+𝐷𝑥+𝐸𝑦+𝐹=0，因为该圆经过𝑂,𝐴,𝐵三点，∴{𝐹=0−2𝐷+2𝑦+8=0144+12𝐷=0，得到{𝐷=−12𝐸=−16𝐹=0.所以该圆的方程为：𝑥2+𝑦2−12𝑥−16𝑦=0，化

成标准方程为：(𝑥−6)2+(𝑦−8)2=100.设轮船航线所在的直线为𝑙，则直线𝑙的方程为：𝑦=𝑥−10，圆心（6，8）到直线𝑙:𝑥−𝑦−10=0的距离𝑑=|6−8−10|√2=6√2<𝑟=10，所以直线𝑙与圆相交，即轮船会

驶入安全预警区.直线𝑙与圆截得的弦长为𝐿=2√100−(6√2)2=4√7km，行驶时长𝑡=𝐿𝑣=4√78√7=0.5小时.即在安全警示区内行驶时长为半小时.【变式6-2】（2022·浙江·高二期末）如图，一个湖的边界是圆心为𝑂的圆，湖的

一侧有一条直线型公路𝑙，湖上有桥𝐴𝐵（𝐴𝐵是圆𝑂的直径）.规划在公路𝑙上选两个点𝑃､𝑄，并修建两段直线型道路𝑃𝐵､𝑄𝐴.规划要求，线段𝑃𝐵､𝑄𝐴上的所有点到点𝑂的距离均不小于圆𝑂的半径.已知点𝐴,𝐵到直

线𝑙的距离分别为𝐴𝐶和𝐵𝐷（𝐶,𝐷为垂足），测得𝐴𝐵=10，𝐴𝐶=6，𝐵𝐷=12（单位：百米）.(1)若道路𝑃𝐵与桥𝐴𝐵垂直，求道路𝑃𝐵的长；(2)在规划要求下，点𝑄能否选在𝐷

处？并说明理由.【解题思路】（1）建立适当的坐标系，得圆𝑂及直线𝑃𝐵的方程，进而得解.（2）不妨点𝑄选在𝐷处，求𝐴𝐷方程并求其与圆的交点，在线段𝐴𝐷上取点不符合条件，得结论.【解答过程】(1)如图，过𝑂作𝑂𝐻⊥𝑙，垂足为𝐻.以𝑂为坐标原点，直线𝑂𝐻为𝑦

轴，建立平面直角坐标系.因为𝐴𝐵为圆𝑂的直径，𝐴𝐵=10，所以圆𝑂的方程为𝑥2+𝑦2=25.因为𝐴𝐶=6，𝐵𝐷=12，所以𝑂𝐻=𝐴𝐶+𝐵𝐷2=9，故直线𝑙的方程为𝑦=9，则点𝐴

，𝐵的纵坐标分别为3，−3从而𝐴(4,3)，𝐵(−4,−3)，直线𝐴𝐵的斜率为34.因为𝑃𝐵⊥𝐴𝐵，所以直线𝑃𝐵的斜率为−43，直线𝑃𝐵的方程为𝑦=−43𝑥−253.令𝑥=−13，得𝑦=9，𝑃(−13,9)，所以𝑃𝐵=√(−13+4

)2+(9+3)2=15.因此道路𝑃𝐵的长为15（百米）.(2)若点𝑄选在𝐷处，连结𝐴𝐷，可求出点𝐷(−4,9)，又𝐴(4,3)，所以线段𝐴𝐷:𝑦=−34𝑥+6(−4≤𝑥≤4).由{𝑥2+𝑦2=25𝑦=−34𝑥+6解得𝑥=4或𝑥=2425

，故不妨取𝑥=3，得到在线段𝐴𝐷上的点𝑀(3,154)，因为𝑂𝑀=√32+(154)2<√32+42=5，所以线段𝐴𝐷上存在点到点𝑂的距离小于圆𝑂的半径5.因此点𝑄选在𝐷处不满足规划要求.【变式6-3】（2022·全国·高二课时练习）为

了保证我国东海油气田海域的海上平台的生产安全，海事部门在某平台𝑂的正东方向设立了两个观测站𝐴、𝐵（点𝐴在点𝑂、点𝐵之间），它们到平台𝑂的距离分别为3海里和12海里，记海平面上到两观测站距离𝑃𝐴，𝑃𝐵之比为12的点𝑃的轨迹为曲线𝐸，规定曲

线𝐸及其内部区域为安全预警区（如图）．(1)以𝑂为坐标原点，𝐴𝐵所在直线为𝑥轴建立平面直角坐标系，求曲线𝐸的方程；(2)某日在观测站𝐵处发现，在该海上平台正南2√11海里的𝐶处，有一艘轮船

正以每小时10海里的速度向北偏东30∘方向航行，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，说明理由；如果进入，则它在安全预警区中的航行时间是几小时．【解题思路】（1）、根据题意可知|𝑃𝐴||𝑃𝐵|=12，利用两点间距离公式化简即可得到曲线𝐸的方程；（2）、先

求出轮船航行直线方程，再判断航行直线与安全预警区的位置关系，然后计算出航行直线被安全预警区截得的弦长，进而可以求出轮船在安全预警区中的航行时间；【解答过程】（1）设𝑃(𝑥,𝑦)，则由题意𝐴(3,0),𝐵(12,0)，根据题意可知|𝑃𝐴||𝑃𝐵|=12，∴2|𝑃𝐴

|=|𝑃𝐵|∴2√(𝑥−3)2+𝑦2=√(𝑥−12)2+𝑦2，𝑥2+𝑦2=36，∴曲线𝐸的方程为:𝑥2+𝑦2=36（2）∵𝐶在该海上平台正南2√11海里处,∴𝐶(0,−2√11)，∵轮船向北偏东30∘方向航行,∴轮船航行直线𝐶𝐷的倾斜角为

60∘，即直线𝐶𝐷的斜率为√3，∴轮船航行直线𝐶𝐷方程：𝑦+2√11=√3(𝑥−0)，即√3𝑥−𝑦−2√11=0.∵曲线𝐸的方程为:𝑥2+𝑦2=36,圆心𝑂(0,0)，半径为𝑅=6∴圆心𝑂到直线𝐶𝐷的距离𝑑

=2√11√12+(√3)2=√11<6=𝑅,∴如果轮船不改变航向，轮船一定会进入安全预警区.∴直线𝐶𝐷被圆𝑂截得的弦长𝑙=2√36−11=10∵轮船的速度𝑣为每小时10海里，∴它在安全预警区中的航行时间𝑡=𝑙𝑣=1010=

1ℎ答：如果轮船不改变航向，轮船一定会进入安全预警区，它在安全预警区中的航行时间为1个小时．