【文档说明】吉林省长春外国语学校2020-2021学年高二下学期期末考试数学（文科）试卷【精准解析】.doc，共(15)页，528.000 KB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年吉林省长春外国语学校高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{2，4，6}，则A∪B＝（）A．{2，4，6}B．{0，1，2，3，4，5，6}C．{2，4}D．{0，1，

2，3，4，5}2．已知复数z＝（i为虚数单位），则的虚部为（）A．1B．﹣1C．iD．﹣i3．“∃x0∈[2，+∞），log2x0＜1”的否定是（）A．∀x∈[2，+∞），log2x≥1B．∀x∈（﹣∞，2），log2x＞1C．∃x0∈（﹣∞，2），log2x0≥1D．∃x∈[2，

+∞），log2x≤14．已知函数f（x）＝sinx+cosx，则f（x）的最大值为（）A．1B．2C．0D．5．设a，b是非零实数，若a＞b，则一定有（）A．B．a2＞abC．D．6．余弦函数是偶函数，f（x）＝cos（x2+1）是余弦函数，因此f（x）＝cos（x

2+1）是偶函数，以上推理（）A．结论不正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确7．设圆C1：x2+y2＝1与C2：（x﹣2）2+（y+2）2＝1，则圆C1与C2的位置关系是（）A．外离B．外切C．

相交D．内含8．若样本1+x1，1+x2，1+x3，…，1+xn的平均数是12，方差是5，则对样本2+x1，2+x2，2+x3，…，2+xn，下列结论正确的是（）A．平均数为14，方差为5B．平均数为13，方差为25

C．平均数为13，方差为5D．平均数为14，方差为259．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b的值分别为84，48，则输出的a的值为（）A．8B．12C．24D．3610．已知a∈R，则“a≤2

”是“f（x）＝lnx+x2﹣ax在（0，+∞）内单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11．圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示．早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率

的数值计算到小数点后第七位的人，这比欧洲早了约1000年．在生活中，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：从区间[﹣1，1]内随机抽取200个数，构成100个数对（x，y），其中满足不等式y＞的数对（x，y）

共有11个，则用随机模拟的方法得到的π的近似值为（）A．B．C．D．12．已知定义在R上的偶函数y＝f（x）的导函数为f'（x），函数f（x）满足：当x＞0时，x•f'（x）+f（x）＞1，且f（1）＝2

020．则不等式的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分。13．已知数列的Sn＝n2+n+1，则a8+a9+a10+a11+a12＝．14．已知向量＝（4，2），

向量＝（x，1），若，则||＝．15．已知函数f（x）＝，则f（f（4））＝．16．设有下列四个命题：p1：∀x∈R，ex﹣1≥x；p2：∃x0∈（0，+∞），lnx0≤x0﹣1；p3：方程x2﹣2ax﹣3＝0有两个不相

等实根；p4：函数f（x）＝sinx+的最小值是2．则下述命题中所有真命题的序号是．①p1∧p2，②p1∧￢p4，③￢p2∨p4，④￢p3∨￢p4．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要证明过程或演算步骤。17．在△ABC中，a、b、c分别是角A、

B、C的对边，bcosA+（2c+a）cosB＝0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b＝，△ABC的周长为3+，求△ABC的面积．18．在等比数列{an}中，a2＝2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）

若a2，a3+1，a4为等差数列{bn}的连续三项，其中b1＝a2，设数列{bn}的前n项和为Sn，若Sn＝155，求n的值．19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝AC＝AA1，D是BC的中点．（Ⅰ

）求证：A1B∥平面AC1D；（Ⅱ）求证：平面AC1D⊥平面BCC1B1；（Ⅲ）求直线AC与平面AC1D所成角的正弦值．20．已知圆C的圆心在直线y＝x+1上，且圆C与x轴相切，点P（﹣5，﹣2）在圆

C上，点Q（﹣4，﹣5）在圆C外．（1）求圆C的方程；（2）若过点（﹣2，﹣4）的直线l交圆C于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程．21．天津市某中学高三年级有1000名学生参加学情调研测试，用简单随机抽样的方法抽取了一

个容量为50的样本，得到数学成绩的频率分布直方图如图所示：（1）求第四个小矩形的高，并估计本校在这次统测中数学成绩不低于120分的人数和这1000名学生的数学平均分．（2）已知样本中成绩在[140，150]

内的学生中有两名女生，现从成绩在这个分数段的学生中随机抽取2人做学习交流，①写出这个试验的样本空间；（用恰当的符号表达）②设事件A：“选取的两人中至少有一名女生”，写出事件A的样本点，并求事件A发生的概率．22．已知函数f（x）＝ex﹣a．（Ⅰ）若函数f（

x）的图象与直线l：y＝x﹣1相切，求a的值；（Ⅱ）若f（x）﹣lnx＞0恒成立，求整数a的最大值．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{2，4，6}，则A∪B＝（）A．{2，4，6}B．{0，1，2，3，4，

5，6}C．{2，4}D．{0，1，2，3，4，5}解：∵A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{2，4，6}，则A∪B＝{0，1，2，3，4，5，6}，故选：B．2．已知复数z＝（i为虚数单位），则的虚部为（）A．1B．﹣

1C．iD．﹣i解：∵z＝＝，∴，则的虚部为1．故选：A．3．“∃x0∈[2，+∞），log2x0＜1”的否定是（）A．∀x∈[2，+∞），log2x≥1B．∀x∈（﹣∞，2），log2x＞1C．∃x0∈（﹣∞，2），log2x0≥1D．∃x∈[2，+∞），log2x≤1解：根

据题意，“∃x0∈[2，+∞），log2x0＜1”是特称命题，其否定为∀x∈[2，+∞），log2x≥1；故选：A．4．已知函数f（x）＝sinx+cosx，则f（x）的最大值为（）A．1B．2C．0D．解：∵f（x）＝s

inx+cosx＝＝＝，∵x∈R∴f（x）的最大值为，故选：D．5．设a，b是非零实数，若a＞b，则一定有（）A．B．a2＞abC．D．解：对于A：当a＞0＞b，不成立．对于B：当b＜a＜0时，不成立．对于C：∵a，

b是非零实数，a＞b，当a＞0＞b，恒成立，当b＜a＜0时，ab＞0，则﹣ab＜0，0＞，∴，当0＜b＜a时，a2＞b2，ab＞0，＞0，∴．则C对．对于D：当a＝1，b＝﹣时不成立，故选：C．6．余弦函数是偶函数，f（x）＝cos（x2+1）是余弦函数，因此f（x）＝cos（x2+1）是偶函数

，以上推理（）A．结论不正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确解：根据题意，该演绎推理的大前提为“余弦函数是偶函数”，小前提为“f（x）＝cos（x2+1）是余弦函数”，结论为“f（x）＝cos（x2+1）是偶函数”，其

中小前提错误；故选：C．7．设圆C1：x2+y2＝1与C2：（x﹣2）2+（y+2）2＝1，则圆C1与C2的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内含解：圆心C1：（0，0），C2：（2，﹣2），半径R＝1，r＝1，则|C1C2|＝＝＝4＞1

+1，即圆C1与C2的位置关系是相离，故选：A．8．若样本1+x1，1+x2，1+x3，…，1+xn的平均数是12，方差是5，则对样本2+x1，2+x2，2+x3，…，2+xn，下列结论正确的是（）A．平均数为14，方差为5B．平均数为13，方差为25C．平均数为13，方差为

5D．平均数为14，方差为25解：∵样本1+x1，1+x2，1+x3，…，1+xn的平均数是12，方差是5，∴对样本2+x1，2+x2，2+x3，…，2+xn的平均数是13，方差是5．故选：C．9．如图程序框图

的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b的值分别为84，48，则输出的a的值为（）A．8B．12C．24D．36解：由a＝84，b＝48，满足a＞b，则a变为84﹣48＝36，由b＞a，则b变为48﹣36＝12，由a＞b，则

，a＝36﹣12＝24，由a＞b，则，a＝24﹣12＝12，由a＝b＝12，则输出的a＝12．故选：B．10．已知a∈R，则“a≤2”是“f（x）＝lnx+x2﹣ax在（0，+∞）内单调递增”的（）A

．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：∵f（x）＝lnx+x2﹣ax在（0，+∞）内单调递增∴f′（x）＝+2x﹣a≥0在（0，+∞）上恒成立，即a≤（2x+）min，令g（x）＝2x+，g′（x）＝2﹣＝，令g′（

x）＜0，∴0＜x＜，令g′（x）＞0，∴x＞，∴g（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，∴g（x）min＝g（）＝2，∴a，∵（﹣∞，2]⊆（﹣∞，2]，∴a≤2是f（x）＝lnx+x2﹣ax在（0，+∞）内单调递增的充分不必要条件，故选：A．11．圆周率是圆的周长与

直径的比值，一般用希腊字母π表示．早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第七位的人，这比欧洲早了约1000年．在生活中，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：从区间[﹣1，1]内随机抽取2

00个数，构成100个数对（x，y），其中满足不等式y＞的数对（x，y）共有11个，则用随机模拟的方法得到的π的近似值为（）A．B．C．D．【解答】解：从区间[﹣1，1]内随机抽取200个数，构成100个数对（x，y），其中

满足不等式y＞的数对（x，y）共有11个，即从区间[﹣1，1]内随机抽取200个数，构成100个数对（x，y），其中满足不等式y≤的数对（x，y）共有100﹣2×11＝78个，由几何概型中的面积型可得：＝，所以π＝＝，故选：A

．12．已知定义在R上的偶函数y＝f（x）的导函数为f'（x），函数f（x）满足：当x＞0时，x•f'（x）+f（x）＞1，且f（1）＝2020．则不等式的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（

1，+∞）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）解：当x＞0时，x•f′（x）+f（x）＞1，所以：x•f′（x）+f（x）﹣1＞0，令：F（x）＝x•f（x）﹣x＝x（f（x）﹣1），则

F′（x）＝x•f′（x）+f（x）﹣1＞0，即当x＞0时，F（x）单调递增，又f（x）为R上的偶函数，所以F（x）为R上的奇函数，F（0）＝0，则当x＜0时，F（x）单调递增，不等式f（x）＜1+，当

x＞0时，x•f（x）＜x+2019，即：x•f（x）﹣x＜2019，F（1）＝f（1）﹣1＝2019，即：F（x）＜F（1），所以：0＜x＜1；当x＜0时，﹣xf（x）＜﹣x+2019，x•f（x）﹣x＞﹣2019，F（﹣1）＝﹣F（1）＝﹣2019，即：F（x）＞F（﹣1）

，所以：﹣1＜x＜0；综上，不等式的解集为：（﹣1，0）∪（0，1）．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分。13．已知数列的Sn＝n2+n+1，则a8+a9+a10+a11+a12＝100．解：数列的，n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+n+1﹣[（n﹣1）2+（n﹣

1）+1]＝2n．则a8+a9+a10+a11+a12＝2×（8+9+10+11+12）＝100．故答案为：100．14．已知向量＝（4，2），向量＝（x，1），若，则||＝．解：∵向量＝（4，2），向量＝（x，1），若，则＝，∴x

＝2，＝（2，1），则||＝＝，故答案为：．15．已知函数f（x）＝，则f（f（4））＝1．解：∵函数f（x）＝，∴f（4）＝f（1）＝log22＝1，f（f（4））＝f（1）＝log22＝1．故答案为：1．16．设有下列四个命题：p1：∀x∈R，ex﹣

1≥x；p2：∃x0∈（0，+∞），lnx0≤x0﹣1；p3：方程x2﹣2ax﹣3＝0有两个不相等实根；p4：函数f（x）＝sinx+的最小值是2．则下述命题中所有真命题的序号是①②④．①p1∧p2，②p1∧￢p4，③￢p2∨p4，④￢

p3∨￢p4．解：P1：f（x）＝ex﹣1﹣x，f′（x）＝ex﹣1＝0，x＝0，所以f（x）min＝f（0）＝0，所以P1为真．P2：当x0＝1时成立，所以P2为真．P3：△＝（﹣2a）2﹣4（﹣3）＝4a2+12＞0，方程有两个不相等实根，所以P3为真．P4：当sinx＝﹣1时，f（x）＝

sinx+＜0，所以P4为假．所以P1∧P2，P1∧￢P4，￢P3∨￢P4为真，所以真命题为①②④．故答案为：①②④．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要证明过程或演算步骤。17．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，bcosA+（

2c+a）cosB＝0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b＝，△ABC的周长为3+，求△ABC的面积．解：（Ⅰ）因为bcosA+（2c+a）cosB＝0，由正弦定理可得sinBcosA+（2sinC+sinA）cosB＝0，所以sin（

A+B）+2sinCcosB＝0，即sinC+2sinCcosB＝0，又角C为△ABC的内角，sinC＞0，所以cosB＝﹣，又B∈（0，π），所以B＝．（Ⅱ）因为a+b+c＝3+，b＝，所以a+c＝3，由余弦定理b²＝a²

+c²﹣2accosB，得7＝（a+c）²﹣ac，所以ac＝（a+c）²﹣7＝2，所以S△ABC＝acsinB＝，所以△ABC的面积为．18．在等比数列{an}中，a2＝2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若a2，a3+1，a4为等差数列{

bn}的连续三项，其中b1＝a2，设数列{bn}的前n项和为Sn，若Sn＝155，求n的值．解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q，由a2＝2，且a2，a3+1，a4成等差数列，可得a1q＝2，2（a3+1）＝a2+a4，即2（a1q2+1）＝a1q+a1q3，解得a1＝1，q＝2，所以an＝2

n﹣1；（Ⅱ）a2，a3+1，a4为等差数列{bn}的连续三项，即为2，5，8为等差数列{bn}的连续三项，所以等差数列{bn}的首项为2，公差为3，Sn＝2n+n（n﹣1）×3＝．由Sn＝155，即3n2+n＝310，解得n＝10（﹣

舍去），故n＝10．19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝AC＝AA1，D是BC的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面AC1D；（Ⅱ）求证：平面AC1D⊥平面BCC1B1；（Ⅲ）求直线AC与平面AC1D所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接A1C交

AC1于点O，连接OD在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝AA1，∴侧面AA1C1C是正方形，则点O是AC1的中点，又点D是BC的中点，故OD是△A1CB的中位线，∴OD∥A1B，又A1B⊄平面AC1D，OD⊂平面AC1D，∴A1B∥平面AC1D；（Ⅱ）证明：∵AA

1⊥平面ABC，∴CC1⊥平面ABC，可得CC1⊥AD，又AC＝AB，D为BC的中点，∴AD⊥BC，而CC1∩BC＝C，∴AD⊥平面BCC1B1，∵AD⊂平面AC1D，∴平面AC1D⊥平面BCC1B1；（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，平面AC1D⊥平面BCC1B1，又AC1D∩平面BCC1B1＝C

1D，在平面BCC1B1中，过C作CG⊥C1D，可得CG⊥平面AC1D，连接AG，∴∠CAG为直线AC与平面AC1D所成角，设AB＝BC＝AC＝AA1＝2，在Rt△C1CD中，求得，∴sin∠CAG＝，即直线AC与平面AC1D所成角的正弦值为．20

．已知圆C的圆心在直线y＝x+1上，且圆C与x轴相切，点P（﹣5，﹣2）在圆C上，点Q（﹣4，﹣5）在圆C外．（1）求圆C的方程；（2）若过点（﹣2，﹣4）的直线l交圆C于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程．解：（1

）设圆心C（a，a+1），则半径r＝|a+1|，圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣a﹣1）2＝（a+1）2，∵点P（﹣5，﹣2）在圆C上，∴（5+a）2+（a+3）2＝（a+1）2，解得a＝﹣3或﹣11．∵点Q（﹣4，﹣5）在圆C外，经检

验a＝﹣11不符，舍去．∴圆C的方程为（x+3）2+（y+2）2＝4；（2）由（1）可知圆C的半径为r＝2，又|AB|＝2，∴圆心到直线的距离d＝．当k不存在时，直线方程为x＝2；当k存在时，设直线方程为y+

4＝k（x+2），整理得kx﹣y+2k﹣4＝0．∴圆心C到直线l的距离d＝，即（k+2）2＝k2+1，解得k＝．∴直线方程为y+4＝，即3x+4y+22＝0．综上，直线l的方程为x＝﹣2或3x+4y+22＝0．21．天津市某中学高三年级有1000名学生参加

学情调研测试，用简单随机抽样的方法抽取了一个容量为50的样本，得到数学成绩的频率分布直方图如图所示：（1）求第四个小矩形的高，并估计本校在这次统测中数学成绩不低于120分的人数和这1000名学生的数学平均分．（2）已知样本中成绩在[140，150]内的学生中有

两名女生，现从成绩在这个分数段的学生中随机抽取2人做学习交流，①写出这个试验的样本空间；（用恰当的符号表达）②设事件A：“选取的两人中至少有一名女生”，写出事件A的样本点，并求事件A发生的概率．解：（1）由频率分布直方图可知，第四个矩形的高为：0.1﹣（0.01

0+0.020+0.030+0.012）＝0.028，成绩不低于1（20分）的频率为：（0.030+0.028+0.012）×10＝0.7，所以高三年级不低于1（20分）的人数为：0.7×1000＝700人．平均分＝126.2；（2）由频率分布直

方图知，成绩在[140，150]的人数是6，记女生为A，B，男生为c，d，e，f，从这6人中抽取2人的情况有AB，Ac，Ad，Ae，Af，Bc，Bd，Be，Bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共15种．其中至少有一名女生的情况有AB，Ac

，Ad，Ae，Af，Bc，Bd，Be，Bf共9种，故至少有一名女生的概率．22．已知函数f（x）＝ex﹣a．（Ⅰ）若函数f（x）的图象与直线l：y＝x﹣1相切，求a的值；（Ⅱ）若f（x）﹣lnx＞0恒成立，求整数a的最大值．解：（Ⅰ）由函

数f（x）的图象与直线l：y＝x﹣1相切，设切点为（），则，解得x0＝0，a＝2；（Ⅱ）现证明ex＞x+1（x＞0），设F（x）＝ex﹣x﹣1，令F′（x）＝ex﹣1＝0，即x＝0，∴当x∈（0，+∞）时，F′

（x）＞0，F（x）为单调增函数，∴F（x）min＝F（0）＝0；同理可证lnx≤x﹣1．即ex﹣2＞x﹣1≥lnx，由题意，当a≤2时，ex﹣a≥ex﹣2＞x﹣1≥lnx，即a≤2时，f（x）﹣lnx＞0成立．又当a＝3时，存在x使ex﹣3≤lnx，即ex﹣3＞lnx不恒成立．因此整数a的

最大值为2．