【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修三）专题7.13 随机变量及其分布全章综合测试卷（提高篇）（学生版）.docx，共(10)页，177.691 KB，由小赞的店铺上传

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第七章随机变量及其分布全章综合测试卷（提高篇）【人教A版2019】考试时间：90分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，

填空4题，解答6题，满分150分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2022春·河南

驻马店·高二期末）下列正确命题的个数是（）①已知随机变量X服从二项分布𝐵(𝑛,𝑝)，若𝐸(𝑋)=30，𝐷(𝑋)=20，则𝑝=23；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；③在某市组织的一次联考中，全体学生的数学成绩𝑋~𝑁(110

,𝜎2)，若𝑃(𝑋≥130)=0.1，现从参加考试的学生中随机抽取3人，并记数学成绩不在(90,110)的人数为𝜉，则𝑃(𝜉≥1)=0.936；④某人在12次射击中，击中目标的次数为X，𝑋∼𝐵(12,0.8)，则当𝑋

=9或10概率最大．A．1个B．2个C．3个D．4个2．（5分）（2023·全国·高三专题练习）贵阳一中有2000人参加2022年第二次贵阳市模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布𝑁(105,𝜎2)(𝜎>0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总

人数的15，则此次数学考试成绩在105分到120分（含105分和120分）之间的人数约为（）A．300B．400C．600D．8003．（5分）（2022春·河南焦作·高二阶段练习）若离散型随机变量𝑋的分布列为𝑃(𝑋=𝑘)=𝑚⋅2𝑘(2𝑘+1−1)(2𝑘−1)(1≤𝑘≤

5,𝑘∈𝑍)，则𝑃(32<𝑥<52)的值为A．631B．6162C．2531D．62634．（5分）（2022春·全国·高二期末）下列说法中正确的是（）①设随机变量X服从二项分布𝐵(6,12)，则𝑃(𝑋=3)=516②已知随机变量X服从正态分布𝑁(2,𝜎2)且𝑃

(𝑋<4)=0.9，则𝑃(0<𝑋<2)=0.4③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件𝐴=“4个人去的景点互不相同”，事件𝐵=“小赵独自去一个景点”，则𝑃(𝐴|𝐵)=29；④𝐸(2𝑋+3)=2𝐸(𝑋)+3；𝐷(2𝑋+3)=2𝐷(𝑋)+3.A

．①②③B．②③④C．②③D．①③5．（5分）（2023·全国·高三专题练习）甲乙两人进行乒乓球赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是𝑝，随机变量𝑋表示最终的比赛局数，若0<𝑝<13，则（）A．𝐸(𝑋)=52B．𝐸(�

�)>218C．𝐷(𝑋)>14D．𝐷(𝑋)<20816．（5分）（2023·高二课时练习）一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行𝑛次后小虫所在位置对应的数为随机变量

𝜉𝑛，则下列说法错误的是（）A．𝐸(𝜉𝑛)=0B．𝐷(𝜉𝑛)=𝑛C．𝑃(𝜉2020=0)<𝑃(𝜉2020=2)D．𝑃(𝜉2020=0)<𝑃(𝜉2018=0)7．（5分）（2022春·黑龙江佳木斯·高二期末）下图是一块高尔顿板示意图：

在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子

中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用𝑋表示小球落入格子的号码，则（）A．𝑃(𝑋=1)=𝑃(𝑋=6)=164B．𝐸(𝑋)=52C．𝐷(𝑋)=32D．𝐷(𝑋)=548．（5分）（2022秋·陕西咸阳·高三阶段练习）2

021年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动．小明在如图的街道E处，小华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的个数是（）①小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条②小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条③小明到老年公寓在选择的最

短路径中，与到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为1835④小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F事件B；从F到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则𝑃(𝐵|𝐴)=215A．1个B．2个C．3个D．4

个二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2023秋·山东滨州·高三期末）已知两种不同型号的电子元件的使用寿命（分别记为𝑋，𝑌）均服从正态分布，𝑋∼𝑁(𝜇1,𝜎12)，𝑌∼𝑁(𝜇2,

𝜎22)，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项正确的是（）参考数据:若𝑍~𝑁(𝜇,𝜎2),则𝑃(𝜇−𝜎≤𝑍≤𝜇+𝜎)≈0.6827，𝑃(𝜇−2𝜎≤𝑍≤𝜇+2𝜎)≈0.954

5A．𝑃(𝜇1−2𝜎1≤𝑋≤𝜇1+𝜎1)≈0.8186B．对于任意的正数𝑡，有𝑃(𝑋≤𝑡)>𝑃(𝑌≤𝑡)C．𝑃(𝑌≥𝜇1)<𝑃(𝑌≥𝜇2)D．𝑃(𝑋≤𝜎1)<𝑃(𝑋≤𝜎2)10．（5分）（202

2春·重庆万州·高二阶段练习）在2021年的高考中，数学出现了多项选择题.假设某一道多项选择题有四个选项1､2､3､4，其中正确选项的个数有可能是2个或3个或4个，这三种情况出现的概率均为13，且在每种情况内，每个选项是正确

选项的概率相同.根据以上信息，下列说法正确的是（）A．某同学随便选了三个选项，则他能完全答对这道题的概率高于110B．1选项是正确选项的概率高于12C．在1选项为正确选项的条件下，正确选项有3个的概率

为13D．在1选项为错误选项的条件下，正确选项有2个的概率为1211．（5分）（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量𝜉~𝐵(2𝑛,𝑝)，𝑛∈𝑁∗，𝑛≥2，0<𝑝<1，记𝑓(𝑡)=𝑃(𝜉=𝑡)，其中�

�∈𝑁，𝑡≤2𝑛，则（）A．∑𝑓(𝑡)2𝑛𝑡=0=1B．∑𝑡𝑓(𝑡)2𝑛𝑡=0=2𝑛𝑝C．∑⬚𝑛𝑡=0𝑓(2𝑡)<12<∑⬚𝑛𝑡=1𝑓(2𝑡−1)D．若𝑛𝑝=6，则𝑓(𝑡)

≤𝑓(12)12．（5分）（2022·全国·高二学业考试）将2n(n∈N*)个有编号的球随机放入2个不同的盒子中，已知每个球放入这2个盒子的可能性相同，且每个盒子容纳球数不限记2个盒子中最少的球数为X(0≤X≤n，X∈N*)，则下列说法中正确的有（）A．当n=

1时，方差𝐷(𝑋)=14B．当n=2时，𝑃(𝑋=1)=38C．∀𝑛≥3，∃𝑘∈[0,𝑛)(𝑘,𝑛∈𝑁∗)，使得P(X=k)>P(X=k+1)成立D．当n确定时，期望𝐸(𝑋)=𝑛(22𝑛−𝐶2𝑛𝑛

)22𝑛三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2022·全国·高三专题练习）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后

都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，⋯，6，用𝑋表示小球落入格子的号码，假定底部6个格子足够长，投入160粒小球，则落入3号格的小球大约有．14．（5分）（2023·全国·高二专题练习）某批零件的尺寸

X服从正态分布N(10,𝜎2)，且满足𝑃(𝑋<9)=16，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，则n的最小值为．15．（5分）（2022·全国·高三专题练习）设

𝑥1、𝑥2、𝑥3、𝑥4为互不相等的正实数，随机变量𝑋和𝑌的分布列如下表，若记𝐷𝑋，𝐷𝑌分别为𝑋,𝑌的方差，则𝐷𝑋𝐷𝑌．（填>，<，=）𝑋𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4𝑌�

�1+𝑥22𝑥2+𝑥32𝑥3+𝑥42𝑥4+𝑥12𝑃1414141416．（5分）（2023秋·天津南开·高三阶段练习）现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第𝑛关要抛掷骰子𝑛次，每次观

察向上面的点数并做记录，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于2𝑛+𝑛，则算闯过第𝑛关，𝑛=1，2，3，4．假定每次闯关互不影响，则下列结论错误的序号是．（1）直接挑战第2关并过关的概率为712；（2）连续挑战前两关并过关的概率为524；（3）若直接挑战第3关，设A＝“三个

点数之和等于15”，B＝“至少出现一个5点”，则𝑃(𝐴|𝐵)=113；（4）若直接挑战第4关，则过关的概率是351296．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2022秋·重庆渝中·高三阶段练习）由于身体及心

理方面的差异，人们往往认为女性驾驶员比男性驾驶员更容易发生交通事故.为调查女性驾驶员是否比男性驾驶员更容易发生交通事故，同学们组成了调查小组，对其所在城市进行了调查研究，结果却显示为：该市2021年男

女驾驶员的比例为7:3，男性驾驶员平均万人的发案率为2.20，女性驾驶员平均万人的发案率为0.25.（发案即发生了交通事故，暂不区分其是否为肇事责任人）(1)若在全市驾驶员中随机抽取3人，则恰有1位女驾驶员的概率是多少？(2)若该市一名驾驶

员在2021年发生了交通事故，则其为女性的概率是多少？（结果保留到小数点后第三位）18．（12分）（2023·全国·高三专题练习）某公司打算引进一台设备使用一年，现有甲、乙两种设备可供选择.甲设备每台10000元，乙设备每台9000

元.此外设备使用期间还需维修，对于每台设备，一年间三次及三次以内免费维修，三次以外的维修费用均为每次1000元.该公司统计了曾使用过的甲、乙各50台设备在一年间的维修次数，得到下面的频数分布表，以这两种设备分别在50台中的维修次数频率代替维修次数发生的概率.维修次数23456甲设备51030

50乙设备05151515（1）设甲、乙两种设备每台购买和一年间维修的花费总额分别为𝑋和𝑌，求𝑋和𝑌的分布列；（2）若以数学期望为决策依据，希望设备购买和一年间维修的花费总额尽量低，且维修次数

尽量少，则需要购买哪种设备？请说明理由.19．（12分）（2023·全国·高三专题练习）现有一批疫苗试剂，拟进入动物试验阶段，将1000只动物平均分成100组，任选一组进行试验．第一轮注射，对该组的每只动物都注射一次，若检验出该组中有9只或10

只动物产生抗体，说明疫苗有效，试验终止；否则对没有产生抗体的动物进行第二轮注射，再次检验．如果被二次注射的动物都产生抗体，说明疫苗有效，否则需要改进疫苗．设每只动物是否产生抗体相互独立，两次注射疫苗互不影响，且产生抗体的概率均为𝑝

(0<𝑝<1)．（1）求该组试验只需第一轮注射的概率（用含𝑝的多项式表示）；（2）记该组动物需要注射次数𝑋的数学期望为𝐸(𝑋)，求证：10<𝐸(𝑋)<10(2−𝑝)．20．（12分）（2023·全国·高三专题练习）2021年是中国共产党百年华诞.

中国站在“两个一百年”的历史交汇点，全面建设社会主义现代化国家新征程即将开启.2021年3月23日，中宣部介绍中国共产党成立100周年庆祝活动八项主要内容，其中第一项是结合巩固深化“不忘初心､牢记使命”主题教育成果，在全体党员中

开展党史学习教育.这次学习教育贯穿2021年全年，总的要求是学史明理､学史增信､学史崇德､学史力行，教育引导党员干部学党史､悟思想､办实事，开新局.为了配合这次学党史活动，某地组织全体党员干部参加党史知识竞赛，现从参加人员中随机抽取100人，并对他们的分数

进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.（1）现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于80分的人数为𝜉，试求随机变量𝜉的分布列及期望；（2）由频率分布直方图，可以认为该地参加党史知识竞赛人员的分数𝑋服从正态分布𝑁(𝜇,𝜎2)，其中𝜇近

似为样本平均数，𝜎2近似为样本方差𝑠2，经计算𝑠2=192.44.现从所有参加党史知识竞赛的人员中随机抽取500人，且参加党史知识竞赛的人员的分数相互独立，试问这500名参赛者的分数不低于82.3的人数最有可能是多少？参考数据：√192.44≈13.9，𝑃(𝜇−𝜎<𝑋

⩽𝜇+𝜎)=0.6827，𝑃(𝜇−2𝜎<𝑋⩽𝜇+2𝜎)=0.9545，𝑃(𝜇−3𝜎<𝑋⩽𝜇+3𝜎)=0.9974.21．（12分）（2022·高二课时练习）品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，通常采用

的测试方法如下：拿出𝑛（𝑛∈𝑁∗且𝑛≥4）瓶外观相同但品质不同的酒让品酒师品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这𝑛瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序.这

称为一轮测试，根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.现分别以𝑎1、𝑎2、𝑎3、⋯、𝑎𝑛表示第一次排序时被排在1、2、3、⋯、𝑛的𝑛种酒在第二次排序时的序号，并令𝑋=⬚|1−𝑎1|+|2−𝑎2|+|3−

𝑎3|+⋅⋅⋅+|𝑛−𝑎𝑛|，则𝑋是对两次排序的偏离程度的一种描述.（1）证明：无论𝑛取何值，𝑋的可能取值都为非负偶数；（2）取𝑛=4，假设在品酒师仅凭随机猜测来排序的条件下，𝑎1、𝑎2、𝑎3、𝑎4等可

能地为1、2、3、4的各种排列，且各轮测试相互独立.①求𝑋的分布列和数学期望；②若某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有𝑋≤2，则认为该品酒师有较好的酒味鉴别功能.求出现这种现象的概率，并据此解释该测试方法的合理性.22．（12分）（2022·全国·高三专题练习

）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成[0,2]，(2,4]，

(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]，(12,14]，(14,16]，(16,18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)从这500名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在(10,12]内的概率；(2)为进一步了解这500名学生

数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在(12,14]，(14,16]，(16,18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在(14,16]内的学生人数

为X，求X的分布列和数学期望；(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用𝑃(𝑘)表示这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在(8,12]内的概率，其中𝑘=0，1，2，…，10．当𝑃(𝑘)最大时，写出

k的值．（只需写出结论）