【文档说明】2025届高三一轮复习数学试题（人教版新高考新教材）考点规范练20　三角函数的图象与性质 Word版含解析.docx，共(5)页，50.664 KB，由小赞的店铺上传

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考点规范练20三角函数的图象与性质一、基础巩固1.下列函数是周期为π的奇函数的是()A.y=sinxcosxB.y=sin2xC.y=tan2xD.y=sin2x+cos2x答案:A解析:y=sinxcosx=12si

n2x是周期为π的奇函数;y=sin2x为偶函数;y=tan2x的周期为π2;y=sin2x+cos2x为非奇非偶函数,故选A.2.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)对任意x都有f(π6+𝑥)=

f(π6-𝑥),则f(π6)等于()A.2或0B.-2或2C.0D.-2或0答案:B解析:由f(π6+𝑥)=f(π6-𝑥)知,函数图象关于直线x=π6对称,f(π6)是函数f(x)的最大值或最小值.故选B.3.(2022新高考Ⅰ,6)记函

数f(x)=sin(ωx+π4)+b(ω>0)的最小正周期为T.若2π3<T<π,且y=f(x)的图象关于点(3π2,2)中心对称,则f(π2)=()A.1B.32C.52D.3答案:A解析:∵y=f(x)

的图象关于点(3π2,2)中心对称,∴b=2,且sin(3π2𝜔+π4)=0,∴3π2ω+π4=kπ,k∈Z,解得ω=2𝑘3−16,k∈Z.∵T=2π|𝜔|,ω>0,2π3<T<π,∴2π3<2π𝜔<π,∴2<ω<3.∴当k=4时,ω=52符合题意.故f(x)=sin(52

𝑥+π4)+2.∴f(π2)=sin(5π4+π4)+2=1.故选A.4.已知直线y=m(0<m<2)与函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)图象的相邻的三个交点依次为点A(1,m),B(5,m),C(7,m),则ω等于(

)A.π3B.π4C.π2D.π6答案:A解析:由题意,得函数f(x)图象的相邻的两条对称轴方程分别为x1=1+52=3,x2=5+72=6,故函数的周期为2×(6-3)=2π𝜔,得ω=π3,故选A.5.函数y=cos(x+1)的图象上相邻的最高点和最低点之间的距

离是()A.√π2+4B.πC.2D.√π2+1答案:A解析:因为y=cos(x+1)的周期是2π,最大值为1,最小值为-1,所以y=cos(x+1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是√π2+4,故选A.6.

(多选)若函数f(x)=2sin(2x+φ)(φ∈R)图象的一条对称轴的方程为x=π6,则φ可能的取值为()A.-π3B.-5π6C.2π3D.π6答案:BD解析:因为函数f(x)=2sin(2x+φ)(φ∈R)图象的一条对称轴方程为x=π6,所以2×π6+φ=π2+kπ(k

∈Z),解得φ=π6+kπ(k∈Z),所以当k=0时,φ=π6;当k=1时,φ=7π6;当k=-1时,φ=-5π6.7.已知曲线f(x)=sin2x+√3cos2x关于点(x0,0)成中心对称,若x0∈[0,π2],则x0等于()A.π12B.π6C.π3D.5π12答案:C解析:

由题意可知f(x)=2sin(2𝑥+π3),其图象的对称中心为点(x0,0),故2x0+π3=kπ(k∈Z),即x0=-π6+𝑘π2(k∈Z).又x0∈[0,π2],故k=1,x0=π3,故选C.8.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数),相邻

两个零点的差为-π2,且对任意x,f(x)≥f(2π3)恒成立,则下列结论正确的是()A.f(2)<f(-2)<f(0)B.f(0)<f(2)<f(-2)C.f(-2)<f(0)<f(2)D.f(2)<f(0)<f(-2)答案:A解析:因为函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的

常数),相邻两个零点的差为-π2,所以函数f(x)的最小正周期T=π,所以ω=2.因为对任意x,f(x)≥f(2π3)恒成立,所以Asin(2×2π3+𝜑)=-A,即φ=2kπ+π6,k∈N,所以f(x)=Asin(2𝑥+2𝑘π+π6

)=Asin(2𝑥+π6),k∈N.故f(-2)=Asin(-4+π6)=Asin(π6-4+2π)>0,f(2)=Asin(4+π6)<0,f(0)=Asinπ6=Asin5π6>0,由于3π2>π6-4+2π>5π6>π2,而正弦函数在区间(π2,3π

2)内单调递减,故f(2)<f(-2)<f(0).9.已知f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)是偶函数,则f(π6)=.答案:12解析:因为f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)是偶函数,所以φ=π2+kπ,k∈Z,而0<φ<π,故取k=0,得φ=π2,则f

(x)=sin(2𝑥+π2)=cos2x,所以f(π6)=cosπ3=12.10.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为4π,且f(π3)=1,则f(x)图象的对称中心是.答案:(2𝑘π-2π3,0)(k∈Z)解

析:由题意得2π𝜔=4π,解得ω=12,故f(x)=sin(12𝑥+𝜑).由f(π3)=1,可得12×π3+φ=2kπ+π2(k∈Z),由|φ|<π2,可得φ=π3,故f(x)=sin(12𝑥+π3).由12x+π3=kπ(k∈Z),可得x=2kπ-2π3(k∈Z).故f(x

)图象的对称中心为点(2kπ-2π3,0)(k∈Z).11.(2023新高考Ⅰ,15)已知函数f(x)=cosωx-1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点,则ω的取值范围是.答案:[2,3)解析:由题意可知,要使函数f(x)

=cosωx-1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点,即函数y=cosωx(ω>0)的图象在区间[0,2π]上有且仅有3个最高点,设y=cosωx(ω>0)的最小正周期为T,画出函数y=cosωx(ω>0)的大致图象,如图.要满足题意,需要2

T≤2π<3T,即2π3<T=2π𝜔≤π,解得2≤ω<3.二、综合应用12.若函数f(x)=cos(2x+φ)的图象的一条对称轴方程为x=13π12,且-π2<φ<π2,则函数y=f(x+π3)为()A.奇函数,且在区间(0,π4)内单调递增B.偶函数,且在区间(0,π2)内单调递

增C.偶函数,且在区间(0,π2)内单调递减D.奇函数,且在区间(0,π4)内单调递减答案:D解析:因为函数f(x)=cos(2x+φ)的图象的一条对称轴方程为x=13π12,所以13π6+φ=kπ(k∈Z),即φ=kπ-1

3π6(k∈Z).又-π2<φ<π2,则φ=-π6,于是y=f(𝑥+π3)=cos[2(x+π3)-π6]=cos(2𝑥+π2)=-sin2x,所以该函数为奇函数,且在区间(0,π4)内单调递减,故选D.13.(多选)定义在R上的函数f(x)=sin(2x+φ

)(-π2<𝜑<π2),则f(x)在区间(-π6,0)内单调递增的充分条件可以是()A.φ=π6B.f(x)的图象关于直线x=π12对称C.f(x)的图象关于点(π3,0)对称D.f(x)的图象关于直线x=5π12对称答案:ABC解析:对于A,当φ=π6时,f(x)=s

in(2𝑥+π6),由-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z,得-π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为[-π3+kπ,π6+kπ],k∈Z,因为(-π6,0)⫋[-π3+𝑘

π,π6+𝑘π],k∈Z,所以f(x)在区间(-π6,0)内单调递增,故A正确;对于B,由f(x)的图象关于直线x=π12对称,得2×π12+φ=π2+kπ,k∈Z,所以φ=π3+kπ,k∈Z,又-

π2<φ<π2,所以φ=π3,得f(x)=sin(2𝑥+π3),由-π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ,k∈Z,得-5π12+kπ≤x≤π12+kπ,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为[-5π12+kπ,π12+

kπ],k∈Z,因为(-π6,0)⫋[-5π12+𝑘π,π12+𝑘π],k∈Z,所以f(x)在区间(-π6,0)内单调递增,故B正确;对于C,由f(x)的图象关于点(π3,0)对称,得2×π3+φ=kπ,k∈Z,所以φ=-2π3+kπ,k∈Z,又-π2<φ<π2,所以φ=π3,得f(x)=

sin(2𝑥+π3),由B知f(x)在区间(-π6,0)内单调递增,故C正确;对于D,由f(x)的图象关于直线x=5π12对称,得2×5π12+φ=π2+kπ,k∈Z,所以φ=-π3+kπ,k∈Z,又-π2<φ<π2,所以φ

=-π3,得f(x)=sin(2𝑥-π3),由-π2+2kπ≤2x-π3≤π2+2kπ,k∈Z,得-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为[-π12+𝑘π,5π12+𝑘π],k∈Z,因为(-π6

,0)不是[-π12+𝑘π,5π12+𝑘π](k∈Z)的子集,所以f(x)在区间(-π6,0)内不单调递增,故D错误.14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(𝜔>0,|𝜑|≤π2),x=-π4为f(x)的零点,直线x=π4为y=f(x)图象的对称轴

,且f(x)在区间(π18,5π36)内单调,则ω的最大值为()A.11B.9C.7D.5答案:B解析:由题意得{-π4𝜔+𝜑=𝑘1π,𝑘1∈Z,π4𝜔+𝜑=𝑘2π+π2,𝑘2∈Z,解得φ=𝑘1+𝑘22π+π4,ω=2(k2-k1)+1,k1,k2∈Z.∵|φ

|≤π2,∴φ=π4或φ=-π4.∵f(x)在区间(π18,5π36)内单调,∴5π36−π18≤𝑇2(T为周期),T≥π6,即2π𝜔≥π6,ω≤12.∵ω>0,∴0<ω≤12.若φ=π4,则k1+k2=0,ω=4k2+1,ω=1

,5,9,若ω=9,则f(x)=sin(9𝑥+π4)在区间(π18,5π36)内单调递减,符合题意;若φ=-π4,则k1+k2=-1,ω=4k2+3,ω=3,7,11,若ω=11,则f(x)=sin(11𝑥-π

4)在区间(π18,3π44)内单调递增,在区间(3π44,5π36)内单调递减,不符合题意.综上,ω的最大值为9.15.已知函数f(x)=3sin(𝜔𝑥-π6)(ω>0)和g(x)=3cos(2x+φ)的图象的对称中心完全相同,若x∈[0,π2],则f(x)

的取值范围是.答案:[-32,3]解析:由两个三角函数的图象的对称中心完全相同,可知它们的周期相同,则ω=2,即f(x)=3sin(2𝑥-π6).当x∈[0,π2]时,-π6≤2x-π6≤5π6,解得-12≤sin(2x-π6)≤1,故f(x)∈[-32,3].三、探究创

新16.已知函数f(x)=sin(2𝑥+π6),其中x∈[-π6,a].当a=π3时,f(x)的值域是;若f(x)的值域是[-12,1],则a的取值范围是.答案:[-12,1][π6,π2]解析:若-π6

≤x≤π3,则-π6≤2x+π6≤5π6,此时-12≤sin(2𝑥+π6)≤1,即f(x)的值域是[-12,1].若-π6≤x≤a,则-π6≤2x+π6≤2a+π6.因为当2x+π6=-π6或2x+π6=7π6时,sin(2𝑥+π6)=-12,所以要使f(x)的值域是[-

12,1],则π2≤2a+π6≤7π6,即π3≤2a≤π,所以π6≤a≤π2,即a的取值范围是[π6,π2].17.设定义在R上的函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π12<φ<π2),给出以下四个

论断:①f(x)的最小正周期为π;②f(x)在区间(-π6,0)内单调递增;③f(x)的图象关于点(π3,0)对称;④f(x)的图象关于直线x=π12对称.以其中两个论断作为条件,另两个论断作为结论,写出一个真命题(写成“p⇒q”的形式).(用到的论断都

用序号表示)答案:①④⇒②③或①③⇒②④解析:若f(x)的最小正周期为π,则ω=2,函数f(x)=sin(2x+φ).同时若f(x)的图象关于直线x=π12对称,则sin(2×π12+φ)=±1.∵-π12<φ<π2,∴2×π12+φ=π2,∴φ=π3,此时f(x

)=sin(2x+π3),②③成立,故①④⇒②③.若f(x)的最小正周期为π,则ω=2,函数f(x)=sin(2x+φ),同时若f(x)的图象关于点(π3,0)对称,则2×π3+φ=kπ(k∈Z).∵-π12<φ<π2,∴φ

=π3,此时f(x)=sin(2x+π3),②④成立,故①③⇒②④.