【文档说明】2025届高三一轮复习数学试题（人教版新高考新教材）考点规范练43　直线与圆、圆与圆的位置关系 Word版含解析.docx，共(8)页，134.203 KB，由小赞的店铺上传

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考点规范练43直线与圆、圆与圆的位置关系一、基础巩固1.(2022北京,3)若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,则a=()A.12B.-12C.1D.-12.(2023新高考Ⅰ,6)过(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角

为α,则sinα=()A.1B.√154C.√104D.√643.过点P(1,-2)作圆C:(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则AB所在直线的方程为()A.y=-√34B.y=-12C.y=-√32D.y=-144.(多选)在同一平面直角坐标系

中,直线ax-y+a=0与圆(x+a)2+y2=a2的位置可能是()5.已知直线y=x+m与圆O:x2+y2=16相交于M,N两点,若∠MON≥2π3,则m的取值范围是()A.[-2,2]B.[-4,4]C.[-2√2

,2√2]D.[0,2√2]6.已知圆C1:x2+y2-2x+4y+4=0,圆C2:x2+y2+x-y-m2=0(m>0),若圆C2平分圆C1的圆周,则m的值为()A.3B.2C.4D.17.(多选)已知圆O1:x2+y2-2x-3=0和圆O2:x2+y2

-2y-1=0的交点为A,B,则()A.圆O1和圆O2有两条公切线B.直线AB的方程为x-y+1=0C.圆O2上存在两点P和Q,使得|PQ|>|AB|D.圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+√28.过点P(1,√3)作圆x2+y

2=1的两条切线,切点分别为A,B,则𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=.9.在平面直角坐标系Oxy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是.10.已知圆C:x2+y2+2x-4y+

1=0,O为坐标原点,动点P在圆C外,过点P作圆C的切线l,切点为M.(1)若点P的坐标为(1,3),求此时切线l的方程;(2)求满足条件|PM|=|PO|的点P的轨迹方程.二、综合应用11.已知☉M:x2+y2-2x-2y-

2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点.过点P作☉M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|·|AB|最小时,直线AB的方程为()A.2x-y-1=0B.2x+y-1=0C.2x-y+1=0D.2x+y+1=0

12.设P为直线x-y=0上的动点,PA,PB为圆C:(x-2)2+y2=1的两条切线,A,B为切点,则四边形APBC的面积的最小值为()A.12B.√2C.2√2D.113.(多选)已知圆M:(x-1-cosθ)2+(y-2-sinθ)2=1,直线l:kx-y-k+2=

0,下列说法正确的是()A.对任意实数k与θ,直线l和圆M有公共点B.存在实数k与θ,直线l和圆M相离C.对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l与圆M相切D.对任意实数θ,必存在实数k,使得直线l与圆M相切14.若☉O:x2+y2=5与☉O

1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长是.15.已知圆C:(x-a)2+(y-a+1)2=1,直线l:y=-x+2与x轴交于点A.若a=1,则直线l截圆C所得弦的长度为;

若过l上一点P作圆C的切线,切点为Q,且|PA|=√2|PQ|,则实数a的取值范围是.16.已知点A(-2,0),B(2,0),若圆(x-a)2+(y-3)2=4上存在点P,使得∠APB=90°,则实数a的取值范围是.17.如图,台风中心从A地以20千米/时的速度向北偏东45

°方向移动,离台风中心不超过300千米的地区为危险区域.城市B在A地的正东400千米处.请建立恰当的平面直角坐标系,解决以下问题:(1)求台风中心移动路径所在的直线方程;(2)求城市B处于危险区域的时间是多少小时?三、探究创新18.如

图,在平面直角坐标系Oxy中,已知圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l

与圆M相交于B,C两点,且|BC|=|OA|,求直线l的方程;(3)设点T(t,0),在圆M上存在两点P,Q,使得𝑇𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑇𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑇𝑄⃗⃗⃗⃗⃗,求实数t的取值范围.19.已知圆O:x2+y2=9,点P为直线x+2y

-9=0上一动点,过点P向圆O引两条切线PA,PB,A,B为切点,则直线AB过定点()A.(49,89)B.(29,49)C.(1,2)D.(9,0)20.(多选)瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.

这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC,|AB|=|AC|=4,点B(-1,3),C(4,-2),且其“欧拉线”与圆M:(x-3)2+y2=r2(r>0)相切,则下列说法正

确的是()A.圆M上的点到直线x-y+3=0的最小距离为2√2B.圆M上的点到直线x-y+3=0的最大距离为3√2C.若点(x,y)在圆M上,则x+√3y的最小值为3-2√2D.若圆(x-a-1)2+(y-a)2=8与圆M有公共点,则a的取值范围为[1-2√2,1+2√2]考点规范练4

3直线与圆、圆与圆的位置关系1.A圆(x-a)2+y2=1的圆心为(a,0),由题意知直线经过圆心,所以2a+0-1=0,解得a=12,故选A.2.B由x2+y2-4x-1=0,得(x-2)2+y2=5,故圆心C(2,0),半径R=√5.过点D(0,-2)作圆的切

线,与圆的两个切点为A,B,连接AC,BC,CD,AB,则AB⊥CD,∠CAD=∠CBD=π2,∠ADC=∠BDC=𝛼2,由几何知识得,BC=AC=√5,CD=√(0-2)2+(-2-0)2=2√2.由勾股定理得,AD=BD=√𝐶𝐷2-𝑅2=√3.

cos𝛼2=𝐵𝐷𝐶𝐷=√32√2=√64,sin𝛼2=𝐵𝐶𝐶𝐷=√52√2=√104,sinα=2sin𝛼2cos𝛼2=2×√104×√64=√154.故选B.3.B圆C:(x-1)2+y2=1的圆心C为(1,0),半径为1,则以|PC|=√(1-1)2+(-2-0)

2=2为直径的圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=1,将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y+1=0,即y=-12.4.AD圆(x+a)2+y2=a2的圆心为(-a,0),半径为|a|,圆心到直线的距离为d=|-𝑎2+𝑎|√𝑎2+1,

令|-𝑎2+𝑎|√𝑎2+1<|a|,可得|1-𝑎|√𝑎2+1<1,即1-2a+a2<1+a2,化简得a>0.则当a>0时,直线与圆相交,故A正确,C不正确;当a<0时,直线与圆相离,故D正确,B不正确.5.C如图,过点O作OH⊥MN,垂足为H,由∠MON≥2π3,得∠MOH≥π3,可得

OH≤2.所以点O到直线x-y+m=0的距离d=|𝑚|√2≤2,所以-2√2≤m≤2√2.所以m的取值范围是[-2√2,2√2].故选C.6.A由题意,可知点C1(1,-2),圆C1与圆C2相交,则相交弦所在直线方程为3x-5y-m2-4=0.

因为圆C2平分圆C1的圆周,所以点C1在相交弦所在直线上,所以3+10-m2-4=0,即m2=9.又m>0,所以m=3.7.ABD对于A,因为两圆相交,所以有两条公切线,故A正确.对于B,将两圆方程相减,可得直线AB的方程为-2

x+2y-2=0,即x-y+1=0,故B正确.对于C,因为直线AB经过圆O2的圆心(0,1),所以线段AB是圆O2的直径,所以圆O2中不存在比AB长的弦,故C错误.对于D,圆O1的圆心坐标为(1,0),半径为2,圆心到直线AB:x-y+1=0的距离为|1+1|√

2=√2,所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+√2,故D正确.故选ABD.8.32由题意,得圆心为O(0,0),半径为1.如图所示,∵P(1,√3),∴PB⊥x轴,|PA|=|PB|=√3.又△POA为直角三角形,|OA|=1,|PA|=√3,∴∠OPA=30°,∴∠APB=60°.

∴𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=|𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗||𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|·cos∠APB=√3×√3×cos60°=32.9.43圆C的标准方程为(x-4)2+y2=1,圆心为C(4,0),半径为1.由题意知圆心C(4,0)到直线kx-y-2=0的距离应不大于2,即|4𝑘-2|√

𝑘2+1≤2,整理得3k2-4k≤0,解得0≤k≤43.故k的最大值是43.10.解圆C的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4,则圆心为C(-1,2),半径r=2.(1)当l的斜率不存在时,l的方程为x=1,此时圆心C到l

的距离d=2=r,满足题意.当l的斜率存在时,设斜率为k,得l的方程为y-3=k(x-1),即kx-y+3-k=0,则|-𝑘-2+3-𝑘|√1+𝑘2=2,解得k=-34,故l的方程为y-3=-34

(x-1),即3x+4y-15=0.综上,切线l的方程为x=1或3x+4y-15=0.(2)设点P(x,y),则|PM|2=|PC|2-|MC|2=(x+1)2+(y-2)2-4,|PO|2=x2+y2,因为|PM|=|PO|,所以(x+1)2+(y-2)2-4=x2+y2

,整理,得2x-4y+1=0,所以点P的轨迹方程为2x-4y+1=0.11.D由已知得☉M:(x-1)2+(y-1)2=4.因为S四边形PAMB=12|PM|·|AB|=2S△PAM=|PA|·|AM|=2|PA|=2

√|𝑃𝑀|2-4,所以|PM|·|AB|最小,即|PM|最小,此时PM与直线l垂直,PM所在直线的方程为y=12x+12,直线PM与直线l的交点为P(-1,0).|PM|=√(1+1)2+(1-0)2=√5,在Rt△APM中,|AP|=√|

𝑃𝑀|2-|𝐴𝑀|2=1.又|AP|=|BP|=1,以P(-1,0)为圆心,|AP|=1为半径作圆,则AB为☉M与☉P的公共弦,☉P的方程为(x+1)2+y2=1,即x2+2x+y2=0.两圆方程相减得4x+2

y+2=0,即直线AB的方程为2x+y+1=0.12.D如图,由已知得圆C的圆心C的坐标为(2,0),半径为1,S四边形APBC=2S△PAC=2×12·|AC|·|PA|=√|𝑃𝐶|2-1.要使四边形APBC的面积最小,只需|PC|最小.当PC垂直于直线x-y=0时,|PC|取得最

小值,为|2-0|√2=√2.所以四边形APBC的面积的最小值为√2-1=1.13.AC对于A,根据题意知圆M的圆心坐标为(1+cosθ,2+sinθ),半径为1.无论θ取何值,都有(1-1-cosθ)2+(2-2-sinθ)2=1,从而圆M过定点(1,2).又因为kx

-y-k+2=0可化为k(x-1)-y+2=0,所以直线l过定点(1,2),从而直线l和圆M有公共点.对于B,圆心到直线l的距离d=|𝑘(1+cos𝜃)-(2+sin𝜃)-𝑘+2|√𝑘2+1=|𝑘cos𝜃-si

n𝜃|√𝑘2+1=|√𝑘2+1(sin𝛽cos𝜃-cos𝛽sin𝜃)|√𝑘2+1=|sin(β-θ)|≤1=r(其中sinβ=𝑘√𝑘2+1,cosβ=1√𝑘2+1),从而不存在实数k与θ,使直线与圆M相离,所以不正确.对于C,因为对任意实数k,tanβ=k

,所以必存在实数θ,使d=|sin(β-θ)|=sinπ2+k0π=1=r,k0∈Z,即直线l与圆M相切,所以正确.对于D,对任意实数θ,不一定存在实数k,使得直线l与圆M相切,如θ=0时,k不存在,所以不正确.14.4如图,由题意可知O1A⊥OA,AB⊥OO1,|AB|=2|AC|.

∵|OA|=√5,|O1A|=2√5,∴|OO1|=5.在Rt△OO1A中,|AC|=|𝑂𝐴||𝑂1𝐴||𝑂𝑂1|=2,∴|AB|=2|AC|=2×2=4.15.√23-√32,3+√32当a=1时,圆心C(1,0),r=1,则圆心C到直线l的距离d=|1-2|√1+1=√22,所以

弦长=2√𝑟2-𝑑2=2√1-12=√2.设P(m,-m+2),如图,过点P作PB⊥x轴,则有|PA|=√2|PB|,又因为|PA|=√2|PQ|,所以|PQ|=|PB|.因为|PQ|2=|PC|2-r2=(m-a)2+

(-m+2-a+1)2-1,所以(-m+2)2=(m-a)2+(-m+2-a+1)2-1,整理得m2-2m+2a2-6a+4=0,由题意可知关于m的该方程有解,则Δ=4-4(2a2-6a+4)=-8a2+24a-12≥0,解得3-√32≤

a≤3+√32.16.[-√7,√7]因为直径所对的圆周角为90°,而∠APB=90°,所以以AB为直径的圆x2+y2=4与圆(x-a)2+(y-3)2=4存在公共点,故两圆相交或相切.所以0≤√𝑎2+32≤4,解得-√7≤a≤√7.17

.解(1)如图,以B为原点,建立平面直角坐标系,由题意可知台风中心移动路径所在的直线的斜率为1,点A(-400,0),故台风中心移动路径所在的直线方程为y=x+400.(2)以B为圆心,300为半径作圆,和直线y=x+400相交于A1,A2两点.可以认为,当台风中心移到

A1时,城市B开始处于危险区域,直到台风中心移到A2时解除影响.因为点B到直线y=x+400的距离d=200√2,所以|A1A2|=2√3002-(200√2)2=200,而20020=10(小时),所以城市B处

于危险区域的时间是10小时.18.解(1)圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,圆心为M(6,7),半径为r=5.由题意,设圆N的方程为(x-6)2+(y-b)2=b2(b>0),且√(6-6)2

+(𝑏-7)2=b+5.解得b=1.故圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因为kOA=2,所以可设l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0.又|BC|=|OA|=√22+42=2√5,由题意,圆M的圆心到直线l的距离为d=√52-(|𝐵𝐶|2)2=√25-5=2√

5,所以|2×6-7+𝑚|√22+(-1)2=2√5,解得m=5或m=-15.故直线l的方程为y=2x+5或y=2x-15.(3)由𝑇𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑇𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑇𝑄⃗⃗⃗⃗⃗,可知𝑇𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=

𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗,因为P,Q为圆M上的两点,所以|PQ|≤2r=10.所以|TA|=|PQ|≤10,即√(𝑡-2)2+42≤10,解得2-2√21≤t≤2+2√21.故实数t的取值范围为[2-2√21,2+2√21].19.C因为P是直线x+2y-9

=0上的任一点,所以设P(9-2m,m).因为PA,PB为圆O:x2+y2=9的两条切线,切点分别为A,B,所以OA⊥PA,OB⊥PB,所以点A,B在以OP为直径的圆C上,所以AB是圆O和圆C的公共弦.易知圆C的方程为(𝑥-9-2𝑚2)2+(𝑦-𝑚2)2=(9-2𝑚)2+𝑚24,两

圆的方程相减,得(2m-9)x-my+9=0,即公共弦AB所在直线的方程为(2m-9)x-my+9=0,可化为m(2x-y)+(-9x+9)=0,由{2𝑥-𝑦=0,-9𝑥+9=0得{𝑥=1,𝑦=2.所以直线AB

恒过定点(1,2).故选C.20.ACD因为|AB|=|AC|,所以△ABC的“欧拉线”为线段BC的垂直平分线,由点B(-1,3),C(4,-2)可得线段BC的中点为32,12,且kBC=3+2-1-4=-1,所以线段

BC的垂直平分线的方程为y-12=x-32,即x-y-1=0.因为△ABC的“欧拉线”与圆M:(x-3)2+y2=r2(r>0)相切,所以圆心(3,0)到直线x-y-1=0的距离d=r=|3-1|√12+(-1)2=√2,所以圆M的方程为(x-3)2+y2=2,圆心(3,0)到

直线x-y+3=0的距离为|3+3|√2=3√2.A中,圆M上的点到直线x-y+3=0的距离的最小值为3√2−√2=2√2,所以A正确.B中,圆M上的点到直线x-y+3=0的距离的最大值为3√2+√2=4√2,所以B不正确.C中,令t=x+√3y,即y=𝑡-𝑥

√3,代入圆M的方程(x-3)2+y2=2,可得(x-3)2+(𝑡-𝑥)23=2,整理可得4x2-(18+2t)x+t2+21=0,因为点(x,y)在圆M上,所以4x2-(18+2t)x+t2+21=0有根,所以Δ=(18+2t)2-4×4×(t2+21)≥0,整理可得t2-6t+

1≤0,解得3-2√2≤t≤3+2√2,所以t的最小值为3-2√2,即x+√3y的最小值为3-2√2,所以C正确.D中,圆(x-a-1)2+(y-a)2=8的圆心坐标为(a+1,a),半径为2√2,圆M的圆心坐标为(3,0),半径为√2,要使圆(x-a-1)2+(y-a)2=8与圆M

有公共点,则圆心距d∈[2√2−√2,2√2+√2],即圆心距d∈[√2,3√2],所以√2≤√(𝑎+1-3)2+𝑎2≤3√2,解得1-2√2≤a≤1+2√2,所以D正确.