【文档说明】《2023年新高考数学之导数专项重难点突破（新高考专用）》专题03 利用函数的单调性求参数取值范围(解析版).docx，共(13)页，1.026 MB，由管理员店铺上传

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专题03利用函数的单调性求参数取值范围一、单选题1．已知函数()321fxxxax=+−+在R上为单调递增函数，则实数a的取值范围为（）A．1,3−−B．1,3−−C．1,3−+D．1,3−+

【解析】()232fxxxa=+−，因为()fx在R上为单调递增函数，故()0fx¢³在R上恒成立，所以4120a=+即13a−，故选：A.2．若函数lnyxax=+在区间)1,+内单调递增，则a的取值范围是（）A．()

,2−−B．(),1−−C．)2,−+D．)1,−+【解析】由ln1ayxaxyx=+=+，因为函数lnyxax=+在区间)1,+内单调递增，所以有0y在)1,+上恒成立，即10ax+在)1,+上恒成立，因为)1,x+，所以由100a

xaaxx++−，因为)1,x+，所以(,1]x−−−，于是有1a−，故选：D3．若函数()cosfxaxx=+在(),−+上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（-1，1）B．)1,+C．（-1，+∞）D．（-1，0）【解析】()s

infxax=−，由题意得：()sin0fxax=−，即sinax在(),−+上恒成立，因为sin1,1yx=−，所以1a恒成立，故实数a的取值范围是)1,+.故选：B4．若函数()2sinfxbxx=+在ππ,42x上单调递增

，则实数b的取值范围是（）A．0bB．0bC．2b−D．2b−【解析】由题意()2cos0fxbx=+在ππ,42上恒成立，2cosbx−，ππ,42x时，2cosyx=−是增函数，max0y=（π2x

=时取得），所以0b．故选：A．5．若函数2()ln2fxxax=+−在区间1,14内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（）A．(,2)−−B．1,8−+C．(2,)−+D．(8,)−+【解析】由2()ln2fxx

ax=+−可得：1()2fxaxx=+.因为函数2()ln2fxxax=+−在区间1,14内存在单调递增区间，所以()0fx在1,14x上有解，即212ax−在1,14x上有解.设()21,1124,gxxx−=，由()30gx

x−=在1,14x上恒成立，所以()gx在1,14x单调递增，所以()()114ggxg.所以184ag=−.故选：D6．已知函数32()132xaxfxax=++

+存在三个单调区间，则实数a的取值范围是（）A．(0,4)B．[0,4]C．(,0)(4,)−+D．(,0][4,)−+【解析】由题意，函数32()132xaxfxax=+++，可得2()fxxaxa=++，因为函

数()fx存在三个单调区间，可得()fx有两个不相等的实数根，则满足240aa=−，解得0a或4a，即实数a的取值范围是(,0)(4,)−+.故选：C.7．若函数()219ln2fxxx=−在区间1,aa−上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．13a<?B．4

aC．23a−D．14a【解析】函数()219ln2fxxx=−，()0x.则()299xfxxxx−=−=，因为()fx在区间[1]aa−,上单调递减，则()0fx在区间[1]aa−,上恒成立，即290x−，所以03x在区间[

1]aa−,上恒成立，所以103aa−，解得13a<?，故选：A.8．已知函数()sin2cosfxaxx=+在ππ,34x−−上单调递增，则a的取值范围为（）A．0aB．2

2a−C．2a−D．0a或2a-【解析】因为函数()sin2cosfxaxx=+在ππ,34x−−上单调递增，所以()cos2sin0fxaxx=−在ππ,34x−−上恒成立，即2tanax在ππ,34x

−−上恒成立，由2tanyx=在π(,0)2−上单调递增知，maxπ2tan()24y=−=−，所以2a−，故选：C9．若()1sin2cos24xfxaxx=−−+是R上的减函数，则实数a的取值范围是（）A．

5,4+B．(,1−−C．5,4−D．)1,+【解析】由1sin2()()cos24xfxaxx=−−+，得1cos2()sin22xfxax=−−−，因为()1sin2cos2

4xfxaxx=−−+是R上的减函数，所以1cos2()sin022xfxax=−−−在R上恒成立，即221cos2sincossin1sinsin22xaxxxxx++=+=−+=215(sin)24

x−−+在R上恒成立，由于1sin1x−，所以215(1)124a−−−+=−≤．故选：B.10．若函数()()()()()1cossincossin3sincos412fxxxxxaxxax=−++−+−在区间7,24上单调递减，则

实数a的取值范围为（）A．10,7B．16,09−C．1,7−D．(,0−【解析】函数()()()()()1cossincossin3sincos412fxxxxxaxxax=−++−+−()()1cos23s

incos412xaxxax=+−+−()()()()2'sin23cossin41cossin3cossin40fxxaxxaxxaxxa=−+++−=−++++，对7π,2π4x恒成立.πcossin2sin

4xxx+=+，当7π,2π4x时，0cossin1x+.令()()23401gttatat=−++，欲使()0gt恒成立，只需满足231tat+，当01t时，

恒成立，即2min31tat+，设311,4tm+=，13mt−=，2221121220319999999tmmmmtmmm−+==+−−=+，当199mm=时，等号成立，即0a.故选：D11．若函数()()()

1cos23sincos212fxxaxxax=+++−在0,2上单调递减，则实数a的取值范围为A．11,5−B．1,15−C．)1,1,5−−+D．(

1,1,5−−+【解析】由函数()()()1cos23sincos212fxxaxxax=+++−，且f(x)在区间0,2上单调递减，∴在区间0,2上,f′(x)=−sin2x+3a(cosx−sinx)+2a−1≤0恒成立，

∵设24tcosxsinxsinx==−−，∴当x∈0,2时,444x−−，,t∈[−1,1]，即−1≤cosx−sinx≤1，令t∈[−1,1],sin2x=1−t

2∈[0,1]，原式等价于t2+3at+2a−2≤0，当t∈[−1,1]时恒成立，令g(t)=t2+3at+2a−2，只需满足312(1)510aga−−=−或312(1)10aga−−=−−或3112(1)510(1)10ag

aga−−=−−=−−，解得或213a−−或2135a−，综上，可得实数a的取值范围是11,5−，故选：A.二、多选题12．若函数21()9ln2fxxx=−，

在区间1,1mm−+上单调，则实数m的取值范围可以是（）A．4m=B．2mC．12mD．03m【解析】定义域为()0,+，299()xfxxxx−=−=；由()0fx得函数()fx的增区间为)3,+；由()0fx得函数()

fx的减区间为(0,3；因为()fx在区间1,1mm−+上单调，所以1013mm−+或13m−解得12m或4m≥；结合选项可得A,C正确.故选：AC.三、填空题13．若函数()313fxxax

=−+有三个单调区间，则实数a的取值范围是________．【解析】()'2fxxa=−+，由于函数()313fxxax=−+有三个单调区间，所以()'20fxxa=−+=有两个不相等的实数根，所以0a.故答案为：()0,+14．已知函数322()3(1)1(0)fxkxkxk

k=+−−+，若()fx的单调递减区间是(0,4)，则实数k的值为________.【解析】由322()3(1)1(0)fxkxkxkk=+−−+，得'2()36(1)fxkxkx=+−，因为()fx的单调递减区间是(0,4)，所以'()0fx

的解集为(0,4)，所以4x=是方程236(1)0kxkx+−=的一个根，所以126(1)0kk+−=，解得13k=15．若函数()2sinxfxemxx=+−在)0,+单调递增，则实数m的取值范围为________.【解析】由()2sinxfxemxx=+

−，得()'2cosxfxemxx=+−，若函数()2sinxfxemxx=+−在)0,+单调递增，则()'2cos0xfxemxx=+−…在)0,+上恒成立，令()2cosxgxemxx=+−，0x…，则()'2sinxg

xemx=++，再令()2sinxhxemx=++，0x…，则()'cosxhxex=+，因为0x…，所以01xee=…，所以()'cos0xhxex=+…在)0,+上恒成立，则()hx在)0,+上单调递增，故()min()012hxhm==+；当120m+…

时，得12m−…，此时()()'0gxhx=…，则()gx在)0,+上单调递增，则()()00gxg=…，此时符合()'2cos0xfxemxx=+−…在)0,+上恒成立；当120m+时，得12m−，()00,x

+，使得0()0hx=，故)00,xx时，()0hx，即()'0gx，()0,xx+时，()0hx，即()'0gx，故()gx在)00,x上单调递减，则当)00,xx时，()()00gxg=„，此时()'2cos0xfxemxx=+−„，不合题意；综上，实数m的取值范

围为12m−….16．已知函数1()2lnfxxxx=−−，21()(1)2xgxxeax=−−，Ra.对于任意12,(1,)xx+，且12xx，必有()()()()12120fxfxgxgx−−，则a的取值范围是__

_________.【解析】()fx定义城为(0,)+.22212(1)()10xfxxxx−=+−=.故()fx在(1,)+内单调递增.对于任意12,(1,)xx+，不妨设12xx，则()()120fxfx−.

故()()120gxgx−，()()12gxgx，()gx在(1,)+内单调递增.故()()0xxgxxeaxaex=−=−在(1,)+恒成立，即xae恒成立，可知ae.∴a的取值范围为(,

]e−.17．已知函数32()23fxxkxx=−+−在R上不单调，则k的取值范围是______.【解析】22()341fxxkx=−+，因为函数32()23fxxkxx=−+−在R上不单调，所以22

3410xkx−+=必有解，当223410xkx−+=只有一个解时，22()3410fxxkx=−+得出函数()fx在R上单调递增，与题干矛盾，故223410xkx−+=必有两个不等实根则()2044310k−−

，解得32k−或32k18．若实数()0,2a，()0,2b，则函数()232211432fxaxbxx=+−在区间()1,+单调递增的概率为___________.【解析】由题意222(

)40fxaxbx¢=+-?在(1,)+上恒成立，二次函数的对称轴是2202bxa=-<，因此()fx在(1,)+上单调递增，所以22(1)40fab¢=+-?，易知满足02,02ab的点(,)ab据区域为图中正方形OABC，面积

为224=，又满足2240ab+-?的(,)ab在正方形OABC在圆224xy+=外部的部分，面积为214244pp-?-，所以概率为44P−=．19．若函数()324132xafxxx=−++在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范围是___________.【解

析】函数()324132xafxxx=−++，'2()4fxxax=−+，若函数()fx在区间(1,4)上不单调，则()'240fxxax=−+=在(1,4)上存在变号零点，由240xax−+=得4axx=+，令4()gxxx=+，(1,4)x，'2(2)(2)()xxgx

x+−=，()gx在()1,2递减，在()2,4递增，而()422+42g==，()411+51g==，()444+54g==，所以45a.故答案为：()45，.四、解答题20．已知函数()31fxxax=−−.（1）若()fx在区间(1,)+上为增函数，求a的取值范围.（

2）若()fx的单调递减区间为(1,1)−，求a的值.【解析】（1）因为()23fxxa=−，且()fx在区间(1,)+上为增函数，所以()0fx在(1,)+上恒成立，即230xa−在(1，+∞)上恒成立，所以23ax在(1,)+上恒成立，所以3a，即a的取值

范围是(,3−（2）由题意知0a.因为()31fxxax=−−，所以()23fxxa=−.由()0fx，得33aax−，所以()fx的单调递减区间为(,)33aa−，又已知()fx的单调递减区间为(1,1)−，所以(,)33aa−=(1,1)−，所以13a=，即3a=.2

1．已知函数()lnafxxx=−.(1)若3a=−，求函数()fx的极值；(2)若函数()fx在3,ee上单调递增，求a的取值范围.【解析】(1)当3a=−时，3()ln(0)fxxxx=+，则'22133()xfxxx

x−=−=，令'()0fx=，得3x=，x，'()fx和()fx的变化情况如下表x(0,3)3(3,)+'()fx−0+()fx递减极小值递增所以当3x=时，()fx取得极小值(3)ln31f=+，无极大值(2)由()lnafxxx=−（0x

），得()'221axafxxxx+=+=（0x），当0a时，'()0fx，所以()fx在(0,)+上单调递增，所以()fx在3,ee上单调递增，当0a时，由'()0fx=，得xa=−，x，'()fx和()fx的变化情况如下表x(0,

)a−a−(,)a−+'()fx−0+()fx递减极小值递增因为()fx在3,ee上单调递增，所以ae−，得0ea−，综上，a的取值范围为[,)e−+22．已知aR，函数2()()e(xfxxaxxR=−+，e为自然对数的底数）．(1)当2a=时，求函数()fx

的单调递增区间；(2)若函数()fx在(1,1)−上单调递增，求a的取值范围；【解析】(1)当2a=时，2()(2)exfxxx=−+，2()(2)exfxx=−−令()0fx，得220x−，22x−()fx的单调递增区间是(2,2)−；(2)2()[(2)]

exfxxaxa=−+−+，若()fx在(1,1)−内单调递增，即当11x−时，()0fx…，即2(2)0xaxa−+−+…对(1,1)x−恒成立，即111axx+−+…对(1,1)x−恒成立，令111yxx=+−+，则2110(1)yx=++，1

11yxx=+−+在(1,1)−上单调递增，1311112y+−=+，32a…，当32a=时，当且仅当0x=时，()0fx=，a的取值范围是3,2+．23．已知函数1()xxfxaxe+=−．(1)若曲线()yfx=在点(0,(0))f处的切线方程为yxb=+，

求实数a，b的值；(2)若函数()fx在区间(0,2)上存在．．单调增区间，求实数a的取值范围；(3)若()fx在区间(0,2)上存在极大值，求实数a的取值范围（直接写出结果）．【解析】(1)因为1(1)()xxxxfxaaee−+=−=+，所以(0)fa=，因为

曲线()yfx=在点(0,(0))f处的切线方程为yxb=+，所以切线斜率为1，即1a=，(0)1fb=−=，所以1,1ab==−．(2)因为函数()fx在区间(0,2)上存在单调增区间，所以()0xxfxae=+在(0,2)上有解，即只需()fx在(0,2)上的最大值大于0

即可．令1()(),()xxxxhxfxahxee−==+=，当(0,1)x时，()0,()hxhx为增函数，当(1,2)x时，()0,()hxhx为减函数，所以，当1x=时，()hx取最大值1ae+，故只需10ae+

，即1ae−．所以实数a的取值范围是1,e−+．(3)212,−−ee24．1.已知函数()()31Rfxxaxa=−−.(1)若函数()fx在R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)若函数()fx的单调递减区间是()1,1−，求实数

a的值；(3)若函数()fx在区间()1,1−上单调递减，求实数a的取值范围.【解析】(1)易知()23fxxa=−.因为()fx在R上单调递增，所以()0fx恒成立，即23ax恒成立，故()

2min30ax=.经检验，当0a=时，符合题意，故实数a的取值范围是(,0−.(2)由（1），得()23fxxa=−.因为()fx的单调递减区间是()1,1−，所以不等式230xa−的解集为()1,1

−，所以-1和1是方程230xa−=的两个实根，所以3a=.(3)由（1），得()23fxxa=−.因为函数()fx在区间()1,1−上单调递减，所以()0fx在()1,1x−上恒成立，即23ax在()1,1x−上恒成立.又函数23yx

=在()1,1−上的值域为)0,3，所以3a.故实数a的取值范围是)3,+.25．已知函数22()ln()fxxaxaxaR=−+.（1）当1a=时，求函数()fx的最值（2）若函数()fx在区间[1,)+上是减函数，求实数a的取值范围.【解析】（1）当1a=时，

2()lnfxxxx=−+，则()()2211121()21xxxxfxxxxx+−−−=−+=−=−，当01x时，()0fx，当1x时，()0fx，所以当1x=时，()fx有最大值0，无最小值；（2）21()2fx

axax−=+，因为函数()fx在区间[1,)+上是减函数，所以21()20fxaxax=−+在区间[1,)+上恒成立，令()212gxaxax=−+，则()22120gxax=−−，所以()gx在区间[1,)+上递减，所以()()2max121gxgaa==

−++，则2210aa−++，即2210−−aa，即()()2110aa+−，解得12a−或1a，所以实数a的取值范围1(,][1,)2−−+.26．已知函数()22fxxaxx=−+.（1）当1a=时，求曲线()yfx=在点()()22f,处的切线方程；（2）若()22fxx

axx=−+在区间[0,1]上单调递增，求实数a的取值范围.【解析】（1）当1a=时，()22·21||()1fxxxxxx=+=−-，则2()341=−+fxxx，所以()(252,2)ff==，所以，所求切线方程为25(2)yx−=−，即580x

y−−=.（2）设()()2201gxxxax=+-，则()2(1)0gxx=−，所以()gx在0,1上单调递减，从而()()()10ggxg，即()1agxa-.（i）当1a时，()10gxa-，则()22()fxxxxa−=+，则2()34fx

xxa=−+，若()fx在0,1上单调递增，则2()340fxxxa=−+对于任意的0,1x恒成立，即234axx−+.因为2224343()33xxx−+=−−+，所以当23x=时，2434()3maxxx+=−，所以43a，又1a

，此时a的取值范围为4,3+（ii）当0a时，()0gx，则()2()2fxxxxa=−+−，则2()34fxxxa=−+−，若()fx在0,1上单调递增，则2()340fxxxa=−+−对于任意的0,1x恒成立，即234axx−+.因为2224343()

33xxx−+=−−+，所以当0x=时，2min340()xx+=−，所以0a，此时a的取值范围为(,0]−.（iii）当01a时，则存在唯一的()00,1x，使得()00gx=.当()100,xx时，()10gx，即存在()010,1xx，且10xx，使得()()10gxgx

，从而()()1100xgxxgx，即()()10fxfx，这与“()fx在0,1上为增函数”矛盾，此时不合题意.综上，实数a的取值范围(4,0,3−+27．已知函数()lnfxaxx=−，()e2axgxx=+，其中a

R．(1)当2a=时，求函数()fx的极值；(2)若存在区间(0,)D+，使得()fx与()gx在区间D上具有相同的单调性，求实数a的取值范围．【解析】(1)当2a=时，()2lnfxxx=−，定义域为(0,)+，则1()2fxx=−，故当10,2x时，()0fx

，()fx单调递减；当1,2x+时，()0fx，()fx单调递增．所以()fx在12x=处取得极小值，且11ln22f=+，无极大值．(2)由题意知，1()fxax=−，()e2

axgxa=+．当0a时，()0gx，即()gx在R上单调递增，而()fx在1,a+上单调递增，故必存在区间(0,)D+，使得()fx与()gx在区间D上单调递增；当0a=时，1(

)0fxx=−，故()fx在(0,)+上单调递减，而()gx在(0,)+上单调递增，故不存在满足条件的区间D；当0a时，1()0fxax=−，即()fx在(0,)+上单调递减，而()gx在12,lnaa−−上单调递减

，在12ln,aa−+上单调递增，若存在区间(0,)D+，使得()fx与()gx在区间D上有相同的单调性，则有12ln0aa−，解得2a−．综上可知，a的取值范围

为(,2)(0,)−−+．