【文档说明】吉林省长春外国语学校2020-2021学年高二下学期期末考试数学（文科）试卷 含答案.doc，共(5)页，1.418 MB，由小赞的店铺上传

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长春外国语学校2020-2021学年第二学期期末考试高二年级数学试卷(文科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页。考试结束后，将答题卡交回。注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2

B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描

黑。5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合{0,1,2,3,4,5}A=，{2,4,6}

B=，则集合AB=（）A．{2,4,6}B．{0,1,2,3,4,5}C．{2,4}D．{0,1,2,3,4,5,6}2.已知复数1iiz+=（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．1B．-1C．iD．i−3.“0

[2,)x+，20log1x”的否定是（）A．(,2)x−，2log1xB．[2,)x+，2log1xC．0(,2)x−，20log1xD．[2,)x+，2log1x4.已知函数，

则的最大值为（）A．1B．2C．0D．5.设,ab是非零实数，若ab，则一定有（）A．11abB．2aabC．2211ababD．11abab−−6.余弦函数是偶函数，2()cos(1)fxx=+是余弦函数，因此2()cos(1)fxx=+是偶函数，以上

推理（）A．结论不正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确7.设圆221:1Cxy+=与()()222:221Cxy−++=，则圆1C与2C的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内含8.若样本123111,1,,,nxxxx++++的平均数是12，方差是5，

则对样本123222,2,,,nxxxx++++，下列结论正确的是（）A．平均数为14，方差为5B．平均数为13，方差为25C．平均数为13，方差为5D．平均数为14，方差为29.下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算

术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入a，b的值分别为84，48，则输出的a的值为（）A．8B．12C．24D．3610.已知aR，则“2a”是“()2lnfxxxax=+−在()0,+内

单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11.圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第

一个把圆周率的数值计算到小数点后第七位的人，这比欧洲早了约1000年，在生活中，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值；从区间11−，内随机抽取200个数，构成100个数对()xy，，其中满足不等式21yx−的数对()xy，共有11个，则用随机模拟的方法得到的π的近

似值为（）A．7825B．7225C．257D．22712.已知定义在R上的偶函数()yfx=的导函数为()fx，函数()fx满足：当0x时，()()1xfxfx+，且(1)2020f=．则不等式2019()1fxx

+的解集是（）A．(1)(01)−−，，B．(10)(1+)−，，C．(10)(01)−，，D．(1)(1+)−−，，第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分。13.已知数列的12++=nnSn，则12111098aaaaa++++=；14.已知向量(

4,2)a=，向量b(,1)x=−，若//ab，则||b=；15.已知函数()()()22log1,23,2xxfxfxx+=−，则()()4ff=；16.设有下列四个命题：1p：xR，1xex−；2p：()00,x+，00ln1

xx−；3p：方程2230xax−−=有两个不相等实根；4p：函数1()sinsinfxxx=+的最小值是2．则下述命题中所有真命题的序号是__________．①12pp；②14pp；③24pp；④34pp．三、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出必要证明过程或演算

步骤。17.（本题满分10分）在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，cos(2)cos0bAcaB++=．（1）求角B的大小；（2）若7b=，ABC的周长为37+，求ABC的面积．18.（本题

满分12分）在等比数列na中，22a=，且2a、31a+、4a成等差数列．（1）求数列na的通项公式；（2）若2a、31a+、4a为等差数列nb的连续三项，其中12ba=，设数列nb的前n项和为

nS，若155nS=，求n的值．19.（本题满分12分）如图，在三棱柱111ABCABC−中，1AA⊥平面ABC，1ABBCACAA===，D是BC的中点.（1）求证：1//AB平面1ACD；（2）求证：平面1ACD⊥平面11B

CCB.20.（本题满分12分）已知圆C的圆心在直线1yx=+上，且圆C与x轴相切，点(5,2)P−−在圆C上，点(4,5)Q−−在圆C外．（1）求圆C的方程；（2）若过点(2,4)−−的直线l交圆C于A，B两点，且||23AB=，求直线l的方

程．21.（本题满分12分）天津市某中学高三年级有1000名学生参加学情调研测试，用简单随机抽样的方法抽取了一个容量为50的样本，得到数学成绩的频率分布直方图如图所示：（1）求第四个小矩形的高，并估计本校在这次统测中数学成绩不低于120分的人数和这1000名学生的数学平均分．（2）已知

样本中成绩在[140，150]内的学生中有两名女生，现从成绩在这个分数段的学生中随机抽取2人做学习交流，①写出这个试验的样本空间；(用恰当的符号表达)②设事件A：”选取的两人中至少有一名女生”，写出事件A的样本点，并求事

件A发生的概率．22.（本题满分12分）已知函数()xfxea=−.（1）若函数()fx的图象与直线l：1yx=−相切，求a的值；（2）若()ln0fxx−恒成立,求整数a的最大值.长春外国语学校2020-

2021学年第二学期期末考试高二年级数学试卷(文)参考答案一、选择题二、填空题13.10014.515.116.①②④三、解答题17.【答案】（1）23B=；（2）32．【详解】（1）cos(2)cos0bAcaB++

=，由正弦定理可得()sincos2sinsincos0BACAB++=，sin()2sincos0ABCB++=，即sin2sincos0CCB+=．又角C为ABC内角，sinC不等于0，1cos2B=−，又()0,B，23B=．（2）37acb++=+，7b=，3ac+=．

由余弦定理2222cosbacacB=+−，得27()acac=+−，()272acac=+−=．13sin22ABCSacB==．ABC的面积为32．18.【答案】（1）12nna−=；（2）10n=．【详解】（1）设等比数列na的公比为q．依题意

，2a、31a+、4a成等差数列，()32421aaa+=+，即()222122qq+=+．0qQ，2q=．2212222nnnnaaq−−−===，等比数列na的通项公式为12nna−=；（2）设等差数列nb的公差为d，122ba==，2231215b

a=+=+=，213dbb=−=，()()2111323222nnndnnnnSnbn−−+=+=+=，由155nS=，得231552nn+=，即233100nn+−=，解得10n=，或313n=−（舍去）．故10n=．19.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【详解】解：（1）如图，连接1AC交1AC于O，连接OD，∴O是1AC的中点，又D是BC的中点，∴OD是1ABC的中位线，∴1//ODAB∵1AB平面1ACD，OD平面1ACD∴1//

AB平面1ACD（2）∵ABBCAC==，D是BC的中点，∴ADBC⊥，∵三棱柱111ABCABC−中，1AA⊥平面ABC，∴1BB⊥平面ABC∵AD平面ABC，∴1BBAD⊥，又1BB､BC是平面11BCCB内的两条相交直线∴AD⊥平面11B

CCB∵AD平面1ACD∴平面1ACD⊥平面11BCCB20.【答案】（1）22(3)(2)4xy+++=；（2）2x=−或34220xy++=．【详解】123456789101112DABDCCACBAAC（1）设圆心(,1)+Caa，半径|1|ra=+，则圆C的方程可

设为222()(1)(1)xayaa−+−−=+，因为点(5,2)P−−在圆C上，所以222(5)(3)(1)aaa+++=+，解得3a=−或11−．因为点(4,5)Q−−在圆C外，经检验11a=−不符，

舍去．所以圆C的方程为22(3)(2)4xy+++=．（2）由（1）可知圆C的半径2r=，||23AB=，所以圆心到直线的距离22||4312ABdr=−=−=．当k不存在时，直线方程2x

=−，符合题意；当k存在时，设直线方程为4(2)ykx+=+，整理得240kxyk−+−=所以圆心C到直线l的距离2|3224|11kkdk−++−==+，即22(2)1kk+=+，解得34k=−，所以34(2)4yx

+=−+，所以直线l的方程为34220xy++=．∴综上，直线方程为2x=−或34220xy++=．21.【答案】（1）0.028；700人；126.2；（2）①见解析；②见解析；35．【详解】（1）由频率分布直方图可知，第

四个矩形的高为：()0.10.0100.0200.0300.0120.028−+++=，成绩不低于120分的频率为：()0.0300.0280.012100.7++=；所以高三年级不低于120分的人数为：0.7100

0700=人．1050.11150.21250.31350.281450.12x=++++126.2=（2）由频率分布直方图知，成绩在[140，150]的人数是6，记女生为A，B，男生为,,,cdef，从这6人中抽取2人的情况有,,,,,,,ABAcAd

AeAfBcBdBe，,,,,,,Bfcdcecfdedfef，共15种．其中至少有一名女生的情况有9种，故至少有一名女生的概率为93155=．22.【答案】（1）2a=；（2）见解析．【详解】（1）由题意可知，()fx和1yx=−相切，()1fx=，则0x

=，即(0)1f=−，解得2a=.（2）现证明1xex+≥，设()1xFxex=−−，令()10xFxe=−=，即0x=，因此()(0)0minFxF==，即()0Fx≥恒成立，即1xex+≥，同理可证ln1xx−≤.

由题意，当2a≤时，21lnxexx−−≥≥，即2a=时，()()0fxgx−成立.当3a=时，存在x使3lnxex−，即3lnxex−≥不恒成立.因此整数a的最大值为2.（以上方法仅供参考，还有其他方法）.