【文档说明】山西省晋城市一中教育集团南岭爱物学校2022-2023学年高二上学期第五次调研考试数学试题 含解析.docx，共(19)页，1.320 MB，由小赞的店铺上传

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2021级南岭爱物高二（上）第五次调研考试试题数学本试卷满分150分，考试时间120分钟.请将全部答案按要求写在答卷纸上.第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本大题共8道小题，每小题5分，共计40分）1.已知复数z满足()34i25z+=（i为虚数单位），则复数z的共轭复数z=（）A

.34i−−B.34i−+C.34i−D.34i+【答案】D【解析】【分析】由复数的除法运算与共轭复数的定义求解即可【详解】因为()34i25z+=，所以()()()2534i2534i34i34i34iz−===−++

−，所以z=34i+，故选：D2.已知(1,0,1)a=，(2,1,1)b=，则向量a与b的夹角为（）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】A【解析】【分析】利用空间向量夹角公式即可求解【详解】由(1,0,1)a=，(2,1,1)b=，所以co

s,ababab=222222120111101211++=++++32=又,0,πabrr所以a与b的夹角为π6故选：A3.记nS为等差数列na的前n项和.若12a=−，262aa+=，则9S=（）A.-54B.-18C.18D.36【

答案】C【解析】【分析】根据题意求出公差，再根据等差数列的前n项和公式即可得解.【详解】解：设公差为d，则26126462aaadd+=+=−+=，解得1d=，所以3nan=−，所以()()19999261822aaS+−+===.故选：C.4

.已知双曲线E：2214xym−=的一条渐近线方程为320xy+=，则双曲线的焦距为（）A.4B.6C.213D.13【答案】C【解析】【分析】由渐近线方程求得m的值，再由222cab=+求得c的值，进而可得焦距2c的值.【详解】由320xy

+=可得9m=，即3b=，所以22213cab=+=，2213c=，故选：C.5.公园中有一块如图所示的五边形荒地，公园管理部门计划在该荒地种植126棵观赏树，若1至6六个区域种植的观赏树棵数成等比数列，且前3个区域共种植14棵

，则第5个区域种植的观赏树棵数为（）A.16B.28C.32D.64【答案】C【解析】【分析】根据题意，利用等比数列的求和公式，列出方程组，求得1,aq，进而求得第5个区域种植观赏树的棵数，得到答案．【详解】由题意，设等比数列na

首项为1a，公比为q，可得()311141aqq−=−且()6111261aqq−=−，所以633112619114qqq−=+==−，解得12,2aq==，则452232a==，即第5个区域种植32棵．故选：C.6.已知圆221:4Oxy+=和圆()()2

22:11Oxya−++=的公共弦所在直线经过原点，则实数a的值为（）A.6B.4C.6−D.4−【答案】A【解析】【分析】将两圆方程对应相减可得两圆公共弦所在直线方程，再结合公共弦所在直线经过原点即可求解.【详解】两圆方程对应相减可得两圆公共弦所在直线方程

为：()()2222114xyxya+−−−+=−，即2260xya−−+=，因为公共弦所在直线经过原点，所以60a−+=，即6a=.故选：A.7.已知数列na是等比数列，261033aaa=，数列nb是等差数列，16116bbb++=，则的4839aa

bb+的值是()A.32B.34C.32D.34【答案】B【解析】【分析】根据等差数列和等比数列下标和性质即可求解.【详解】na为等比数列，261033aaa=，的26633aa=，63a=，24863aaa

==；nbQ为等差数列，16116bbb++=，636b=，62b=，39624bbb+==，∴483934aabb=+.故选：B.8.若直线(4)2ykx=−+与曲线24xy=−恰有两个交点，则实数k的取值范围是（）A.41,3B.40,3C.5

1,3D.50,3【答案】A【解析】【分析】如图，直线(4)2ykx=−+恒过点(4,2)P，曲线24xy=−表示出以(0,0)O为圆心，2为半径的右半圆，求出直线与圆相切时的斜率和直线过点A的斜

率，从而可求出答案.【详解】如图，直线(4)2ykx=−+恒过点(4,2)P，曲线24xy=−表示出以(0,0)O为圆心，2为半径的右半圆，设直线与半圆相切于点C，则24221kk−+=+，解得=0k（舍去）或43k=，所以43PCk=，因为(4,2)P，(0,2)A

−，所以2(2)140PAk−−==−，因为直线(4)2ykx=−+与曲线24xy=−恰有两个交点，所以PAPCkkk，所以413k，故选：A二、多选题（本大题共4道小题，每小题5分，共计20分.每小题完全选择正确得5分，少选漏选得3分，错选不得分）9.已知等差数列

na的前n项和为nS，且10a，4110aa+，780aa，则（）A.数列na是递增数列B.96SSC.当7n=时，nS最大D.当0nS时，n的最大值为14【答案】BCD【解析】【分析】利用等差数列的性质可知41817aaaa=++，进而得出0d，

780,0aa，依次判断各选项即可得出结果.【详解】等差数列na中，4110aa+，41817aaaa=++，10a，780aa780,0aa，公差0d，数列na是递减数列，A错误96789830SSaaaa−=++=

，96SS，B正确.780,0aa，数列na是递减数列，当7n=时，nS最大,C正确.4110aa+,780,0aa()()144111141414022aaaaS=++=,()15181515152022aaaS+==.当0nS时，n的最大值为14,D正确

.故选:BCD.10.（多选）已知圆()()22:1225Cxy−+−=，直线()():211740lmxmym+++−−=.则以下几个命题正确的有（）A.直线l恒过定点()3,1B.圆C被y轴截得的弦长为46C.直线l与圆C恒相交D.直线l被圆C截得最长弦长时，直线l的方程为250x

y−−=【答案】ABC【解析】【分析】求出直线所过定点坐标，再根据直线与圆的位置关系判断．【详解】直线l方程整理得(27)40mxyxy+−++−=，由27040xyxy+−=+−=，解得31xy==，∴直线l过定点(3,1)P，A正确；在圆方程中令0

x=，得21(2)25y+−=，226y=，∴y轴上的弦长为46，B正确；22(31)(12)525−+−=，∴(3,1)P在圆内，直线与圆一定相交，C正确；直线l被圆C截得弦最长时，直线过圆心(1,2)，则(21)2(1)

740mmm+++−−=，13m=−，直线方程为1250333xy+−=，即250xy+−=．D错．故选：ABC．【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系，直线过定点问题．（1）直线方程整理为关于参数的方程，然后由恒等式知识可得定点坐标．（2）直线与圆的位置关系的判断，若直线所过定点在圆

内，则直线与圆相交，若定点在圆上，则直线与圆相交或相切，定点在圆外，直线与圆的三种位置关系都有可能．（3）直线过圆心时弦长最长，直线所过定点是弦中点时，弦长最短．11.设有一组圆kC：22()()4x

kyk−+−=()kR，下列命题正确的是（）A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上B.所有圆kC均不经过点(30)，C.经过点(22)，的圆kC有且只有一个D.所有圆的面积均为4π【答案】ABD【解析】【分析】A选项，圆心坐标为(),kk，故在直线yx=上

；B选项，代入(30)，得到一元二次方程，由根的判别式判断；C选项，代入(22)，得到一元二次方程，由根的判别式进行求解；D选项，由半径为2求出面积为4.【详解】A选项，圆心为(),kk，一定在直线yx=上，A正确；B

选项，将(30)，代入得：22650kk−+=，其中40=−，方程无解，即所有圆kC均不经过点(30)，，B正确；C选项，将(22)，代入得：2420kk−+=，其中16880=−=，故经过点(22)，的圆kC有两个，故C错误；所有圆的半径为2，面

积为4.故选：ABD12.设1F，2F是双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左､右焦点，过1F作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H，且l与双曲线右支相交于点P，若12FHHP=，且25PF=，则下列说法正确的是（）A.2F

到直线l的距离为aB.双曲线的离心率为132C.12PFF△的外接圆半径为5132D.12PFF△的面积为18【答案】BD【解析】【分析】根据题意可求得1FHb=，作21FGFH⊥，由O为12FF的中点，可得222FGOHa==，可判断A；根据三角形中位线以及12FHHP=，可求得1FHGH

GPb===，然后根据25PF=及双曲线的定义可得1253PFab=+=，再结合勾股定理即可求得a，b，c的值，即可判断BD；根据正弦定理可判断C.【详解】根据题意设()1,0Fc−，()2,0Fc，且222+=abc.取双曲线C的一条渐近线为byxa=−，则1F到byxa=−的距离为2

2bcdbab−==+，作21FGFH⊥，如图所示：则1FHb=，22OHcba=−=，∵2//OHFG，O为12FF的中点，∴222FGOHa==，且H为1FG的中点，则2F到直线l的距离为2a，故A错误；∵12FHHP=，H为1FG的中点∴1FHGHGPb

===，∵25PF=，∴1253PFab=+=，在2RtPGF中，22222PGGFPF+=，即22425ba+=，则22254253aa++=，解得2a=或52−（舍），∴3b=，则222313c=+=，即双曲线的离心率为1

32，故B正确；设12PFF=，12PFF△得外接圆半径为R，则12sin13OHOF==，∴由正弦定理得2551322sin213PFR===，即5134R=，故C错误；∵1339PF==，2224FG==，∴12PFF△的面积为

12194182PFFS==，故D正确.故选：BD.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13.两平行线340xy+−=，2100xmy+−=的距离为______．【答案】1

010【解析】【分析】由两线平行求得参数，再由两平行线距离公式即可求.【详解】由两线平行得1346210mm−==−，故直线26100350xyxy+−=+−=，故两线距离为()2245101013−−−=+.故答案为：101014.将一张坐标纸折叠一次，使点()1,0与()5

,6−重合，求折痕所在的直线方程是______.【答案】50xy−+=【解析】【分析】利用折痕所在直线与两点连线垂直可得所求直线斜率，利用中点在折痕所在直线上可得所求直线方程.【详解】解：点()1,0与点()5,6−连线斜率60151k−==−−−，折痕所在直线斜率1k

=，又点()1,0与点()5,6−的中点为()2,3−，折痕所在直线方程为：32yx-=+，即50xy−+=，故答案为：50xy−+=15.若数列na的通项公式是()()132nnan=−−，则1220aaa+++等于___________.【答案】30【解

析】【分析】由通项公式可得2213nnaa−+=，从而数列项两两结合进行求和.【详解】解：由题意，数列na的通项公式是()()132nnan=−−，则()22162653nnaann−+=−−−=，所以()

()()12201234192010330aaaaaaaaa+++=++++++==.故答案为:30.【点睛】方法点睛:求和的常见方法有：等差、等比数列公式法；错位相减法；裂项相消法；并向求和法等.16.已知数列na对任意的*Nn，都

有*Nna，且131,,2nnnnnaaaaa++=为奇数为偶数，当116a=时，2022a=______.【答案】4【解析】【分析】通过计算发现数列从第三项起为周期数列，则得到20223aa=，计算出3a即可.【

详解】根据题意知116a=是偶数，1216822aa===是偶数，238422aa===是偶数，344222aa===是偶数，451222aa===是奇数，65313114aa=+=+=是偶数，72a=是偶数，81a=奇数，L从第三项开始，正整数数列na是以3为周期的周期数

列，2022236731=++，232024aa==，故答案为：4.四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分）17.已知数列na中，111,34nnaaa+==+．是（

1）求证：数列2na+是等比数列；（2）求数列na的通项公式．【答案】（1）见解析；（2）32nna=−【解析】【分析】（1）构造123(2)nnaa++=+即可证明；（2）由（1）利用等比数列通项公式即可求解【详解】（1）123(2)nna

a++=+首项123a+=则2na+是首项为3，公比为3的等比数列.（2）由（1）23nna+=，故32nna=−【点睛】本题考查等比数列的证明，通项公式，是基础题.18.已知数列{}na满足21nnSan+=+.（1）写出123,,aaa，并推测na的

表达式；（2）用数学归纳法证明所得的结论．【答案】（1）12337151,,,22482nnaaaa====−;（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）分别将1n=、2、3代入递推式中求123,,aaa，进而总结归纳出na的表达式；（2）应用数学归纳法，首先判断1

n=时na是否成立，再假设nk=时122kka=−成立，最后结合已知条件推导出1nk=+时11122kka++=−成立即可.【小问1详解】1n=时，11123Saa+==，则132a=，2n=时，221225Saaa+=+=，则274a=，3n=时，3312327Saaaa+=++

=，则3158a=，猜想122nna=−.【小问2详解】由（1）得：1n=时，113222a=−=成立．假设nk=*(1,N)kk时，122kka=−成立，那么当1nk=+时，11122(1)1kkkkSaSak++++=+=++，而21kkSka=+−，所以121223kkkaak++

−+=+，即1111222kkkaa++=+=−，故1nk=+时，122nna=−也成立．综上，对一切n∈N*，122nna=−都成立，得证．19.已知定点()4,0A和曲线21:12Cyx=−上的动点B；（1）求线段AB的中点P的轨迹方程；（

2）求直线12yx=+被曲线C截得线段MN长.【答案】（1）2742yxx=−+；（2）42.【解析】【分析】（1）设()00,Bxy，(),Pxy，从得到00242xxyy=−=，代入曲线C，得到P的轨迹方程；（2）直线与曲线C联立，得到,MN的坐标，从

而得到MN的长.【详解】（1）设()00,Bxy，(),Pxy，定点()4,0A，P为AB中点，所以有004202xxyy+=+=所以00242xxyy=−=，因为()00,Bxy在曲线21:12Cyx=−上，的所以()2122412yx=−−，整理得P的轨迹方程为2

742yxx=−+.（2）直线与曲线C联立212112yxyx=+=−，解得372xy==，112xy=−=−所以73,2M，11,2N−−，所以()2271314222MN=+++=.【点睛】

本题考查求动点的轨迹方程，求直线与曲线的交点，两点间距离公式，属于简单题.20.已知四边形ABCD是边长为2的正方形，△P'AB为等边三角形（如图1所示），△P'AB沿着AB折起到△PAB的位置，且使平面PAB⊥平面ABCD，M是棱AD的中点（如图2所示）．

（1）求证：PC⊥BM；（2）求直线PC与平面PBM所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）104【解析】【分析】（1）取AB中点O，CD中点E，连接PO，OE，可证OB、OE、OP两两垂直，从而建立如图所示的空间直角坐标

系，利用向量的数量积为0可证PC⊥BM；（2）求出直线方向向量和法向量后可求线面角的正弦值，从而可求余弦值.【小问1详解】取AB中点O，CD中点E，连接PO，OE，因为ABCD是正方形，△PAB为等边三角形，所以OE⊥AB

，PO⊥AB，的又因为平面PAB⊥平面ABCD，PO平面PAB，平面PAB平面ABCDAB=，故PO⊥平面ABCD，而OE平面ABCD，所以PO⊥OE，所以OB、OE、OP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则P（0，0，3），C（1，2，0），B（1，0，0），M（﹣1，1，0）

，()1,2,3PC=−，()2,1,0BM=−，所以0PCBM=，所以PC⊥BM；【小问2详解】由（1）知()1,2,3PC=−，()2,1,0BM=−，()1,0,3BP=−，设平面PBM的法向量为(),,nxyz=，故00nBMnBP==即2

030xyxz−+=−+=，令3x=，1,23zy==.则()3,23,1n=，设PC与平面PBM成角为θ，故436sin4422nPCnPC===，因为为锐角，故210cos1sin4=−=．21

.等差数列na的公差d不为0，满足512613,,,aaaa=成等比数列，数列nb满足2122232123loglogloglog2nnnbbbb++++=.（1）求数列na与nb的通项公式：（2）若nnncab

=，求数列nc前n项和nS.【答案】（1）32nan=−，4nnb=（2）1(1)44nnSn+=−+的【解析】【分析】（1）根据等比中项的性质及等差数列的通项公式得到方程求出公差d，即可求出na的通项公式，由2122232123logloglogl

og2nnnbbbb++++=，当1n=时，求出1b，当2n时2122232112311loglogloglog2nnnbbbb−−−++++=，两式作差，即可求出nb；（2）由（1）可得(32)4nncn=−，利用错位相减法求和即可；【小问

1详解】解：由已知2216aaa=，又513a=，所以()()()255534adadad−=−+故2(133)(134)(13)ddd−=−+解得0d=（舍去）或3d=∴3(3)32naandn=+−=−∵2122

232123loglogloglog2nnnbbbb++++=①故当1n=时，可知212111log2log2bb==，∴14b=，当2n时，可知2122232112311loglogloglog2nnnbbbb−−−

++++=②①−②得221log2log2nnnbnb==∴4nnb=又1b也满足4nnb=，故当nN时，都有4nnb=；【小问2详解】解：由（1）知(32)4nnnncabn==−，故1211444(35)4(32)4nnnSnn−=+++−+−③，∴21414(35)4

(32)4nnnSnn+=++−+−④，由③−④得()231343444(32)4nnnSn+−=++++−−()21141443(32)414nnn−+−=+−−−整理得1(1)44nnSn+=−+.22.已知圆C的圆心在直线230xy

−+=上，且圆C经过()2,0P，()3,3Q两点.（1）求圆C的标准方程.（2）设直线:2lykxm=++与圆C交于A，B（异于坐标原点O）两点，若以AB为直径的圆过原点，试问直线l是否过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由.【答案】（1）()()2212

5xy−+−=（2）过定点，定点为()1,2【解析】【分析】（1）设出圆C的标准方程，由题意列出方程()()()()222222230,20,33,ababrabr−+=−+−=−+−=从而可得答案.（2）设()11,Axy

，()22,Bxy，将直线l的方程与圆C的方程联立，得出韦达定理，由条件可得0OAOB=uuruuur，从而得出答案.【小问1详解】设圆C的标准方程为()()()2220xaybrr−+−=由题意可得()()()(

)222222230,20,33,ababrabr−+=−+−=−+−=解得1a=，2b=，5r=.故圆C的标准方程为()()22125xy−+−=.【小问2详解】设()11,Axy，()22

,Bxy.联立()()222,125,ykxmxy=++−+−=整理的()()2212140kxkmxm++−+−=()()()222414140kmkm=−−+−，则()122211kmxxk−+=−

+，212241mxxk−=+，故()()()()()22121212122222yykxmkxmkxxkmxxm=++++=+++++.因为以AB为直径的圆过原点，所以12120OAOBxxyy=+=uuruuur，即()()()()2212121220kxxkmxxm

++++++=则()()()()22222214122011kmmkkmmkk−−+++−++=++，化简得()()220mmk++=.当2m=−时，直线:lykx=，直线l过原点，此时不满足以AB为直径的圆过原点.所以2m−，则mk=−，则直线():212lykxkk

x=−+=−+过定点()1,2.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com