【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修一）专题2.3 直线的方程（一）：直线方程的几种形式-重难点题型精讲 Word版含解析.docx，共(14)页，603.011 KB，由小赞的店铺上传

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专题2.3直线的方程（一）：直线方程的几种形式-重难点题型精讲1．直线的点斜式方程(1)直线的点斜式方程的定义：设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程.(2)点斜式方程的使用方法：①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程.②当已知直线

的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x=x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为.2．直线的斜截式方程(1)直线的斜截式方程的定义：设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为

b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程.(3)斜截式方程的使用方法：已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程.3．直线的两点式方程(1)直线的两点式方程的定义：设直线l经过两点()，则方程叫作直线l

的两点式方程.(2)两点式方程的使用方法：①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程.②当时，直线方程为(或).③当时，直线方程为(或).4．直线的截距式方程(1)直线的截距式方程的定义：设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则

方程叫作直线l的截距式方程.(2)直线的截距式方程的适用范围：选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线.(3)截距式方

程的使用方法：①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程.②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程.5．直线的一般式方程(1)直线的一般式方程的定义：在平面直角坐标系中

，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程.对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)，当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率

为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线.当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线.(2)一般式方程的使用方法：直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线.6．辨析直线方程的五种

形式7．方向向量与直线的参数方程除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的.如图1，设直线l经过点，=(m,n)

是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使=t，即()=t(m,n)，所以①.在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数.由上可知，对于直线l上的任意一

点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程.【题型1直线的点斜式方程】【方法点拨】(1)当直线的斜率存

在时，已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用公式求直线方程.(2)若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，此时直线方程为x=；【例1】（2022·全国·高二课时练习）直线的点斜式方程𝑦−𝑦0=𝑘(𝑥−𝑥0)可以表

示（）.A．任何一条直线B．不过原点的直线C．不与y轴垂直的直线D．不与x轴垂直的直线【解题思路】由点斜式方程的定义可得答案.【解答过程】点斜式方程适用的前提条件是斜率存在，故其可表示不与x轴垂直的直线．故选：D.【变式1-1】（2022·全

国·高二课时练习）在等腰三角形𝐴𝑂𝐵中，|𝐴𝑂|=|𝐴𝐵|，𝑂(0,0)、𝐴(1,3)，点𝐵在𝑥轴的正半轴上，则直线𝐴𝐵的点斜式方程为（）A．𝑦−1=3(𝑥−3)B．𝑦−1=−3(𝑥−3)C．𝑦−3=3(𝑥−1)D．𝑦−3=

−3(𝑥−1)【解题思路】设线段𝑂𝐵的中点为𝑀，连接𝐴𝑀，可知𝐴𝑀⊥𝑥轴，求出点𝐵的坐标，进而可求得直线𝐴𝐵的点斜式方程.【解答过程】设线段𝑂𝐵的中点为𝑀，连接𝐴𝑀，∵|𝐴𝑂|=|𝐴𝐵|，则𝐴𝑀⊥𝑥轴

，则点𝑀(1,0)，故点𝐵(2,0)，所以，直线𝐴𝐵的斜率为𝑘=31−2=−3，所以直线𝐴𝐵的点斜式方程为𝑦−3=−3(𝑥−1)．故选：D．【变式1-2】（2022·四川乐山·高二期末（文））过点𝐴(2,1)且斜率为2的直线方程为（）A．2𝑥−𝑦+3=0

B．2𝑥−𝑦−3=0C．𝑥−2𝑦+1=0D．𝑥−2𝑦=0【解题思路】利用点斜式可得出所求直线的方程.【解答过程】由题意可知所求直线的方程为𝑦−1=2(𝑥−2)，即2𝑥−𝑦−3=0.故选：B.【变式1-3】（2022·全国·

高二专题练习）过点𝑃(√3,−2√3)且倾斜角为135°的直线方程为（）A．3𝑥−𝑦−5√3=0B．𝑥−𝑦+√3=0C．𝑥+𝑦−√3=0D．𝑥+𝑦+√3=0【解题思路】根据直线的点斜式方程即可得出答案.【解答过程】解：因为直

线的倾斜角为135°，所以直线的斜率𝑘=tan135°=−1，所以直线方程为𝑦+2√3=−(𝑥−√3)，即𝑥+𝑦+√3=0.故选：D．【题型2直线的斜截式方程】【方法点拨】已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时

，可以直接使用公式y=kx+b求直线方程.【例2】（2021·全国·高二课时练习）过点𝑃1(3,−1)与𝑃2(−2,1)的直线的斜截式方程为（）A．𝑦=25𝑥+15B．𝑦=−25𝑥+15C．𝑦=−25𝑥−115D．𝑦=25𝑥−11

5【解题思路】设所求直线的斜截式方程为𝑦=𝑘𝑥+𝑏，将点𝑃1、𝑃2的坐标代入直线方程，求出𝑘、𝑏的值，即可得解.【解答过程】设所求直线的斜截式方程为𝑦=𝑘𝑥+𝑏，则{3𝑘+𝑏=−1−2𝑘+𝑏=1，解得{𝑘=−25𝑏=15，因此，直线𝑃1𝑃2

的斜截式方程为𝑦=−25𝑥+15.故选：B.【变式2-1】（2021·全国·高二课时练习）直线2𝑥+𝑦−3=0用斜截式表示，下列表达式中，最合理的是（）A．𝑥32+𝑦3=1B．𝑦=−2𝑥+3C．𝑦−3=−2(𝑥−0)D．𝑥=−12𝑦+3

2【解题思路】化方程为斜截式即可.【解答过程】直线2𝑥+𝑦−3=0用斜截式表示为𝑦=−2𝑥+3，故选：B．【变式2-2】（2021·辽宁·高一开学考试）已知直线𝑦=𝑘𝑥+4与两坐标轴围成的

三角形面积为6，则k值是（）A．±3B．43C．−43D．±43【解题思路】求出直线与𝑦轴交点和与𝑥轴交点的坐标，利用面积公式计算即可.【解答过程】对于直线𝑦=𝑘𝑥+4，能与两坐标轴围成三角形，则𝑘≠0，令𝑥=0，得𝑦=4，所以直线与𝑦轴交点坐标为(0,4)，令𝑦=0

，得𝑥=−4𝑘，所以直线与𝑥轴交点坐标为(−4𝑘,0)，所以直线𝑦=𝑘𝑥+4与两坐标轴围成的三角形面积为12×4×|−4𝑘|=6，解得𝑘=±43.故选：D.【变式2-3】（2022·江苏·高二课时练习）已知𝑘∈𝑅，𝑏=𝑘2−2�

�+3，则下列直线的方程不可能是𝑦=𝑘𝑥+𝑏的是（）A．B．C．D．【解题思路】根据直线斜率𝑘与𝑦轴上的截距𝑏的关系判断选项即可得解.【解答过程】∵𝑏=𝑘2−2𝑘+3=(𝑘−1)2+2，∴直线

的方程𝑦=𝑘𝑥+𝑏在𝑦轴上的截距不小于2，且当𝑘=1时，𝑦轴上的截距为2，故D正确，当𝑘=−1时，𝑏=6,故B不正确，当𝑏=3时，𝑘=0或𝑘=2，由图象知AC正确.故选：B.【

题型3直线的两点式方程】【方法点拨】已知直线上的两个点，且时，可以直接使用公式求直线方程.注：①当时，直线方程为(或).②当时，直线方程为(或).【例3】（2022·全国·高二课时练习）过(1,1),(2,−1)两点

的直线方程为（）A．2𝑥−𝑦−1=0B．𝑥−2𝑦+3=0C．2𝑥+𝑦−3=0D．𝑥+2𝑦−3=0【解题思路】根据两点式方程直接求解即可.【解答过程】解：∵直线过两点(1,1)和(2,−1)

，∴直线的两点式方程为𝑦−(−1)1−(−1)＝𝑥−21−2，整理得2𝑥+𝑦−3=0.故选：C.【变式3-1】（2022·全国·高二课时练习）已知直线l经过(−2,−2)、(2,4)两点，点(1348,𝑚

)在直线l上，则m的值为（）A．2021B．2022C．2023D．2024【解题思路】根据直线的两点式方程即可求解.【解答过程】由题意知𝑙不与𝑥,𝑦轴平行，故由直线𝑙的两点式方程可得𝑚+21348+2=𝑚−41348−2，解得：𝑚

=2023，故选：C.【变式3-2】（2022·全国·高二课时练习）经过两点(𝑥1,𝑦1)、(𝑥2,𝑦2)的直线方程都可以表示为（）A．𝑥−𝑥1𝑥2−𝑥1=𝑦−𝑦1𝑦2−𝑦1B．𝑥−𝑥2𝑥1−𝑥2=𝑦−𝑦2𝑦1−𝑦2C．(𝑦−𝑦1

)(𝑥2−𝑥1)=(𝑥−𝑥1)(𝑦2−𝑦1)D．𝑦−𝑦1=𝑦2−𝑦1𝑥2−𝑥1(𝑥−𝑥1)【解题思路】根据两点式直线方程即可求解.【解答过程】当经过(𝑥1,𝑦1)、(𝑥2,𝑦2)

的直线不与𝑥,𝑦轴平行时，所有直线均可以用𝑥−𝑥2𝑥1−𝑥2=𝑦−𝑦2𝑦1−𝑦2，由于𝑥1,𝑥2可能相等，所以只有选项C满足包括与𝑥,𝑦轴平行的直线.故选:C.【变式3-3】（2022·全国·高二课时练习）已知直线𝑙过点𝐺(1,−3)，𝐻(−2,1)，则

直线𝑙的方程为（）A．4𝑥+𝑦+7=0B．2𝑥−3𝑦−11=0C．4𝑥+3𝑦+5=0D．4𝑥+3𝑦−13=0【解题思路】根据两点的坐标和直线的两点式方程计算化简即可.【解答过程】由直线的两点式

方程可得，直线l的方程为𝑦+31+3=𝑥−1−2−1，即4𝑥+3𝑦+5=0．故选：C．【题型4直线的截距式方程】【方法点拨】(1)已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用公式求直

线方程.(2)已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程.【例4】（2022·全国·高二）已知直线𝑙过点𝑃(2,3)，且与𝑥，𝑦轴的正半轴分别交于𝐴，𝐵两点．若△𝐴𝑂𝐵的面积为12（𝑂为坐标原点

），则直线𝑙的截距式方程为（）A．𝑥4+𝑦6=1B．𝑥8+𝑦12=1C．𝑥132+𝑦133=1D．𝑥6+𝑦4=1【解题思路】设出直线的截距式方程，根据题意求出待定系数，可得结论．【解答过程】解：设直线𝑙的方程为𝑥𝑎+𝑦𝑏=1(𝑎>0,𝑏>0)，则△𝐴𝑂𝐵

的面积为12𝑎𝑏=12①．因为直线𝑙过点𝑃(2,3)，所以2𝑎+3𝑏=1②．联立①②，解得𝑎=4，𝑏=6，故直线𝑙的方程为𝑥4+𝑦6=1，故选：A．【变式4-1】（2022·全国·高一课时练习）已知△𝐴𝐵𝐶三顶点坐标𝐴(

1,2),𝐵(3,6),𝐶(5,2)，𝑀为𝐴𝐵的中点，𝑁为𝐴𝐶的中点，则中位线𝑀𝑁所在直线的截距式方程为()A．𝑥4+𝑦8=1B．𝑥8+𝑦4=1C．𝑥6+𝑦4=1D．𝑥4+𝑦6=1

【解题思路】由中点坐标公式得到点𝑀,𝑁的坐标，即可得到直线𝑀𝑁的两点式方程，由两点式方程转化为截距式方程即可.【解答过程】解：因为△𝐴𝐵𝐶三顶点坐标为𝐴(1,2),𝐵(3,6),𝐶(5,2)，又𝑀为𝐴𝐵的中点，𝑁为𝐴𝐶的中点，由中点坐标公式可得：𝑀(2,4),�

�(3,2)，则直线𝑀𝑁的两点式方程为：𝑦−42−4=𝑥−23−2，故截距式方程为𝑥4+𝑦8=1.故选：A．【变式4-2】（2021·全国·高二专题练习）过两点A(0，3)，B(－2，0)的截距式方程为𝑥−2+𝑦3=1．【解题

思路】根据已知两点可直接得出.【解答过程】解析：由于直线过A(0，3)，B(－2，0)两点，所以直线在x轴、y轴上的截距分别为－2，3.由截距式可知，方程为𝑥−2+𝑦3=1.故答案为：𝑥−2+𝑦3=1.【变式4-3】（2021·全国·高一课时练习）已知直线经过点𝐴

(−5,6)和点𝐵(−4,8)，求直线的一般式方程和截距式方程，并根据方程指出直线在x轴、y轴上的截距．【解题思路】根据直线过𝐴(−5,6),𝐵(−4,8)求得两点式方程，再转化其他形式即可.【解答过程】解：∵直线过𝐴(−5,6),𝐵(−4,8)，∴由两点式

得𝑦−68−6=𝑥+5−4+5．整理得一般式方程为2𝑥−𝑦+16=0，两边同除以−16，整理得截距式方程为𝑥−8+𝑦16=1，由截距式方程可知，直线在x轴、y轴上的截距分别为−8、16．【题型5直线的一般式

方程】【方法点拨】(1)设所求直线的一般式方程为Ax+By+C=0(A,B不全为0)，根据条件，列出方程（组），解方程（组），得出直线方程.(2)根据条件，选择适当的直线方程形式，设出直线方程，结合条件，进行求解，最后化为直线的一般式方程.【例5】（2022·全国·高二课时练习）直线𝑎𝑥+�

�𝑦+𝑐=0经过第一、三、四象限，则（）A．𝑎𝑏>0,𝑏𝑐>0B．𝑎𝑏<0,𝑏𝑐>0C．𝑎𝑏>0,𝑏𝑐<0D．𝑎𝑏<0,𝑏𝑐<0【解题思路】数形结合根据斜率与截距列不等式求解即可.【解答过程】直线𝑎𝑥+�

�𝑦+𝑐=0经过第一、三、四象限，如图所示，则𝑎≠0,𝑏≠0,𝑐≠0，且{−𝑐𝑏<0−𝑎𝑏>0，则𝑎𝑏<0,𝑏𝑐>0．故选：B．【变式5-1】（2022·全国·高二课时练习）若方程(𝑚2−1)𝑥+(𝑚2−�

�)𝑦+1=0表示一条直线，则实数m满足（）A．𝑚≠0B．𝑚≠1C．𝑚≠−1D．𝑚≠1且𝑚≠−1且𝑚≠0【解题思路】若𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0表示一条直线，则𝐴,𝐵不能同时为0，即𝐴2+𝐵2≠0.

【解答过程】当𝑚2−1=0时，m＝1或m＝－1；当𝑚2−𝑚=0时，m＝0或m＝1.要使方程(𝑚2−1)𝑥+(𝑚2−𝑚)𝑦+1=0表示一条直线，则𝑚2−1，𝑚2−𝑚不能同时为0，所以𝑚≠1，故选

：B.【变式5-2】（2022·吉林·高二阶段练习（理））经过点𝐴(8,−2)，斜率为−2的直线方程为（）A．𝑥+2𝑦−4=0B．𝑥−2𝑦−12=0C．2𝑥+𝑦−14=0D．𝑥+2𝑦+4=0【解题思路】先求出直线方程的点斜式，然后化为一般式即可.【解答过程】解：

由题意得，经过点𝐴(8,−2)，斜率为−2的直线方程为𝑦+2=−2(𝑥−8)，即2𝑥+𝑦−14=0.故选：C.【变式5-3】（2022·全国·高二课时练习）关于x、y的方程𝑎2𝑥−𝑎𝑦−1=0(𝑎≠0)表示的直线（图中实线）可能是（）A．B．C

．D．【解题思路】由题意可得直线的斜率为𝑎，在𝑦轴上的截距为−1𝑎，直线的斜率和它在𝑦轴上的截距的乘积为−1，逐个分析判断即可.【解答过程】关于x、y的方程𝑎2𝑥−𝑎𝑦−1=0(𝑎≠0)表示的是直线，且直线的斜率为𝑎，在𝑦轴上的截距为−1𝑎

，直线的斜率和它在𝑦轴上的截距的乘积为−1，对于A，直线的斜率和它在𝑦轴上的截距都是正数，不满足题意，所以排除A，对于B，直线的斜率小于1，它在𝑦轴上的截距大于−1小于零，不满足题意，所以排除B，对于C，直线的斜率和它在𝑦轴上

的截距都是负数，不满足题意，所以排除C，对于D，直线的斜率小于−1，它在𝑦轴上的截距大于零小于1，能满足条件，所以D可能成立，故选：D.【题型6由直线的方向向量求直线方程】【方法点拨】根据直线的方向向量求出直线的

斜率，结合直线所过的点，利用点斜式方程的求法即可求出直线方程.【例6】（2022·全国·高二专题练习）过点(1,−1)且方向向量为(−2,3)的直线的方程为（）A．3𝑥−2𝑦−5=0B．2𝑥−3𝑥−5=0C．3𝑥+2𝑦−1=0D．2𝑥+3𝑦+1=0【解题思路】求出直线的

斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.【解答过程】由方向向量得直线的斜率为－32，所以得直线方程为𝑦+1=−32(𝑥−1)，即3𝑥+2𝑦−1=0．故选：C.【变式6-1】（2021·全国·高二课时练习）过点(2,−1)且方向向量为(1,2)的直线的方程为（）A．�

�=2𝑥+5B．𝑦=−2𝑥+5C．𝑦=2𝑥−5D．𝑦=−2𝑥−5【解题思路】求出直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.【解答过程】因为所求直线的方向向量为(1,2)，所以该直线的斜率为2．又该直线过点(2,−

1)，所以所求直线的方程为𝑦−(−1)=2(𝑥−2)，即𝑦=2𝑥−5．故选：C.【变式6-2】（2022·上海·高三专题练习）过点(−1,0)，且与直线𝑥+15=𝑦+1−3有相同方向向量的直线的方程为（）

A．3𝑥+5𝑦−3=0B．3𝑥+5𝑦+3=0C．3𝑥+5𝑦−1=0D．5𝑥−3𝑦+5=0【解题思路】利用直线的方向向量与直线平行与斜率的关系，即可得出．【解答过程】由𝑥+15=𝑦+1−3可得，3x+5y+8

＝0，即直线的斜率−35，由题意可知所求直线的斜率k=−35，故所求的直线方程为y=−35（x+1）即3x+5y+3＝0．故选：B．【变式6-3】（2021·全国·高二课时练习）过点𝑃(0，1)，且以𝑎⃑=(−1，2)为方向向量的直线方程

为（）A．𝑦=−2𝑥+1B．y＝2x+1C．𝑦=−12𝑥+1D．𝑦=12𝑥+1【解题思路】求出以𝑎⃗为方向向量的直线的斜率，再根据直线过点𝑃，用点斜式求直线的方程可得答案.【解答过程】根据直线的方向向量

的概念，得以𝑎⃑=(−1，2)为方向向量的直线的斜率等于−2，再根据直线过点𝑃(0，1)，用点斜式求出直线方程为𝑦−1=−2(𝑥−0)，即𝑦=−2𝑥+1，故选：A.