【文档说明】2025届高三一轮复习数学试题（人教版新高考新教材）考点规范练24　三角函数模型的应用 Word版含解析.docx，共(4)页，145.914 KB，由小赞的店铺上传

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考点规范练24三角函数模型的应用一、基础巩固1.已知弹簧振子的振幅为2cm,在6s内振子通过的路程是32cm,由此可知该振子振动的()A.频率为1.5HzB.周期为1.5sC.周期为6sD.频率为6Hz答案:B解析:振幅为2cm,振子在一个周期内通过的路程为8cm,易知在6s内

振动了4个周期,故周期T=1.5s,频率f=1𝑇=11.5=23Hz.2.一个直径为6m的水轮如图所示,水轮圆心O距水面2m,已知水轮每分钟转2圈,水轮上的点P到水面的距离y(单位:m)与时间x(单位:s)之间满足关系式y=Asin

(ωx+φ)+2(A>0,ω>0),y<0表示点P在水面下,则有()A.ω=π15,A=3B.ω=2π15,A=3C.ω=π15,A=6D.ω=2π15,A=6答案:A解析:由题意可知A为水轮的半径3,又水轮每分钟转2圈,故该函数的最小正周期为T=6

02=30s,所以ω=2π𝑇=π15.3.如图,一个大风车的半径为8m,12min旋转一周,它的最低点P0离地面2m,风车翼片的一个端点P从点P0开始按逆时针方向旋转,则点P离地面的距离h(单位:m)与时间t(单位:min)之间的函数解析式是()A.h(t)=-8sinπ6t

+10B.h(t)=-cosπ6t+10C.h(t)=-8sinπ6t+8D.h(t)=-8cosπ6t+10答案:D解析:设h=Asin(ωt+φ)+B,由题意可得hmax=18,hmin=2,T=12,A=ℎmax-ℎmin2=8,B=ℎmax+ℎmin2=1

0,ω=2π𝑇=π6,则h=8sin(π𝑡6+𝜑)+10.当t=0时,8sinφ+10=2,得sinφ=-1,可取φ=-π2,所以h=8sin(π6𝑡-π2)+10=-8cosπ6t+10.4.如图,在平面直角坐标系Oxy中,质点M,N间隔3分钟先后从点P绕原点

按逆时针方向做角速度为π6弧度/分钟的匀速圆周运动,则M与N的纵坐标之差第4次达到最大值时,N运动的时间为()A.37.5分钟B.40.5分钟C.49.5分钟D.52.5分钟答案:A解析:设圆O的半径为1

,质点N的运动时间为t(单位:分钟),由题意可得,yN=sin(π6𝑡-π2)=-cosπ6t,yM=sin[π6(t+3)-π2]=sinπ6t,则yM-yN=√2sin(π6𝑡+π4).令sin(π6𝑡+π4)=1,解得π6t+π4=2kπ+π2

,t=12k+32,k=0,1,2,3.故M与N的纵坐标之差第4次达到最大值时,N运动的时间为3×12+32=37.5(分钟).5.(多选)某时钟的秒针端点A到时钟的中心点O的距离为5cm,秒针均匀地绕点O旋转.当时间t=0时,点A

与钟面上标“12”的点B重合,将A,B两点的距离d(单位:cm)表示成t(单位:s)的函数,则d等于(),其中t∈[0,60].A.10sinπ𝑡60B.10cosπ𝑡3C.10cos(30-𝑡)π60D.10sinπ𝑡6答案:AC解析:依题意作出图形,如图.因为∠AOB=𝑡6

0×2π=π𝑡30,所以经过ts秒针转了π30trad,连接AB,过点O作OD⊥AB于点D,∠AOD=12∠AOB=π𝑡60.在Rt△AOD中,有sinπ𝑡60=𝑑25,所以d=10sinπ𝑡60或d=10cos(π2-π𝑡60)=10cos(3

0-𝑡)π60,其中t∈[0,60].6.根据市场调查,某种商品一年内出厂单价在7000元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π2)的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9000元,9月份价格最低,为5000元,则

7月份的出厂价格为元.答案:6000解析:作出函数简图如图,三角函数模型为y=Asin(ωx+φ)+B,由题意知A=12×(9000-5000)=2000,B=7000,周期T=2×(9-3)=12,则ω=2π𝑇=π6.将点(3,9000)看成函数图象的第二个特殊点,则有π6×3+φ=π2,得

φ=0,故f(x)=2000sinπ6x+7000(1≤x≤12,x∈N*),即f(7)=2000×sin7π6+7000=6000(元).故7月份的出厂价格为6000元.7.去年某地的月平均气温y(单位:℃)与月份x近似地满足函数解析式y=a+bsin(π6x+φ)(a,b为常数,

0<φ<π2).其中三个月份的月平均气温如表所示,则该地2月份的月平均气温约为℃,φ=.x5811y/℃133113答案:-5π6解析:由题意,得当x=5+112=8时,sin(π6×8+φ)=±1.因为0<φ<π2,所以4π3<4π3+φ<11π6,则4π3+φ=3π2,φ=π6,y=

a+bsin(π6𝑥+π6),则{𝑎+𝑏sin(5π6+π6)=13,𝑎+𝑏sin(8π6+π6)=31,化简得{𝑎=13,𝑎-𝑏=31,即{𝑎=13,𝑏=-18,当x=2时,y=13-18sin(2π6+π6)=-5.二、综合应用8.(多选)水车在古代是

进行灌溉引水的工具,亦称“水转简车”,是一种以水流作动力,取水灌田的工具.如图,一个半径为R的水车,以水车的中心为原点,建立平面直角坐标系.一个水斗从点A(3,-3√3)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时120秒.经过t秒后,水斗旋转到点P,设点P

的坐标为(x,y),其纵坐标与时间t满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ)t≥0,ω>0,|φ|<π2,则下列叙述正确的是()A.φ=-π3B.当t∈(0,60]时,函数y=f(t)单调递增C.当t∈(0,60]时,

|f(t)|的最大值为3√3D.当t=100时,|PA|=6答案:AD解析:由题意,R=√32+(-3√3)2=6,周期T=120,所以ω=2π𝑇=π60.当t=0时,y=-3√3,把(0,-3√3)代入f(t),可得-3√3=

6sinφ,解得sinφ=-√32.因为|φ|<π2,所以φ=-π3,A正确;则f(t)=6sin(π60𝑡-π3)(t≥0).当t∈[0,60]时,π60t-π3∈[-π3,2π3],函数f(t)先单调递增后单调递减,B错误;当t∈[0,60]时,点P到x轴的距离的最大值为6,C

错误;当t=100时,π60t-π3=4π3,点P的纵坐标为y=-3√3,横坐标为x=-3,所以|PA|=6,D正确.9.下表是某地近30年的月平均气温(华氏度).月份123456平均气温21.426.036.0

48.859.168.6月份789101112平均气温73.071.964.753.539.827.7以月份为x轴,令x=月份-1,以平均气温为y轴.(1)作出散点图.(2)用正弦型曲线去拟合这些数据

.(3)第(2)问中所求得的正弦型曲线对应的函数的周期T是多少?(4)估计这个正弦型曲线的振幅A.(5)下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据?①𝑦𝐴=cosπ𝑥6;②𝑦-46𝐴=cosπ𝑥6;③𝑦-46-𝐴=cosπ𝑥6;④𝑦-26𝐴=sinπ𝑥6.解:(1)(2

)如图所示.(3)1月份的平均气温最低,为21.4华氏度,7月份的平均气温最高,为73.0华氏度,根据图知,𝑇2=7-1=6,所以T=12.(4)2A=平均最高气温-平均最低气温=73.0-21.4=51.6,得A=25.8.(5)因

为x=月份-1,所以不妨取x=2-1=1,y=26.0,代入①,得𝑦𝐴=26.025.8>1≠cosπ𝑥6,所以①不合适.代入②不合适,同理④也不合适,所以应选③.三、探究创新10.摩天轮是一种大型转

轮状的机械建筑设施,游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转,可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮轮盘直径为124米,设置有36个座舱.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱,当到达最高点时距离地面145米,匀速转动一周大约需要30分钟.以游客甲坐上摩天轮的座舱开

始计时.(1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米,已知H关于t的函数解析式满足H(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|≤π2),求摩天轮转动一周对应的解析式H(t).(2)游客甲坐上摩天轮后多长

时间,距离地面的高度第一次恰好达到52米?(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱,且中间间隔5个座舱,在摩天轮转动一周的过程中,设两人距离地面的高度差为h米,求h的最大值.解:(1)由题意,H(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω

>0,|φ|≤π2),摩天轮的最高点距离地面145米,最低点距离地面145-124=21米,则{𝐵+𝐴=145,𝐵-𝐴=21,得A=62,B=83.因为周期为30分钟,ω>0,所以ω=2π30=π15,所以H(t)=62sin(π15t+φ)

+83.因为H(0)=62sin(π15×0+𝜑)+83=21,所以sinφ=-1,又|φ|≤π2,所以φ=-π2.故H(t)=62sin(π15𝑡-π2)+83(0≤t≤30).(2)由(1)知,H(t)=62sin(π15𝑡-π2)+83=-62cosπ15t+83

,令-62cosπ15t+83=52,则cosπ15t=12,得t=5(分).(3)经过t分钟后甲距离地面的高度H1=-62cosπ15t+83,因为乙与甲间隔的时间为3036×6=5分钟,所以乙距离地面的高度H2=-62cosπ15(t-5)+83(5≤t≤30),所以两人

距离地面的高度差h=|H1-H2|=|-62cosπ15𝑡+62cosπ15(𝑡-5)|=62|sin(π15t-π6)|(5≤t≤30).当π15t-π6=π2或π15t-π6=3π2,即t=10或t=25分钟时,h取最大值,且最大值为62米.