【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修一）专题3.8 双曲线的标准方程和性质-重难点题型检测 Word版含解析.docx，共(16)页，427.453 KB，由小赞的店铺上传

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专题3.8双曲线的标准方程和性质-重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·全国·高二课时练习）“𝑚𝑛<0”是“𝑚𝑥2+𝑛𝑦2=1为双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既

不充分也不必要条件【解题思路】先求方程𝑚𝑥2+𝑛𝑦2=1表示双曲线的条件，再根据两者相等关系确定充要关系.【解答过程】因为方程𝑚𝑥2+𝑛𝑦2=1表示双曲线，所以𝑚𝑛<0，又当𝑚𝑛<0时，方程𝑚𝑥2+𝑛𝑦2=1表示双曲线，因

此“𝑚𝑛<0”是“方程𝑚𝑥2+𝑛𝑦2=1表示双曲线”的充要条件.故选：C.2．（3分）（2022·全国·高二课时练习）已知平面上的定点𝐹1，𝐹2及动点𝑀，甲：||𝑀𝐹1|−|𝑀𝐹2

||=𝑚（𝑚为常数），乙：点𝑀的轨迹是以𝐹1，𝐹2为焦点的双曲线，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据双曲线的定义直接判断即可.

【解答过程】根据双曲线的定义，只有当0<𝑚<|𝐹1𝐹2|时，点𝑀的轨迹才是双曲线，所以乙⇒甲，但甲⇏乙，所以甲是乙的必要不充分条件.故选：B.3．（3分）（2022·陕西·研究室三模（文））已知双曲线𝐶：𝑥2𝑚2−𝑦23=1的离心率为2，则

𝐶的渐近线方程为（）A．𝑦=±12𝑥B．𝑦=±2𝑥C．𝑦=±√33𝑥D．𝑦=±√3𝑥【解题思路】根据双曲线离心率表达式𝑒2=𝑎2+𝑏2𝑎2，代入数据解出𝑚2值即可.【解答过程】由已知可得�

�2+3𝑚2=22，∴𝑚2=1，渐近线方程为𝑦=±𝑏𝑎𝑥=±√3𝑥.故选：D.4．（3分）（2022·全国·高二课时练习）双曲线𝑥29−𝑦216=1的两焦点为𝐹1、𝐹2，点P在双曲线上，直线𝑃𝐹1、�

�𝐹2倾斜角之差为π3，则△𝑃𝐹1𝐹2面积为（）A．16√3B．32√3C．32D．42【解题思路】根据已知条件求出焦距及∠𝐹1𝑃𝐹2，根据双曲线定义及余弦定理求出|𝑃𝐹1|、|𝑃𝐹2|乘积，代入三角形面积公式即可求解.【解答过程】根据𝐹1

、𝐹2为双曲线𝑥29−𝑦216=1的两焦点可得|𝐹1𝐹2|=2√9+16=10，又直线𝑃𝐹1、𝑃𝐹2倾斜角之差为π3，所以∠𝐹1𝑃𝐹2=π3，根据余弦定理可得cos∠𝐹1𝑃𝐹2=|𝑃𝐹1|2+|𝑃𝐹2|2−1022|𝑃𝐹1||𝑃�

�2|=12，整理得|𝑃𝐹1|2+|𝑃𝐹2|2−|𝑃𝐹1||𝑃𝐹2|=100①，根据点P在双曲线上可得||𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2||=6，则(|𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2|)2=|𝑃𝐹1

|2+|𝑃𝐹2|2−2|𝑃𝐹1||𝑃𝐹2|=36②，①-②得，|𝑃𝐹1||𝑃𝐹2|=64，则△𝑃𝐹1𝐹2面积为𝑆△𝑃𝐹1𝐹2=12|𝑃𝐹1||𝑃𝐹2|sin∠𝐹1𝑃𝐹2=12×64×√32=16√3.故选：A.5．（3分）（2022·江西鹰潭·二模（

文））已知双曲线𝑥2𝑚−𝑦25=1(𝑚>0)的一条渐近线方程为√5𝑥+2𝑦=0，左焦点为F，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆𝑥2+(𝑦−4)2=1上运动，则|𝑃𝑄|+|𝑃𝐹|的最小值为（）A．2√2+4B．8C．2√2+5D

．9【解题思路】根据双曲线的渐近线方程，结合双曲线的定义，结合两点间线段最短进行求解即可.【解答过程】由√5𝑥+2𝑦=0⇒𝑦=−√52𝑥，所以有√52=√5√𝑚⇒𝑚=4，设圆𝑥2+(𝑦−4)2=1的圆心为𝐴(0,4)，半径为1，设该双曲线另

一个焦点为𝐹1(3,0)，所以|𝑃𝐹|−|𝑃𝐹1|=2×√𝑚=4⇒|𝑃𝐹|=|𝑃𝐹1|+4，求|𝑃𝑄|+|𝑃𝐹|的最小值转化为求|𝑃𝑄|+|𝑃𝐹1|+4的最小值，因此当

点𝐴,𝑄,𝑃,𝐹1依次共线时，|𝑃𝑄|+|𝑃𝐹1|+4有最小值，即|𝐴𝐹1|−1+4=√32+42+3=8，故选：B.6．（3分）（2022·安徽·高三阶段练习（理））已知𝑂为坐标原点，双曲线𝐶:𝑥2

𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的右焦点为𝐹(𝑐,0)，离心率𝑒=2√33，过𝐹的直线与𝐶的两条渐近线的交点分别为𝐴,𝐵,△𝑂𝐴𝐵为直角三角形，|𝐴𝐵|=3，则𝐶的方程为（）

A．𝑥26−𝑦22=1B．𝑥23−𝑦2=1C．𝑥29−𝑦23=1D．𝑥212−𝑦24=1【解题思路】由题知𝐶的渐近线方程为：𝑦=±√33𝑥，两渐近线的夹角为60∘，根据对称性，不妨设𝐴𝐵与直线𝑙1:𝑦=√33𝑥垂直，垂

足为𝐴，进而得𝑐=2,𝑎=√3,𝑏=1，即可得答案.【解答过程】解：∵双曲线𝐶的离心率𝑒=2√33，∴𝑐𝑎=2√33,𝑐=2√33𝑎,𝑏=√33𝑎，𝐶的渐近线方程为：𝑦=±√33𝑥

，∴两渐近线的夹角为60∘，不妨设𝐴𝐵与直线𝑙1:𝑦=√33𝑥垂直，垂足为𝐴，则∠𝐴𝑂𝐵=60∘,|𝐴𝐵|=3,|𝑂𝐴|=√3,|𝑂𝐹|=2.∴𝑐=2,𝑎=√3,𝑏=1，即𝐶的

方程为：𝑥23−𝑦2=1故选：B.7．（3分）（2022·全国·高三专题练习）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2s，已知各观测点到该中心的距离是680m，则该巨响发生在接报中心的（）处(假定当时声音

传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上)A．西偏北45°方向，距离340√3mB．东偏南45°方向，距离340√3mC．西偏北45°方向，距离170√3mD．东偏南45°方向，距离170√3m【解题思路】建立平面直角坐标系，由条件确定该巨响发生的轨迹，联立方程组求其位置.【解答

过程】如图，以接报中心为原点𝑂，正东、正北方向为𝑥轴、𝑦轴正向，建立直角坐标系．设𝐴、𝐵、𝐶分别是西、东、北观测点，则𝐴（−680，0），𝐵（680，0），𝐶（0，680）.设𝑃（𝑥，𝑦）为巨响为生点，由𝐴、𝐶同

时听到巨响声，得|𝑃𝐴|=|𝑃𝐶|，故𝑃在𝐴𝐶的垂直平分线𝑃𝑂上，𝑃𝑂的方程为𝑦=−𝑥，因𝐵点比𝐴点晚2s听到爆炸声，故，|𝑃𝐵|−|𝑃𝐴|=340×2=680由双曲线定义知𝑃点在以𝐴、𝐵为

焦点的双曲线左支𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2＝1(𝑥<0)上，依题意得𝑎=340，𝑐=680，∴𝑏2=𝑐2−𝑎2=6802−3402=3×3402,故双曲线方程为𝑥23402−𝑦23×3402＝1，将𝑦=−𝑥代入上式，得𝑥=±170√6，∵𝑥<0，∴𝑥=−1

70√6，𝑦=170√6，即𝑃(−170√6，170√6)，故𝑃𝑂＝340√3.故巨响发生在接报中心的西偏北450距中心340√3m处．故选：A.8．（3分）（2022·安徽省高二期末）已知𝐹1,𝐹2是椭圆和

双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠𝐹1𝑃𝐹2=2π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为𝑒1,𝑒2，则3𝑒12+1𝑒22的值为（）A．4B．3C．2D．1【解题思路】根据椭圆和双曲线

的定义，结合余弦定理、椭圆和双曲线的离心率公式进行求解即可.【解答过程】设椭圆的长半轴长为𝑎1，双曲线的实半轴长为𝑎2，设F1，F2是椭圆和双曲线的左右两个焦点，且|𝐹1𝐹2|=2𝑐，设P在第一象限，|𝑃𝐹

1|=𝑚,|𝑃𝐹2|=𝑛，由椭圆的定义可知：|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|=𝑚+𝑛=2𝑎1，由双曲线的定义可知：|𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2|=𝑚−𝑛=2𝑎2，由此可解得：𝑚=𝑎1+𝑎2,𝑛=𝑎1−𝑎2，由余弦定理可知：(2𝑐)

2=𝑚2+𝑛2−2𝑚𝑛⋅cos120°即4𝑐2=(𝑎1+𝑎2)2+(𝑎1−𝑎2)2−2⋅(𝑎1+𝑎2)⋅(𝑎1−𝑎2)⋅(−12)，化简得：4𝑐2=3𝑎1⬚2+𝑎2⬚2，即3𝑎1⬚2+𝑎2⬚2𝑐2=4，所以

3𝑎1⬚2𝑐2+𝑎2⬚2𝑐2=4，即3𝑒12+1𝑒22=4故选：A.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·全国·高三专题练习）若方程𝑥23−𝑡+𝑦2𝑡−1=1所表

示的曲线为𝐶，则下面四个命题中正确的是（）A．若𝐶为椭圆，则1<𝑡<3B．若𝐶为双曲线，则𝑡>3或𝑡<1C．曲线𝐶可能是圆D．若𝐶为椭圆，且长轴在𝑦轴上，则1<𝑡<2【解题思路】分别根据选项曲线的类型列出对应的不等式，解不等式判断即可

【解答过程】若𝐶为椭圆，则{3−𝑡>0𝑡−1>03−𝑡≠𝑡−1，∴1<𝑡<3且𝑡≠2，故A错误若𝐶为双曲线，则(3−𝑡)(𝑡−1)<0，∴𝑡>3或𝑡<1，故B正确若𝐶为圆，则3−�

�=𝑡−1，∴𝑡=2，故C正确若𝐶为椭圆，且长轴在𝑦轴上，则{3−𝑡>0𝑡−1>0𝑡−1>3−𝑡，∴2<𝑡<3，故D错误故选：BC.10．（4分）（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线𝑀:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1

(𝑎>𝑏>0)的焦距为4，两条渐近线的夹角为60°，则下列说法正确的是（）A．M的离心率为2√33B．M的标准方程为𝑥2−𝑦23=1C．M的渐近线方程为𝑦=±√33𝑥D．直线𝑥+𝑦−2=0经过M的一个焦点【解题思路】根据题意，过一三象限的渐近线的斜率为√3或√33两

种情况，根据𝑎>𝑏>0可求得双曲线方程，再逐个辨析即可【解答过程】根据题意双曲线𝑀:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的焦距为4，两条渐近线的夹角为60°，有𝑎2+𝑏2=𝑐2=4，①，双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则过一三象限的渐近线的斜率为√3或√

33，即𝑏𝑎=√3或𝑏𝑎=√33，②联立①②可得：𝑎2=1，𝑏2=3，𝑐2=4或𝑎2=3，𝑏2=1，𝑐2=4；因为𝑎>𝑏，所以𝑎2=3，𝑏2=1，𝑐2=4，故双曲线的方程为𝑥23−𝑦2=1对

A，则离心率为√43=2√33，故A正确.对B，双曲线的方程为𝑥23−𝑦2=1，故B错误；对C，渐近线方程为𝑦=±√33𝑥，故C正确；对D，直线𝑥+𝑦−2=0经过M的一个焦点(2,0)，所

以D正确.故选：ACD.11．（4分）（2022·江苏省高二期末）双曲线C：𝑥24−𝑦22=1的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是（）A．双曲线C的离心率为√62；B．若𝑃�

�⊥𝑃𝐹，则△𝑃𝐹𝑂的面积为√2；C．|𝑃𝐹|的最小值为2；D．双曲线𝑦24−𝑥28=1与C的渐近线相同.【解题思路】由题知，双曲线方程𝑎=2,𝑏=√2，𝑐=√𝑎2+𝑏2=√6，再利用双曲线离心率

𝑒=𝑐𝑎=√62，双曲线渐近线方程𝑦=±𝑏𝑎𝑥，点到直线的距离可以分别判断选项.【解答过程】选项A，因为𝑎=2,𝑏=√2，所以𝑐=√𝑎2+𝑏2=√6，则离心率为𝑒=𝑐𝑎=√62，故A正确；选项B，若𝑃𝑂⊥𝑃𝐹，又点P在双曲线C的一条渐近线上

，不妨设在𝑦=√22𝑥上，即√2𝑥−2𝑦=0，点𝐹(√6,0)到渐近线的距离为𝑑=|√2×√6|√6=√2，则|𝑃𝑂|=√(√6)2−(√2)2=2，所以△𝑃𝐹𝑂的面积为𝑆=12×2×√2=√2，故B正确；选项C，|𝑃𝐹|的最小值就是

点F到渐近线的距离𝑑=√2，故C错误；选项D，它们的渐近线都是𝑦=±√22𝑥，渐近线相同，故D正确.故选：ABD.12．（4分）（2021·山东·高三专题练习）已知𝑃为双曲线𝐶:𝑥23−𝑦2=

1上的动点，过𝑃作两渐近线的垂线，垂足分别为𝐴，𝐵，记线段𝑃𝐴，𝑃𝐵的长分别为𝑚，𝑛，则（）A．若𝑃𝐴，𝑃𝐵的斜率分别为𝑘1，𝑘2，则𝑘1𝑘2=−3B．𝑚𝑛>12C．4𝑚+𝑛的最小值为√3D．|𝐴𝐵|的最小值为32【解题思

路】写出渐近线方程，设𝑃(𝑥0,𝑦0)，直接计算𝑘1,𝑘2,𝑚,𝑛，然后判断各选项．【解答过程】由题意双曲线的渐近线为𝑦=±1√3𝑥，即𝑥±√3𝑦=0，设𝑃(𝑥0,𝑦0)，不妨设𝑃在第一象限，𝐴在渐近线�

�−√3𝑦=0上，则𝑘1=−√3，𝑘2=√3，𝑘1𝑘2=−3，A正确；𝑃在双曲线上，则𝑥023−𝑦02=1，𝑥02−3𝑦02=3，𝑚=|𝑥0−√3𝑦0|2，𝑛=|𝑥0+√3𝑦0|2，∴𝑚𝑛=|𝑥02−3𝑦02|4=34>12，B正

确；4𝑚+𝑛≥2√4𝑚𝑛=2√3，当且仅当4𝑚=𝑛时等号成立，即4𝑚+𝑛的最小值为2√3，C错误；渐近线𝑦=1√3𝑥的斜率为𝑘=1√3=√33，倾斜角为𝜋6，两渐近线夹角为𝜋3，∴∠𝐴𝑃𝐵=2𝜋3，|𝐴𝐵|2=𝑚2+𝑛2−2

𝑚𝑛cos2𝜋3=𝑚2+𝑛2+𝑚𝑛≥3𝑚𝑛=94，当且仅当𝑚=𝑛时等号成立，∴|𝐴𝐵|≥32，即|𝐴𝐵|最小值为32，D正确．故选：ABD．三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022·全国·

高三专题练习）点(3,0)到双曲线𝑥216−𝑦2𝑏2=1(𝑏>0)的一条渐近线的距离为95，则双曲线的离心率𝑒=54．【解题思路】根据双曲线的对称性不妨取双曲线𝑥216−𝑦2𝑏2=1的一条渐近线方程𝑏𝑥−4𝑦=0，根据点到直线的距离求得b

，进而求得离心率.【解答过程】由题意，根据双曲线的对称性不妨取双曲线𝑥216−𝑦2𝑏2=1的一条渐近线方程为𝑏𝑥−4𝑦=0，故3𝑏√𝑏2+16=95，即25𝑏2=9(𝑏2+16)，解得𝑏2=9，又𝑎2=16，故𝑒=𝑐𝑎=√16+916=54，故答案

为：54.14．（4分）（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线E：𝑥2𝑎2−𝑦24=1(𝑎>0)的离心率为√2，若有一直线过E的右顶点A且与一条渐近线平行，交y轴于点B，则△OAB的面积是2.【解题思路】由双曲线的离心率求出𝑎=2，得到A点坐标，渐近线方程，从而求出过点�

�且与渐近线平行的直线，从而求出𝐵(0,−2)，△OAB的面积.【解答过程】双曲线E：𝑥2𝑎2−𝑦24=1(𝑎>0)的离心率为𝑒=𝑐𝑎=√𝑎2+4𝑎2=√2，解得𝑎=2，所以E的右顶点A(2,0)，双曲线E的渐近线方程为𝑦=±𝑥，设过点𝐴的直线与渐近线𝑦=𝑥平行

，则其方程为𝑦=𝑥−2，则𝐵(0,−2)，所以𝑆△𝐴𝑂𝐵=12|𝑂𝐴|⋅|𝑂𝐵|=12×2×2=2故答案为：2.15．（4分）（2022·浙江嘉兴·高三阶段练习）已知点𝑀(−5,0)，点𝑃在曲线𝑥29−𝑦216=1

(𝑥>0)上运动，点𝑄在曲线(𝑥−5)2+𝑦2=1上运动，则|𝑃𝑀|2|𝑃𝑄|的最小值是20．【解题思路】作出图形，分析可知|𝑃𝑀|=|𝑃𝐶|+6，|𝑃𝑄|≤|𝑃𝐶|+1，利用基本不等式可求

得|𝑃𝑀|2|𝑃𝑄|的最小值.【解答过程】如下图所示：在双曲线𝑥29−𝑦216=1中，𝑎=3，𝑏=4，𝑐=√𝑎2+𝑏2=5，圆(𝑥−5)2+𝑦2=1的圆心为𝐶(5,0)，半径长为𝑟=1，所以，双曲线𝑥29−𝑦

216=1的左、右焦点分别为𝑀、𝐶，由双曲线的定义可得|𝑃𝑀|=|𝑃𝐶|+2𝑎=|𝑃𝐶|+6，|𝑃𝑄|≤|𝑃𝐶|+1，所以，|𝑃𝑀|2|𝑃𝑄|≥(|𝑃𝐶|+6)2|𝑃𝐶|+1=(|𝑃𝐶|+1)+25|𝑃𝐶|+1+10

≥2√(|𝑃𝐶|+1)⋅25|𝑃𝐶|+1+10=20，当且仅当𝑄为射线𝑃𝐶与圆𝐶的交点，且|𝑃𝐶|=4时，等号成立，故|𝑃𝑀|2|𝑃𝑄|的最小值是20.故答案为：20.16．（4分）（2

022·全国·高三专题练习）已知双曲线C：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1（𝑎>0，𝑏>0）的渐近线方程为𝑦=±√3𝑥，若动点P在C的右支上，𝐹1，𝐹2分别为C的左，右焦点，𝑂𝑃⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝑂𝐹2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑的最小值是2a（其中O为坐标

原点），则|𝑃𝐹1|2|𝑃𝐹2|的最小值为8.【解题思路】根据𝑂𝑃⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝑂𝐹2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑的最小值是2a可得𝑐=2，进而结合渐近线方程可得方程组{𝑏𝑎=√3𝑐=2𝑐2=𝑎2

+𝑏2，进而求出𝑎,𝑏的值，然后设|𝑃𝐹2|=𝑡，借助双曲线的定义可得|𝑃𝐹1|2|𝑃𝐹2|=(𝑡+2)2𝑡，利用均值不等式即可求出结果.【解答过程】设𝑃(𝑥,𝑦)，且𝑥≥𝑎，𝐹2(𝑐,0)，则𝑂𝑃⃑⃑⃑⃑⃑=(𝑥,𝑦),𝑂𝐹⃑⃑⃑⃑⃑

2=(𝑐,0)，因此𝑂𝑃⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝑂𝐹2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑐𝑥，当𝑥=𝑎时，𝑂𝑃⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝑂𝐹2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑取得最小值，且最小值为𝑎𝑐=2𝑎，即𝑐=2，所以{𝑏𝑎=√3𝑐=2𝑐2=𝑎2+𝑏2，解得𝑎=1，𝑏=√3，设|𝑃𝐹2|=𝑡（𝑡≥

1），则|𝑃𝐹1|=𝑡+2，所以|𝑃𝐹1|2|𝑃𝐹2|=(𝑡+2)2𝑡=𝑡+4𝑡+4≥2√𝑡×4𝑡+4=8，（当𝑡=4𝑡即𝑡=2时取等号），即|𝑃𝐹1|2|𝑃𝐹2|的最小值为8.故答案为：8.四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022

·全国·高二课时练习）相距2km的两个哨所A，B听到远处传来的炮弹爆炸声，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所迟4s.已知当时的声速为340m/s，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程.【解题思路】根据

题意，建立平面直角坐标系，根据双曲线的定义，即可求得双曲线方程.【解答过程】设爆炸点为P，由已知，得|𝑃𝐴|−|𝑃𝐵|=340×4=1360（m）.因为|𝐴𝐵|=2km=2000m>1360m

，|𝑃𝐴|>|𝑃𝐵|，所以点P在以点A，B为焦点的双曲线并靠近点B的那一支上.以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如下所示：由2𝑎=1360，2𝑐=2000，得𝑎=680，

𝑐=1000，𝑏2=𝑐2−𝑎2=537600.因此，点P所在曲线是双曲线的右支，它的方程是𝑥2462400−𝑦2537600=1（𝑥>0）.18．（6分）（2022·全国·高二课时练习）已知𝑥21−𝑘−𝑦

2|𝑘|−3=−1，当k为何值时：(1)方程表示双曲线；(2)表示焦点在x轴上的双曲线；(3)表示焦点在y轴上的双曲线．【解题思路】利用双曲线标准方程中的分母的正负，即可得出结论．【解答过程】（1）∵𝑥21−𝑘−𝑦2|𝑘|−3=−1，即𝑥2𝑘−1+𝑦2|𝑘|−3=1，方程表

示双曲线，∴(k－1)(|k|－3)＜0，可得k＜－3或1＜k＜3；（2）∵𝑥21−𝑘−𝑦2|𝑘|−3=−1，即𝑥2𝑘−1+𝑦2|𝑘|−3=1，焦点在x轴上的双曲线，则{𝑘−1＞03−|𝑘|＞0，∴1＜k＜3；（3）∵𝑥21−𝑘−𝑦2|𝑘|−3=

−1，即𝑥2𝑘−1+𝑦2|𝑘|−3=1，焦点在y轴上的双曲线，则{|𝑘|−3＞01−𝑘＞0，∴k＜－3．19．（8分）（2022·全国·高三专题练习）在①左顶点为(−3,0)，②双曲线过点(3√2,4)

，③离心率𝑒=53这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．问题：已知双曲线与椭圆𝑥249+𝑦224=1共焦点，且______．(1)求双曲线的方程；(2)若点P在双曲线上，且|𝑃𝐹1|=8，求|𝑃𝐹2|．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解

题思路】（1）通过双曲线与椭圆𝑥249+𝑦224=1共焦点，可知双曲线的焦点在x轴上并能求出𝑐的值，从三个条件中任选一个，结合𝑏2=𝑐2−𝑎2，代入已知条件即可求出该双曲线的方程.（2）根据双曲线定义的几何意义||𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2||

=2𝑎即可求解.【解答过程】（1）因为双曲线与椭圆𝑥249+𝑦224=1共焦点，所以双曲线的焦点在x轴上，且𝑐=√49−24=5．选①，设双曲线的方程为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)，由双曲线的左顶点为(−3,0)得，�

�=3，所以𝑏2=𝑐2−𝑎2=25−9=16，所以双曲线的方程为𝑥29−𝑦216=1．选②，设双曲线的方程为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)，由双曲线过点(3√2,4)，得18𝑎2−16

𝑏2=1，又𝑎2=25−𝑏2，解得𝑏2=16，所以𝑎2=9，所以双曲线方程为𝑥29−𝑦216=1．选③，设双曲线的方程𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)，由离心率𝑒=53得，5𝑎=53⇒

𝑎=3，所以𝑏2=𝑐2−𝑎2=2.5−9=16，所以双曲线方程为𝑥29−𝑦216=1．（2）因为|𝑃𝐹1|=8，||𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2||=2𝑎=6，所以|𝑃𝐹2|=2或|𝑃𝐹2|=14.20．（8分）（2022·江西·高二期末（文））若𝐹1，𝐹2是双曲

线𝑥225−𝑦2144=1的两个焦点.(1)若双曲线上一点𝑀到它的一个焦点的距离等于10，求点𝑀到另一个焦点距离；(2)如图若𝑃是双曲线左支上一点，且|𝑃𝐹1|⋅|𝑃𝐹2|=288，求Δ𝐹1𝑃𝐹2的面积.【解题思路】（1）利

用双曲线的定义，根据点𝑀到一个焦点的距离求点𝑀到另一个焦点的距离即可；（2）先根据定义得到|𝑃𝐹2|−|𝑃𝐹1|=10，两边平方求得|𝑃𝐹1|2+|𝑃𝐹2|2，即证|𝑃𝐹1|2+|𝑃

𝐹2|2=|𝐹1𝐹2|2=262，∠𝐹1𝑃𝐹2=90°，再计算直角三角形面积即可.【解答过程】(1)𝐹1,𝐹2是双曲线𝑥225−𝑦2144=1的两个焦点，则𝑎=5,𝑏=12,𝑐=√𝑎2+𝑏2=13，点M到它的一个焦点的距离等于10，设点𝑀到

另一个焦点的距离为𝑚，则由双曲线定义可知，|𝑚−10|=2𝑎=10，解得𝑚=20或𝑚=0（舍去）即点𝑀到另一个焦点的距离为20；(2)P是双曲线左支上的点，则|𝑃𝐹2|−|𝑃𝐹1|=2𝑎=10，则|𝑃𝐹2|2−2|𝑃

𝐹1|⋅|𝑃𝐹2|+|𝑃𝐹1|2=100，而|𝑃𝐹1|⋅|𝑃𝐹2|=288，所以|𝑃𝐹1|2+|𝑃𝐹2|2=100+2×288=676=262，即|𝑃𝐹1|2+|𝑃𝐹2|2=|𝐹1𝐹2|2=

262，所以△𝐹1𝑃𝐹2为直角三角形，∠𝐹1𝑃𝐹2=90°，所以𝑆△𝐹1𝑃𝐹2=12|𝑃𝐹1|⋅|𝑃𝐹2|=12×288=144.21．（8分）（2022·全国·高二课时练习）某电厂冷却塔

的外形是由𝐶1双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转所形成的曲面.如图所示，已知它的最小半径为20m，上口半径为10√5m，下口半径为20√2m，高为60m，选择适当的平面直角坐标系.(1)求此双曲线𝐶1的方程；(2)定义：

以（1）中求出的双曲线𝐶1的实轴为虚轴，以𝐶1的虚轴为实轴的双曲线𝐶2叫做𝐶1的共轭双曲线，求双曲线𝐶2的方程；(3)对于（2）中的双曲线𝐶1､𝐶2的离心率分别为𝑒1､𝑒2，写出e1与e2满足的一个关系式，并证明.【解题思路】（1）以冷

却塔的轴截面的最窄处所在的直线为𝑥轴，垂直平分线为𝑦轴建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)，由题意知|𝐶𝐷|=2𝑎=40𝑚，所以𝑎=20，|𝐴

𝐵|=20√5m，|𝐸𝐹|=40√2m，可得答案；（2）以（1）中方程中的𝑥,𝑦互换位置可得答案；（3）𝑒1与𝑒2满足的一个关系式为1𝑒12+1𝑒22=1，分别求出𝑒1、𝑒2可得答案.【解答过

程】（1）以冷却塔的轴截面的最窄处所在的直线为𝑥轴，垂直平分线为𝑦轴建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)，由题意知|𝐶𝐷|=2𝑎=40𝑚，所以𝑎=20，|𝐴𝐵|=20√5m，|𝐸𝐹|=40√2m，所以𝐴(10

√5,𝑡)(𝑡>0)，𝐹(20√2,−60+𝑡)，所以{(10√5)2202−𝑡2𝑏2=1(20√2)2202−(𝑡−60)2𝑏2=1，解得{𝑏=40𝑡=20，所以双曲线𝐶1的方程为𝑥2400−𝑦21600=1.（2）以（1）中求出的双曲线𝐶1

的实轴为虚轴，以𝐶1的虚轴为实轴的双曲线𝐶2为𝑦21600−𝑥2400=1.（3）𝑒1与𝑒2满足的一个关系式为1𝑒12+1𝑒22=1，证明如下，双曲线𝐶1的半焦距𝑐=√400+1600=20√5，所以双曲线𝐶1的离心率为𝑒

1=𝑐𝑎=20√520=√5，双曲线𝐶2的半焦距𝑐=√400+1600=20√5，所以双曲线𝐶2的离心率为𝑒2=𝑐𝑏=20√540=√52，所以1𝑒12+1𝑒22=(𝑎𝑐)2+(𝑏𝑐)2=(1√5)2+(2√5)2=1，

所以𝑒1与𝑒2满足的一个关系式为1𝑒12+1𝑒22=1.22．（8分）（2021·河北省高二期中）已知：双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1（𝑎>0，𝑏>0）的离心率为32且点(−2√2,√5)在双曲线上.（1）求双曲线的标准方程；（2）若双曲线的左顶点为𝐴1

，右焦点为𝐹2，P为双曲线右支上任意一点，求𝑃𝐴⃗1⋅𝑃𝐹⃗2的最小值；（3）若M是双曲线左支上任意一点，𝐹1为左焦点，写出|𝑀𝐹1|的最小值.【解题思路】（1）根据离心率及双曲线上的点联立方程求a,b即可求标准方程；（2）设𝑃(�

�,𝑦)(𝑥≥2)，写出向量𝑃𝐴1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝑃𝐹2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，利用二次函数求最值；（3）设𝑀(𝑥,𝑦)为双曲线左支上任意一点，求|𝑀𝐹1|，利用二次函数求最值.【解答过程】（1）由题意有{𝑐𝑎=328𝑎2−5�

�2=1𝑐2=𝑎2+𝑏2，解得𝑎2=4，𝑏2=5，故双曲线的标准方程为𝑥24−𝑦25=1；（2）由已知得𝐴1(−2,0)，𝐹2(3,0)，设𝑃(𝑥,𝑦)(𝑥≥2)，则𝑃𝐴1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(−2−𝑥,

−𝑦)，𝑃𝐹2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(3−𝑥,−𝑦)，所以𝑃𝐴1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝑃𝐹2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑥2−𝑥−6+𝑦2=𝑥2−𝑥−6+54𝑥2−5=94𝑥2−𝑥−11=94(𝑥−29)2−

1009，因为𝑥≥2，所以当𝑥=2时，𝑃𝐴1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝑃𝐹2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑取得最小值，且最小值为-4.（3）设𝑀(𝑥,𝑦)为双曲线左支上任意一点，因为左焦点𝐹1(−3,0)，所以|𝑀𝐹1|=√(𝑥+3)2+𝑦2=√(𝑥

+3)2+54𝑥2−5=√94𝑥2+6𝑥+4(𝑥≤−2)，由𝑦=94𝑥2+6𝑥+4(𝑥≤−2)，对称轴为𝑥=−43>−2知，当𝑥=−2时，𝑦min=94×4−2×6+4=1，所以

|𝑀𝐹1|min=1.