【文档说明】山东省济宁市邹城市北大新世纪高级中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题word版含解析.docx，共(18)页，1.473 MB，由小赞的店铺上传

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2024年新高二开学考试数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数z满足i1iz−=+，则iz=（）A.2i+B.2i−C

.i−D.i【答案】B【解析】【分析】根据复数的四则运算法则计算可得结果.详解】由i1iz−=+可得12zi=+，所以()2212ii12ii2ii22iiii1z+++====−+=−−.故选：B2.有一组样本数据：15，16，11，11，14，20，

11，13，13，24，13，18，则这组样本数据的上四分位数是（）A.11B.12C.16D.17【答案】D【解析】【分析】将样本数据由小到大排列，结合上四分位数的定义可求得这组数据的上四分位数.【详解】将样本数据由小到大排列依次为：11，11，11，13，13，

13，14，15，16，18，20，24，因为上四分位数是第75%分位数，则1275%9=，所以这组数据的上四分位数为1618172+=.故选：D.3.从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取2个球，下列事件中与事件“至少有一个黄球”互为对立的是（）A.都蓝球B.都是黄球C.恰有一个蓝

球D.至少有一个蓝球【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用对立事件的意义判断即可.【是【详解】事件“至少有一个黄球”的对立事件是“没有黄球”，即都是“都是蓝球”，所以与事件“至少有一个黄球”互为对立的是“都是蓝球”.故选：A4.已知向量(1,2),(3,1)ab=−=−，则

a在b上的投影向量为（）A.31,22−B.1,12−C.525,55−D.31010,1010−【答案】A【解析】【分析】根据投影向量的公式求解.【

详解】根据题意，a在b上的投影向量为：5131,222||||1010abbbbbb===−.故选：A5.已知向量p在基底,,abc下的坐标是(2,3,1)−，则p在基底,,aabbc++下的坐

标为（）A.(2,4,1)−−B.(2,5,2)C.(2,5,1)−D.(2,4,1)−【答案】A【解析】【分析】由题意可知23pabc=+−，设p在基底,,aabbc++下的坐标为(),,xyz，

根据空间向量的坐标运算和空间向量基本定理列方程组即可求解.【详解】由题意可知23pabc=+−，设p在基底,,aabbc++下的坐标为(),,xyz，所以()()()()pxayabzbcxyayzbzc=++++=++++，所以223411xyxyzyzz+==−

+===−=−，所以p在基底,,aabbc++下的坐标为()2,4,1−−.故选：A6.如图，已知四棱锥MABCD−，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱长相等且为4，E为CD的中点，则异面直线CM与AE所成的角的余弦值为（）A.35B.9540C.515

D.3520【答案】D【解析】【分析】取MD有中点F，利用几何法，结合余弦定理求出异面直线夹角的余弦.【详解】取MD的中点F，连接,EFAF，由E为CD的中点，得//EFMC，122EFMC==，则AEF是异面直线CM与AE所成的角或其补角，正方形ABCD中，225AEADDE=

+=，在△MAD中，4MDMA==，112cos4ADADFMD==，2212222264AF=+−=，于是22254635cos220252AEEFAFAEFAEEF+−+−===，所以异面直线CM与AE所成的角的余弦值为3520.故选：D7.某学校兴趣学习小组从全年级抽查

了部分男生和部分女生的期中考试数学成绩，并算得这部分同学的平均分以及男生和女生各自的平均分，且男女生的平均分不相等，由于记录员的疏忽把人数弄丢了，则据此可确定的是（）A.这部分同学是高分人数多还是低分人数多B.这部分同学是男生多还是女生多C.这部

分同学的总人数D.全年级是男生多还是女生多【答案】B【解析】【分析】根据平均数意义可判断A；利用分层平均数公式可求出女生所占比例，可判断BC；分析题中样本的抽取方式可判断D.【详解】对于A，平均数描述平均水平，所以无法判断高分和低分人数，

A错误；对于B，设这部分同学的平均分为x，其中有男生m人，女生n人，平均分分别为12,xx，根据分层平均数公式有12112mnnnxxxxxxmnmnmnmn=+=−+++++，整理得()211nxxxxmn−=−+，即

121xxnmnxx−=+−，即根据两个平均数可求出这部分同学中女生所占比例，故B正确；对于C，由B可知，只能求出男女生所占比例，无法确定总人数，C错误；对于D，因为题干并没有告诉这部分学生的抽取是否按照比例抽取，所以无法全年级是男生多还是女生多，D错误.故选：B8.在ABCV

中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且()sinsinaAbcB=+，则abc−的取值范围是（）A.11,32B.1,13C.3,13D.31,32

【答案】A【解析】【分析】由()sinsinaAbcB=+，利用正弦定理得到()2abcb=+，再利用余弦定理结合两角和的正弦公式得到2AB=，进而得到π03B，然后利用正弦定理和三角恒等变换，由sinsinsinabABcC−−=12cos1B=+求解.【详解】解

：因为()sinsinaAbcB=+，由正弦定理得()2abcb=+，由余弦定理得()222cosbcbcAbcb+−=+，即2coscbbA−=，由正弦定理得sinsin2sincosCBBA−=，又

()()sinsinπsinsincoscossinCABABABAB=−+=+=+，所以sincoscossinsin2sincosABABBBA+−=，所以()sinsincossincossinBABBAAB=−=

−，又()0,πA，()0,πB，则()π,πAB−−，所以BAB=−或()πBAB+−=，即2AB=或πA=（舍去），则ππ3CABB=−−=−，所以02π,0π3π,BB−解得π03B，则1cos12B．所以()sinsinsin2sinsin2sinsin

sin3sin3abABBBBBcCBB−−−−===−，()2sincossin2sincossinsin2sin2coscos2sinBBBBBBBBBBBB−−==++，()()22sin2cos1111,2cos1322sincos2

cos1sinBBBBBBB−==++−，即abc−的取值范围是11,32．故选：A．【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是得到2AB=，从而利用02π0π3πBB−确定角B的范围，由此得解.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出

的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.体育教学是学校开展素质教育不可缺少的重要内容，对学生的发展有着不可忽视的重要作用.某校为了培养学生的竞争意识和进取精神，举行篮球定点投篮比赛.甲、乙两名同学每次各自投1

0个球，每人8次机会，每次投篮投中个数记录如下：同学第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次甲（投中个数）67564389乙（投中个数）84676575记甲、乙两名同学每次投篮投中个数的平均数分别为x甲、x乙，方差分别为2s甲、2s乙.则下

列结论正确的是（）A.xx甲乙B.xx=乙甲C.22ss甲乙D.22ss甲乙【答案】BD【解析】【分析】根据给定的数据，利用平均数、方差的定义计算判断即可.【详解】依题意，6756438968x+++++++==甲，8467657568x+++++++==乙，所以xx=乙甲，A错误，B正

确；2222222221[(66)(76)(56)(66)(46)(36)(86)(96)]3.58s=−+−+−+−+−+−+−+−=甲，2222222221[(86)(46)(66)(76)(66)(56)(76)(56)]1.58s=

−+−+−+−+−+−+−+−=乙，所以22ss甲乙，C错误，D正确.故选：BD10.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，P为线段11AC的中点，Q为线段1BC上的动点（不包括端点），则（）A.存在点

Q，使得//PQBDB.存在点Q，使得PQ⊥平面11ABCDC.三棱锥QAPD−的体积是定值D.二面角11QACD−−的余弦值为13【答案】BD【解析】【分析】A选项，由//PQBD推出//BD平面11ACB，矛盾；B选项，建立空间直角坐标系，证明出11ABAB⊥，111ABBC⊥，得到线面垂

直，进而当Q为1BC的中点时，1//PQAB，此时PQ⊥平面11ABCD，故B正确；C选项，假设体积为定值，得到1//BC平面APD，求出平面的法向量，证明出1//BC平面APD不成立，C错误；D选项，找到二面角的

平面角，利用余弦定理求出余弦值.【详解】对于A，若//PQBD，因为BD平面11ACB，PQ平面11ACB，所以//BD平面11ACB，矛盾，故A错误．对于B，以D为坐标原点，1,,DADCDD所在直线分别为,,xyz轴，建立空间

直角坐标系，设正方体棱长为2，则()()()()()1112,0,0,2,2,2,2,0,2,2,2,0,0,2,2ABABC，因为()()()()()()112,2,22,0,00,2,2,2,2,02,0,20,2,2ABAB=−==−=−，()()()110,2,22,2,22

,0,0BC=−=−，故()()110,2,20,2,2440ABAB=−=−=，()()1112,0,00,2,20BCAB=−−=，故11ABAB⊥，111ABBC⊥，因为1111ABBCB=，111,ABBC平面11ABCD

，故1AB⊥平面11ABCD，当Q为1BC的中点时，1//PQAB，此时PQ⊥平面11ABCD，故B正确．对于C，Q在线段1BC上运动，若三棱锥QAPD−的体积为定值，则1//BC平面APD，()()()()1,1,2,1,

1,22,0,01,1,2PAP=−=−，𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(2,0,0)，设平面APD的法向量为𝑚⃗⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则()()()(),,2,0,020,,1,1,220mDAxyzxmAPx

yzxyz====−=−++=，解得0x=，令1z=得2y=−，故()0,2,1m=−，故()()12,0,20,2,12BCm=−−=，故1BC与()0,2,1m=−不垂直，故1//BC平面APD不成立，故C错误；对于D，二面角11QACD−−即

二面角11BACD−−，连接BP，DP，BD，由于1111,ABCADC为等边三角形，则11BPAC⊥，11DPAC⊥，所以BPD为所求二面角的平面角，不妨设正方体的棱长为2，则1111,ABCADC的棱长为22，故6BPDP==，22BD=，由余弦定理可得2226681c

os23266BPDPBDBPDBPDP+−+−===，二面角11QACD−−的余弦值为13，故D正确．故选：BD11.掷一枚质地均匀的骰子两次，设A=“第一次骰子点数为奇数”，B=“第二次骰子点数为偶数”，C

=“两次骰子点数之和为奇数”，D=“两次骰子点数之和为偶数”，则（）A.C与D互为对立事件B.A与D相互独立C.1()4PAC=D.1()2PBD=【答案】ABC【解析】【分析】根据对立事件的定义即可求解A，利用列举法，求解对应事件包含的样本点，即可根据

古典概型的概率公式求解CD，结合独立事件的定义即可求解B.【详解】对于A,事件C与事件D不能同时发生，且并起来是全部的样本空间，故互为对立事件，A正确；对于B，抛掷一枚骰子两次的样本点数共36种，事件A的

样本点为()()()()()()()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6,()()()()()()5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6共18种，事件D的样本点为()()()()()()()()()()()()

1,1,1,3,1,5,2,2,2,4,2,6,3,1,3,3,3,5,4,2,4,4,4,6,()()()()()()5,1,5,3,5,5,6,2,6,4,6,6共有18种，事件AD的样本点为()()()()()()1,1,1,3,1,5,3,1,3,3,3,5,()()()

5,1,5,3,5,5共有9种，所以111(),(),()224PAPDPAD===,由于()()()PADPAPD=，故,AD相互独立，B正确，对于C，事件AC的样本点为()()()()()()1,2,1,4,1,6,3,2,

3,4,3,6,()()()5,2,5,4,5,6共9种，故1()4PAC=,C正确，对于D，事件BD的样本点为()()()()()()()()()()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,2,2,4,2,6,3,1,3,2,

3,3,3,4,3,5,3,6,()()()()()()()()()()()()4,2,4,4,4,6,5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6,6,2,6,4,6,6共27种，故273()364PBD==，故选：ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.

文以载道，数以忘忧，本学期某校学生组织数学知识竞答（满分100），并从中随机抽取了100名学生的成绩为样本，分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，得到如图所示频

率分布直方图：估计该校高二学生数学成绩的平均数为___________.【答案】75.5##1512【解析】【分析】由频率分布直方图的面积和为1求出a，再根据平均数计算公式求解即可.【详解】由频率分布直方图的

面积和为1得()100.0200.0350.0251aa++++=，解得0.01a=，所以该校高二学生数学成绩的平均数为550.1650.2750.35850.25950.175.5++++=.故答案为：75.5.13.在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中

，动点M，N分别在棱BC，AB上，且满足ANBM=，当1DMNBV−的体积最小时，1BM与平面1AMN所成角的正弦值是______．【答案】4515【解析】【分析】设()02ANxx=，结合等积法，可求出当1DMNBV−的体积最小时，M，N分别是所在棱的中点；法一，根据1111M

ABNBAMNVV−−=，可求出点1B到平面1AMN的距离为h，结合直线与平面所成角的集合法即可求解；法二，建立空间直角坐标系，应用向量法求解.【详解】设()02ANxx=，则()()()1111222222222222DMNSxxxxxx

=−−−−−=−−．由等体积法，得()112141412221333332DMNBBDMNDMNxxVVSxx−−−+===−−−=，当且仅当2xx−=，即1x=时，等号成立．所以当1DMNBV−的体积最小时，M，N分别是所在

棱的中点．方法一易知115ANBM==，13AM=，2MN=．由余弦定理，得()()22213252cos2232AMN+−==，所以12sin2AMN=，所以112323222AMNS==．设点1B到平面1AMN

的距离为h．根据1111MABNBAMNVV−−=，得11132213232h=，解得43h=．所以1BM与平面1ANM所成角的正弦值为14453155hBM==．方法二以点D为原点，以DA，DC，1DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则

()2,1,0N，()1,2,0M，()12,0,2A，()12,2,2B．所以()1,1,0MN=−，()11,2,2AM=−−，()11,0,2MB=．设平面1AMN法向量为𝑛⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，

则10,0,nMNnAM==即0,220.xyxyz−=−+−=令1x=，得1y=，12z=，则11,1,2n=．设1BM与平面1AMN所成的角为，则112122222111102452sincos,151111022nMBnMBnMB++=

===++++．故答案为：451514.如图，在四边形ABCD中，ABCV的面积为()222134SACABBC=−−，记ACD的面积为2S，3CDBC=，设30CAD=，120BCD=，若存在常数，

使12SS=成立，则的值为___________的【答案】333−【解析】【分析】利用余弦定理及三角形面积公式，求得tanB的值，得ABC的大小，再设ACB=，利用正弦定理得关于的代数式，解出，利用三角形面积公式，求出的值.【详解】在ABCV中

，由余弦定理，2222cosACABBCABBCB=+−，因为222131()sin42SACABBCABBCB=−−=，所以3cossinBB−=，即tan3B=−，又因(0,180)B，所以120

ABC=.设ACB=，则120ACD=−，30D=+，60CAB=−，在ACD中，由正弦定理，sinsinCDACCADD=，在ABCV中，由正弦定理，sinsinBCACCABB=，两式作商，得1sin(60)sin(30)cos(30)sin(30)4

−+=++=，即1sin(602)2+=，因为(0,120)，所以602150+=，45=，11sin452SACBC=，21sin(12045)2SACDC=−，假设12SS=，所以1213212()2222222ACB

CACDC=+，解得333−=.故答案为：333−四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知平行四边形ABCD中，4,2,120ABBCDAB===，点E是线段BC的中点.为（1）求ABAD

的值；（2）若AFAEAD=+，且BDAF⊥，求的值.【答案】（1）4−（2）2【解析】【分析】（1）根据数量积的定义即可求解，（2）根据向量的线性运算以及数量积的运算律即可求解.【小问1详解】1cos4242ABADABADDAB==−=−【小问2详解

】BDADAB=−，11()22AFAEADABADADABAD=+=++=++，,0BDAFBDAF⊥=，22111022ADABABAD+−+−+=，即()114164022

+−+−−=，解得：2=.16.已知函数()()425xxfxaaa=−−+R.（1）若2a=，求()fx在区间1,1−上的最大值和最小值；（2）若()0fx在(),−+上恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）()min2fx=，()max3fx=（2）(,26

2−−【解析】【分析】（1）利用换元法及二次函数的性质计算可得；（2）参变分离可得621221xxa++−+在R上恒成立，利用基本不等式求出62121xx+++的最小值，即可求出参数的取值范围.【小问1详解】若2a=，()()242232223xxxxfx=−+=−

+，1,1x−，令2xu=，因为1,1x−，所以1,22u，令()()222312guuuu=−+=−+，1,22u，则()gu在(12,1)上单调递减，在()1,2上单调递增，又()1

2g=，()23g=，1924g=，所以()min2gu=，()max3gu=，所以()()min02fxf==，()()max13fxf==；【小问2详解】因为()0fx在(),−+上恒成立，即()()2212216456212212121xx

xxxxxa+−+++==++−+++在R上恒成立，又()6621222122622121xxxx++−+−=−++，当且仅当62121xx+=+，即()2log61x=−时等号成立，所以262a−，即a的取值范围是(,262−−.17.已知在AB

CV中，2,CACBABC=−△的面积为3．（1）求角C的度数；（2）若2,,BCDE=是AB上的动点，且DCE始终等于30，记CED=．当DE取到最小值时，求的值．【答案】（1）120C=；（2）75．【解析】【分析】（1）

设,CAbCBa==，则1cos2,sin32abCabC=−=求解即可；（2）根据三角形面积公式结合正弦定理得到13sin(260)2DE=−+，根据角的范围求解即可．【小问1详解】设,CAbCBa==，则cos2abC=−，又1sin32abC=，因此tan3C=−，由C

为ABCV的内角，所以120C=.【小问2详解】由（1）知，1sin12032ab=，又2a=，则2b=，因此2,30CACBAB====，在ACE△中，由正弦定理得sinsin30CACE=，即1sinCE=，在CDE中，由正弦定理得

sinsin30CEDECDE=，2sin3011sin2sinsin(150)sincos3sinCEDECDE===−+111333sin2cos2sin(260)2222=

=−+−+，显然30120，则有0260180−，因此当sin(260)1−=时，DE取到最小值，此时26090−=，即75=，所以的值75.18.已知()()2sinfxx=+，其中0，π2.（1）若π4

=，函数𝑦=𝑓(𝑥)的最小正周期T为4π，求函数𝑦=𝑓(𝑥)的单调减区间；（2）设函数𝑦=𝑓(𝑥)的部分图象如图所示，其中12ABAC=，()0,3D−，求函数的最小正周期T，并求𝑦=𝑓(𝑥)的解析式.【答案

】（1）()π5π4π,4π22kkkZ++（2）4T=，()ππ2sin23fxx=−.【解析】【分析】（1）根据2πT=求出，求出()fx的解析式，利用整体代换法计算即

可求解；（2）由图可知,42TAB=−−，,42TAC=−，利用平面向量数量积的定义和坐标表示求出4T=，进而求，将点D代入解析式计算即可求解.【小问1详解】由题，2π4πT==，解得12=，故()1π2sin24fxx=+.令()π1π

3π2π2π2242kxkk+++Z，所以()fx的单调减区间为()π5π4π,4π22kkk++Z.【小问2详解】由题，可得,42TAB=−−，,42TAC=−，因此，2164TABAC=−+，又12ABAC=，

得4T=.由2π4T==，得π2=.再将()0,3D−代入𝑦=𝑓(𝑥)，即2sin3=−.由π2，解得π3=−.因此𝑦=𝑓(𝑥)的解析式为()ππ2sin23fxx=−.19.已知函数21()ln(1)2fxxaxx=−−+，其

中实数0a.（1）求()fx在0x=处的切线方程；（2）若()fx在[0,)+上的最大值是0，求a的取值范围；（3）当0a=时，证明：()1exfxx−−.【答案】（1）0y=；（2）1a；（3）证明见解

析.【解析】【分析】（1）求出函数()fx的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.（2）按0,01,1aaa=分类，利用导数探讨函数()fx的单调性，确定最值情况即可.（3）把0a=代入，等价变形不等式，再构造函数()()1eln1xgxx−=

−+，利用导数求出最小值并判断大于0即可.【小问1详解】函数21()ln(1)2fxxaxx=−−+，求导得1()11fxaxx=−−+，则(0)0f=，而(0)0f=，所以函数()fx图象在0x=处的切线方程为0y=.【小问2详解】当0x时，21()ln(1)2fxxaxx

=−−+，(1)()1xaxafxx+−=−+，当0a=时，()0fx，当且仅当0x=时取等号，函数()fx在[0,)+上单调递增，无最大值；当01a时，由()0fx，得10axa−，函数()

fx在1[0,)aa−上单调递增，1(0,)axa−，()(0)0fxf=，则0不可能是()fx在[0,)+上的最大值；当1a时，()0fx恒成立，当且仅当0x=时取等号，因此函数()fx在[0,)+上单调递减，[0,)x+，(

)(0)0fxf?，即0是()fx在[0,)+上的最大值，所以a的取值范围1a.【小问3详解】当0a=时，()ln(1)fxxx=−+，不等式()()11eeln10xxfxxx−−−−+，令函数()()1eln1xgxx−=−+，求导得()11e1xgxx

−−=+，显然函数()gx在(1,)−+上单调递增，而11(0)10,(1)0e2gg=−=，则存在0(0,1)x，使得00()gx=，即()010001e1ln11xxxx−=−=−++，

当01xx−时，()0gx，当0xx时，()0gx，即函数()gx在0(1,)x-上单调递减，在0(,)x+上单调递增，因此()()()010000min0011eln1112011xgxgxxxxxx−==−+=+−

=++−++，所以()1eln10xx−−+恒成立，即()1exfxx−−成立.