【文档说明】《2023年新高考数学之导数专项重难点突破（新高考专用）》专题05 利用函数极值求参(取值范围)(解析版).docx，共(24)页，1.982 MB，由管理员店铺上传

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专题05利用函数极值求参(取值范围)一、单选题1．函数32()422fxxaxbx=−−+在1x=处有极大值3−，则−ab的值等于（）A．0B．6C．3D．2【解析】2()1222fxxaxb=−−，

因为()fx在1x=处有极大值3−，所以(1)12220(1)4223fabfab=−−==−−+=−，解得3ab==，所以0ab−=，故选：A2．已知f(x)＝13x3＋(a－1)x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是（）A．[0，1]B．(－∞，0]∪[1，＋∞)C．[0，2]

D．(－∞，0]∪[2，＋∞)【解析】由321113()()fxxaxx=+−++得2211()()fxxax=+−+，根据题意得22140[()]≤a−−，解得02a．故选：C3．若函数2()2lnfxxxax=−+有两个不同的极值点，则实数a的取值范

围是（）A．12aB．102a−C．12aD．102a【解析】∵2()2lnfxxxax=−+有两个不同的极值点，∴222()2202axxafxxx−+=−+==在(0,)+有2个不

同的零点，∴2220xxa−+=在(0,)+有2个不同的零点，∴Δ4800aa=−，解得102a．故选：D.4．若16x=，256x=是函数()sin()fxx=+()0两个相邻的极值点，则=（）A．3B．32C．34D．12【解析】由题意得，52663

−=是函数()fx周期的一半，则243=，得32=．故选：B5．已知()()321123fxxmxx=−+−−+没有极值，则实数m的取值范围为（）A．()0,2B．()(),01,−+C．0,2D．(),02,−+【解析】()()2221fxxmx

=−+−−；()fx在R上没有极值，()22240m=−−，即()248420mmmm−=−，解得：02m，即实数m的取值范围为0,2.故选：C.6．设函数f(x)＝lnx＋1ax−在1(0,)e内有极值，求实数a的取值范围（）A．1e2e,+−+B．1e,e

++C．1e,e−+D．1e2e,+++【解析】由22(2)1()ln()1(1)axaxfxxfxxxx−++=+=−−，因为函数f(x)＝lnx＋1ax−在1(0,)e内有极值，所以22(2)1

()0(1)xaxfxxx−++==−在1(0,)e内有解，即2()(2)10gxxax=−++=在1(0,)e内有解，21(2)102xaxaxx−++==+−，设222111()2()1xhxxhxxxx−=

+−=−=，当1(0,)ex时，()0,()hxhx单调递减，所以min1()(e)e2ehxh==+−，要想方程12axx=+−在1(0,)ex时有解，只需min1()e2eahxa+−，故选：A7．已知函数f(x)＝x3＋

ax2＋bx＋a2在x＝1处的极值为10，则数对(a，b)为（）A．(－3,3)B．(－11,4)C．(4，－11)D．(－3,3)或(4，－11)【解析】f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意可得'(1)0,(1)

10,ff==即2320,110,ababa++=+++=解得3,3,ab=−=或4,11,ab==−当3,3,ab=−=时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0

，这时f(x)无极值，不合题意，所以数对(),ab为(4,-11)，选项C正确.故选：C.8．已知函数()()24143exfxaxaxa=−+++，若2x=是()fx的极小值点，则实数a的取值范围是（）A．2,3−B．1,2+C．(),0−

D．()1,−+【解析】由()()24143exfxaxaxa=−+++得()()()12exfxaxx=−−，令()()()()()12e0120xfxaxxaxx=−−−−，若0a，则()()11202axxxa−−，此时在12xa单

调递增，在12,xxa单调递减，这与2x=是()fx的极小值点矛盾，故舍去.若0a=，可知2x=是()fx的极大值点，故不符合题意.若102a，()()11202,axxxxa−−，此时()fx在12,xxa单调递增，在12xa单调递减，可知2x=是()fx的极大值点，故

不符合题意.当12a，，()()11202,axxxxa−−，此时()fx在12,xxa单调递增，在12xa单调递减，可知2x=是()fx的极小值点，符合题意.若12a=，()fx在定义域内单调递增，无

极值，不符合题意，舍去.综上可知：12a，故选：B9．若函数()3exfxax=−在R上有小于0的极值点，则实数a的取值范围是（）A．(),3−B．(),0−C．()0,3D．()3,+【解析】由函数()3exfxax=−求导得：()3exfxa=−，因

函数()fx在R上有小于0的极值点，则()0fx=有小于0的根，即当0x时，3exa=，而函数3ex在R上单调递增，则当0x时，03e3x，于是得0<<3a，经验证，当0<<3a时，函数()

3exfxax=−在R上有小于0的极值点，所以实数a的取值范围是()0,3.故选：C10．已知函数()sin6fxx=+在区间[0,]m有且仅有2个极值点，则m的取值范围是（）A．47,33B．47,33C．710,

33D．710,33【解析】由()()'sincos0()6662fxxfxxxkkZ=+=+=+=+，()3xkkZ=+，因为()sin6fx

x=+在区间[0,]m有且仅有2个极值点，所以令0,1,2k=，解得47,,333，因此有4733m，故选：A11．已知函数()2e1xfxxa=+−()aR有两个极值点，则实数a的取值范围为（）A．1,0e−

B．2,0e−C．1,e−+D．2,e−+【解析】对原函数求导得，()2exfxxa=+，因为函数()()2e1xfxxaaR=+−有两个极值点，所以()0fx=有两个不等实根，即2e0xxa+=有两个不

等实根，亦即2exxa−=有两个不等实根.令()2exxgx=，则()()21exxgx−=可知()gx在(),1−上单调递增，在()1,+上单调递减，所以()()max21egxg==，又因为当0x时，()0gx，当0x

时，()0gx，所以2e0aa−−，解得20ea−，即a的范围是2,0e−.故选：B12．已知函数()lnxafxx+=在其定义域的一个子区间()2e,e上有极值，则实数a的取值范围是（）A．

()1,0−B．()0,1C．()1,2D．()0,2【解析】()1lnxafxx−−=，令()0fx¢=，即1ln0xa−−=，解得1eax−=，且10eax−，()0fx¢>；1>eax−，()0fx¢<，∴()fx在()10,ea−上单调递增，在()1e,a−+上单调递减，∴()

fx有极大值()1111lneeeeaaaaaf−−−−+==，∴12eeea−，∴10a−，故选：A.13．已知函数()()()exfxxaxb=−−在xa=处取极小值，且()fx的极大值为4，则b=（）A．-1B

．2C．-3D．4【解析】()()()exfxxaxb=−−()2exxaxbxab=−−+，所以()()()22eexxfxxabxaxbxab=−−+−−+()2e2xxabxabab=+−−+−−，因为函数()()()exfxxax

b=−−在xa=处取极小值，所以，()()()2e2e0aafaaabaababab=+−−+−−=−=，所以ab=，()()2exfxxa=−，()()()()22e222=e2xxfxxaxaaxaxa=+−+−

−−−，令()0fx=，得=xa或=2xa−，当()2xa−−，时，()0fx，所以()fx在()2a−−，单调递增，当()2xaa−，时，()0fx，所以()fx在()2aa−，单调递增，当()xa

，+时，()0fx，所以()fx在()a+，单调递增，所以()fx在=2xa−处有极大值为()22e==44afa−−，解得=2a，所以=2b.故选：B14．已知m为常数，函数()2ln2fxxxmx=−有两个极值点，其中一个极值点0x满足

01x，则()0fx的取值范围是（）A．(),0−B．()0,+C．1,2−−D．1,2−+【解析】()ln41xmxxf=−+，由函数()2ln2fxxxmx=−有两个极值点，则等价于()0fx=有两个解，即lnyx=与41ymx=−有两

个交点，所以00ln14xmx+=.直线41ymx=−过点()01−，由lnyx=在点()1,0P处的切线为1yx=−，显然直线1yx=−过点()01−，当041m时，直线41ymx=−与曲线lnyx=交于不同两点（如下图），且1201xxx=，()()()

22220222222ln1lnln2ln22xxxxfxfxxxmxxx+−==−=−=，令()()ln12xxxgxx−=，则()()ln012xgxx=，所以()()ln12xxxgxx−=单调递增，()()1

12gxg=−，即()012fx−，故选：D.15．已知函数2()lnfxxxax=+−有两个极值点m，n，且[1,2]m，则()()fmfn−的最大值为（）A．2ln23−B．2ln23−C．3ln24−D．3ln24−【解析】

由2()lnfxxxax=+−得：2121()2xaxfxxaxx−+=+−=m，n是2210xax−+=两个根，由根与系数的关系得：1,22amnmn+==，故12nm=22222221()()lnlnlnl

n24mfmfnmmamnnanmnmmnm−=+−−−+=−+=+−，令2,1,4xmx=记1()ln2,1,44gxxxxx=+−，则()222222111414()10444xxxgxx

xxx−−−−=−−==，故()gx在1,4x上单调递减.()()max311n24gxg==−故选：C二、多选题16．已知函数321()213fxxxax=+−+，若函数()fx在(1,2)上有极值，则实数a可以取（）A．1B．2C．

3D．4【解析】由题意知，2()22fxxxa=+−在(1,2)上有变号零点，又易知2()22fxxxa=+−在(1,2)上单调递增，故()()32,82fxaa−−，可得320820aa−−，解得342a，故a可取2，3.故选：BC.17．函数32()

(3)4fxaxaxx=−++在23x=处取得极大值，则a的值可以是（）A．-1B．0C．3D．4【解析】2'()32(3)4(2)(32)fxaxaxaxx=−++=−−，xR.当0a=时，令'()0fx=，23x=，2,3x−，'

()0fx，()fx单调递增，2,3x+，'()0fx，()fx单调递减，则()fx在23x=处取得极大值；当0a时，令'()0fx=，123x=，22xa=.当0a时，22,3xa，'()0fx，()f

x单调递增，在22,,,3a−+，'()0fx，()fx单调递减，则()fx在23x=处取得极大值；当0a时，若223a，即3a时，在22,,,3a−+

，'()0fx，()fx单调递增，22,3xa，'()0fx，()fx单调递减，则()fx在23x=处取得极小值，不合题意，舍去；若223a=，即3a=时，'()0fx恒成立，()fx单调递增，不合题意，舍去；若223a，即0

<<3a时，在22,,,3a−+，'()0fx，()fx单调递增，22,3xa，'()0fx，()fx单调递减，则()fx在23x=处取得极大值；综上所述：3a时，函数()fx在23x=处取得极大值.故选：AB.三、填空题18．已知函

数()sinfxxax=+在3x=处取得极值，则a＝______.【解析】由()sinfxxax=+知：()cosfxxa=+.因为π3x=是()sinfxxax=+的极值点，故ππ1cos0332faa=+==−19．若

函数2()fxxax=−+在区间()1,0−上恰有一个极值点，则a的取值范围是___________.【解析】二次函数2()fxxax=−+的对称轴为：22aaxx=−=−，要想函数2()fxxax=−+在区间()1,0−上恰有

一个极值点，只需10202aa−−，故答案为：()2,0−20．若函数()23ln2afxxxx=−在区间(0,)+上有两个极值点，则实数a的取值范围是______．【解析】由题意，函数()23ln2afxxxx=−，可得()ln13fxxax=+−，因为函数()fx在区间

(0,)+上有两个极值点，即()0fx=在(0,)+上有两个不等的实数根，即ln13xax+=在(0,)+上有两个不等的实数根，即函数()ln1xgxx+=和3ya=的图象有两个交点，又由()ln1xgxx+=，可得()

2lnxgxx−=，当(0,1)x时，()0gx，()gx单调递增；当(1,)x+时，()0gx，()gx单调递减，所以()()max11gxg==，且当0x→时，()gx→−，当x→+

时，()0gx→，所以031a，解得103a，即实数a的取值范围是1(0,)3.21．已知函数()()()ln21fxaxax=−−−（0a）在2x=处有极大值，则实数a的值为______．【解析】()12afxaax−−=+，由题意得：()21022afaa=−+=−

，解得：12a=或2，当12a=时，由定义域可知：4x，()11042fxx=+−恒成立，故2x=不是极大值，不合题意，舍去；当2a=时，由定义域可知：1x，()21xfxx−=−，当12x时，()0fx

，当2x时，()0fx，所以()fx在2x=处有极大值，满足要求.故答案为：222．若函数()3232fxxx=−+在区间()21aa−+,内存在极小值，则a的取值范围是___________.【解析】因为()3232fxx

x=−+，则()236fxxx=−，令()0fx=可得0x=或2x=，列表如下：x(),0−0()0,22()2,+()fx+0−0+()fx增极大值减极小值增所以，函数()fx的极小值点为2x=，由题意可得2212aa−

+，解得14a.故答案为：14a.23．函数()219ln2fxxx=−在11aa−+，上存在极值点，则a的取值范围是______．【解析】由()219ln02fxxxx=−，，得()()()23399xxxf

xxxxx+−−=−==，∴()()0,3,0xfx，函数()fx单调递减，()()3,,0xfx+，函数()fx单调递增，由函数()219ln2fxxx=−在11aa−+，上存在极值点，可得131aa−+，∴24a，∴实数a的取值

范围是()2,4．24．设函数()()()21exfxxxb=−+，若1x=是函数()fx的一个极大值点，则实数b的取值范围为__________．【解析】因为()()()21exfxxxb=−+，所以22()e[(1)()]e[(1)()]xxfxxxbxxb

=−++−+22e[(1)()]e2(1)()(1)xxxxbxxbx=−++−++−2e(1)[(2)1]xxxbxb=−+++−，设2()(2)1gxxbxb=+++−，则()()2224180bbb=+−−=+

，所以()gx有两个不相等的实根．于是可设1x，2x是()0gx=的两实根，且12xx，①当11x=或21x=时，则1x=不是()fx的极值点，此时不合题意；②当11x且21x时，由于1x=是()fx的极大值点，故121xx<<，即(

)10g，即()21210bb+++−，所以1b−，所以b的取值范围是(,1)−−．25．已知函数()()cos1exfxxa=+−在(),−上恰有一个极值，则=a___________.【解析】因为()()1ecosxfxax

=−+，所以()()1esinxfxax=−−.因为()fx在(),−上恰有一个极值，所以()fx在(),−上恰有一个变号零点，即函数sin1exxya=−−上恰有一个变号零点.令()()sinexxgxx=−，则()2coscossin4e

exxxxxgx+−==.当3,,44x−−时，()0gx；当3,44x−时，()0gx.故()gx在3,4−−，,4上

单调递减，在443,−上单调递增.因为()0g−=，()00g=，()0g=，所以()gx的大致图象如图所示，因为函数sin1exxya=−−在(),−恰有一个变号零点，所以1a=，此时函数()fx在(),−上恰有一个极值.26．若函数()2221fxc

osxmx=+−在0x=处取得极小值，则实数m的取值范围为______．【解析】记()()()2sin222sin2gxfxxmxxmx==−+=−−，则()()4cos2222cos2gxxmmx=−+=−，①当2m时，(

)()222cos20gxx−，所以函数()fx在R上单调递增．若0x，则()()00fxf=；若0x，则()()00fxf=，所以()fx的单调递增区间是()0+，，单调减区间是()0−，，所以()fx在0x=处取得极小值，符合题意;

②当2m−时，()()222cos0gxx−−，所以函数()fx在R上单调递减．若0x，则()()00fxf=；若0x，则()()00fxf=，所以()fx的单调减区间是()0+，，单调增区间是(

)0−，，所以()fx在0x=处取得极大值，不符合题意;③当22m−时，00,2x，使得02cos2xm=，即()00gx=，但当()00xx，时，2cos2xm，即()0gx，所以函数()fx在()00x，上单调递减，所以()()00fxf=，即函数()

fx在()00,x上单调递减，不符合题意．综上所述，实数m的取值范围是)2,+．四、解答题27．已知定义在R上的函数32()23fxxxcx=−++()cR，在1x=−处取得极值.(1)求()fx的解析式；(2)讨论()fx在区间3,3−上的单调性.【解析】(1

)∵函数f(x)在1x=−处取极值，∴(1)0f−=.32()23fxxxcx=−++，()266fxxxc=−++∴()1660fc−=−−+=，12c=.∴()322312fxxxx=−++，验证：()()()()22661262612fxxxxxxx=−++=−−−=−

+−，可知1x=−是导数的变号零点，可知成立；(2)()()22661262fxxxxx=−++=−−−.令()fx¢=0，得11x=−，22x=，x-3(-3，-1)-1(-1，2)2（2，3）3()fx¢-0+0-f(x)45减-7增20减9∴函数f(x)在［-3，-1］

和［2，3］上是减函数，函数f(x)在［-1，2］上是增函数.28．已知函数()ecosxfxax=−(1)当1,(0,)ax=+，证明：()0fx；(2)若函数()fx在(,)−上恰有一个极值，求a

的值．【解析】(1)由题设()ecosxfxx=−且,()0x+，则()esin0xfxx=+，所以()fx在,()0x+上递增，则0()(0)ecos00fxf=−=，得证.(2)由题设(

)esinxfxax=+在(,)−有且仅有一个变号零点，所以sinexxa=−在(,)−上有且仅有一个解，令sin()exxhx=−，则2sin()sincos4()eexxxxxhx−−==，而53(,

)444tx=−−，故5(,)4t−−时()0hx，(,0)t−时()0hx，3(0,)4t时()0hx，所以()hx在3(,)4x−−、(,)4上递增，在3(,)44x−上递减，故极大值343e()42h

−=，极小值41()42eh=−，()()(0)0hhh−===，要使()hx在(,)−上与ya=有一个交点，则34e2a=或412ea=−或0a=.经验证，34e2a=或412ea=−时()fx对应零点不变号，而0

a=时()fx对应零点为变号零点，所以0a=.29．已知函数()32fxxaxbx=−++．(1)当0,1ab==时，证明：当()1,x+时，()lnfxx；(2)若2ba=，函数()fx在区间()1,2上存在极大值，求a的取值范围．【解析】(1)由题意得()3fx

xx=−+，则()231fxx=−+，当1x时，()0fx，()fx在()1,x+上是减函数，∴()()10fxf=，设()lngxx=，()gx在()1,x+上是增函数，∴()ln10gx=，∴当()1,x+时，()lnfxx

．(2)()()()22323fxxaxaxaxa=−++=−+−，且()12x,，令()0fx=，得3ax=−或a，①当0a=时，则()230fxx=−，()fx单调递减，函数()fx没有极值；②当0a时，当3ax−时，()0fx，()fx单调递减；当3axa−时，

()0fx，()fx单调递增；当xa时，()0fx，()fx单调递减，∴()fx在xa=取得极大值，在3ax=−取得极小值，则12a；③当0a时，当xa时，()0fx，()fx单调递减；当3aax−时，()0fx，()fx单调递增

；当3ax−时，()0fx，()fx单调递减，∴()fx在3ax=−取得极大值，在xa=取得极小值，由123a−得：63a−−，综上，函数()fx在区间()1,2上存在极大值时，a的取值范围为()()6,31,2−−．30．若函数()34fxaxbx=−+，当2x=时，函数(

)fx取得极值43−.(1)求函数()fx的解析式；(2)若方程()fxk=有3个不同的实数根，求实数k的取值范围.【解析】(1)对()fx求导，得()23fxaxb=−，由题意，得()()2120428243fabfab=−==−+=−,解得134ab==,∴()3144

3fxxx=−+.(2)由（1）可得()()()2422fxxxx=−=−+,令()0fx=，得2x=或2x=−,∴当2x−时，()0fx；当22x−时，()0fx；当2x时，()0fx.因此，当2x=−时，()fx取得极大值283；当2x=时，()fx取得极小值43

−,函数()31443fxxx=−+的大致图象图如所示.:要使方程()fxk=有3个不同的实数根，由图可知，实数k的取值范围是428,33−.31．已知函数()32e2cos3xkfxxaxkx=+++（其中,akR，2.71828e=…为自

然对数的底数）(1)当0k=时，求函数()fx的单调区间；(2)当1k=时，若12,xx是()fx的两极值点且12xx，求实数a的取值范围．【解析】(1)当0k=时，()e2xxafx=+，∵()2e

xfxa=+，∴当0a时，()0fx恒成立，∴()fx在(),−+上单调递增，无单调递减区间；当0a时，令()0fx，即e2xa−，∴ln2−ax，∴()fx在ln,2a

−+上单调递增，,ln2a−−上单调递减．综上，当0a时，函数()fx的单调递增区间是(),−+，无单调递减区间；当0a时，函数()fx的单调递增区间是ln,2a−+，单调递减区间是,ln2a

−−．(2)①当1k=时，()312e2cos3xfxaxxx=+++有两个极值点12,xx，所以()22e2sin0xfxaxx=+−+=在R上有两个不等实数根12,xx，设()22e2sinxFxxxa=−++，则()2e2co

s2xFxxx=−+，设()()xFx=，()2e2sin22e0xxxx=++，∴()Fx在(),−+上单调递增，又()002e2cos000F=−+=，∴()0,x+时，(

)()00FxF=∴()Fx在()0,+上单调递增，同理()Fx在(),0−上单调递减，∴()()min02FxFa==+，当x→−，()Fx→+；当x→+，()Fx→+；要使()Fx在R上有两个不同

的实根，则20a+，即2a−．所以当2a−函数()Fx有两个不相等的零点12,xx，即()fx有两个极值点1x和2x．∴若有两个极值点，则2a−·32．设函数()()24143exfxaxaxa=−+++.(1)若曲线()yfx=在点()()1,1

f处的切线与x轴平行，求a；(2)若()fx在2x=处取得极大值，求a的取值范围.【解析】(1)()()24143exfxaxaxa=−+++定义域为R，()()2212exfxaxax=−++

.由题设知()()11212e0faa=−++=,即(1-a)e=0,解得：a=1此时f(1)=3e≠0.所以a的值为1(2)由(1)得()()()()2212e12exxfxaxaxaxx=−

++−−=.若12a时,则当1,2xa时,()0fx;当(2,)x+时,()0fx，所以()fx在1,2a上单减，在(2,)+上单增，所以()fx在x=2处取得极小值，不合题意，舍去；若12a=时,则()0fx恒成立，所以(

)fx在R上单增，所以()fx在x=2处不能取得极值，不合题意，舍去；若102a时,则当12,xa时,()0fx;当(,2)x−时,()0fx，所以()fx在(,2)−上单增，在12,a上单减，所以()fx在x=2处

取得极大值，符合题意；若0a=时,则当()2,x+时,()0fx;当(,2)x−时,()0fx，所以()fx在(,2)−上单增，在()2,+上单减，所以()fx在x=2处取得极大值，符合题意；若0a时

,则当()2,x+时,()0fx;当1(,2)xa时,()0fx，所以()fx在1,2a上单减，在()2,+上单增，所以()fx在x=2处取得极大值，符合题意.综上所述：12a.即实数a的范围为1,2−.33．已知函数()ln,afxxax=+R

.(1)当1a=时，求函数()fx的单调递增区间；(2)设函数()1()fxgxx−=，若()gx在21,e上存在极值，求a的取值范围.【解析】(1)当1a=时，函数1()lnfxxx=+，其定

义域为(0,)+，可得22111()xfxxxx−=−=，当(0,1)x时，()0fx，()fx单调递减；当(1,)x+时，()0fx，()fx单调递增，所以函数()fx的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,

)+.(2)解：由22()1ln1(),[1,]fxxagxxexxxx−==+−，可得22331ln122ln2()xaxxxagxxxxx−−−=+−=，设()2ln2hxxxxa=−−，则()2(1ln)1lnhxxx=−+=−，令()0hx=，即1

ln0x−=，解得xe=，当)1,ex时，()0hx；当(2e,ex时，()0hx，所以()hx在区间)1,e上单调递增，在区间(2e,e上，单调递减，且()()()2122,ee2,e2hahaha=−=−=−，显然()()21eh

h，若()gx在21,e上存在极值，则满足()()e010hh或()()210e0hh，解得e02a，综上可得，当e02a时，()gx在21,e上存在极值，所以实数a的取值范围为e0,2.

34．已知函数()ln(0)xaefxxxax=+−.(1)若1a=，求函数()fx的单调区间；(2)若()fx存在两个极小值点12,xx，求实数a的取值范围.【解析】(1)当1a=时，函数e()l

nxfxxxx=+−，可得221(1)(1)()()1xxeefxxxxxxx−+−−=−=，令,())(0,xmxexx−=+，可得()e10xmx=−，所以函数()mx单调递增，因为()(0)1mxm=，所以()0mx，当(0,1)x时，

()0fx¢<，()fx单调递减；当(1,)x+时，()0fx¢>，()fx单调递增，即函数()fx的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+.(2)由函数()ln,(0,)xaefxxxxx=+−+，可得22(()(1)())1(),0xxxeaexxefxx

xxxax−−==−−，令()exxux=，可得()1exuxx=−，所以函数()ux在(0,1)上单调递增，在(1,)+上单调递减，所以()e1ux，当0x时，可得e1x，所以10eexx，①当1ea时，0exxa−，此时当(0

,1)x时，()0fx¢<，()fx单调递减；当(1,)x+时，()0fx¢>，()fx单调递增，所以函数()fx的极小值为()1e1fa=−，无极大值；②当10ea时，()()0eee1,1

aaauaaua===，又由()ux在(),1a上单调递增，所以()fx¢在(),1a上有唯一的零点1x，且11exxa=，因为当ex时，令()2lngxxx=−，可得()2210xgxxx−=−=，又因为()0e

e2g=−，所以()0gx，即2lnxx，所以112lnaa，所以2212ln11ln2ln1(ln)1aaauaaaea==，e1(1)ua=，因为()ux在(1,)+上单调递减，所以()fx¢在21(0

,ln)a上有唯一的零点2x，且22exxa=，所以当1(0,)xx时，()0fx¢<，()fx单调递减；当1(,1)xx时，()0fx¢>，()fx单调递增；当2(1,)xx时，()0fx¢<，()fx单调递减；当2(,)xx

+时，()0fx¢>，()fx单调递增，所以函数()fx有两个极小值点，故实数a的取值范围为1(0,)e.35．已知函数()313fxxax=−+，Ra．(1)讨论函数()fx的单调性；(2)若()()xgxfxe=有且只有一个极值点，求a的取值范围．【解

析】(1)由题意知：()2fxxa=−+，当0a时，因为20x−，所以()20fxxa=−+在R上恒成立，所以()fx在(),−+上是减函数；当0a时，由()20fxxa=−+得：20xa−，所以axa−，所以()fx在()

,aa−上是增函数，在()(),,,aa−−+上是减函数.(2)()()313xxgxaxxfxee=−+=，()3213xxxaxgxea=−−++，因为()gx有且只有一个极值点，即()3213xxxaxa=−−++图象只穿过x

轴一次，即()x为单调减函数或者()x的极值同号；（i）()x为单调减函数，()220xxxa=−−+在R上恒成立，则440a=+，解得1a−；（ii）()x的极值同号时，设12,xx为极值点，则()()120xx，()220xxxa=

−−+=有两个不同的解12,xx，则1a−，且有1212+=2=xxxxa−−，，所以()()111131212133aaxxxxaax−−++=+=+，同理()()22213xaxa=++

，所以()()120xx，化简得：()()()221212110axxaaxxa+++++，即10a−；当()()120xx=，0a=，()2113xxxgxe=−+，()gx有且只有一个极值点.综上：a

的取值范围是(,0−.36．已知函数()()2ln21fxxaxabx=+−++，曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线斜率为0．(1)求b的值；(2)若函数()yfx=的极大值为3−，证明：e<2e2a．【解析】(1)依题意()()1221fxaxabx=+

−++，由题设知()10f=，解得0b=．(2)()fx的定义域为()0,+，由（1）知()()2ln21fxxaxax=+−+．()()()()2111221axxfxaxaxx−−=+−+=①若0a，则当()0,1x时()0fx；当()1,x+时()0fx．故()fx在

()0,1单调递增，在()1,+单调递减．此时()fx有唯一极值()()11fxfa==−−极大值．令13a−−=−，解得2a=与0a矛盾，故舍去；②若102a，则112a，当()0,1x时()0fx；当11,2xa时()0fx

；当1,2xa+时()0fx．故()fx在()0,1上单调递增，在11,2a上单调递减，在1,2a+上单调递增．此时()fx有唯一极大值()()11fxfa==−−极大值．令13a−−=−，解得2a=与10

2a矛盾，故舍去；③若12a=，则112a=，当()0,x+时()0fx，故()fx在()0,+上单调递增无极大值；④若12a，则1012a，当10,2xa时()0fx；当1,12xa时，()0fx

，当()1,x+时()0fx．故()fx在10,2a上单调递增，在1,12a上单调递减，在()1,+上单调递增．此时()fx有唯一极大值()111ln1224fxfaaa==−−极大值令11ln1324aa−−=−，化简得11ln2024aa−

+=（*）令12ta=，则01t，记函数()()ln2012tgttt=−+，()()2012tgttt−=，则()0gt在其定义域上恒成立，所以()gt在其定义域上单调递增，又因为111ln204e4e8eg=−+，111ln20ee

2eg=−+，所以()gt在区间11,4ee内存在零点0t使得方程（*）成立．所以1114e2ea，所以e2e2a.37．已知函数f(x)＝ax2＋xlnx－ex，其中e是自然对数的底数．(1)求证：当e12a−=时，函数f(x)是减函数；(2)若函数f(

x)存在极值，求实数a的取值范围．【解析】(1)()2ln1e,0xfxaxxx=++−，当e12a−=时，(1)21e0fa=+−=，1()2e,0xfxaxx=+−因为()fx在(0,)+上是减函数，且(1)21e=0fa=+−，所以01x

时，()0,1fxx时，()0fx即函数()fx在()0,1上单调递增，在(1,)+上单调递减所以max()(1)0fxf==，所以()0fx„，所以函数f(x)在(0,)+是减函数；(2)①当e1

2a−=时，由（1），f(x)在(0,)+是减函数，不存在极值；②当e12a−时，1()2ln1e,0,()2e,0xxfxaxxxfxaxx=++−=+−，易知()fx在(0,)+上是减函

数，且在(0,)+上图象不间断，因为(1)21e<0fa=+−，101e2a−，1e212(e2)e2(e2)e0e2afaaaaa−=+−−+−−=−，所以()fx在(0,)+上存在唯一零点，记为0x，则()

0000111,2e0e2xxfxaax=+−=−，即00021exaxx+=，且00xx时，0()0,fxxx时，()0fx，所以函数()fx在()00,x上单调递增，在0(,)x+上

单调递减，所以()000max()2lnfxfxaxx==+()00001eln1exxxx+−=+−，令()ln(1)e,01xhxxxx=+−，则1()e0xhxxx=+，所以

函数()hx在()0,1上单调递增，所以01x时，()(1)0hxh=，所以()00fx所以()0fx，所以函数()fx在(0,)+上是减函数，不存在极值.③当e12a−时，(1)21e0fa=+−因为1x

时，1()2e21exxfxaax=+−+−，且ln(21)1a+，所以(ln(21))fa+21a+−ln(21)0ae+=结合()fx在(0,)+上是减函数，且在(0,)+上图象不间断所以()fx在(0,)+上存在唯一零点，记为1x，则11ln(21)xa

+，与②同理()()1111111max()2ln1eln1e0xxfxfxaxxxx==++−=+−又1x时，2()2(1)1(21)fxaxxxaxx+−+−=+−，且21e1a+

，所以(21)0fa+，结合(1)21e0fa=+−，得121xa+，又()fx在()1,x+上图象不间断所以()fx在()1,x+上存在唯一零点，记为2x，则结合()fx在()1,x+上是减函数，得x()12,xx2x()2,x+()fx

+0−()fx极大值即e12a−时，函数()fx存在极值.综上，实数a的取值范围为e1,2−+.38．已知函数()ln(1)(1)1fxxaxaab=+−−−++，a，bR．(1)当1b=时，求()fx的单调区间；(2)若(0,e)a，且()fx

的极大值大于0，求实数b的取值范围．【解析】(1)函数()fx的定义域为(1,)−+，当1b=时，2()ln(1)1fxxaxa=+−−+，1()1fxax=−+，①当0a时，在(1,)−+上()0fx，()fx在(1,)−+上单调递增．②当0a时，令()0fx=，得11

=−xa，在11,1a−−上，()0fx，在11,a−+上，()0fx，()fx在11,1a−−上单调递增，在11,a−+上单调递减．综上，当0a时，()fx的单调递增区间为(1,)−+；当0a时，()fx的单调递增区

间为11,1a−−，单调递减区间为11,a−+．(2)由（1）知当(0,e)a时，()fx有极大值为211lnfabaaa−=−+−，设2()ln((0,))gxxbxxxe=−+−，()0gx，2ln0xbxx−+−，即lnxbxx+在(0

,e)上恒成立．令ln()xqxxx=+，(0,e)x，则22ln1()xxqxx−+=，令2()ln1pxxx=−+，(0,e)x，则2121()2xpxxxx−=−=，令()0px=，得22x=，在20,2

上，()0px，在2,2e上，()0px，()px在20,2上单调递减，在2,2e上单调递增，()px的极小值231ln20222p==+

，()0qx，()qx在(0,e)上单调递增，1()()qxqeee=+，1bee+，b的取值范围为1,ee++．39．已知函数()32e2cos3xkfxxaxkx=+++．（其中,Rak，2.71828e=…为自然对数的底数）(1)当0k

=时，求函数()fx的单调区间；(2)当1k=时，若1x，2x是()fx的两极值点且12xx，①求实数a的取值范围；②证明：()()128fxfx+．【解析】(1)当0k=时，()e2xxafx=+，∵()2exfxa=+，∴当0a时，()0fx恒成立，∴(

)fx单调递增为(),−+，无单调递减区间；当0a时，令()0fx，即e2xa−，∴ln2−ax，∴()fx在ln,2a−+上单调递增，,ln2a−−上单调递减．综上，当0a时，函数()fx的

单调递增区间是(),−+，无单调递减区间；当0a时，函数()fx的单调递增区间是ln,2a−+，单调递减区间是,ln2a−−．(2)当1k=时，(

)312e2cos3xfxaxxx=+++有两个极值点1x，2x，所以()22e2sin0xfxaxx=+−+=在R上有两个不等实数根1x，2x，①设()22e2sinxFxxxa=−++，则()2e2cos2xFxxx=−+，设()2e2cos2xxxx=−+，则

()2e2sin22e0xxxx=++，∴()Fx在(),−+上单调递增，又()002e2cos000F=−+=，∴()0,x+时，()()00FxF=；(),0x−时，()()00FxF=∴()F

x在()0,+上单调递增，在(),0−上单调递减，∴()()min02FxFa==+，要使()Fx在R上有两个不同的实根，则20a+，即2a−．②∵12xx，由前面的推导知：120xx，且()fx在()1,x−单调递增，()12,xx单调递减，()2,x+单调递增．设()()()

()0Hxfxfxx=+−，∴()()()()222e2sin2e2sinxxHxfxfxaxxaxx−=−−=+−+−+++2e2e4sin−=−−xxx，设()()2e2e4sin0xxuxxx−=−−，()()2e2e

4cos22ee4cos41cos0xxxxuxxxx−−=+−−=−，∴()ux在()0,+上单调递增，即()()02200HxH=−−=．∴()Hx在()0,+单调递增，∴()()()0208Hx

Hf==，∴()()228fxfx+−，又20x，∴20x−，∴()()21fxfx−，∴()()()()12228fxfxfxfx+−+，∴原不等式成立．40．已知223()ln(1)42xfxxxax=−−−.(1)若()fx恒有两个极值点1x，2x（12

xx），求实数a的取值范围；(2)在（1）的条件下，证明()()1232fxfx+.【解析】(1)函数()fx的定义域为(0,)+，()lnfxxxxa=−−，则方程()0fx=有两个不同的正根，即函数ya=与()ln(0)hxxxxx=−图像有两个交点，()lnhxx

=−，令()001hxx，令()01hxx，所以函数()hx在(0,1)上单调递增，在(1,)+上单调递减，所以max()(1)1hxh==，且当(0,1)x时，()ln(1ln)0hxxxxxx=−=−，当(1,)x+时，()

ln(1ln)0hxxxxxx=−=−，如图，由图可知(0,1)a；(2)设()()(2)Gxhxhx=−−(12)x，则()2()()(2)ln20Gxhxhxxx=+−=−−+，()Gx在(1,2)单调递增，故()(1)(1)(1)0

GxGhh=−=，即()(2)−hxhx(12)x.而12(1,2)x−，故()()()()1112222hxhxhxhx−−−==，又121x−，21x，()hx在(1,)+单调递减，故122xx−，即122xx+；由122xx+知21121xxx−；由

(1)知，()lnfxxxxa=−−，12xx、为函数()fx的极值点，当1(0,)xx时()0fx，函数()fx单调递减，当12(,)xxx时()0fx，函数()fx单调递增，2(,)xx+时()0fx，函数()fx单调递减，所以()()212fxfx−，故(

)()()()12112fxfxfxfx++−，令()()(2)Fxfxfx=+−（01x）.()()(2)2(1)ln(2)ln(2)Fxfxfxxxxxx=−−=−−+−−，()ln(2)lnFxxx=−−−，令()001Fxx

，故当01x时，()Fx单调递增，且(1)0F=，所以()0Fx，故()Fx单调递减，由01x，得3()(1)2(1)2FxFf==，即3()(2)2fxfx+−，即()()1232fxfx+.