【文档说明】【精准解析】宁夏回族自治区银川一中2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题.doc，共(18)页，1.349 MB，由小赞的店铺上传

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银川一中2019/2020学年度（下）高一期末考试数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1.下列四个命题：①若ab，则11ab；②若abc，则cab；③若ab，则22abcc；④若ab，cd，则acbd−−．其中真命题的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】A【

解析】【分析】分别对四个命题进行判断，通过举例证明错误的命题不成立，通过不等式的性质证明正确的命题，从而得到答案.【详解】命题①中若0,0ab,则110ab，故错误；命题②，若0b，则由abc，得

到cab故错误；命题③，2c在分母，所以20c，因此20c，所以可以由ab，得到22abcc，故正确；命题④，若,acbd==，则acbd−=−，所以错误；故选A项【点睛】本题考查判断命题的正确，不等式的性质，属于简单题.2.设x，y满足约束条件326

000xyxy+−，则z=x-y的取值范围是A.[–3,0]B.[–3,2]C.[0,2]D.[0,3]【答案】B【解析】作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示.目标函数即yxz=−，易知直线yxz=−在y轴上的截距最大时

，目标函数zxy=−取得最小值；在y轴上的截距最小时，目标函数zxy=−取得最大值，即在点()0,3A处取得最小值，为min033z=−=−；在点()2,0B处取得最大值，为max202z=−=.故zxy=−的取值范围是[–3,2].所以选B.【名师点

睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即运用数形结合的思想解题.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点处或边界上取得.

3.已知数列na满足212nnnaaa+++=（*nN）,且32a=，58a=，则7a=（）A.12B.13C.14D.15【答案】C【解析】【分析】由递推关系式可知数列na为等差数列，根据3a和5a

求得公差d；利用734aad=+求得结果.【详解】由212nnnaaa+++=得：211nnnnaaaa+++−=−na为等差数列5332aad−==73421214aad=+=+=本题正确选项：C【点睛】本题考查利用递推

关系式证得等差数列，进而求解等差数列中的项的问题，关键是能够将递推公式化为符合等差数列定义的形式，证得数列为等差数列.4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次

日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A.96里B.48里C.192里D.2

4里【答案】A【解析】【分析】根据题意,此人每天走的路程构成了公比12q=的等比数列,再根据求和公式列式求解即可.【详解】由题意可知,此人每天走的路程构成了公比12q=的等比数列,设该数列为na,其前n项和为nS则有6161(1())

2378112aS−==−,解得1192a=,故2196aaq==,故选:A.【点睛】本题考查了等比数列的相关知识,能读懂题识别该模型为等比数列是解题关键.5.在正项等比数列na中，374aa=，数列2l

ogna的前9项之和为（）A.11B.9C.15D.13【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的性质91295=aaaa，即可解出答案．【详解】2375542aaaa===92122292129252log+log++log=log()log9log29

aaaaaaa===故选B【点睛】本题考查等比数列的性质，同底对数的运算，属于基础题．6.下列函数的最小值为2的是（）A.1yxx=+B.1sin(0)sin2yxxx=+C.22122yxx=+++D.1tan(0)tan2y

xxx=+【答案】D【解析】【分析】对各选项一一分析是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正，二定，三相等”.【详解】对于A.1yxx=+,当0x时，0y，所以最小值为不是2，A错误；对于B.1sin0sin0sin2yxxxx=+

，，所以11sin2sin2sinsinxxxx+=时，即sin1x=，此时无解，所以原式取不到最小值2，B错误.对于C.221222yxx=+++，当且仅当222x+=，此方程无解，则y的最小值取不到2，C错

误；对于D,1tan(0)tan?2yxxx=+，因为tan0x，所以11tan2tan2tantanxxxx+=，当且仅当tan1x=，即4x=时，y有最小值2，满足，D正确；故选：D.【点睛】本题考查了使用

基本不等式的应用条件，属于基础题.7.设数列na前n项和为nS，已知3=−nnSan，则3=a（）A.98B.158C.198D.278【答案】C【解析】【分析】利用3=−nnSan得出1231nnaa−=+，先求出1a，再利用递推式求出3a即可.【详解】解：当2n时，113

3(1)nnnnnaSSanan−−=−=−−−−，整理得1231nnaa−=+，又11131Saa==−，得11a2=，21323112aa=+=+，得254a=，321523114aa=+=+，得3198a=，故选：C.【点睛】本题考

查数列递推式的应用，是基础题.8.已知数列na的通项公式为262nan=−，要使数列na的前n项和nS最大，则n的值为A.14B.13或14C.12或11D.13或12【答案】D【解析】【分析】由题可得：

数列na是以124a=为首项，公差2d=−的等差数列，即可求得225nSnn=−+，利用二次函数的性质即可得解．【详解】因为262nan=−，所以数列na是以124a=为首项，公差2d=−的等差

数列，所以()211252nnnnadnnS−=+=−+由二次函数的性质可得：当13n=或12时，nS最大故选D【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及等差数列的前n项和公式，还考查了二次函数的性质及计算能力，属于中档题．9.设数列na的前n项和为

nS，若2，nS，3na成等差数列，则5S的值是（）A.243−B.242−C.162−D.243【答案】B【解析】【详解】因为2,,3nnSa成等差数列，所以223nnSa=+，当1n=时，111223,2Saa=+=−；当2n时，1113333112222nnnnnnnaSS

aaaa−−−=−=+−−=−，即11322nnaa−=，即()132nnana−=，数列na是首项12a=−，公比3q=的等比数列，()()55151213242113aqSq−−−===−−−，故选B.10.不等式210xax++对于一

切10,2x成立，则a的最小值为（）A.52B.52−C.2D.2−【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的性质求解，即记2()1=++fxxax，由1(0)0,02ff求出不等

式恒成立的必要条件，再在必要条件中验证其中的最小值也是充分的即得．【详解】记2()1=++fxxax，不等式210xax++对于一切10,2x成立，则必须有(0)1011110242ffa=

=++，解得52a−，52a=−时，22559()1()2416fxxxx=−+=−−，在10,2上单调递减，min1()()02fxf==，满足题意，∴a的最小值是52−．故选：B．【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立问题，解题时可结合二次函数的

性质求解．11.已知0,0xy，且11112xy+=+，则xy+的最小值为()A.3B.5C.7D.9【答案】C【解析】【分析】运用乘1法，可得由x+y＝（x+1）+y﹣1＝[（x+1）+y]•（111xy++）﹣1，化简整理再由基本不等式即可得到最小值．【详解】由x+y＝（x+1）+y﹣1

＝[（x+1）+y]•1﹣1＝[（x+1）+y]•2（111xy++）﹣1＝2（2()11xyxy+++−+）1≥3+4()11xyxy+=+7．当且仅当x3=，y＝4取得最小值7．故选C．【点睛】本题考查基本不等式的运用

：求最值，注意乘1法和满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题．12.设等比数列na的公比为q，其前n项的积为nT，并且满足条件11a，9910010aa−，99100101aa−−．给出下列结论：①01q；②9910110aa−；③100T的值是nT中最大

的；④使1nT成立的最大自然数n等于198其中正确的结论是（）A.①③B.①④C.②③D.②④【答案】B【解析】【分析】利用等比数列的性质及等比数列的通项公式判断出①正确．利用等比数列的性质及不等式的性质判断出②正确．利用等比数列的性质判断出③错误．利用等

比数列的性质判断出④正确，从而得出结论．【详解】解：①9910010aa−，219711aq，9821()1qaq．11aQ，0q．又99100101aa−−，991a，且1001a．01q，即①正确；②299101100

100·01aaaa=，9910101aa，即9910110aa−，故②错误；③由于10099100TTa=，而10001a，故有10099TT，故③错误；④中9919812198119821979910099100()()()()1Taaaaa

aaaaaa===，199121991199219899101100()()()1Taaaaaaaaaa==，故④正确．正确的为①④，故选：B．【点睛】本题考查的知识点是等比数列的性质：若mnpq+=+则有mnpqaaaa=

．其中根据已知条件得到991a，1001a，是解答本题的关键，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共20分）13.对一切R，213sincos2mm−恒成立，则实数m的取值范围是_______.【答案】121,,3−−+

【解析】【分析】求出sincos的最大值，然后解相应的不等式即可得．【详解】11sincossin222=，由211322mm−得13m−或12m．故答案为：121,,3−−+．【点睛】本题考查不等式恒成立问

题，根据参数出现的位置，首先求出三角式sincos的最大值，然后只要解不等式即可得．这实质上就是不等式恒成立问题中的分离参数法，只是本题中不等式已经参变分离了．14.已知数列na为等差数列，nS为其前n项和，5632aaa+=+，则7S=______.【答案】14【解析】【分析

】根据等差数列通项公式，将等式5632aaa+=+化成42a=，再由等差数列的前n项和公式计算7S【详解】因为5632aaa+=+，所以111142452322adadadada++=++++==，所以17747()7142aaSa+==

=.故答案为：14.【点睛】本题考查等差数列通项公式及性质、前n项和公式，考查基本运算能力，属于基础题.15.若0x，0y，且82xyx=−，则xy+的最小值为_________．【答案】18【解析】【分析】将式子82xxyxx+=+−适当变形后，利用基

本不等式的性质即可得出．【详解】0x，0y，且802xyx=−，解得2x，82xxyxx+=+−()82162xxx−+=+−162822xx=−+++−，()1622822xx−++−…18=，所以xy+的最小

值为18.故答案为：18.【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，解题关键是对式子82xxyxx+=+−进行适当变形，从而利用基本不等式求最值，属于常考题.16.已知nS为数列na的前n项和，若112a=，且122nnaa+=−，则100S=___

_____.【答案】4256【解析】【分析】由递推公式依次计算出数列的前几项，得出数列是周期数列，从而可求和．【详解】由题意2241322a==−，33a=，42a=−，512a=，∴数列{}na是周期

数列，且周期为4.10012341442525()2532236Saaaa=+++=++−=．故答案为：4256．【点睛】本题考查数列的周期性，考查求周期数列的和，解题时可根据递推公式依次计算数列的项，然后归纳出周期性

．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知等差数列na的前n项和为nS，等比数列nb的前n项和为nT．若113ab==，42ab=，4212ST−=．(1)求数列

na与nb的通项公式；(2)求数列nnab+的前n项和．【答案】(1)21,3nnnanb=+=.(2)()331(2)2nnn−++.【解析】【分析】（1）先由题中条件得到422312STaa−=+=，再设等差数列na的公差为d，结合

题中数据求出公差，进而可得na的通项公式；设等比数列nb的公比为q，求出公比，即可得出nb通项公式；（2）先由（1）的结果，得到(21)3nnnabn+=++，再由分组求和法，结合等差数列与等比数列前n项和公式，即可得出结果.【详解】(1)由11ab=，42

ab=，则4212341223()()12STaaaabbaa−=+++−+=+=设等差数列na的公差为d，则231236312aaadd+=+=+=，所以2d=.所以32(1)21nann=+−=+设等比数列nb的

公比为q，由题249ba==，即2139bbqq===，所以3q=.所以3nnb=；(2)(21)3nnnabn+=++，所以nnab+的前n项和为1212()()nnaaabbb+++++++2(3521)(333)nn=++++++++(321)3(13)213nnn++−=+

−3(31)(2)2nnn−=++.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列，熟记通项公式、前n项和公式即可，属于常考题型.18.解关于x的不等式()222axxaxaR−−.【答案】当0a=时，不等式的解集为|1xx−；当0a时，不等式的解

集为2{|xxa或1}x−；当20a−时，不等式的解集为2{|1}xxa−；当2a=−时，不等式的解集为1−；当2a−时，不等式的解集为2{|1}xxa−.【解析】【分析】将原不等式因式分解化为()(

)210axx−+，对参数a分5种情况讨论：0a=，0a，20a−，2a=−，2a−，分别解不等式．【详解】解：原不等式可化为()2220axax+−−，即()()210axx−+，①当0a=时，原不等式化为10x+，解得1x−，②当0a时，

原不等式化为()210xxa−+，解得2xa或1x−，③当0a时，原不等式化为()210xxa−+.当21a−，即2a−时，解得21xa−；当21a=−，即2a=−时，解得1x=−满足题意；当2

1a−，即20a−时，解得21xa−.综上所述，当0a=时，不等式的解集为|1xx−；当0a时，不等式的解集为2{|xxa或1}x−；当20a−时，不等式的解集为2{|1}xxa−；当2a=−时，不等式的解集为

1−；当2a−时，不等式的解集为2{|1}xxa−.【点睛】本题考查含参不等式的求解，求解时注意分类讨论思想的运用，对a分类时要做到不重不漏的原则，同时最后记得把求得的结果进行综合表述.19.已知等差数列na满

足：37a=，5726aa+=，na的前n项和为nS，（1）求na及nS；（2）令211=−nnba（*nN），求数列nb的前n项和nT.【答案】（1）21nan=+；22=+nSnn；（2）()41nnTn=+．【

解析】【分析】（1）设等差数列na的首项为1a，公差为d，由已知条件列出方程组解得1,ad后可得通项公式和前n项和；（2）由（1）得nb，用裂项相消法求nT．【详解】（1）设等差数列na的首项为1a，公差为d，因为37a=，57

26aa+=，所以有112721026adad+=+=，解得13a=，2d=，所以()32121nann=+−=+；()213222nnnSnnn−=+=+．（2）由（1）知21nan=+，所以()()22111111114141211

nnbannnnn====−−+++−，所以()1111111111422314141nnTnnnn=−+−++−=−=+++L，即数列nb的前n项和()41nnTn=+．【点睛】本题

考查求等差数列的通项公式和前n项和，考查裂项相消法求数列的和，解题方法是基本量法．20.某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本()Cx，当年产量不足80千件时，21()103Cxxx=+（万元）；当年产量不小于80千件时，10

000()511450Cxxx=+−（万元），每件售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.（1）写出年利润()Lx（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生

产中所获利润最大？【答案】（1）2140250,0803()100001200,80xxxLxxxx−+−=−+；（2）年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润

最大.【解析】【分析】（1）根据年利润=销售收入−成本，即可得出函数解析式；（2）分类讨论080x和80x时对应的利润，结合基本不等式，即可得出结论.【详解】解：（1）∵每件商品售价为0.05万元∴x千件商品销售额为0.05

1000x万元①当080x时，根据年利润=销售收入−成本∴21()(0.051000)102503Lxxxx=−−−21402503xx=−+−；②当80x时，根据年利润=销售收入−成本∴10000()(0.051

000)511450250Lxxxx=−−+−100001200xx=−+.综合①②可得，2140250,0803()100001200,80xxxLxxxx−+−=−+（2）①当080x时2211()40250(6

0)95033Lxxxx=−+−=−−+∴当60x=时，()Lx取得最大值()60950L=万元；②当80x时1000010000()120012002Lxxxxx=−+−120020010

00=−=当且仅当10000xx=，即100x=时，()Lx取得最大值()1001000L=万元.综合①②，由于9501000∴年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大.【点睛】本题主要考查了分段函数模型的实际

应用，涉及了基本不等式的应用，属于中档题.21.设函数()()()2230fxaxbxa=+−+．（1）若不等式()0fx的解集(1,1)−，求,ab的值；（2）若()12f=，①0,0ab，求14ab+的最小值；②若()1fx在R上恒

成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）32ab=−=（2）①9，②(322,322)−+【解析】【分析】（1）根据不等式的端点值是对应方程的实数根，利用根与系数的关系，得到,ab的值；（2）①根据1ab+=求14ab+的最值，可利用()141

4ababab+=++求最值；②利用二次函数恒成立问题求解.【详解】由已知可知，()2230axbx+−+=的两根是1,1−所以()21103111baa−−=−+==−=−，解得32ab=−=.（2）

①()12321fabab=+−+=+=()1414445259babaababababab+=++=+++=，当4baab=时等号成立，因为1ab+=，0,0ab解得12,33

ab==时等号成立，此时14ab+的最小值是9.②()()22231220axbxaxbx+−++−+在R上恒成立，00a()2280ba−−，又因为1ab+=代入上式可得()22180610aaa

a+−−+解得：322322a−+.【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程和一元二次不等式的问题，和基本不等式求最值，属于基础题型.22.设数列na的前n项和为nS，满足：()12nnnaaS+=

，数列nb满足：211233333nnnbbbb−++++=.（1）求证：数列na为等差数列；（2）若11a=，22a=，求数列nnab的前n项和nT.【答案】（1）证明见解析；（2）()121334nn

nT+−+=.【解析】【分析】（1）先求出1a，然后当2n时，有()()11112nnnaaS−−−+=，用已知的式子减去此式，化简得()()1121nnnaana−−+=−，再得一个式子()111nnnaana+−+=，相减可证得是等差数列；（2）当2n时，由211

233333nnnbbbb−++++=，得21123113333nnnbbbb−−−++++=，两式相减可得13nnb=（需要验证1b），从而可得nnab的通项公式，再利用错位相减法求和即可.【详解】（1）()12nnn

aaS+=，当1n=时，()11112aaaS+==恒成立.当2n时，()()11112nnnaaS−−−+=，相减得到：()()()111122nnnnaanaaa−+−+−=.整理得到：()()1121nnnaana−−+

=−，故()111nnnaana+−+=，相减得到：112nnnaaa+−=+，故数列na为等差数列.（2）11a=，22a=，故1d=，nan=.211233333nnnbbbb−++++=，当1n

=时，113b=.当2n时，21123113333nnnbbbb−−−++++=，相减得到1133nnb−=，故13nnb=.验证1n=时成立，故13nnb=.所以3nnnanb=，故21323...3nnTn=+++.2313

13233nnTn+=+++，相减得到：231233333nnnTn+−=++++−.整理得到：()121334nnnT+−+=.【点睛】此题考查了判断等差数列，错位相减法求和，考查了数列的前

n项和与通项的关系，考查了计算能力，属于中档题题.