【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修三）专题8.3 一元线性回归模型及其应用（重难点题型精讲） Word版含解析.docx，共(21)页，347.896 KB，由小赞的店铺上传

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专题8.3一元线性回归模型及其应用（重难点题型精讲）1．一元线性回归模型把式子为Y关于x的一元线性回归模型.其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx+a之间的随机误差.2．线性经验回归方程与最小二乘法设

满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(,)，(,)，，(,)，由=+a+(i=1，2，，n)，得|-(+a)|=||，显然||越小，表示样本数据点离直线y=bx+a的竖直距离越小.通常用各散点到直线的竖直距离的平方之和Q=来刻画各样本观测数据与直线y=bx+a的“整体接

近程度”.当a，b的取值为时，Q达到最小.将=x+称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计.经验回归直线一定过点(,).3．残差分析对于响应变量Y，通过观测得

到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差.残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析.4．刻画回归效果的方式(1)

残差图法作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图.在残差图中，残差点比较均匀地落在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精

度越高.(2)残差平方和法残差平方和为，残差平方和越小，模型拟合效果越好.(3)利用刻画拟合效果=.越大，模型的拟合效果越好，越小，模型的拟合效果越差.(1)对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为(,)，(,)，，(,)，利用相关系数r来衡量两个

变量之间线性关系的强弱，相关系数r的计算公式：（其中，，，和，，，的均值分别为和）.①当r>0时，称成对样本数据正相关.这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常也变小；当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常也变大.②当r<0时，称成

对样本数据负相关.这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常会变大；当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常会变小.【题型1一元线性回归模型】【方法点拨】根据一元线性回归模型的定义，结合具体题目条件

，进行求解即可.【例1】（2022·高二单元测试）根据如下样本数据，得到线性回归方程为𝑌=𝑛𝑋+𝑚，若样本点的中心(𝑥,𝑦)为(5,0.9)，则当X每增加1个单位时，Y平均（）X34567Y4.0𝑚−5.4-0.50.5𝑛−0.6A．增加1.4个单位B．减少1.4个

单位C．增加7.9个单位D．减少7.9个单位【解题思路】根据已知条件解出m和n,得到线性回归方程，即可得到答案.【解答过程】样本点的中心(𝑥,𝑦)为(5,0.9)，则𝑚+𝑛−25=0.9，故�

�+𝑛=6.5，且0.9=5𝑛+𝑚，解得𝑛=−1.4，𝑚=7.9，则𝑌=−1.4𝑋+7.9，可知当X每增加1个单位时，Y平均减少1.4个单位．故选：B．【变式1-1】（2022春·黑龙江大庆·高二期末）给出下列说法中错误的是（）A．回归直线𝑦̂=𝑏̂𝑥+𝑎̂恒过样本点的中心

(𝑥̅,𝑦̅)B．两个变量相关性越强，则相关系数|𝑟|就越接近1C．某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变D．在回归直线方程𝑦̂=2−0.5𝑥中，当变量x增加一个单位时，𝑦̂平均减少0.5

个单位【解题思路】A中，根据回归直线方程的特征，可判定是否正确；B中，根据相关系数的意义，可判定是否正确；C中，根据方差的计算公式，可判定是否正确；D中，根据回归系数的含义，可判定是否正确.【解答过程】对于A中，回归直线�

�̂=𝑏̂𝑥+𝑎̂恒过样本点的中心(𝑥,𝑦)，所以正确；对于B中，根据相关系数的意义，可得两个变量相关性越强，则相关系数|𝑟|就越接近1，所以是正确的；对于C中，根据平均数的计算公式可得𝑥=7×4+

47+1=4，根据方差的计算公式𝑠2=18[7×2+(4−4)2]=1.75≠2，所以是不正确的；对于D中，根据回归系数的含义，可得在回归直线方程𝑦̂=2−0.5𝑥中，当解释变量𝑥增加一个单位时，预报变量𝑦̂平均减少0.5个单位，所以是正

确的.故选：C.【变式1-2】（2022春·河南南阳·高二期中）已知变量x和y的回归直线方程为𝑦̂=0.2021𝑥+0.202，变量y与z负相关．下列结论中正确的是（）A．x与y正相关，x与z正相

关B．x与y正相关，x与z负相关C．x与y负相关，x与z负相关D．x与y负相关，x与z正相关【解题思路】根据变量x和y的回归直线方程判断.【解答过程】解：因为变量x和y的回归直线方程为𝑦̂=0.2021𝑥+0.202，且0.2021>0，所以变量x与y

正相关，又变量y与z负相关，所以x与z负相关，故选：B.【变式1-3】（2022春·陕西渭南·高一期末）根据如下样本数据：𝑥345678𝑦4.02.50.50.50.40.1得到线性回归方程为𝑦=𝑏𝑥+𝑎

，则（）A．𝑎>0,𝑏>0B．𝑎>0,𝑏<0C．𝑎<0,𝑏>0D．𝑎<0,𝑏<0【解题思路】根据𝑥与𝑦负相关且样本点集中在第一象限可判断出结果.【解答过程】由样本数据知：𝑥与𝑦负相关，∴𝑏<0；又样本点位于第一象限，∴𝑦=𝑏𝑥+

𝑎(𝑏<0)在𝑦轴截距为正，∴𝑎>0.故选：B.【题型2残差的计算】【方法点拨】根据题目条件，得出经验回归方程，再进行残差的计算.【例2】（2022春·湖北·高二期末）某城市选用一种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第x天的高度为ycm，测得一些

数据如下表所示：第x天1234567高度y/cm1469111213由表格中数据可得y关于x的经验回归方程为𝑦̂=2.04𝑥+𝑎̂，则第7天的残差为（）A．1.12B．2.12C．−1.12D．−2.12【解题思路】依题意求出𝑥、𝑦，根据回归直线方程必

过样本中心点(𝑥,𝑦)求出𝑎̂，即可得到回归直线方程，再根据残差公式计算可得；【解答过程】解：通过表格计算得，𝑥=17(1+2+3+4+5+6+7)=4，𝑦=17(1+4+6+9+11+12+13)=8，因为

经验回归直线𝑦̂=2.04𝑥+𝑎̂过点(𝑥,𝑦)，所以𝑎̂=𝑦−2.04𝑥=−0.16，所以𝑦关于𝑥的经验回归方程为𝑦̂=2.04𝑥−0.16．所以回归模型第7天的残差13−(2.04×7−0.16)=−1.12．故选：C．【变式2-1】（

2023春·河南开封·高三开学考试）某部门统计了某地区今年前7个月在线外卖的规模如下表：月份代号x1234567在线外卖规模y（百万元）111318★28★35其中4、6两个月的在线外卖规模数据模糊，但这7个月的平均值为23．若利

用回归直线方程𝑦̂=𝑏̂𝑥+𝑎̂来拟合预测，且7月相应于点(7,35)的残差为−0.6，则𝑎̂−𝑏̂=（）A．1.0B．2.0C．3.0D．4.0【解题思路】根据给定条件，求出𝑥，再借助回归直线的特征及残差列出方程组即可求解作答.【解答过程】依题意，𝑥=17(1+

2+3+4+5+6+7)=4，而𝑦=23，于是得4𝑏̂+𝑎̂=23，而当𝑥=7时，35−(7𝑏̂+𝑎̂)=−0.6，即7𝑏̂+𝑎̂=35.6，联立解得𝑎̂=6.2,𝑏̂=4.2，所以𝑎̂−𝑏̂=2.0.故选：B.【变式2-2】（2022春·河南许昌·高二期末）为研究变量x

，y的相关关系，收集得到下面五个样本点（x，y）：x5.56.577.58.5y98643若由最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为𝑦̂=−1.8𝑥+𝑎̂，则据此计算残差为1.1的样本点是（）A．（5.5，9

）B．（6.5，8）C．（7，6）D．（7.5，4）【解题思路】先求出回归方程的样本中心点，从而可求得𝑦̂=−1.8𝑥+18.6，再根据残差的定义可判断.【解答过程】由题意可知，𝑥=5.5+6.5+7+7.5+8.55=7，𝑦=9+8+6+4+35=6，所以回归方程的样本中心点为(7,

6)，因此有6=−1.8×7+𝑎̂⇒𝑎̂=18.6，所以𝑦̂=−1.8𝑥+18.6，当𝑥=5.5时，𝑦̂=(−1.8)×5.5+18.6=8.7,𝑦−𝑦̂=9−8.7=0.3；当𝑥=6.5时，𝑦̂=(−1.8)×6.5+18.6=6.9,

𝑦−𝑦̂=8−6.9=1.1；当𝑥=7时，𝑦̂=(−1.8)×7+18.6=6,𝑦−𝑦̂=6−6=0；当𝑥=7.5时，𝑦̂=(−1.8)×7.5+18.6=5.1,𝑦−𝑦̂=4−5.1=−1.1；故选：B.【变式2-3】（2022春·江苏宿迁·高二阶段练习）在对具有线性相关的两

个变量𝑥和𝑦进行统计分析时，得到如下数据：𝑥4𝑚81012𝑦12356由表中数据求得𝑦关于𝑥的回归方程为𝑦̂=0.65𝑥−1.8，则(4,1)，(𝑚,2)，(8,3)这三个样本数据中，残差的绝对值最小的

是（）A．(4,1)B．(𝑚,2)C．(8,3)D．(4,1)和(𝑚,2)【解题思路】根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出𝑚=6，分别计算出三个样本数据的残差的绝对值，比较得到结果.【解答过程】𝑥=4+𝑚+8+10+125=34+𝑚5，𝑦=1+2+3+5+65=175，因为样本中

心点(34+𝑚5,175)一定在𝑦̂=0.65𝑥−1.8上，代入解得：𝑚=6，当𝑥=4时，𝑦̂=0.65×4−1.8=0.8，1−0.8=0.2；当𝑥=6时，𝑦̂=0.65×6−1.8=2.1，2.1−2=0.1，

当𝑥=8时，𝑦̂=0.65×8−1.8=3.4，3.4−3=0.4，因为0.1<0.2<0.4，所以残差的绝对值最小的是(𝑚,2)故选：B.【题型3刻画回归效果的方式】【方法点拨】根据刻画回归效果的三种方式，结合具体题目条件，选

取适当的方式来刻画模型的拟合效果，即可得解.【例3】（2022秋·宁夏银川·高三开学考试）下列说法正确的个数是（）(1)在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差(2)某地气象局预报：6月9日

本地降水概率为90%，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学(3)回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好(4)在回归直线方程𝑦̂=0.1𝑥+10，当解释变量每增加1个单位时，预报变量多增加0

.1个单位A．2B．3C．4D．1【解题思路】根据残差分析的性质判断(1)，(3)选项，由概率的意义判断(2)选项，根据回归直线方程的意义判断(4).【解答过程】解：对(1)，在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越

好，故错误;对(2)，概率只说明事件发生的可能性，某次事件不一定发生，所以并不能说明天气预报不科学，故错误;对(3)，在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，故正确;对(4)，在回归直线方程𝑦̂=0.1𝑥+10，当解释变量每增

加1个单位时，预报变量增加0.1个单位，故正确.故选:A.【变式3-1】（2022春·山东菏泽·高二期末）关于线性回归的描述，下列命题错误的是（）A．回归直线一定经过样本点的中心B．残差平方和越小，拟合

效果越好C．决定系数𝑅2越接近1，拟合效果越好D．残差平方和越小，决定系数𝑅2越小【解题思路】根据线性回归的性质判断即可【解答过程】对A，回归直线一定经过样本点的中心正确；对B，残差平方和越小，拟合效果越好正确；对C，决定系数𝑅2越接近1，拟合效果越好正确；对D，

残差平方和越小，拟合效果越好，决定系数𝑅2越接近1，故D错误；故选：D.【变式3-2】（2022秋·广东广州·高三阶段练习）对两个变量𝑦和𝑥进行回归分析，得到一组样本数据(𝑥1,𝑦1)，(𝑥2,𝑦2)，…(𝑥𝑛,𝑦𝑛)，则下列说法不正确的是（）A．若变量𝑦和

𝑥之间的相关系数为𝑟=−0.9462，则变量𝑦和𝑥之间具有较强的线性相关关系B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C．用决定系数𝑅2来刻画回归效果，𝑅2越小说明拟合效果越好D．在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方

程的预报精确度越高【解题思路】变量𝑦和𝑥之间的相关系数为|𝑟|越大，则变量𝑦和𝑥之间具有较强的线性相关关系可判断A；残差平方和越小的模型，拟合的效果越好可判断B；用决定系数𝑅2来刻画回归效果，𝑅2越大说明拟合效果越好可判断C；在残差图

中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高可判断D.【解答过程】变量𝑦和𝑥之间的相关系数为|𝑟|越大，则变量𝑦和𝑥之间具有较强的线性相关关系，故A正确；残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故B正确；用决定系数𝑅2来刻画回归效果，

𝑅2越大说明拟合效果越好，故C错误；在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高，故D正确.故选：C.【变式3-3】（2022春·甘肃天水·高二阶段练习）关于线性回归的描述，有下列命题：①回归直线一定经过样本中心点；②相关系数𝑟的绝对值越大，拟合效果越好；③相

关指数𝑅2越接近1拟合效果越好；④残差平方和越小，拟合效果越好.其中正确的命题个数为（）A．1B．2C．3D．4【解题思路】根据回归直线方程的性质，相关系数、相关系数及残差平方和的意义判断各项的正误即可.【解答过程】对于①，回归直线一定经过样本中心点，故正确；对于②，相关系数�

�的绝对值越接近于1，相关性越强，故错误；对于③，相关指数𝑅2越接近1拟合效果越好，故正确；对于④，残差平方和越小，拟合效果越好，故正确.故选：C.【题型4代入法求线性经验回归方程】【方法点拨】经验回归直线一定经过样本点的中心(,)，求出样本点的中心后代入线性回归方程求解相应字母

.【例4】（2023秋·四川广安·高二阶段练习）已知两个变量𝑥和𝑦之间存在线性相关关系，某兴趣小组收集了一组𝑥，𝑦的样本数据如下表所示：𝑥12345𝑦0.50.611.41.5根据表中数据利用最小二乘法得到的回归方程是（

）A．𝑦=0.21𝑥+0.53B．𝑦=0.25𝑥+0.21C．𝑦=0.28𝑥+0.16D．𝑦=0.31𝑥+0.11【解题思路】求出𝑥，𝑦，由回归直线必过样本中心，将点（𝑥，𝑦）依次代入各项检验是否成立可得结果.【解答过程】∵

𝑥=15×(1+2+3+4+5)=3，𝑦=15×(0.5+0.6+1+1.4+1.5)=1∴回归直线必过样本中心（3,1），而A、B、D项中的回归直线方程不过点（3,1），C项的回归直线方程过点（3,1），故选：C.【变式4-1】（2022秋·陕西

榆林·高二期中）已知𝑥，𝑦的取值如下表所示：x0134y2.24.34.86.7若𝑦与𝑥线性相关，且𝑦=0.95𝑥+𝑎，则𝑎=（）A．2.2B．2.9C．2.8D．2.6【解题思路】利用平均数可得样本的中心点为(2,4.5)，将中心点对应的值代入题目中的等式即可求出𝑎的值.【解答

过程】由表格，得𝑥̅=14(0+1+3+4)=2，𝑦̅=14(2.2+4.3+4.8+6.7)=4.5，线性回归直线过样本中心点(2,4.5)，所以4.5=0.95×2+𝑎，所以𝑎=2.6.故选：D.【变式4-2】（202

3秋·河南焦作·高二期末）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：广告费用x（万元）3456销售额y（万元）25304045根据如表可得回归方程𝑦̂=𝑏̂𝑥+𝑎̂中的𝑏̂为7．根据此模型预测广告费用为10万元时销售额为（）万元A．63.

6B．75.5C．73.5D．72.0【解题思路】线性回归方程．根据回归方程必过样本中心点，求出回归系数，再将𝑥=10代入，即可得到预报销售额．【解答过程】解：由题意，𝑥̅=3+4+5+64=4.5，𝑦̅=25+30+40+454=35，由回归方程𝑦̂=𝑏̂𝑥+𝑎̂中

的𝑏̂为7可得，35=7×4.5+𝑎̂，解得𝑎̂=3.5，所以，回归方程为𝑦̂=7𝑥+3.5，所以𝑥=10时，𝑦̂=7×10+3.5=73.5元．故选：C．【变式4-3】（2023秋·四

川宜宾·高二期末）某小区流感大爆发，当地医疗机构使用中西医结合的方法取得了不错的成效，每周治愈的患者人数如表所示，由表格可得y关于x的线性经验回归方程为𝑦̂=36𝑥−48，则测此回归模型第4周的治愈人数为（）周数（x）12345治愈人数（y）51535？1

40A．106B．105C．104D．103【解题思路】设第4周的治愈人数为𝑚，表示出样本中心点(𝑥̅,𝑦̅)，代入到回归方程中，进而可求出答案.【解答过程】根据题意，设第4周的治愈人数为𝑚，则有𝑥̅=1+2+3+4+54=3，𝑦̅=5+15+3

5+𝑚+1405=195+𝑚5，所以样本中心点为(3,195+𝑚5)，代入到回归方程𝑦̂=36𝑥−48中，得𝑚=105，故选：B.【题型5经验回归模型的应用】【方法点拨】(1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是响应变量；(2)画出解释变量和响

应变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)；(3)确定经验回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性经验回归方程)；(4)按一定规则(如最小二乘法)估计经验回归方程中的参数；(5)得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过

大，残差呈现不随机的规律性等)，若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等.【例5】（2023秋·四川雅安·高二期末）某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如表．商店名称ABCDE

销售额x（千万元）35679利润额y（千万元）23345(1)若销售额和利润额具有相关关系，用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程．（参考公式𝑏̂=∑𝑥𝑖𝑦𝑖−𝑛⋅𝑥⋅𝑦𝑛𝑖=1∑𝑥𝑖2−𝑛⋅𝑥2𝑛𝑖=1，𝑎̂=𝑦−𝑏

̂𝑥）(2)若该公司计划再开一个店想达到预期利润为8百万，请预估销售额需要达到多少?【解题思路】（1）根据已知条件，结合最小二乘法和回归直线方程的公式，即可求解.（2）将𝑦̂=0.8代入回归直线方程中，即可求解.【解答过程

】（1）由表中的数据可得，𝑥=15×(3+5+6+7+9)=6，𝑦=15×(2+3+3+4+5)=3.4，𝑏̂=∑𝑥𝑖𝑦𝑖−5⋅𝑥⋅𝑦5𝑖=1∑𝑥𝑖2−5⋅𝑥25𝑖=1=112−5×6×3.4200−5×62=0.5，

𝑎̂=3.4−0.5×6=0.4，故利润额y对销售额x的回归直线方程为𝑦̂=0.5𝑥+0.4．（2）∵该公司计划再开一个店想达到预期利润为8百万，即0.8千万，∴0.8=0.5𝑥+0.4，解得𝑥=0.8

，故预计销售额需要达到8百万．【变式5-1】（2023·全国·模拟预测）目前手机已经成为人们生活中的必需品，国内市场已经进入成熟期，下表是2016—2021年某市手机总体出货量（单位：万部）统计表．年份2016年2017年2018年2019年2020年

2021年年份代码𝑥123456手机总体出货量𝑦/万部5.64.94.13.93.23.5(1)已知该市手机总体出货量y与年份代码x之间可用线性回归模型拟合，求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01）；(2)预测2022年该市手机总体出货量

．附：线性回归方程𝑦̂=𝑎̂+𝑏̂𝑥中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为𝑏̂=∑(𝑥𝑖−𝑥)(𝑦𝑖−𝑦)𝑛𝑖=1∑(𝑥𝑖−𝑥)2𝑛𝑖=1，𝑎̂=𝑦−𝑏̂𝑥．【解题思路】（1）根据题中所给数据，利用最小二乘法求出𝑎̂,𝑏

̂，即可得解；（2）将𝑥=7代入（1）中回归方程，即可得解.【解答过程】（1）由题中统计表得𝑥=16×(1+2+3+4+5+6)=3.5，𝑦̅=16×(5.6+4.9+4.1+3.9+3.2+3.5)=4.2，所以∑(𝑥𝑖−𝑥̅)(𝑦𝑖−𝑦̅)6𝑖=1=−2.5

×1.4−1.5×0.7−0.5×(−0.1)+0.5×(−0.3)+1.5×(−1)+2.5×(−0.7)=−7.9，∑(𝑥𝑖−𝑥̅)26𝑖=1=6.25+2.25+0.25+0.25+2.

25+6.25=17.5，则𝑏̂=∑(𝑥𝑖−𝑥̅)(𝑦𝑖−𝑦̅)6𝑖=1∑(𝑥𝑖−𝑥̅)26𝑖=1=−7.917.5≈−0.451，𝑎̂=𝑦̅−𝑏̂𝑥̅≈4.2−(−0.451)×3.5≈5.78，所以y关于x的线性回归方程为𝑦̂=−0.45𝑥+5.78；（2

）由题意得2022年对应的年份代码𝑥=7，代入𝑦̂=−0.45𝑥+5.78，得𝑦̂=2.63，所以预测2022年该市手机总体出货量为2.63万部．【变式5-2】（2023秋·四川成都·高二期末）

某工厂统计2022年销售网点数量与售卖出的产品件数的数据如下表：销售网点数x（单位：个）1719202123售卖出的产品件数y（单位：万件）2122252730假定该工厂销售网点的个数与售卖出的产品件数呈线

性相关关系，(1)求2022年售卖出的产品件数y（单位：万件）关于销售网点数x（单位：个）的线性回归方程；(2)根据（1）中求出的线性回归方程，预测2022年该工厂建立40个销售网点时售卖出的产品件数

.参考公式：𝑏̂=∑(𝑥𝑖−𝑥̅)𝑛𝑖=1(𝑦𝑖−𝑦̅)∑(𝑥𝑖−𝑥̅)2𝑛𝑖=1=∑𝑥𝑖𝑛𝑖=1𝑦𝑖−𝑛𝑥̅𝑦̅∑𝑥𝑖2𝑛𝑖=1−𝑛𝑥̅2，𝑎̂=𝑦̅−𝑏̂

𝑥̅.【解题思路】（1）由参考公式可算出销售网点数x（单位：个）的线性回归方程；（2）将𝑥=40代入由（1）算得的回归方程可得答案.【解答过程】（1）由题，可得𝑥=17+19+20+21+235=20，𝑦=21+22+

25+27+305=25，∑𝑥𝑖𝑦𝑖5𝑖=1=17×21+19×22+20×25+21×27+23×30=2532，∑𝑥𝑖25𝑖=1=172+192+202+212+232=2020.则𝑏̂=2532−5×20×252020−5×202=3220=1.6，𝑎̂=25−

20×1.6=−7.故回归方程为：𝑦̂=1.6𝑥−7.（2）将𝑥=40代入回归方程，则𝑦̂=64−7=57.故2022年该工厂建立40个销售网点时售卖出的产品件数约57万件.【变式5-3】（2023·山东·模拟预测）我国5G技术给直播行业带来了很多发展空间，加上

受疫情影响，直播这种成本较低的获客渠道备受商家青睐，某商场统计了2022年1~5月某商品的线上月销售量y（单位：千件）与售价x（单位：元/件）的情况如下表示．月份12345售价x（元/件）6056585754月销售量y（千

件）597109(1)求相关系数𝑟，并说明是否可以用线性回归模型拟合𝑦与𝑥的关系（当|𝑟|∈[0.75,1]时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.01）；(2)建立𝑦关于𝑥的线性回归方程，并

估计当售价为55元/件时，该商品的线上月销售量估计为多少千件？(3)若每件商品的购进价格为(0.5𝑥+25)元/件，如果不考虑其他费用，由（2）中结论，当商品售价为多少时，可使得该商品的月利润最大？（该结果保留整数

）参考公式：对于一组数据(𝑥𝑖,𝑦𝑖)(𝑖=1,2,3,⋯,𝑛)，相关系数𝑟=∑(𝑥𝑖−𝑥̅)𝑛𝑖=1(𝑦𝑖−𝑦̅)√∑(𝑥𝑖−𝑥̅)2𝑛𝑖=1√∑(𝑦𝑖−𝑦̅)2𝑛𝑖=1，其回归直线𝑦̂=𝑏̂𝑥+𝑎̂的斜率和截距的

最小二乘估计分别为：𝑏̂=∑(𝑥𝑖−𝑥̅)𝑛𝑖=1(𝑦𝑖−𝑦̅)∑(𝑥𝑖−𝑥̅)2𝑛𝑖=1,𝑎̂=𝑦̅−𝑏̂𝑥̅．参考数据：√5≈2.236．【解题思路】（1）根据数据计算𝑥̅,𝑦

̅，从而分别代入计算出√∑(𝑥𝑖−𝑥̅)25𝑖=1，√∑(𝑦𝑖−𝑦̅)25𝑖=1，∑(𝑥𝑖−𝑥̅)5𝑖=1(𝑦𝑖−𝑦̅)，由公式计算相关系数𝑟并判断相关性；（2）代入公式求解𝑏̂，𝑎̂，从而写出回归方

程，再代入𝑥=55，计算𝑦̂；（3）设每月的利润为𝑍元，写出𝑍关于𝑥的函数解析式，根据二次函数的性质，求解对称轴即可.【解答过程】（1）由已知数据可得𝑥̅=60+56+58+57+545=57,𝑦̅=5+9+7+10+95=8，√∑(𝑥𝑖−𝑥̅)25𝑖=1=√32+

(−1)2+12+02+(−3)2=2√5，√∑(𝑦𝑖−𝑦̅)25𝑖=1=√(−3)2+12+(−1)2+22+12=4，∑(𝑥𝑖−𝑥̅)5𝑖=1(𝑦𝑖−𝑦̅)=3×(−3)+(−1)×1+

1×(−1)+0×2+(−3)×1=−14，所以相关系数=∑(𝑥𝑖−𝑥̅)5𝑖=1(𝑦𝑖−𝑦̅)√∑(𝑥𝑖−𝑥̅)25𝑖=1√∑(𝑦𝑖−𝑦̅)25𝑖=1=−142√5×4≈−0.78，因为|𝑟|>0.75

，所以𝑦与𝑥有很强的线性相关性，可以用线性回归模型拟合．（2）由于𝑏̂=∑(𝑥𝑖−𝑥̅)5𝑖=1(𝑦𝑖−𝑦̅)∑(𝑥𝑖−𝑥̅)25𝑖=1=−1420=−0.7，𝑎̂=𝑦

̅−𝑏̂𝑥̅=8−(−0.7)×57=47.9，所以𝑦关于𝑥的线性回归方程为𝑦̂=−0.7𝑥+47.9，当𝑥=55时，𝑦̂=−0.7×55+47.9=9.4，故当售价为𝑥=55元/件时，该商品的线上月销售量估计为9.4千件．（3）设每月的利润为𝑍元，则

𝑍=1000(𝑥−0.5𝑥−25)(−0.7𝑥+47.9)=50(−7𝑥2+829𝑥−23950)，当𝑥=82914≈59时，Z取得最大值．即当商品售价为59元/件时，可使得该商品的月利润最大．

【题型6非线性经验回归方程的求法】【方法点拨】(1)作散点图确定曲线模型：曲线所对应的函数种类繁多，这就要求我们充分想象，大胆猜测拟合函数类型，粗略估计使用哪个函数拟合.(2)非线性转化为线性：先通过适当变换化非线性关系为线性关系，然后按照线性检验回归方程的求解

步骤进行求解.(3)分析模型的拟合效果，得出结论.【例6】（2023·陕西西安·统考一模）为了研究某种细菌随天数x变化的繁殖个数y，收集数据如下：天数x123456繁殖个数y36132545100(1)判断𝑦̂=𝑏̂𝑥+𝑎̂（𝑎̂,𝑏̂为常数）与𝑦̂=𝑐̂1

e𝑐̂2𝑥（𝑐̂1,𝑐̂2为常数，且𝑐̂1>0,𝑐̂2≠0）哪一个适宜作为繁殖个数y关于天数x变化的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)对于非线性回归方程𝑦̂=𝑐̂1e𝑐̂2𝑥（𝑐̂1,𝑐̂2为常数，且𝑐̂1>0

,𝑐̂2≠0），令𝑧=ln𝑦，可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系及一些统计量的值，𝑥𝑦𝑧∑(𝑥𝑖−𝑥̅)26𝑖=1∑(𝑥𝑖−𝑥̅)6𝑖=1(𝑦𝑖−𝑦̅)∑(𝑥𝑖−𝑥̅)6𝑖=1(𝑧𝑖−𝑧̅)

3.50322.8517.530712.12（ⅰ）证明：对于非线性回归方程𝑦̂=𝑐̂1e𝑐̂2𝑥，令𝑧=ln𝑦，可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系（即𝑧̂=𝛽̂𝑥+𝛼̂,𝛽̂,𝛼̂为常数）；（ⅱ）根据（ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方

程（系数保留2位小数）．附：对于一组数据(𝑢1,𝑣1),(𝑢2,𝑣2),⋯,(𝑢𝑛,𝑣𝑛)其回归直线方程𝑣̂=𝛽̂𝑢+𝛼̂的斜率和截距的最小二乘估计分别为𝛽̂=∑𝑢𝑖𝑛𝑖

=1𝑣𝑖−𝑛𝑢𝑣∑𝑢𝑖2𝑛𝑖=1−𝑛𝑢2,𝛼̂=𝑣−𝛽̂𝑢．【解题思路】（1）根据给定数据作出散点图，再借助散点图即可判断作答.（2）（ⅰ）由（1）选定的回归方程类型，取对数即可得关于x的直线方程作

答；（ⅱ）由（ⅰ）的结果，利用最小二乘法求解作答.【解答过程】（1）作出繁殖个数y关于天数x变化的散点图，如图，观察散点图知，样本点分布在一条指数型曲线周围，所以𝑦^=𝑐^1e𝑐^2𝑥更适宜作为繁殖个数y关于天数x变化的回归方程类型.（2）（ⅰ）由（1）知，𝑦

̂=𝑐̂1e𝑐̂2𝑥（𝑐̂1,𝑐̂2为常数，且𝑐̂1>0,𝑐̂2≠0），又𝑧=ln𝑦，因此ln𝑦̂=ln(𝑐̂1e𝑐̂2𝑥)=ln𝑐̂1+lne𝑐̂2𝑥=ln𝑐̂1+𝑐̂2𝑥，令𝛼̂=ln𝑐̂1,𝛽̂

=𝑐̂2，即有𝑧̂=𝛽̂𝑥+𝛼̂,𝛽̂,𝛼̂为常数，所以繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系.（ⅱ）𝑥=3.50，𝑧=2.85，由（ⅰ）知，𝑐^2=𝛽^=∑⬚6𝑖=1𝑥𝑖𝑧𝑖−6𝑥𝑧

∑⬚6𝑖=1𝑥𝑖2−6𝑥2=∑⬚6𝑖=1(𝑥𝑖−𝑥)(𝑧𝑖−𝑧)∑⬚6𝑖=1(𝑥𝑖−𝑥)2=12.1217.5≈0.69，ln𝑐̂1=𝛼̂=𝑧−𝛽̂𝑥=2.85−0.69×3.50≈0.44，因此𝑧̂=0.69𝑥+

0.44，所以y关于x的回归方程为𝑦̂=e0.69𝑥+0.44.【变式6-1】（2023·云南·高三阶段练习）近年来，云南省保山市龙陵县紧紧围绕打造“中国石斛之乡”的发展定位，大力发展石斛产业，该产业带动龙陵县近四分之一人口脱贫致富．2

022年8月，龙陵紫皮石斛获国家地理标志运用促进工程重点项目，并被评为优秀等次．在政府的大力扶持下，龙陵紫皮石斛产量逐年增长，2017年底到2022年底龙陵县石斛产量统计如下及散点图如图．年份201720182019202020212022年份代码x123456紫皮石斛

产量y（吨）320034003600420075009000(1)根据散点图判断，𝑦=𝑎𝑥+𝑏与𝑦=𝑐e𝑑𝑥（a，b，c，d均为常数）哪一个更适合作为龙陵县紫皮石斛产量y关于年份代码x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)经计算得下表中数据，根据（1）中结果，求出y关

于x的回归方程；𝑥𝑦𝑢∑(𝑥𝑖−𝑥̅)26𝑖=1∑(𝑥𝑖−𝑥̅)6𝑖=1(𝑦𝑖−𝑦̅)∑(𝑥𝑖−𝑥̅)6𝑖=1(𝑢𝑖−𝑢̅)3.551508.4617.5209503.85其中𝑢=ln𝑦,𝑢𝑖=

ln𝑦𝑖(𝑖=1,2,3,4,5,6)．(3)龙陵县计划到2025年底实现紫皮石斛年产量达1.5万吨，根据（2）所求得的回归方程，预测该目标是否能完成？（参考数据：e9.45≈12708,e9.67≈15835）

附：𝑏̂=∑(𝑥𝑖−𝑥̅)𝑛𝑖=1(𝑦𝑖−𝑦̅)∑(𝑥𝑖−𝑥̅)2𝑛𝑖=1，𝑎̂=𝑦̅−𝑏̂𝑥̅．【解题思路】（1）根据判断即可；（2）根据表中数据和参考数据，利用公

式求解即可；（3）根据（2）中所得的回归方程即可预测到2025年底该目标值，从而即可判断．【解答过程】（1）由散点图可知，𝑦=𝑐e𝑑𝑥更适合作为龙陵县紫皮石斛产量y关于年份代码x的回归方程类型．（2）对𝑦=𝑐e𝑑𝑥两边取自然对数，得ln𝑦=ln𝑐+𝑑𝑥．令𝑢=ln𝑦,

𝑣=ln𝑐，所以𝑢=𝑣+𝑑𝑥．因为𝑥̅=3.5,𝑢̅=8.46,∑(𝑥𝑖−𝑥̅)26𝑖=1=17.5,∑(𝑥𝑖−𝑥̅)6𝑖=1(𝑢𝑖−𝑢̅)=3.85，所以𝑑̂=∑(𝑥𝑖−𝑥̅)6𝑖=1(𝑢𝑖−𝑢̅)∑(𝑥𝑖−𝑥̅)26𝑖=

1=3.8517.5=0.22．所以𝑣̂=𝑢̅−𝑑̂𝑥̅=8.46−0.22×3.5=7.69，所以𝑢̂=0.22𝑥+7.69．所以龙陵县紫皮石斛产量y关于年份代码x的回归方程为𝑦̂=e0.22𝑥+7.69．（3）当𝑥=9时，𝑦̂=e0.22

×9+7.69=e9.67≈15835>15000，故预测该目标可以完成．【变式6-2】（2023·江西抚州·高三开学考试）数据显示中国车载音乐已步入快速发展期，随着车载音乐的商业化模式进一步完善，市场将持续扩大，下表为2018—2022

年中国车载音乐市场规模（单位：十亿元），其中年份2018—2022对应的代码分别为1—5．年份代码x12345车载音乐市场规模y2.83.97.312.017.0(1)由上表数据知，可用指数函数模型𝑦=𝑎⋅𝑏𝑥拟合y与x的关系，请建立

y关于x的回归方程（a，b的值精确到0.1）；(2)综合考虑2023年及2024年的经济环境及疫情等因素，某预测公司根据上述数据求得y关于x的回归方程后，通过修正，把𝑏−1.3作为2023年与2024年这

两年的年平均增长率，请根据2022年中国车载音乐市场规模及修正后的年平均增长率预测2024年的中国车载音乐市场规模．参考数据：𝑣̅∑𝑥𝑖𝑣𝑖5𝑖=1e0.524e0.4721.9433.821.71.6其中𝑣𝑖=ln�

�𝑖，𝑣̅=15∑𝑣𝑖5𝑖=1．参考公式：对于一组数据(𝑢1,𝑣1)，(𝑢2,𝑣2)，…，(𝑢𝑛,𝑣𝑛)，其回归直线𝑣̂=𝛼̂+𝛽̂𝑢的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为𝛽̂=∑𝑢𝑖𝑣𝑖−𝑛𝑢𝑣𝑛𝑖=1∑𝑢𝑖2−𝑛

𝑢2𝑛𝑖=1，𝛼̂=𝑣−𝛽̂𝑢．【解题思路】（1）由𝑦=𝑎⋅𝑏𝑥得ln𝑦=ln𝑎+𝑥ln𝑏，由回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式求得ln𝑎̂=0.524,ln𝑏̂=0.472，从而求得y关于x的回归方程.（2）两年的年平均增长

率为0.3，故2024年的中国车载音乐市场规模为1.7(1+0.3)2【解答过程】（1）因为𝑦=𝑎⋅𝑏𝑥，所以两边同时取常用对数，得ln𝑦=ln𝑎+𝑥ln𝑏，设𝑣=ln𝑦，所以𝑣=ln𝑎+𝑥ln�

�，设𝛼=ln𝑎,𝛽=ln𝑏，因为𝑥̅=3,𝑣̅=1.94，所以𝛽̂=∑𝑥𝑖𝑣𝑖−5𝑥̅⋅𝑣̅5𝑖=1∑𝑥𝑖2−5𝑥̅25𝑖=1=33.82−5×3×1.9455−5×32=0.472,𝛼̂=𝑣̅−𝛽̂𝑥̅=1.94−0.472×3=0.524

，所以ln𝑎̂=0.524,ln𝑏̂=0.472所以𝑎̂=e0.524=1.7,𝑏̂=e0.472=1.6所以𝑦̂=1.7×1.6𝑥（2）由题意知2023年与2024年这两年的年平均增长率1.6−1.3=0.3，

2022年中国车载音乐市场规模为1.7，故预测2024年的中国车载音乐市场规模1.7(1+0.3)2=2.873（十亿元）.【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）某企业为改进生产，现某产品及成本相

关数据进行统计．现收集了该产品的成本费y（单位：万元/吨）及同批次产品生产数量x（单位：吨）的20组数据．现分别用两种模型①𝑦=𝑏𝑥+𝑎，②𝑦=𝑑𝑥+𝑐进行拟合，据收集到的数据，计算得到如下值：𝑥̅𝑦̅�

�̅∑(𝑥𝑖20𝑖=1−𝑥̅)2∑(𝑡𝑖20𝑖=1−𝑡̅)2∑(𝑦𝑖−𝑦̅)(𝑥𝑖−𝑥̅)20𝑖=1∑(𝑦𝑖−𝑦̅)(𝑡𝑖−𝑡̅)20𝑖=114.5100.086650.04-4504表中𝑡𝑖=1𝑥𝑖，𝑡

̅=120∑𝑡𝑖20𝑖=1．若用𝑅2=1−∑(𝑦𝑖−𝑦̂)2𝑛𝑖=1∑(𝑦𝑖−𝑦̅)2𝑛𝑖=1刻画回归效果，得到模型①、②的𝑅2值分别为𝑅1⬚2=0.7891，𝑅2⬚2=0.9485．(1)利用𝑅

1⬚2和𝑅2⬚2比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；(2)根据（1）中所选择的模型，求y关于x的回归方程；并求同批次产品生产数量为25（吨）时y的预报值．附：对于一组数据(𝑥1,𝑦1)，(�

�2,𝑦2)，…，(𝑥𝑛,𝑦𝑛)，其回归直线𝑦̂=𝑎̂+𝛽̂𝑥的斜率和截距的最小二乘法估计分别为𝛽̂=∑(𝑥𝑖−𝑥̅)(𝑦𝑖−𝑦̅)𝑛𝑖=1∑(𝑥𝑖−𝑥̅)2𝑛𝑖=1，𝑎

̂=𝑦̅−𝛽̂𝑥̅．【解题思路】（1）根据已知𝑅2⬚2>𝑅1⬚2，根据𝑅2的意义，即可得出模型②的拟合效果好，选择模型②；（2）𝑦与𝑡可用线性回归来拟合，有𝑦̂=𝑑̂𝑡+𝑐̂，求出系数𝑑̂,𝑐̂，得到

回归方程𝑦̂=100𝑡+2，即可得到成本费𝑦与同批次产品生产数量𝑥的回归方程为𝑦̂=100𝑥+2，代入𝑥=25，即可求出结果.【解答过程】（1）应该选择模型②.由题意可知，𝑅2⬚2>𝑅1⬚2，则模型②中样本数据的残差平方和∑(�

�𝑖−𝑦̂)2𝑛𝑖=1比模型①中样本数据的残差平方和小，即模型②拟合效果好.（2）由已知𝑡=1𝑥，成本费𝑦与𝑡可用线性回归来拟合，有𝑦̂=𝑑̂𝑡+𝑐̂.由已知可得，𝑑^=∑(𝑦𝑖−𝑦)20𝑖=1(𝑡𝑖−𝑡)∑⬚20𝑖=1(𝑡�

�−𝑡)2=40.04=100，所以𝑐̂=𝑦̅−𝑑̂𝑡̅=10−100×0.08=2，则𝑦关于𝑡的线性回归方程为𝑦̂=100𝑡+2.成本费𝑦与同批次产品生产数量𝑥的回归方程为𝑦̂=

100𝑥+2，当𝑥=25（吨）时，𝑦̂=10025+2=6（万元/吨）.所以，同批次产品生产数量为25（吨）时y的预报值为6万元/吨.