【文档说明】安徽省黄山市2021-2022学年高三下学期第二次质量检测文科数学试题 含解析.docx，共(21)页，1.401 MB，由小赞的店铺上传

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黄山市2022届高中毕业班第二次质量检测数学（文科）试题本试卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.

2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔

迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．纸上答题无效．．．．．．.第Ⅰ卷（选择题满分60分）一、选择题

（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．．.）1.若集合2{|60}Axxx=−−+，5{|1}3Bxx

=−−，则AB等于（）A.()3,3−B.[2,3)−C.(2,2)−D.[2,2)−【答案】D【解析】【分析】解不等式化简集合A，B，再利用交集的定义直接求解作答.【详解】不等式260xx−−+化为：260xx+

−，解得：32x−，则(3,2)A=−，不等式513x−−，即203xx+−，整理得：(2)(3)030xxx+−−，解得23x−，则[2,3)B=−，所以[2,2)AB=−.故选：D2.已知复数z满足(12i)43iz−=−（i为虚数单位）

，则z=（）A.5B.5C.2D.2【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算求出z，进而求出z即可计算作答.【详解】因(12i)43iz−=−，则43i(43i)(12i)105i2i12i(12i)(12i)5z−−++====+−−+，于是得2iz=−，所以

222(1)5z=+−=.故选：A3.“14a”是“对任意的正数x，均有1axx+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据基本不等式可判断充分性，取特值可判断不必要性.【详解】当14a，

0x时，由基本不等式可知221aaxxaxx+=，故“14a”是“对任意的正数x，均有1axx+”的充分条件；当14a=时，12214aaxxxx+==成立，14a不成立，故“14a”是“对任意的正数x，均有1axx+”的不必要条件.故选：A4.已知31tan2co

sxx−=，则sinx=（）A.312−B.512−C.152−D.152−【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，切化弦，利用诱导公式、同角公式求解作答.【详解】由31tan2cosxx−=得：3sin()123cosc

os()2xxx−=−，即cos1sincosxxx−=−，2cossinxx=，整理得2sinsin10xx+−=，而1sin1x−，解得51sin2x−=，所以51sin2x−=.故选：B5.设实数a、b满足ab，则下列不等式一定

成立的是（）A.22abB.11bbaa++C.22acbcD.332ab−+【答案】D【解析】【分析】对于A，B，C可以取特殊值验证，对于D，根据题意得330ab，3333abbb−−++，利用基本不等式求解即可.【详解】对于A：当2a=，

4b=−时不成立，故A错误；对于B：当12a=−，1b=−，所以2ba=，101ba+=+，即11bbaa++，故C错误；对于C：当0c=时不成立，故C错误；对于D：因为ab，所以330ab，又30b−，所以33332332bbabbb−−−++=（等号成立的条件是0b=），

故D正确.故选：D6.函数exxyx=的图象的大致形状是()A.B..C.D.【答案】C【解析】【分析】分x＞0和x＜0去掉绝对值化简函数解析式即可判断函数图像.【详解】∵1,0ee1,0exxxxxyxx==−，∴根据指数函

数图像即可判断选项C符合.故选：C.7.赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形组成)，如图(1)类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图(2)所示的图形，它是由

3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设3DFAF=，则图中阴影部分与空白部分面积之比为()A.79B.34C.56D.37【答案】B【解析】【分析】设AFx=，根据几何关系求出AD、DF、BD、ADB

，根据余弦定理求出AB，再根据等边三角形面积即可计算.【详解】设AFx=，则3DFx=，BDAFx==，4ADx=，120ADB=o，在ABD△中，根据余弦定理得，22222212cos1624212ABADBDADBDABDxxxxx=+

−=+−−=，∴221393sin60(3)244EFDSDFDExx===，2213213sin6021244ABCSABBCxx===，∴73ABCEFDSS=，∴图中阴影

部分与空白部分面积之比为34.故选：B.8.已知抛物线()2:20Cypxp=的焦点为F，过点()2,1R的直线l与抛物线C交于A、B两点，R为线段AB的中点，若5FAFB+=，则直线l的斜率为（）A.12B.1C.2D.4【答案】B【解析

】【分析】设出点A，B的坐标，利用抛物线定义结合已知求出p，再借助斜率坐标公式计算作答.【详解】设1122(,),(,)AxyBxy，抛物线()2:20Cypxp=的准线为：2px=−，因()2,1R为线段AB的中点，则124xx+=，又124522ppFAFBxxp+=+++

=+=，解得1p=，则抛物线C的方程为：22yx=，有221212,22yyxx==，122yy+=，显然直线l的斜率存在，所以直线l的斜率1212221212122122yyyykyyxxyy−−====−

+−.故选：B9.将函数()2cos(sincos)1222xxxfx=+−(0)的图象向右平移4个单位，得到函数()ygx=的图象，若()ygx=在[,0]4−上为增函数，则的最大

值为（）A.1B.32C.2D.52【答案】C【解析】【分析】化简函数()fx，再根据给定条件求出()gx，并求出()gx含数0的递增区间，然后列式计算作答.【详解】依题意，函数2()2sincos2cos1sincos2sin()2224xxxfxxxx

=+−=+=+，于是得2sin[()]2sin(4)4xgxx−+==，由22x−，0得：22x−，因此，函数()ygx=在,[]22−上为增函数，而()ygx=在[,0]4−上为增函数，于是得24ππω−−，解得02，

有max2=，所以的最大值为2.故选：C10.在四棱锥PABCD−中，底面梯形ABCD中//ADBC，22BCABPAAD====，3PB=，AC与BD交于M点，2PNND=，连接MN，则异面直线MN与AB所成角的余弦值为（）A.18−B.23C.74D.34【答案】D【解析

】【分析】依题得1,2DMDNMBNP==则//MNPB，所以异面直线MN与AB所成角与直线PB与AB所成角相等，结合余弦定理即可求解．【详解】因为//ADBC，则1,2DMADMBBC==又2PNND=，所以

1,2DMDNMBNP==故//MNPB所以异面直线MN与AB所成角与直线PB与AB所成角相等，由2224943cos22234ABPBPAABPABPB+−+−===故异面直线MN与AB所成角的余弦值为34．故选：D11.从双曲线2213yx−=的右焦点F引圆221x

y+=的切线FP交双曲线左支于P，T为切点，Q为线段FP的中点，O为坐标原点，则QOQT−=（）A.1B.31−C.3D.31+【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，求出||FT，再结合双曲线定义变形QOQT−，并计算作答.【详解】令双曲线2213yx−=左焦点为F

，连接,,PFOQOT，如图，显然(2,0)F，依题意，||||2PFPF−=，22||||||3FTOFOT=−=，Q为线段FP的中点，而O为线段FF的中点，1111||(||||)||||||||(||||)2222QOQTPFQFFTFTPFPFFTPFPF−=−−

=+−=−−31=−，所以31QOQT−=−.故选：B12.已知函数()ln()2,012e,0exxxxxfxxxx−−=−−，()()2gxfxxa=+−至少有2个零点，则实数a的取值范围是（）

A.211,e−B.21[0,]eC.211,0e−D.21,e−【答案】A【解析】【分析】构造函数()2fxx+，由导数研究单调性后作出图象，转化为交点问题求解【详解】令()()2hxfxx=

+，当0x时，()ln()hxx=−，当0x时，1()exxhx−=，求导得2()exxhx−=，02x时，()0hx，2x时，()0hx，故()hx在[0,2)上单调递增，在(2,)+上单调递

减，(0)1h=−，21(2)eh=，作出()hx大致图象如图所示，由题意得()yhx=和ya=图象至少有两个交点，故a的取值范围是211,e−故选：A【点睛】函数零点的判断：将问题转化为两函数的交点，作出两个函数的图象，看其交点的个数，利用导数研究函数的单调性，常化为极(最

)值问题，注意分类讨论与数形结合思想．第II卷（非选择题满分90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.请在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．．.）13.已知1e，2e均为单位向量

，若123ee−=，则1e与2e的夹角为______．【答案】23【解析】【分析】由123ee−=两边平方，再利用数量积的定义求解.【详解】因为1e，2e均为单位向量，且123ee−=，所以22212112223eeeeee−=−+=，即121cos,2ee=−，因为12,0,ee，所

以122,3ee=，故答案为：2314.若整数x、y满足不等式组022020xxyxy+−−+，则2zxy=+的最小值为________．【答案】4【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，利

用目标函数的几何意义计算作答.【详解】作出不等式组022020xxyxy+−−+表示的可行域，如图中阴影ABC(含边AB，不含边AC，BC)，其中(2,0),(2,4),(0,2)ABC，又,xy均为整数，上述可行域内横纵坐标均为整数的点

只有(1,2),(2,1),(2,2),(2,3)MNPQ四点，目标函数2zxy=+，即2yxz=−+表示斜率为-2，纵距为z平行直线系，画直线0:2lyx=−，平移直线0l到直线1l，当直线1l过点M时，直线1l的纵截距最小，z最小，min2124z=+=，所以

2zxy=+最小值为4.故答案为：415.已知三棱锥PABC−各个顶点都在球O的表面上，PAPB=，ACBC=，22AB=，26PC=，E、F分别为AB、PC的中点，且2EF=.则球O的表面积是_______．【答案

】24【解析】【分析】由几何关系求出球的半径后计算表面积【详解】由题意PAPB=，ACBC=，E是AB中点，故,PEABCEAB⊥⊥，又PECEE=，可得AB⊥平面PCE，ABEF⊥，由勾股定理可得246FAFB==+=

，而6FPFC==，由题意F即为球O的球心，半径为6，故球的表面积为4624=故答案为：24的的16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，1a=，34A=，若bc+有最大值，则实数的取值范围是_____．【答案

】2,22【解析】【分析】由正弦定理可得2sinBsinbcC==，根据目标式结合正弦定理的边角互化，易得bc+2(21)1sin()B=−++且1tan21=−、0,4B，可知bc+存在最大值即2B+=，进而可求的范围.【详解】∵1a=，34

A=，由正弦定理得：12sinBsin22bcC===，∴()222sinsin2sin2sin2sin2cossin422bcBCBBBBB+=+=+−=+−2(

21)sincos(21)1sin()BBB=−+=−++，其中1tan21=−，又0,4B，∴bc+存在最大值，即2B+=有解，即,42，∴210−，解得22，又1121

−，解得2，故的范围是2,22．故答案为：2,22．【点睛】关键点点睛：应用正弦定理边角关系、辅助角公式，结合三角形内角和、三角函数的性质列不等式组求参数范围.三、解答题（本大题共6小

题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请在答．．．题卷的相应区域答题．．．．．．．．．.）（一）必考题：共60分.17.为了解高一年级学生的选科意愿，某学校随机抽取该校100名高一学生进行调查，其中女生与

男生人数比是2：3，已知从100人中随机抽取1人，抽到报考物理的学生的概率为34.学科物理历史合计女生20男生合计（1）请补全22列联表，并判断是否有99.9%的把握认为选科与性别有关；（2）为了解选择物理学科意愿的同学的选择原因，从选物理的同学中

抽取了6人，其中有2名女生，并从这6名同学选出3人进行“当面交流”，问该组有女生的概率？附表及公式：20()PKk0.1000.0500.0100.0010k2.7063.8416.63510.82822().()()()()，−==++

+++++nadbcKnabcdabcdacbd【答案】（1）列联表见解析，有99.9%的把握认为选科与性别有关（2）45【解析】【分析】（1）直接填出列联表，按照公式计算2K即可；（2）直接列举出所有情况，找出包含女生的情况，按照古典概型计算即可.【小

问1详解】由比例可知男生有60人，女生40人，报考物理的有3100754=人，故有：学科物理历史合计女生202040男生55560合计752510022100(2055520)22.210.82840607525K−=，故有99.9%的

把握认为选科与性别有关.【小问2详解】由题意可知：把这6个人中女生记为A、B，男生记为c、d、e、f.从6人中选出3个人，所有的基本事件为：ABc、ABd、ABe、ABf、Acd、Ace、Acf、Ade、Adf、Aef、Bcd、Bce、Bcf、Bde、Bdf、Be

f、cde、cdf、cef、def共20种．有女生的有ABc、ABd、ABe、ABf、Acd、Ace、Acf、Ade、Adf、Aef、Bcd、Bce、Bcf、Bde、Bdf、Bef共16种.故有女生的概率是164205P==．18.直角梯形

ABCD中，//ADBC，2A=，1AD=，2AB=，3BC=，将梯形沿中位线EF折起使AEBE⊥，并连接AB、DC得到多面体AEBDFC−，连接DE，BD，BF.（1）求证：DF⊥平面BED；（2）求E到平面BDF的距离.【答案】（1）证明见解析（2）63【解析】【

分析】（1）过D作DMEF⊥垂足为M，得到EB⊥平面AEFD，即可求解；（2）根据题意得EBDFDBEFVV−−=，求解计算即可.【小问1详解】因为1AD=，2EF=，3BC=，//ADEF，过D作DMEF⊥垂

足为M，则2DF=，2DE=，2EF=，所以DEDF⊥，因为EBAE⊥，EBEFAEEFE⊥=，，AE平面AEFD，EF平面AEFD，所以EB⊥平面AEFD，又有DFAEFD平面，所以DFEB⊥，又=DEEBE，

DF⊥平面BED【小问2详解】设点E到平面BDF的距离为d，因为DMEF⊥，由（1）知，EB⊥平面AEFD，因DM平面AEFD，所以DMEB⊥，因为EF平面BEF，EB平面BEF，EBEFE=，所以DM⊥平面BEF，所以EBDFDBEFVV−−=，即ΔΔ1133DBEFBEFB

DFEBDFVSDMSdV−−===由2BA=，得3BD=，又2DF=，且由（1）知DF⊥平面BED，所以⊥DFDB，所以162BDFS△=，所以1612d=，即63d=，故E到平面BDF的距离为63.19.已

知数列na、nb满足1233=nbnaaaa，若数列na是等比数列，且13，=a434=+bb．（1）求数列na、nb的通项公式；（2）令()21nnnbcna=+，求{}nc的前n项和

为nS.为【答案】（1）3nna=，()12nnnb+=（2）3231443nnnS+=−【解析】【分析】（1）由条件解出na的公比后求通项公式，由指数幂的运算性质求nb；（2）写出{}nc的通项公式，由错位相减法求和．【小问1详

解】1111,33,1bnab====当时当2n时，13nnbbna−−=，43443=3bba−=，又341aaq=，∴3q=是以3为首项，3为公比的等比数列，133=3nnna−=∴当2n时，1nnbbn−−=由累加法可得：(1)1232nnnbn+=++++=，又当

1n=时，11b=也适合上式，∴()12nnnb+=【小问2详解】()()()12221133nnnnnnnbncnan+===++∴()23111111123133333nnnSnn−=++++−

+①∴()2311111112133333nnnSnn+=+++−+②①-②得：231111121111111231331333333326313nnnnnnnSnn++−+=++++−=−

=−−∴3231443nnnS+=−20.已知函数()()21exfxxx=+−.（1）求()fx的极值；（2）当211xx时，求证：()()1212124fxfxxxxx−−.【答案】（1）极小值为

1−，无极大值；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数()fx的导数()fx及零点，再探讨()fx在零点左右值的符号即可作答.（2）在给定条件下，等价变形要证不等式，再构造函数，借助单调性推理作答.【小问1详解】函数

()()21exfxxx=+−定义域为R，求导得()()()2e1ee2xxxfxxxx−=++=+，由()0fx=得x=0，当0x时，()0fx，当0x时，()0fx，即()fx在(),0−上单调递减，在()0,+上

单调递增，所以当0x=时，()fx取极小值()01f=−，无极大值.【小问2详解】因211xx，有120xx−，()()()()()()()121212121212122112444444fxfxxxfxfxfxfxxxxx

xxxxxx−−−=−++−，令()()()()2441e1xgxfxxxxxx=+=+−+，求导得()242exgxxxx=+−，当1x时，2e42)ee(2xxxxx=+++，2404x，即242e0xxxx+−，则(

)0gx，因此，()gx在)1,+上单调递增，当211xx时，21()()gxgx，即()()121244fxfxxx++，所以当211xx时，()()1212124fxfxxxxx−−成立.【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，

利用函数思想是解决问题的关键.21.如图，已知椭圆C：22221xyab+=(0)ab经过点()21,2P，1A、2A为椭圆的左右顶点，F为椭圆的右焦点，121FAFA=−．（1）求椭圆C的方程；（2）已知经过右焦点F直线AB（不经过点P）交椭圆C于A、B两点，交直线l：2x=于点

Q，若22PApBkk+=−，求直线PQ的斜率．【答案】（1）2212xy+=；（2）2−.【解析】【分析】（1）由121FAFA=−结合222acb−=求出2b，再由给定的点求解作答.（2）设出直线l的方程，与椭圆C的方程联立，结合韦达定理及斜率坐标公式计算作答.【小问1详解】依题意

，1(,0)Aa−，2(,0)Aa，令右焦点(c,0)F，则()1,0FAac=−−，()2,0FAac=−，由121FAFA=−，得221ca−=−，而222acb−=，则21b=，由椭圆过点()21,2P，得2211

12ab+=，有22a=，所以椭圆C的方程为2212xy+=.【小问2详解】由（1）知，(1,0)F，依题意，直线AB斜率存在，设直线AB：(1)ykx=−，11(,)Axy，22(,)Bxy，的由22

(1)22ykxxy=−+=消去y并整理得：2222)202142(−=+−+xkxkk，则2122412kxxk+=+，21222212kxxk−=+，显然121211yykxx==−−，121

21212122221122()1111211PAPByyyykkxxxxxx−−+=+=+−+−−−−−−2121212121222222221222212(1)(1)2()1212xxxxkkkkxxxxxxk−+−+−+=−=−=−−−−−+++2222k=−=−，解得22k=

−，点2(2,)2Q−，则有22()22212PQk−−==−−，所以直线PQ的斜率为2−.【点睛】思路点睛：涉及动直线与圆锥曲线相交满足某个条件问题，可设出直线方程，再与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理并结合已知推理求解.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做

，则按所做的第一题计分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22.已知直线l的参数方程为cossinxtyt==(其中t为参数)，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线

C的极坐标方程为22cos40m−−=（其中m0）.(1)若点M的直角坐标为()3,3，且点M在曲线C内，求实数m的取值范围；(2)若3m=,当α变化时，求直线l被曲线C截得的弦长的取值范围.【答案】（1）7,3

+；（2）4,213.【解析】【详解】试题分析：（1）化曲线C的参数方程为直⻆角坐标方程是:()2224xmym−+=+由点M在曲线C的内部，可得()22394mm−++，解不等式可得实数

m的取值范围；(2)根据极径的几何意义可得直线l截得曲线C的弦长为：()22121212436cos16−=+−=+，根据三角函数的有界性可得结果.试题解析：(1)由cossinxy==得曲线C对应的直⻆角坐标⽅方程为:()2224xmym−+=+由点M在

曲线C的内部，()22394mm−++,求得实数m的取值范围为7,3+.(2)直线l的极坐标⽅方程为=，代入曲线C的极坐标⽅方程整理理得26cos40−−=，设直线l与曲线C的两个交点对应的极径分别为1212126cos4

+==−，，，，则直线l截得曲线C的弦长为：()22121212436cos164,213−=+−=+ò.即直线l与曲线C截得的弦长的取值范围是4,213.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()|1|2||,0fxxxaa

=+−−.（1）当1a=时，求不等式()1fx的解集；（2）若()fx的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.【答案】（Ⅰ）2{|2}3xx（Ⅱ）（2，+∞）【解析】【详解】试题分析：(Ⅰ)由题意零点分段即可确定不

等式的解集为223xx；(Ⅱ)由题意可得面积函数为为()2213a+，求解不等式()22163a+可得实数a的取值范围为()2,+试题解析：（I）当1a=时，()1fx化为12110xx+−−−，

当1x−时，不等式化为40x−，无解；当11x−时，不等式化为320x−，解得213x；当1x时，不等式化为20x−+，解得12x．所以()1fx的解集为223xx．（II）由题设可得，()12,1,312,1,12,,xa

xfxxaxaxaxa−−−=+−−−++所以函数()fx的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为21,03aA−，()21,0Ba+，(),1Caa+，ABC的面积为()2213a+．由题设得()22163a+，故2a．所以a的取值范围为()2,+