【文档说明】《精准解析》云南省昆明市第一中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题（解析版）.docx，共(21)页，1.103 MB，由小赞的店铺上传

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昆明市第一中学2022-2023学年度上学期期末考试高二数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设函数()fx是函数()fx的导函数，若()cosfxx=，则π6f=

（）A.32−B.12−C.12D.32【答案】B【解析】【分析】根据余弦函数的导数公式求解.【详解】因为()cosfxx=，所以()sinfxx=−，所以ππ1sin662f=−=−，故选：B.2.已知等差数列na的前n项和为nS，若76a=，则13S=（）A.

6B.12C.78D.156【答案】C【解析】【分析】由条件根据等差数列前n项和公式结合等差数列性质可求13S.【详解】因为()11313713132aaSa+==，又76a=，所以1313678S==，故选：C.3

.如图，在平行六面体1111ABCDABCD−中，M是11BC的中点，设1,,ABaADbAAc===，则AM=（）A.12abc++B.12abc++C.12abc++D.1122abc++【答案】B【解析】

【分析】利用向量的线性运算法则即可计算.【详解】解：因为在平行六面体1111ABCDABCD−中，M是11BC的中点，所以111111111222AcAMABABABBBBMABCAAADab++=+++=

=+=++故选：B4.直线22yx=+与圆224670xyxy++−−=交于,MN两点，则MN为（）A.5B.15C.25D.215【答案】D【解析】【分析】由圆方程求圆心坐标和半径，利用点到直线距离公式求圆心到直线的距离，结合

弦长公式求MN.【详解】方程224670xyxy++−−=可化为()()222320xy++−=，所以圆224670xyxy++−−=的圆心的坐标为()2,3−，半径为25，圆心()2,3−到直线22yx=+的距离()(

)222232521d−−+==+−，所以2205215MN=−=，故选：D.5.空间直角坐标系Oxyz−中，已知点(2,0,2),(2,1,0),(0,2,0)ABC，则平面ABC的一个法向量可以是（）A.(1,2

,1)B.(1,2,1)−C.(2,1,2)D.(2,1,2)−【答案】A【解析】【分析】根据法向量的求解方法求解即可.【详解】解：由题知()()0,1,2,2,1,0ABBC=−=−，设平面ABC的一个法向量为(),

,nxyz=，所以00nABnBC==，即22yzyx==，令1x=得()1,2,1n=所以，平面ABC的一个法向量可以是()1,2,1n=.故选：A6.在ABC中，51,5,cos25AABAC===，则BC=（）A42B.30C

.29D.25【答案】A【解析】【分析】先利用二倍角公式求cosA，再运用余弦定理求BC即可.【详解】因为5cos25A=，所以23cos2cos125AA=−=−，由余弦定理可得2222cosBCABACABBCA=+−，因为1,5ABAC==，

所以23125215325BC=+−−=，所以42BC=.故选：A.7.已知等比数列na的各项都是正数，nS为其前n项和，若48S=，824S=，则16S=A.40B.56C.72D

.120【答案】D.【解析】【分析】根据等比数列的片段求和性质求解即可.【详解】因为48S=,8416SS−=,128SS−,1612SS−成等比数列,所以12832SS−=,161264SS−=,()()()16

4841281612SSSSSSSS=+−+−+−8163264120=+++=,故选：D.【点睛】本题主要考查了等比数列片段求和的性质,属于基础题.8.已知定义在R上的函数()fx的导函数为()fx，且3()()0,(ln2)1fxfxf+=，则不等式3

()e8xfx的解集为（）A.(,2)−B.(,ln2)−C.(ln2,)+D.(2,)+【答案】B【解析】【分析】因为不等式3()e8xfx等价于()33ln2()eln2exfxf，故考虑构造函数()

()3exgxfx=，结合已知条件证明其单调性，结合单调性解不等式即可.【详解】令()()3exgxfx=，函数()gx的定义域为R，因为()()30fxfx+所以，()()33(e)e0xxfxfx+故()()3(e)0xgxfx=故()gx在R上单调递减，又因

为()ln21f=所以，()()3ln2eln28ln2gf==，所以不等式3()e8xfx可化为()()ln2gxg，所以ln2x，所以3()e8xfx的解集为(),ln2−故选：B.二、多项选择题：共4小题，每小题5分，

共20分.在每小题给出的四个选项中，至少两项是符合题目要求的.9.下列关于双曲线221xy−=的结论中，正确的是（）A.离心率为2B.焦距为2C.两条渐近线互相垂直D.焦点到渐近线的距离为1【答案】ACD【解析】【分析】根据双曲线的基本知识对选项一一验证即可.【详解】双曲线221xy−=，可得1a

=，1b=，2c=，则双曲线221xy−=的离线率为2cea==，故A正确；焦距222c=，故B错误；渐近线为yx=与yx=−，且斜率之积为-1，即两条渐近线互相垂直，故C正确；焦点到渐近线的距离为1b=，故D正确；故选：ACD.10.设nS是数列na的前n项和，且11a=，(

)12nnaSn+=N，则下列结论中，正确的是（）A.na是等比数列B.nS是等比数列C.13nna−=D.13nnS−=【答案】BD【解析】【分析】利用na与nS的关系可得na的递推关系即可判

断A，C；利用na与nS的关系可得nS的递推关系即可判断B，D．【详解】由12nnaS+=，所以当2n时，有12nnaS−=，两式相减得13nnaa+=，又11a=，2122aS==，所以数列na不是等比数列，故A错误；C错误；由11

2nnnnSaSS++==−，得13nnSS+=，所以数列nS是首项为1，公比为3的等比数列，所以11133nnnS−−==，故B正确；D正确．故选：BD．11.设抛物线2:6Cyx=的焦点为F，准线为1l，直线l经过点F且与C交于,AB两点，若3AFFB=，则下列结论中正确的

是（）A.直线l的斜率为3或3−B.AB的中点到1l的距离为4C.112||||3AFBF+=D.OAOB⊥（O为坐标原点）【答案】ABC【解析】【分析】由题设直线l的方程为32xmy=+，()()1122,,,AxyBxy，进而联立方程，结合向量关系得2133

,33,3yym==−=−或2133,33,3yym=−==，再依次讨论各选项即可.【详解】解：由题知焦点为3,02F，准线为13:2lx=−，所以，设直线l的方程为32xmy=+，()()1122,,,AxyBxy，所以，2632yxxmy==+得26

90ymy−−=，所以，236360m=+，126yym+=①，129yy=−②，因为3AFFB=，即112239,,33,322AFxyFBxy=−−=−，所以123yy−=③，所以，由①②③得2

133,33,3yym==−=−或2133,33,3yym=−==，所以直线l的斜率为13m=，故A选项正确；所以，()212123635xxmyym+=++=+=，故AB的中点的横坐标为52，所以，AB的中点到1l的距离为53422−−=，故B选项正确；当2133,33,3

yym==−=−时，91,33,,322AB−，此时93622AF=+=，13222BF=+=，故112||||3AFBF+=；当2133,33,3yym=−==时，91,33,,322AB−，此时93622AF=+=，13222

BF=+=，故112||||3AFBF+=；故C选项正确；因为()212121212909364yyOAOBxxyyyy=−=++=，故OAOB⊥不成立，故D选项错误.故选：ABC12.已知函数32()1fxxm

x=−+，则下列结论中正确的是（）A.()fx有两个极值点B.当1m=−时，()fx在(0,)+上是增函数C.当1m=时，()fx在[1,1]−上的最大值是1D.当3m=时，点(1,1)−是曲线()yf

x=的对称中心【答案】BCD【解析】【分析】求函数()fx的导函数，根据极值点的定义判断A，结合导数判断函数的单调性求最值，判断B，C，结合奇函数的定义判断D.【详解】因为()321fxxmx=−+，所以()()23232fxxmxxxm

=−=−，当0m=时，()230fxx=≥，当且仅当0x=时，()0fx=函数()fx在(),−+上单调递增，函数()fx没有极大值点也没有极小值点，A错误；当1m=−时，()()32fxxx=+，当

()0,x+时，()0fx¢>，函数()fx在()0,+上单调递增，B正确；当1m=时，()()32fxxx=−，令()0fx=可得，0x=或23x=，当)1,0x−时，()0fx¢>，函数()fx在)1,0−上单调递增，当20,3x时，()0fx，函数(

)fx在20,3上单调递减，当213x，时，()0fx¢>，函数()fx在213，上单调递增，又()01f=，()11f=所以函数()fx在1,1−上的最大值为1，C正确；当3m=时，32()31fxxx=

−+，()()323(1)131131fxxxxx+=+−++=−−，设()()11gxfx=++，则()33gxxx=−，()()33gxxxgx−=−+=−，所以函数()()11gxfx=++为奇函数，所以函数()gx的图象关于原点对称，所以函数()fx关于

点()1,1-对称，D正确.故选：BCD.第Ⅱ卷（共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.曲线21()2xfxx+=−在点(1,3)−处的切线方程为____________.【答案】520xy+−=【解析】【分析】再

结合导数的几何意义切线斜率，代入切线方程公式即可．【详解】因为21()2xfxx+=−，所以()()()()()222221522xxfxxx−−+−==−−，所以()15f=−．故切线方程为520xy+−=．故答案

为：520xy+−=．14.在直三棱柱111ABCABC-中，190,BACABACAA===，则直线1AC与1AB所成角的余弦值为____________.【答案】12##0.5【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求直线的方向向量，利用向量夹角公式求两向量夹角，结合异面直线

夹角定义可得两直线的余弦值.【详解】因为三棱柱111ABCABC-为直三棱柱，且90BAC=，所以以点A为坐标原点，分别以1,,ACABAA为,,xyz轴建立空间直角坐标系,设11ABACAA===，则11(0,0,0),(0,

1,0),(0,0,1),(1,0,1)ABAC，所以11(0,1,1),(1,0,1)ABAC=−=，所以()1111110110111cos,222ABACABACABAC++−===−，因为异面直线所成的

角在(0,90]，所以异面直线1AC与1AB所成的角余弦值为12，故答案为：12.15.已知经过点(2,1)P且斜率为1−的直线l与椭圆222:1(0)bxyCaba+=交于,AB两点，若P恰为弦AB的中点，则椭圆C的离心率为________________.【答

案】22【解析】【分析】设()()1122,,,AxyBxy，代入椭圆方程相减，利用中点坐标求得,ab关系，从而可得离心率．【详解】解：设()()1122,,,AxyBxy，2211221xyab+=①，22222

21xyab+=②P是线段AB的中点，12122,122xxyy++==，①②两式相减可得22221212220xxyyab−−+=，整理得()()121222420xxyyab−−+=，即2122122yybxxa−=−−，∵弦AB

的斜率为1−21221221yybxxa−=−=−−，即2ab=212122cbeaa==−==．故答案为：22．16.已知ABC中，2,2BCABAC==，则ABC面积的最大值为_____【答案】43【解析】【分析】设ACx

=，则2ABx=，根据面积公式得21ABCSxcosC=−，由余弦定理求得cosC代入化简2216120(3)9163ABCSx=−−，由三角形三边关系求得223x，由二次函数的性质求得ABCS取得最大值．【详解】解：设ACx=，则2ABx=，根据面积公式得21sinsin12AB

CSACBCCxCxcosC===−，由余弦定理可得2224443cos44xxxCxx+−−==，可得：22222431612011()(3)49163ABCxSxcosCxxx−=−=−=−−，由三角形三边关系有：22x

x+，且22xx+，解得：223x，故当253x=时，ABCS取得最大值43，故答案为：43．【点睛】本题主要考查余弦定理和面积公式在解三角形中的应用．当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和定义域等问题，属于中档题．四、解答题本大题共6个小题，共70分，其中17题10分，其

余每题12分）各题解答必须答在答题卷上相应题目指定的方框内（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）.17.已知等差数列na的前n项和为25,3,25nSaS==.（1）求数列na的通项公式；（2）设11nnnbaa+=，求数列nb

的前n项和nT.【答案】（1）21nan=−（2）21nnTn=+【解析】【分析】（1）设数列na的公差为d，列方程求1,ad，写出等差数列通项公式；（2）利用裂项相消法求和.【小问1详解】设数列na

的公差为d，因为253,25aS==，所以13ad+=，151025ad+=，解得11a=，2d=，所以12(1)21nann=+−=−．【小问2详解】111111(21)(21)22121nnnbaannnn+===−−+−+，因为2231nnn

Tbbbbb−=+++++所以1111111111123352325121271nTnnnn=−+−+−++−+−−−−+．所以11122121nnTnn=−=++.18.在ABC中，内角A，B，C对的边长分别为a，b，C，且cos

2cbaC=−.（1）求角A；（2）若3a=，求ABC面积的最大值.【答案】（1）2π3；（2）34.【解析】【分析】（1）利用正弦定理，cos2sin()2sincossin2cbaCACACC=−+=−，据此可得答案；（2）211322sinsinsin

sinsinsinsinABCaSbcABCABCA===，又由（1）可知π3BC+=，则33πsinsin，ABCSCC=−再利用辅助角公式与三角函数有界性可得答案【小问1详解】由正弦定理sinsinsinab

cABC==，cos2sin2sincossin2cbaCBACC=−=−，又在三角形中，()()sinsinπ--sinBACAC==+.则2sin2sincossin2cossinsinBACCACC=−=−，又sin0C，得1cos2A=−，结合()0,πA，知2π3A=.【小

问2详解】由正弦定理，可知sin，sinsinsinaabBcCAA==.则211322sinsinsinsinsinsinsinABCaSbcABCABCA===.又由（1）可知π3BC+=，.则2333322πsinsinsincossinABCSCCCCC

=−=−.()()33332123224444sincossincosCCCC=−−=+−332264πsinC=+−，因π0,3C，则ππ5π2,666C+，故当ππ262C+=，即π6C=时，ABCS取最大值3419.已知数列

na满足()112,32nnaaan+==+N.（1）证明1na+是等比数列，并求数列na的通项公式；（2）设nnbna=，求数列nb的前n项和nS.【答案】（1）证明见解析，31nna=

−（2）()12233214nnnnSn+−=+−+【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义证明，并结合通项公式求解即可；（2）由题知3nnnbnann==−，进而根据错位相减法和分组求和法求解即可.【小问1详解】解：数列na满足()112,32nnaaa

n+==+N113(1)nnaa++=+Q，即1131nnaa++=+，∴数列1na+是以113a+=为首项，3为公比的等比数列，11333nnna−+==，即31nna=−；∴31nna=−【小问

2详解】解：由题知3nnnbnann==−，设3nn的前n项和为nT，.231323333nnTn=++++，23413132333(1)33nnnTnn+=++++−+，()23111313312233333331322nnnnnnnTnn+

++−−−=++++−=−=−+−L，1321344nnnT+−=+∵数列n的前n项和为()2122nnnn++=∴数列nb的前n项和()1222133223212213444nnnnSnnnnTnnnn++

−=−+−+−+++=−=20.已知函数()ln2,fxxaxa=−R.（1）当1a=时，求函数()fx的单调区间；（2）若函数()fx有两个零点，求a的取值范围.【答案】（1）单调增区间10,2；减区间1,2+（2）10,

2e【解析】【分析】（1）求函数()fx的导函数，由()0fx¢>求函数的单调递增区间，由()0fx求函数的单调递减区间；（2）由()0fx=可得ln2xax=，则直线ya=与函数()lnxgxx=的图象有两个交

点，利用导数分析函数()gx的单调性与极值，数形结合可得出实数a的取值范围.【小问1详解】当1a=时，()ln2fxxx=−，该函数的定义域为()0,+，()1122xfxxx−=−=，令()0fx=可得12x=，列表如下：x

10,2121,2+()fx取值为正0取值为负()fx单调递增极大值单调递减所以，函数()fx在10,2上单调递增，在1,2+上单调递减；【小问2详解】由()0fx=，可得l

n2xax=，则直线ya=与函数()ln2xgxx=的图象有两个交点，函数()ln2xgxx=的定义域为()0,+，()21ln2xgxx−=，由()0gx=，可得ex=，列表如下：x()0,e

e()e,+()gx取值为正0取值为负()gx单调递增极大值单调递减所以，函数()gx的极大值为()1e2eg=，且当1x时，()0gx，当x→+时，和函数lnyx=相比，一次函数呈爆炸性增长，所以()0fx→，且()0fx，()

0fx→，又()10f=，根据以上信息，作出其图象如下：当102ea时，直线ya=与函数()ln2xgxx=的图象有两个交点，因此，实数a的取值范围是10,2e.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：

一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．21.如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥面ABCD，//ABCD，且22,22CDABBC===，90ABC=，M

为BC中点．（1）求证：平面PDM⊥平面PAM；（2）若二面角PDMA−−为30，求直线PC与平面PDM所成角的正弦值．【答案】（1）详见解析；（2）3030．【解析】【分析】（1）在直角梯形ABCD中，由条件可得222ADAMDM=+，即DMAM⊥

．再由PA⊥面ABCD，得的DMPA⊥，利用线面垂直的判定可得DM⊥平面PAM，进一步得到平面PDM⊥平面PAM；（2）由（1）知，,PMDMAMDM⊥⊥，则PMA为二面角PDMA−−的平面角为30，求得t

an301PAAM==．以A为坐标原点，分别以,,AEABAP所在直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系，求出PC的坐标及平面PDM的一个法向量，由PC与n所成角的余弦值可得直线PC与平面PDM所成角的正弦值．【详解】（1）证明：在直角梯形ABCD中，由已知可得，

1,2,2ABCDBMCM====，可得223,6AMDM==，过A作AECD⊥，垂足为E，则1,22DEAE==，求得29AD=，则222ADAMDM=+，∴DMAM⊥．∵PA⊥面ABCD，∴DMPA⊥，又PAAMA=，∴DM⊥平面PAM，∵DM平面PDM，∴平面PD

M⊥平面PAM；（2）解：由（1）知，,PMDMAMDM⊥⊥，则PMA为二面角PDMA−−的平面角为30，则tan301PAAM==．以A为坐标原点，分别以,,AEABAP所在直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系，则()0,0,1P，(22,1,0)D−，(2

2,1,0)C，(2,1,0)M，(22,1,1),(22,1,1),(2,1,1)PCPDPM=−=−−=−．设平面PDM的一个法向量为(,,)nxyz=，由22020nPDxyznPMxyz=−−==+−=，取1x=，得2321,,22

n=．∴直线PC与平面PDM所成角的正弦值为：||230|cos,|30||||106PCnPCnPCn===．【点睛】向量法是求立体几何中的线线角、线面角、面面角时常用方法.22.已知椭圆2222C:1(b0)xyaab+=的左、右焦点分别为12F(3,0

),F(3,0)−，且该椭圆过点1A32，．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点()40B，作一条斜率不为0的直线l，直线l与椭圆C相交于PQ，两点，记点P关于x轴对称的点为点P，若直线PQ与x轴相交于点D，求DPQ面积的

最大值．【答案】（Ⅰ）2214xy+=;（Ⅱ）34【解析】【分析】（Ⅰ）根据122aAFAF=+，和222bac=−计算椭圆的标准方程；（Ⅱ）题意可设直线l的方程为4(0)xmym=+，与椭圆方程联立，得到121222812,

44myyyymm−+==++，根据坐标设出PQ的方程，并得到DPQ的面积，代入根与系数的关系，并求最大值.【详解】（Ⅰ）由椭圆的定义可得2212112(23)422aAFAF=+=++=，解得2a=.又222(3)1ba=−=，所以椭圆C的标准方程为2214

xy+=（Ⅱ）由题意可设直线l的方程为4(0)xmym=+.设()()1122,,,PxyQxy，则()11,Pxy−.由22414xmyxy=++=，，，消去x可得()2248120mymy+++=1

21222812,44myyyymm−+==++()2216120,12mm=−()21212121PQyyyykxxmyy++==−−，直线PQ方程为()()211121yyyyxxmyy++=−−.令0y=，可得

()2111212121244myyymyyxmyyyyy−=++=+++22122244441884mmmmmm+=+=+=−−+，(1,0)DDPQBDQBDPSSS=−121||2BDyy=−()22121223612424myyyym−=+−=+令2

12,(0,)tmt=−+，则266316164DPQtSttt==++„当且仅当4t=，即27m=时等号成立，DPQ面积的最大值为34【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，涉及椭圆中三角形面积

的最值的求法，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.的获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com