【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修一）专题3.7 双曲线的标准方程和性质-重难点题型精讲 Word版含解析.docx，共(15)页，640.723 KB，由小赞的店铺上传

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专题3.7双曲线的标准方程和性质-重难点题型精讲1．双曲线的定义双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.2．双曲线的标准方程双曲线的标准方

程与其在坐标系中的位置的对应关系：3．双曲线的简单几何性质双曲线的一些几何性质：4．双曲线的离心率(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率.(2)双曲线离心率的范围：e>1.(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口

大小.因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大.(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=.5．双曲线中的最值问题求解此类问题一般有以下两种思路：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特

征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式

法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.【题型1曲线方程与双曲线】【方法点拨】根据所给曲线方程表示双曲线，结合双曲线的标椎方程进行求解，即可得出所求.【例1】（2022·

四川南充·三模（理））设𝜃∈(0,2π)，则“方程𝑥23+𝑦24sin𝜃=1表示双曲线”的必要不充分条件为（）A．𝜃∈(0,π)B．𝜃∈(2𝜋3,2𝜋)C．𝜃∈(π,3π2)D．𝜃∈(π2

,3π2)【解题思路】求出方程𝑥23+𝑦24sin𝜃=1表示双曲线的必要不充分条件𝜃的范围可得答案.【解答过程】由𝜃∈(0,2𝜋)，方程𝑥23+𝑦24sin𝜃=1表示双曲线，则sin𝜃<0，所以𝜃∈(𝜋,

2𝜋)，根据选项，“方程𝑥23+𝑦24sin𝜃=1表示双曲线”的必要不充分条件为B.故选：B.【变式1-1】（2021·山东·高三开学考试）命题𝑝：“3<𝑚<5”是命题𝑞：“曲线𝑥2�

�−3−𝑦25−𝑚=1”表示双曲线”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据双曲线的标准方程，满足(𝑚−3)(5−𝑚)>0，求出𝑚的取值范围，再利用充分条件、必要条件的

定义即可求解.【解答过程】曲线𝑥2𝑚−3−𝑦25−𝑚=1表示双曲线，可得(𝑚−3)(5−𝑚)>0，解得3<𝑚<5,命题𝑝：“3<𝑚<5”是命题𝑞：“曲线𝑥2𝑚−3−𝑦25−𝑚=1”表示双曲线”的充要条件,故选：A.【变式1-2】（2022·全国·高二课时练习）若方

程𝑥22+𝑚−𝑦22−𝑚=1表示双曲线，则m的取值范围是（）A．−2<𝑚<2B．𝑚>−2C．𝑚≥0D．𝑚≥2【解题思路】根据双曲线的定义可知2+𝑚与2−𝑚同号，从而可求出m的取值范围【解答过程】因为方程𝑥22

+𝑚−𝑦22−𝑚=1表示双曲线，所以(2+𝑚)(2−𝑚)>0，解得−2<𝑚<2，故选：A.【变式1-3】（2021·安徽滁州·高二阶段练习）已知曲线C的方程为𝑥2𝑘+1+𝑦25−𝑘=1(𝑘∈𝑅)，若曲线C是焦点

在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是（）．A．−1<𝑘<5B．𝑘>5C．𝑘<−1D．𝑘≠−1或5【解题思路】根据题意可得{𝑘+1<05−𝑘>0，解之即可得解.【解答过程】解：若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，

则{𝑘+1<05−𝑘>0，解得𝑘<−1．故选：C.【题型2利用双曲线的定义解题】【方法点拨】理解双曲线的定义要紧扣“到两定点的距离的差的绝对值为定值，且该定值小于两定点间的距离”.双曲线的定义的应用主要有以下几种类型：一是求解动点的轨迹方程问题；二是求解

最值问题；三是求解焦点三角形问题.【例2】（2022·新疆高二阶段练习（理））已知双曲线𝐶:𝑥29−𝑦27=1的左、右焦点分别为𝐹1，𝐹2，双曲线𝐶上有一点𝑃，若|𝑃𝐹1|=5，则|𝑃𝐹2|=（）A．13B．11C．1或11D．11或13【解题思路】由双曲线定义可直接构造方程

求得结果.【解答过程】由双曲线方程知：𝑎=3；根据双曲线定义知：||𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2||=|5−|𝑃𝐹2||=2𝑎=6，解得：|𝑃𝐹2|=−1（舍）或|𝑃𝐹2|=11.故选：B.【变式2-1】（2022·河南·一模（理）

）已知𝑃为圆𝐶：(𝑥−5)2+𝑦2=36上任意一点，𝐴(−5,0)，若线段𝑃𝐴的垂直平分线交直线𝑃𝐶于点𝑄，则𝑄点的轨迹方程为A．𝑥29+𝑦216=1B．𝑥29−𝑦216=1C．�

�29−𝑦216=1（𝑥<0）D．𝑥29−𝑦216=1（𝑥>0）【解题思路】如图所示：连接𝑄𝐴，根据垂直平分线知𝑄𝐴=𝑄𝑃，||𝑄𝐶|−|𝑄𝐴||=6<10，故轨迹为双曲线，计算得到答案.【解答过程】如图所示：连接𝑄𝐴，根

据垂直平分线知𝑄𝐴=𝑄𝑃，故||𝑄𝐶|−|𝑄𝐴||=||𝑄𝐶|−|𝑄𝑃||=|𝑃𝐶|=6<10，故轨迹为双曲线，2𝑎=6，𝑎=3，𝑐=5，故𝑏=4，故轨迹方程为𝑥29−𝑦216=1.故选：𝐵.【变式2-2】（

2022·全国·高二课时练习）已知𝐹为双曲线𝐶:𝑥24−𝑦29=1的左焦点，𝑃,𝑄为双曲线𝐶同一支上的两点．若|𝑃𝑄|=12，点𝐴(√13,0)在线段𝑃𝑄上，则△𝑃𝑄𝐹的周长为（）A．25B．16C．32D．40【解题思路】根据已知

条件得出焦点坐标，并作出图形，利用双曲线的定义及三角形的周长公式即可求解.【解答过程】由题意可知，𝑎2=4,𝑏2=9，所以𝑐2=4+9=13，解得𝑐=√13，所以双曲线𝐶:𝑥24−𝑦29=1的左焦

点𝐹(−√13,0)，所以点𝐴(√13,0)是双曲线𝐶的右焦点．作出双曲线𝐶，如图所示．由双曲线的定义，知|𝑃𝐹|−|𝑃𝐴|=2𝑎=4①，|𝑄𝐹|−|𝑄𝐴|=2𝑎=4②，由①②，得|𝑃𝐹|+|𝑄𝐹|=|𝑃𝑄|+8，

又|𝑃𝑄|=|𝑃𝐴|+|𝑄𝐴|=12，所以△𝑃𝑄𝐹的周长为|𝑃𝐹|+|𝑄𝐹|+|𝑃𝑄|=8+2|𝑃𝑄|=32．故选：C.【变式2-3】（2022·全国·高二课时练习）𝑃是双曲线𝑥29−𝑦216=1的右支上一点，M、N分别是圆(𝑥+5)2+𝑦2

=1和(𝑥−5)2+𝑦2=4上的点，则|𝑃𝑀|−|𝑃𝑁|的最大值为（）A．6B．7C．8D．9【解题思路】先由已知条件可知双曲线的两个焦点为两个圆的圆心,再利用平面几何知识把|𝑃𝑀|−|𝑃𝑁|转化为双曲线上的

点到两焦点之间的距离,即可求|𝑃𝑀|−|𝑃𝑁|的最大值.【解答过程】∵𝑥29−𝑦216=1，∴𝑎2=9𝑏2=16则𝑐2=25，故双曲线的两个焦点为𝐹1(−5,0),𝐹2(5,0)，𝐹1(−5,0),𝐹2(5,0)也分别是两个圆的圆心,半径分别为𝑟1=

1,𝑟2=2,|𝑃𝑀|max=|𝑃𝐹1|+1，|𝑃𝑁|min=|𝑃𝐹2|−2，则|𝑃𝑀|−|𝑃𝑁|的最大值为(|𝑃𝐹1|+1)−(|𝑃𝐹2|−2)=|𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2|+3，=2×3+3=9，故选：D.【题型3双曲线的标准方程的求

解及应用】【方法点拨】(1)用待定系数法求双曲线的标准方程时，通常要先定型(焦点在哪个轴上)，再定量(确定的值).要特别注意的应用，并注意不要与椭圆中的关系相混滑.(2)求双曲线方程中参数的值或取值范围时，先要确定焦点的位置，再根据相应的标准方程确定的值，然后求解，有必要时，要注意分焦点在x

轴、y轴上进行分类讨论，不要漏解.【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线的两个焦点分别为𝐹1(0,−5)，𝐹2(0,5)，双曲线上一点𝑃与𝐹1，𝐹2的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（）A．𝑥29−𝑦216=1B．𝑥216−𝑦29=1C．𝑦2

9−𝑥216=1D．𝑦216−𝑥29=1【解题思路】根据题意求出a,b即可求得答案.【解答过程】由题意，𝑐=5,2𝑎=6⇒𝑎=3，则𝑏=√𝑐2−𝑎2=4，结合条件可知，双曲线的标准方程为𝑦29−𝑥216=1.故选：C.【变式3-1

】（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线C：𝑦2𝑎2−𝑥2𝑏2=1（𝑎>0，𝑏>0）的实轴长为8，一条渐近线的方程为𝑦=43𝑥，则双曲线的标准方程为（）A．𝑦264−𝑥236=1B．𝑦236−𝑥264=1C．

𝑦29−𝑥216=1D．𝑦216−𝑥29=1【解题思路】根据实轴长求得𝑎，再结合渐近线方程求得𝑏，即可求解【解答过程】因为实轴长为8，所以𝑎=4，可得渐近线方程为𝑦=±𝑎𝑏𝑥=±4𝑏𝑥，所以𝑏=3，所以双曲线的标准方程为𝑦216−𝑥

29=1，故选：D．【变式3-2】（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线𝐶:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1（𝑎>0，𝑏>0）的离心率为√103，双曲线上的点到焦点的最小距离为√10−3，则双曲线C的方程为（）A．𝑥29−𝑦2=1B．𝑥22

−𝑦2=1C．𝑥23−𝑦2=1D．𝑥24−𝑦2=1【解题思路】由离心率和距离的最小值列方程组求得𝑎,𝑐，然后求得𝑏后得双曲线方程．【解答过程】由已知可得𝑐𝑎=√103，𝑐−𝑎=√10−3，可得𝑐=√10，𝑎=3，则𝑏2=𝑐2−𝑎2=1，所以双

曲线的方程为𝑥29−𝑦2=1．故选：A．【变式3-3】（2022·全国·高三专题练习）已知点𝐹1,𝐹2分别是等轴双曲线𝐶:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的左、右焦点，𝑂为坐标原点，点𝑃在双曲线𝐶上，|𝐹1𝐹

2|=2|𝑂𝑃|，△𝑃𝐹1𝐹2的面积为8，则双曲线𝐶的方程为（）A．𝑥22−𝑦22=1B．𝑥24−𝑦24=1C．𝑥26−𝑦26=1D．𝑥28−𝑦28=1【解题思路】由|𝐹1𝐹2|=2|�

�𝑃|得𝑃𝐹1⊥𝑃𝐹2，然后由三角形面积、双曲线的定义、勾股定理联立可求得𝑎得双曲线方程．【解答过程】|𝐹1𝐹2|=2|𝑂𝑃|，𝑂是𝐹1𝐹2的中点，所以𝑃𝐹1⊥𝑃𝐹2，𝑎=𝑏，则𝑐=√

2𝑎，{𝑆△𝑃𝐹1𝐹2=12|𝑃𝐹1||𝑃𝐹2|=8||𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2||=2𝑎|𝑃𝐹1|2+|𝑃𝐹2|2=8𝑎2，解得𝑎=2√2，所以双曲线方程为𝑥28−𝑦28=1．故选：D．【题型4双曲线的渐近线方程】【方法点拨】根据已知

条件，求渐近线方程时，先要确定焦点的位置，再根据相应的标准方程确定的值，然后利用渐近线方程的公式求解.【例4】（2022·江西·高三开学考试（文））双曲线𝑦2𝑎2−𝑥2=1的实轴长为4，则其渐近线方程为（）A．𝑥±4𝑦=0B．4𝑥±𝑦=0C．𝑥±2𝑦=0D．2𝑥

±𝑦=0【解题思路】求出双曲线的标准方程即得解.【解答过程】解：由题意知，𝑎=2，所以双曲线的标准方程为𝑦24−𝑥2=1，双曲线𝑦24−𝑥2=1的渐近线方程为𝑦24−𝑥2=0，即2𝑥±𝑦=0.故选：D．【变式4-1】（2022·河南·高三阶段练习（文））若双曲线

𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的离心率为√5，则该双曲线的渐近线方程为（）A．𝑦=±12𝑥B．𝑦=±√3𝑥C．𝑦=±√5𝑥D．𝑦=±2𝑥【解题思路】根据双曲线的离心率可得𝑎,𝑏之间的关系，从而可得到渐近线方程.【解答过

程】双曲线𝐶:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的离心率为√5，即𝑐𝑎=√5，所以𝑎2+𝑏2𝑎2=1+𝑏2𝑎2=5，则𝑏𝑎=2，故C的渐近线方程为𝑦=±2𝑥.故选：D.

【变式4-2】（2022·海南高三阶段练习）若双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1的焦点𝐹(2,0)到其渐近线的距离为√3，则双曲线的渐近线方程为（）A．𝑦=±3𝑥B．𝑦=±√3𝑥C．𝑦=±13𝑥D．𝑦=±√33𝑥

【解题思路】由题可得𝑏=√3，𝑎=1，即得.【解答过程】双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的焦点(𝑐,0)到渐近线：𝑦=𝑏𝑎𝑥，即𝑏𝑥−𝑎𝑦=0的距离为：𝑑=|𝑏𝑐|√𝑎2+𝑏2

=𝑏𝑐𝑐=𝑏=√3，而𝑐=2，从而𝑎=1，故渐近线𝑦=±𝑏𝑎𝑥即𝑦=±√3𝑥.故选：B.【变式4-3】（2022·河南安阳·模拟预测（文））若直线𝑦=12𝑥−1与双曲线𝐶:𝑎𝑥2−�

�2=1的一条渐近线垂直，则a的值为（）A．14B．4C．12D．2【解题思路】利用两直线垂直时斜率的关系及其双曲线的渐近线方程即可求解.【解答过程】由已知得：双曲线的方程为𝑥21𝑎−𝑦2=1，其渐近方程为𝑦=±√𝑎𝑥，∵

直线𝑦=12𝑥−1与双曲线的渐近线垂直，∴双曲线的渐近线的斜率为−2，∴√𝑎=2，∴𝑎=4，故选：B.【题型5求双曲线的离心率的值或取值范围】【方法点拨】求双曲线的离心率的方法通常有以下两种：①定义法：设法求出a，c的值，由定义确定离心率的大小；②方程法：先由已知条件构造关于离心率的

方程，然后解方程确定离心率的大小，注意e>1.【例5】（2022·浙江·高二期中）已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1，过左焦点F作一条渐近线的垂线，记垂足为P，点Q在双曲线上，且满足𝐹𝑄⃑⃑⃑⃑⃑=𝑄𝑃⃑⃑⃑⃑⃑，则双曲线的离心率为（）A．√5−1B．√3C．√2

D．2【解题思路】设𝑃在渐近线𝑦=−𝑏𝑎𝑥上，直线𝐹𝑃的方程为𝑦=𝑎𝑏(𝑥+𝑐)，联立求得𝑃(−𝑎2𝑐,𝑎𝑏𝑐)，由𝐹𝑄⃑⃑⃑⃑⃑=𝑄𝑃⃑⃑⃑⃑⃑，求得𝑄

(−𝑎22𝑐−𝑐2,𝑎𝑏2𝑐)，代入双曲线的方程化简即可得出答案.【解答过程】设𝑃在渐近线𝑦=−𝑏𝑎𝑥上，直线𝐹𝑃的方程为𝑦=𝑎𝑏(𝑥+𝑐)，由{𝑦=−𝑏𝑎𝑥𝑦=𝑎𝑏(𝑥+𝑐)，得{𝑥=

−𝑎2𝑐𝑦=𝑎𝑏𝑐,即𝑃(−𝑎2𝑐,𝑎𝑏𝑐)，由𝐹𝑄⃑⃑⃑⃑⃑=𝑄𝑃⃑⃑⃑⃑⃑，得𝑄为𝐹𝑃的中点，又因为𝐹(−𝑐,0)所以𝑄(−𝑎22𝑐−𝑐2,𝑎𝑏2𝑐)，因为𝑄在双曲线上，所以(𝑐2+𝑎2)24𝑎2�

�2−𝑎24𝑐2=1,化简得：𝑐2=2𝑎2,𝑒=𝑐𝑎=√2.故选：C.【变式5-1】（2022·安徽省高二期末）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2)，则它的离心率为（）A．√6B．√5C．√62D．√52【解题思路】由题意设双曲线方程为𝑥2𝑎2−�

�2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)，则其渐近线方程为𝑦=±𝑏𝑎𝑥，将(4,2)代入𝑦=𝑏𝑎𝑥中可求出𝑏𝑎，从而由𝑒=𝑐𝑎=√1+(𝑏𝑎)2可求出离心率.【解答过程】由题意设双曲线方程为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)，则其渐

近线方程为𝑦=±𝑏𝑎𝑥，因为双曲线的一条渐近线经过点(4,2)，所以2=4𝑏𝑎，所以𝑏𝑎=12，所以离心率𝑒=𝑐𝑎=√1+(𝑏𝑎)2=√1+(12)2=√52，故选：D.【变式5-2】（2022·内蒙古包头·高三开学考试（文

））双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的一条渐近线方程为𝑦=2√2𝑥，则其离心率为（）A．3B．√3C．√5D．5【解题思路】根据渐近线方程得𝑏𝑎=2√2，再根据关系式𝑐2=𝑎2+𝑏2，求双曲线的离心率.【解答过

程】由条件可知𝑏𝑎=2√2，所以离心率𝑐𝑎=√1+𝑏2𝑎2=3.故选：A.【变式5-3】（2022·全国·高二专题练习）设𝐹1,𝐹2是椭圆𝐶1:𝑥2𝑎1⬚2+𝑦2𝑏1⬚2=1(𝑎1>𝑏1>0)与双曲线𝐶2:𝑥2𝑎22−𝑦2𝑏22=1(𝑎2>0,𝑏

2>0)的公共焦点，曲线𝐶1,𝐶2在第一象限内交于点𝑀,∠𝐹1𝑀𝐹2=90∘，若椭圆的离心率𝑒1∈[√63,1)，则双曲线的离心率𝑒2的范围是（）A．(1,√2]B．(1,√3]C．[√3,+∞)D．[√2,+∞)【解题思路】根据椭圆和双曲线的定义求出|𝑀𝐹1|,|𝑀

𝐹2|，由勾股定理即可得到𝑒1,𝑒2的关系，从而解出．【解答过程】由题意可得，|𝑀𝐹1|+|𝑀𝐹2|=2𝑎1，|𝑀𝐹1|−|𝑀𝐹2|=2𝑎2，解得：|𝑀𝐹1|=𝑎1+𝑎2，|𝑀𝐹2|=𝑎1−𝑎2，因为∠

𝐹1𝑀𝐹2=90∘，所以|𝑀𝐹1|2+|𝑀𝐹2|2=4𝑐2，即𝑎12+𝑎22=2𝑐2，亦即(1𝑒1)2+(1𝑒2)2=2，所以𝑒2=1√2−(1𝑒1)2∈(1,√2]．故选：A．【题型6双曲线中的最值问题】【方法点拨】求解此类问题一般有以下两种思路：(1)几何法

：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式

，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C的一条渐近线为直线√3𝑥

−𝑦=0，C的右顶点坐标为(1,0)，右焦点为F.若点M是双曲线C右支上的动点，点A的坐标为(3,5)，则|𝑀𝐴|+|𝑀𝐹|的最小值为（）A．√26−1B．√26C．√26+1D．√26+2【解题思路】根据双曲线渐近线和顶点的定义求出双曲线的标准方程，进而求出右焦点坐标，再

确定点A在双曲线的外部，结合三角形三边之间的关系可知当𝐴、𝑀、𝐹三点共线时|𝑀𝐴|+|𝑀𝐹|取得最小值|𝐴𝐹|，利用两点坐标求距离公式计算即可.【解答过程】设双曲线方程为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0，𝑏>0)，则{𝑎=1𝑏𝑎=√3，所以{𝑎=1

𝑏=√3，双曲线方程为𝑥2−𝑦23=1，由32−𝑦23=1，得𝑦=±2√6，5>2√6，因此𝐴(3,5)在双曲线外部（不含焦点的部分），又𝑐=√1+3=2，所以𝐹(2,0)，在△𝐴𝑀𝐹中，由三边之间的关系可知当𝑀是线段𝐴�

�与双曲线的交点，即𝐴、𝑀、𝐹三点共线时，|𝑀𝐴|+|𝑀𝐹|取得最小值，且最小值为|𝐴𝐹|=√(3−2)2+(5−0)2=√26，故选：B.【变式6-1】（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线𝐶:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)

的离心率为√103，双曲线上的点到焦点的最小距离为√10−3，则双曲线上的点到点𝐴(5,0)的最小距离为（）A．1B．√62C．2D．√6【解题思路】利用已知条件求得𝑎、𝑐的值，可得出𝑏的值，求得双曲线的标准方程，然后利用两点间的距离公式并结合二次函数的基本性质可求得双曲线上的点到点�

�(5,0)的最小距离.【解答过程】由已知可得𝑐𝑎=√103，𝑐−𝑎=√10−3，可得𝑐=√10，𝑎=3，𝑏2=𝑐2−𝑎2=1，所以，双曲线的方程为𝑥29−𝑦2=1，设𝑃(𝑥,𝑦)

是双曲线𝑥29−𝑦2=1上的点，则𝑦2=𝑥29−1，且𝑥≤−3或𝑥≥3，则|𝐴𝑃|=√(𝑥−5)2+𝑦2=√10𝑥29−10𝑥+24=√10(𝑥29−𝑥)+24=√10(𝑥3−32)2+32，所以当𝑥=92时，|𝐴𝑃|min=√32=√62.故

选：B.【变式6-2】（2021·全国·高三专题练习）已知点𝐹1(−5,0)，𝐹2(5,0)．设点𝑃满足|𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2|=6，且|𝑀𝐹1|=2，|𝑁𝐹2|=1，则|𝑃𝑀|−|𝑃𝑁|的最大值为（）A．7B．8C．9D．10【解题思

路】由题意可知双曲线的实轴长为6，焦距为10，从而可得双曲线的方程为𝑥29−𝑦216=1，再由|𝑀𝐹1|=2可知𝑀在圆𝐹1:(𝑥+5)2+𝑦2=4上，由|𝑁𝐹2|=1可知𝑁在圆𝐹2:(𝑥−5)2+𝑦2=1上，画出图形，由图可知|𝑃𝑀|≤|𝑃𝐹1|+2，|

𝑃𝑁|≥|𝑃𝐹2|−1，再结合双曲线的定义可得答案【解答过程】解：因为|𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2|=6<10，所以点𝑃在以𝐹1，𝐹2为焦点，实轴长为6，焦距为10的双曲线的右支上，则双曲线的方程为𝑥29−𝑦216=1．由题意知𝑀在圆𝐹1:(𝑥+5)2+�

�2=4上，𝑁在圆𝐹2:(𝑥−5)2+𝑦2=1上，如图所示，|𝑃𝑀|≤|𝑃𝐹1|+2，|𝑃𝑁|≥|𝑃𝐹2|−1，则|𝑃𝑀|−|𝑃𝑁|≤(|𝑃𝐹1|+2)−(|𝑃𝐹2|−1)=|𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2|+3=9．当𝑀是𝑃

𝐹1延长线与圆𝐹1的交点，𝑁是𝑃𝐹2与圆𝐹2的交点时取等号．故选：C．【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）已知点𝑃是双曲线𝑥28−𝑦24=1上的动点，𝐹1，𝐹2为该双曲线的左右焦点，𝑂为坐标原点，则|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2||𝑂𝑃|的最大值为（）A

．2√2B．2C．√2D．√6【解题思路】设𝑃(𝑥,𝑦)在右支上，根据双曲线的性质求得|𝑃𝐹2|=e𝑥−𝑎、|𝑃𝐹1|=e𝑥+𝑎且|𝑂𝑃|=√𝑥2+𝑦2，由已知双曲线有|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|

|𝑂𝑃|=√6√32−4𝑥2，结合𝑥的范围求范围，即可得结果.【解答过程】由双曲线的对称性，假设𝑃(𝑥,𝑦)在右支上，即𝑥≥𝑎，由𝑃到𝑥=𝑎2𝑐的距离为𝑑=𝑥−𝑎2𝑐，而|

𝑃𝐹2|=√(𝑥−𝑐)2+𝑦2，所以|𝑃𝐹2|𝑑=√(𝑥−𝑐)2+𝑦2𝑥−𝑎2𝑐=√(𝑥−𝑐)2+𝑏2𝑎2⋅𝑥2−𝑏2𝑥−𝑎2𝑐=√𝑐2𝑎2⋅𝑥2−2𝑐𝑥+�

�2𝑥−𝑎2𝑐=𝑐𝑥𝑎−𝑎𝑥−𝑎2𝑐=𝑐𝑎=e，综上，|𝑃𝐹2|=e𝑥−𝑎，同理|𝑃𝐹1|=e𝑥+𝑎，则|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2||𝑂𝑃|=e𝑥−𝑎+e𝑥+𝑎√𝑥2+𝑦2=2e𝑥√𝑥2+𝑦

2，对于双曲线𝑥28−𝑦24=1，有𝑦2=𝑥22−4且e=√62，所以|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2||𝑂𝑃|=√6𝑥√𝑥2+𝑦2=√6√32−4𝑥2，而𝑥2≥8，即|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2||𝑂𝑃|≤√6√32−48=√61=√6.故选：

D.