【文档说明】安徽省黄山市2021-2022学年高三下学期第二次质量检测文科数学试题 含解析.docx，共(21)页，1.401 MB，由小赞的店铺上传

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黄山市2022届高中毕业班第二次质量检测数学（文科）试题本试卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.务必在答题卡背面规定的地方填写姓名

和座位号后两位.2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体

工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿．．．．．．．．．．．．．．．．．．

．．．纸上答题无效．．．．．．.第Ⅰ卷（选择题满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．．.）1.若集合2{|60}Axxx=−−+，5{|1}3B

xx=−−，则AB等于（）A.()3,3−B.[2,3)−C.(2,2)−D.[2,2)−【答案】D【解析】【分析】解不等式化简集合A，B，再利用交集的定义直接求解作答.【详解】不等式260xx−−+化为：260xx+−，解得：32x

−，则(3,2)A=−，不等式513x−−，即203xx+−，整理得：(2)(3)030xxx+−−，解得23x−，则[2,3)B=−，所以[2,2)AB=−.故选：D2.已知复数z满足(12i)43iz−=−（i

为虚数单位），则z=（）A.5B.5C.2D.2【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算求出z，进而求出z即可计算作答.【详解】因(12i)43iz−=−，则43i(43i)(12i)105i2i1

2i(12i)(12i)5z−−++====+−−+，于是得2iz=−，所以222(1)5z=+−=.故选：A3.“14a”是“对任意的正数x，均有1axx+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】

【分析】根据基本不等式可判断充分性，取特值可判断不必要性.【详解】当14a，0x时，由基本不等式可知221aaxxaxx+=，故“14a”是“对任意的正数x，均有1axx+”的充分条件；

当14a=时，12214aaxxxx+==成立，14a不成立，故“14a”是“对任意的正数x，均有1axx+”的不必要条件.故选：A4.已知31tan2cosxx−=，则sinx=（）A.312−B.512−C.152−D.152−【答案】B【解析】【分析】根据

给定条件，切化弦，利用诱导公式、同角公式求解作答.【详解】由31tan2cosxx−=得：3sin()123coscos()2xxx−=−，即cos1sincosxxx−=−，2cossinxx=，整理得2sinsin10

xx+−=，而1sin1x−，解得51sin2x−=，所以51sin2x−=.故选：B5.设实数a、b满足ab，则下列不等式一定成立的是（）A.22abB.11bbaa++C.22acbcD.332ab−+【答案

】D【解析】【分析】对于A，B，C可以取特殊值验证，对于D，根据题意得330ab，3333abbb−−++，利用基本不等式求解即可.【详解】对于A：当2a=，4b=−时不成立，故A错误；对于B：当12a=−，1b

=−，所以2ba=，101ba+=+，即11bbaa++，故C错误；对于C：当0c=时不成立，故C错误；对于D：因为ab，所以330ab，又30b−，所以33332332bbabbb−−−++=（等号成立的条件是0b=），故D正确.故选：D6

.函数exxyx=的图象的大致形状是()A.B..C.D.【答案】C【解析】【分析】分x＞0和x＜0去掉绝对值化简函数解析式即可判断函数图像.【详解】∵1,0ee1,0exxxxxyxx==−，∴根据指数函数图像即可判断选项C

符合.故选：C.7.赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形组成)，如图(1)类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图(2)所示的图形，它是由3个全

等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设3DFAF=，则图中阴影部分与空白部分面积之比为()A.79B.34C.56D.37【答案】B【解析】【分析】设AFx=，根据几何关系求出AD、DF、BD、ADB，根据余弦

定理求出AB，再根据等边三角形面积即可计算.【详解】设AFx=，则3DFx=，BDAFx==，4ADx=，120ADB=o，在ABD△中，根据余弦定理得，22222212cos1624212ABADB

DADBDABDxxxxx=+−=+−−=，∴221393sin60(3)244EFDSDFDExx===，2213213sin6021244ABCSABBCxx===，∴73ABCEFDSS=，∴图中阴影部分与空白部分面积之比为34.故选：B.8.已知抛物

线()2:20Cypxp=的焦点为F，过点()2,1R的直线l与抛物线C交于A、B两点，R为线段AB的中点，若5FAFB+=，则直线l的斜率为（）A.12B.1C.2D.4【答案】B【解析】【分析】设出点A，B的坐标，利用抛物线定义结合已知求出p，

再借助斜率坐标公式计算作答.【详解】设1122(,),(,)AxyBxy，抛物线()2:20Cypxp=的准线为：2px=−，因()2,1R为线段AB的中点，则124xx+=，又124522ppFAFBxxp+=+++=+=，解得1p=，

则抛物线C的方程为：22yx=，有221212,22yyxx==，122yy+=，显然直线l的斜率存在，所以直线l的斜率1212221212122122yyyykyyxxyy−−====−+−.故选：B9.将函数()2cos(sincos)1222xxxfx=+−(0)的图象向

右平移4个单位，得到函数()ygx=的图象，若()ygx=在[,0]4−上为增函数，则的最大值为（）A.1B.32C.2D.52【答案】C【解析】【分析】化简函数()fx，再根据给定条件求出()gx，并求出()gx含数0的递增

区间，然后列式计算作答.【详解】依题意，函数2()2sincos2cos1sincos2sin()2224xxxfxxxx=+−=+=+，于是得2sin[()]2sin(4)4xgxx−+==，由22x−，0得：22x−，因此

，函数()ygx=在,[]22−上为增函数，而()ygx=在[,0]4−上为增函数，于是得24ππω−−，解得02，有max2=，所以的最大值为2.故选：C10.在四棱锥PABCD−中，底面梯形ABCD中//ADBC，22BCAB

PAAD====，3PB=，AC与BD交于M点，2PNND=，连接MN，则异面直线MN与AB所成角的余弦值为（）A.18−B.23C.74D.34【答案】D【解析】【分析】依题得1,2DMDNMBNP==则//MNP

B，所以异面直线MN与AB所成角与直线PB与AB所成角相等，结合余弦定理即可求解．【详解】因为//ADBC，则1,2DMADMBBC==又2PNND=，所以1,2DMDNMBNP==故//MNPB所以异面直线MN与AB所成角与直线PB与AB所

成角相等，由2224943cos22234ABPBPAABPABPB+−+−===故异面直线MN与AB所成角的余弦值为34．故选：D11.从双曲线2213yx−=的右焦点F引圆221xy+=的切线FP交双曲线左支于P，T为切点，Q为线段FP的中点，O为坐标原点，则QOQT−=

（）A.1B.31−C.3D.31+【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，求出||FT，再结合双曲线定义变形QOQT−，并计算作答.【详解】令双曲线2213yx−=左焦点为F，连接,,PFOQOT，如图，显

然(2,0)F，依题意，||||2PFPF−=，22||||||3FTOFOT=−=，Q为线段FP的中点，而O为线段FF的中点，1111||(||||)||||||||(||||)2222QOQTPFQFFT

FTPFPFFTPFPF−=−−=+−=−−31=−，所以31QOQT−=−.故选：B12.已知函数()ln()2,012e,0exxxxxfxxxx−−=−−，()()2gxfxxa=+−至少有2个

零点，则实数a的取值范围是（）A.211,e−B.21[0,]eC.211,0e−D.21,e−【答案】A【解析】【分析】构造函数()2fxx+，由导数研究单调性后作出图象，转化为交点问题求解【详解】令()()2hxfxx=+，当0x时，

()ln()hxx=−，当0x时，1()exxhx−=，求导得2()exxhx−=，02x时，()0hx，2x时，()0hx，故()hx在[0,2)上单调递增，在(2,)+上单调递减，(0)1h=−，21(2)eh=，作出()hx大致图象如图所示，由题意得

()yhx=和ya=图象至少有两个交点，故a的取值范围是211,e−故选：A【点睛】函数零点的判断：将问题转化为两函数的交点，作出两个函数的图象，看其交点的个数，利用导数研究函数的单调性，常化为极(最)值问

题，注意分类讨论与数形结合思想．第II卷（非选择题满分90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.请在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．．.）13.已知1e，2e均为单位向量，若123ee−=，则1e与2e的夹角为______．【答案】23【解析】【分析】由123ee−

=两边平方，再利用数量积的定义求解.【详解】因为1e，2e均为单位向量，且123ee−=，所以22212112223eeeeee−=−+=，即121cos,2ee=−，因为12,0,ee，所以122,3ee=，故答案为：2314.若整数x、y满

足不等式组022020xxyxy+−−+，则2zxy=+的最小值为________．【答案】4【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，利用目标函数的几何意义计算作答.【详解】作出不等式组022020x

xyxy+−−+表示的可行域，如图中阴影ABC(含边AB，不含边AC，BC)，其中(2,0),(2,4),(0,2)ABC，又,xy均为整数，上述可行域内横纵坐标均为整数的点只有(1,2),(2,1),(2,2),(2,3)MNPQ四点，目标函数2zxy

=+，即2yxz=−+表示斜率为-2，纵距为z平行直线系，画直线0:2lyx=−，平移直线0l到直线1l，当直线1l过点M时，直线1l的纵截距最小，z最小，min2124z=+=，所以2zxy=+最小值为4.故答案为：415.已知三棱锥PABC−各个顶点都在球O的表面上，PAPB=，ACBC=

，22AB=，26PC=，E、F分别为AB、PC的中点，且2EF=.则球O的表面积是_______．【答案】24【解析】【分析】由几何关系求出球的半径后计算表面积【详解】由题意PAPB=，ACBC=，E是AB中点，故,PEABCEAB⊥⊥，又PE

CEE=，可得AB⊥平面PCE，ABEF⊥，由勾股定理可得246FAFB==+=，而6FPFC==，由题意F即为球O的球心，半径为6，故球的表面积为4624=故答案为：24的的16.在△ABC中，角A，B，C的

对边分别为a，b，c，1a=，34A=，若bc+有最大值，则实数的取值范围是_____．【答案】2,22【解析】【分析】由正弦定理可得2sinBsinbcC==，根据目标式结合正弦定理的边角互化，易得bc+2(21)1sin()B=−

++且1tan21=−、0,4B，可知bc+存在最大值即2B+=，进而可求的范围.【详解】∵1a=，34A=，由正弦定理得：12sinBsin22bcC===，∴()222sinsin2si

n2sin2sin2cossin422bcBCBBBBB+=+=+−=+−2(21)sincos(21)1sin()BBB=−+=−++，其中1tan21=−，又0,4B，∴bc+存在最大值，即2B+=有

解，即,42，∴210−，解得22，又1121−，解得2，故的范围是2,22．故答案为：2,22．【点睛】关键点点睛：应用正弦定理边角

关系、辅助角公式，结合三角形内角和、三角函数的性质列不等式组求参数范围.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请在答．．．题卷的相应区域答题．．．．．．．．．.）（一）必考题：共60分.17.为了解高一年级学生的选科意愿，某学校随机抽取该校

100名高一学生进行调查，其中女生与男生人数比是2：3，已知从100人中随机抽取1人，抽到报考物理的学生的概率为34.学科物理历史合计女生20男生合计（1）请补全22列联表，并判断是否有99.9%的把握认为选科与性别有关；（2）为了解选择物理学科意愿的同学的选择原因，从选物理的同

学中抽取了6人，其中有2名女生，并从这6名同学选出3人进行“当面交流”，问该组有女生的概率？附表及公式：20()PKk0.1000.0500.0100.0010k2.7063.8416.63510.82822().()()()()，−==+++

++++nadbcKnabcdabcdacbd【答案】（1）列联表见解析，有99.9%的把握认为选科与性别有关（2）45【解析】【分析】（1）直接填出列联表，按照公式计算2K即可；（2）直接列举出所有情况，找出

包含女生的情况，按照古典概型计算即可.【小问1详解】由比例可知男生有60人，女生40人，报考物理的有3100754=人，故有：学科物理历史合计女生202040男生55560合计752510022100(2055520)22.210.82840607525K−=，

故有99.9%的把握认为选科与性别有关.【小问2详解】由题意可知：把这6个人中女生记为A、B，男生记为c、d、e、f.从6人中选出3个人，所有的基本事件为：ABc、ABd、ABe、ABf、Acd、Ace、Acf、Ade、Adf、Aef、Bcd、Bce、Bcf、Bde

、Bdf、Bef、cde、cdf、cef、def共20种．有女生的有ABc、ABd、ABe、ABf、Acd、Ace、Acf、Ade、Adf、Aef、Bcd、Bce、Bcf、Bde、Bdf、Bef共16种.故有女生的概率是164205P

==．18.直角梯形ABCD中，//ADBC，2A=，1AD=，2AB=，3BC=，将梯形沿中位线EF折起使AEBE⊥，并连接AB、DC得到多面体AEBDFC−，连接DE，BD，BF.（1）求证：DF⊥平面BED；（2）求E到平面B

DF的距离.【答案】（1）证明见解析（2）63【解析】【分析】（1）过D作DMEF⊥垂足为M，得到EB⊥平面AEFD，即可求解；（2）根据题意得EBDFDBEFVV−−=，求解计算即可.【小问1详解】因为1AD=，2EF=

，3BC=，//ADEF，过D作DMEF⊥垂足为M，则2DF=，2DE=，2EF=，所以DEDF⊥，因为EBAE⊥，EBEFAEEFE⊥=，，AE平面AEFD，EF平面AEFD，所以EB⊥平面AEFD，又有DFAEFD平面，所以DFEB⊥，又=DEEBE，DF⊥平面BED

【小问2详解】设点E到平面BDF的距离为d，因为DMEF⊥，由（1）知，EB⊥平面AEFD，因DM平面AEFD，所以DMEB⊥，因为EF平面BEF，EB平面BEF，EBEFE=，所以DM⊥平面BEF，所以EBDFDBEFVV−−=，即ΔΔ1133DBEFBEFBDFEBDFV

SDMSdV−−===由2BA=，得3BD=，又2DF=，且由（1）知DF⊥平面BED，所以⊥DFDB，所以162BDFS△=，所以1612d=，即63d=，故E到平面BDF的距离为63.19.已知数列na、nb满足1233=nbnaaaa，若数列na是

等比数列，且13，=a434=+bb．（1）求数列na、nb的通项公式；（2）令()21nnnbcna=+，求{}nc的前n项和为nS.为【答案】（1）3nna=，()12nnnb+=（2）3231443nnnS+=−【解析】【分析】（1）由条件解出na的公比

后求通项公式，由指数幂的运算性质求nb；（2）写出{}nc的通项公式，由错位相减法求和．【小问1详解】1111,33,1bnab====当时当2n时，13nnbbna−−=，43443=3bba−=，又341aaq=，∴3q=是以3为首项，3为公比的等比数列，13

3=3nnna−=∴当2n时，1nnbbn−−=由累加法可得：(1)1232nnnbn+=++++=，又当1n=时，11b=也适合上式，∴()12nnnb+=【小问2详解】()()()12221133nnnnnnnbncnan+===++∴

()23111111123133333nnnSnn−=++++−+①∴()2311111112133333nnnSnn+=+++−+②①-②得：231111121111111231331333333326313nnnnnnnS

nn++−+=++++−=−=−−∴3231443nnnS+=−20.已知函数()()21exfxxx=+−.（1）求()fx的极值；（2）当211xx时，求证：()()1212124fxfxxxxx−−.【答案】（1）极小值为1−，无极大值；（2）证明见解析.【解析】【

分析】（1）求出函数()fx的导数()fx及零点，再探讨()fx在零点左右值的符号即可作答.（2）在给定条件下，等价变形要证不等式，再构造函数，借助单调性推理作答.【小问1详解】函数()()21exfxxx=+−定义域为R，求导得()

()()2e1ee2xxxfxxxx−=++=+，由()0fx=得x=0，当0x时，()0fx，当0x时，()0fx，即()fx在(),0−上单调递减，在()0,+上单调递增，所以当0x=时，()fx取极小值()01f=−，无极大值.【小问2详解】因

211xx，有120xx−，()()()()()()()121212121212122112444444fxfxxxfxfxfxfxxxxxxxxxxx−−−=−++−，令()()()()2441e1xgxf

xxxxxx=+=+−+，求导得()242exgxxxx=+−，当1x时，2e42)ee(2xxxxx=+++，2404x，即242e0xxxx+−，则()0gx，因此，()gx在

)1,+上单调递增，当211xx时，21()()gxgx，即()()121244fxfxxx++，所以当211xx时，()()1212124fxfxxxxx−−成立.【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用

函数思想是解决问题的关键.21.如图，已知椭圆C：22221xyab+=(0)ab经过点()21,2P，1A、2A为椭圆的左右顶点，F为椭圆的右焦点，121FAFA=−．（1）求椭圆C的方程；（2）已知经过右焦点F直线AB（不经过点

P）交椭圆C于A、B两点，交直线l：2x=于点Q，若22PApBkk+=−，求直线PQ的斜率．【答案】（1）2212xy+=；（2）2−.【解析】【分析】（1）由121FAFA=−结合222acb−=求出2b，再由给定的点求解作答.（2）设出直线l的方程

，与椭圆C的方程联立，结合韦达定理及斜率坐标公式计算作答.【小问1详解】依题意，1(,0)Aa−，2(,0)Aa，令右焦点(c,0)F，则()1,0FAac=−−，()2,0FAac=−，由121FAFA=−，得22

1ca−=−，而222acb−=，则21b=，由椭圆过点()21,2P，得221112ab+=，有22a=，所以椭圆C的方程为2212xy+=.【小问2详解】由（1）知，(1,0)F，依题意，直线AB斜率存在，设直线AB：(1)ykx=−，11(,)Axy，2

2(,)Bxy，的由22(1)22ykxxy=−+=消去y并整理得：2222)202142(−=+−+xkxkk，则2122412kxxk+=+，21222212kxxk−=+，显然121211yykxx==−−，121212121222211

22()1111211PAPByyyykkxxxxxx−−+=+=+−+−−−−−−2121212121222222221222212(1)(1)2()1212xxxxkkkkxxxxxxk−+−+−+=−=−=−−−−−+++222

2k=−=−，解得22k=−，点2(2,)2Q−，则有22()22212PQk−−==−−，所以直线PQ的斜率为2−.【点睛】思路点睛：涉及动直线与圆锥曲线相交满足某个条件问题，可设出直线方程，再与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理并结合已知推理求解.（二）选考题：共10分.请考生在第22、

23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22.已知直线l的参数方程为cossinxtyt==(其中t为参数

)，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22cos40m−−=（其中m0）.(1)若点M的直角坐标为()3,3，且点M在曲线C内，求实数m的取值范围；(2)若3m=,当α变化时，求直线l被曲线C截得的弦长

的取值范围.【答案】（1）7,3+；（2）4,213.【解析】【详解】试题分析：（1）化曲线C的参数方程为直⻆角坐标方程是:()2224xmym−+=+由点M在曲线C的内部，可得()22394mm−++，解不等式可得实数

m的取值范围；(2)根据极径的几何意义可得直线l截得曲线C的弦长为：()22121212436cos16−=+−=+，根据三角函数的有界性可得结果.试题解析：(1)由cossinxy==得曲线C对应的直⻆角坐标⽅方

程为:()2224xmym−+=+由点M在曲线C的内部，()22394mm−++,求得实数m的取值范围为7,3+.(2)直线l的极坐标⽅方程为=，代入曲线C的极坐标⽅方程整理理得26cos40

−−=，设直线l与曲线C的两个交点对应的极径分别为1212126cos4+==−，，，，则直线l截得曲线C的弦长为：()22121212436cos164,213−=+−=+ò.即直线l与曲线C截得的弦长的取值范围是4,213.选修4-5

：不等式选讲23.已知函数()|1|2||,0fxxxaa=+−−.（1）当1a=时，求不等式()1fx的解集；（2）若()fx的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.【答案】（Ⅰ）2{|2}3xx（Ⅱ）（2，+∞）【解

析】【详解】试题分析：(Ⅰ)由题意零点分段即可确定不等式的解集为223xx；(Ⅱ)由题意可得面积函数为为()2213a+，求解不等式()22163a+可得实数a的取值范围为()2,+试题解析：（I）当1a=时，()1fx化为12110xx+−−−，当1x−时，不等

式化为40x−，无解；当11x−时，不等式化为320x−，解得213x；当1x时，不等式化为20x−+，解得12x．所以()1fx的解集为223xx．（II）由题设可得，()12,1,312,1,12,,xaxfxxaxaxaxa−−−

=+−−−++所以函数()fx的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为21,03aA−，()21,0Ba+，(),1Caa+，ABC的面积为()2213a+．由题设得()

22163a+，故2a．所以a的取值范围为()2,+