【文档说明】云南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(19)页，990.303 KB，由小赞的店铺上传

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数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3．考试结束后，请将本试卷和答

题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.已知集合{13},{(2)(4)0}AxxBxxx==−−

∣∣，则AB=（）A.(2,3]B.[1,2)C.(,4)−D.[1,4)【答案】A【解析】【分析】解出集合B，再利用交集含义即可得到答案.【详解】{(2)(4)0}{24}Bxxxxx=−−=∣∣，而{|13}Axx=，则(2,3]AB=.故选

：A.2.已知命题2:,10pzz+C，则p的否定是（）A.2,10zz+CB.2,10zz+CC.2,10zz+CD.2,10zz+C【答案】B【解析】【分析】根据存在量词命题的否定形式可得.【详解】由存在量词命题的否定形式可知：2:,10pzz+

C的否定为2,10zz+C.故选：B3.正项等差数列na的公差为d，已知14a=，且135,2,aaa−三项成等比数列，则d=（）A.7B.5C.3D.1【答案】C【解析】【分析】由等比中项的性质再结合等差数

列性质列方程计算即可；【详解】由题意可得()23152aaa−=，又正项等差数列na的公差为d，已知14a=，所以()()2111224adaad+−=+，即()()222444dd+=+，解得3d=或1−（舍去），故选：C.4.若sin160m=，则=sin40（）A.

2m−B.221mm−−C.221mm−+D.221mm−【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式求出sin20，然后结合平方公式和二倍角公式可得.【详解】因为()sin160sin18020sin20m=−==，所以22cos201sin201m=−

=−，所以2sin402sin20cos2021mm==−.故选：D5.已知向量(1,2),||7aab=+=，若(2)bba⊥−，则cos,ab=（）A.55−B.510−C.510D.55【答案】C【解

析】【分析】联立||7ab+=和(2)0bba−=求出,bab即可得解.【详解】因为(1,2)a=，所以5a=，所以222||27ababab+=++=，整理得222bab+=①，又(2)bba⊥−，所以2(2)20bbabab−=−=②，联立①②

求解得11,2bab==，所以152cos,1051ababab===.故选：C6.函数()2()ln1fxxkx=++是奇函数且在R上单调递增，则k的取值集合为（）A.{}1−B.{0}C.{1}D.{1,1}−【答案】C【解析】【分析】根据奇函

数的定义得()()()()22222()ln1ln1ln10fxfxxkxxkxxkx−+=+−+++=+−=得1k=，即可验证单调性求解.【详解】()2()ln1fxxkx=++奇函数，故()()()()22222()ln1ln1ln10f

xfxxkxxkxxkx−+=+−+++=+−=，则22211xkx+−=，210k−=，解得1k=，当1k=−时，()221()ln1ln1fxxxxx=+−=++，由于21yxx=++在(0,+∞)为单调递增函数，故21()ln1f

xxx=++在(0,+∞)单调递减，不符合题意，当1k=时，()2()ln1fxxx=++，由于21yxx=++在(0,+∞)为单调递增函数且()00f=，故()2()ln1fxxx=++为(0,+∞)单调递增，根据奇函数的性质可得()2()l

n1fxxx=++在𝑅上单调递增，符合题意，故1k=，故选：C7.函数π()3sin,06fxx=+，若()(2π)fxf对xR恒成立，且()fx在π13π,66上有3

条对称轴，则=（）A.16B.76C.136D.16或76【答案】B是【解析】【分析】根据()2π3,2π2fTT=求解即可.【详解】由题知，当2πx=时()fx取得最大值，即π(2π)3sin2π36f=+

=，所以ππ2π2π,Z62kk+=+，即1,Z6kk=+，又()fx在π13π,66上有3条对称轴，所以13ππ2π266TT−=，所以2π12T=，所以76=.故选：B8.设椭圆2222

:1(0)xyEabab+=的右焦点为F，过坐标原点O的直线与E交于A，B两点，点C满足23AFFC=，若0,0ABOCACBF==，则E的离心率为（）A.59B.57C.55D.53【答案】D【解析】【分析】设(),Amn，表示出,,,OAOCA

FBF，根据0,0ABOCACBF==列方程，用c表示出,mn，然后代入椭圆方程构造齐次式求解可得.【详解】设(),Amn，则()(),,,0BmnFc−−，则()()(),,,,,OAmnAFcmnBFcmn==−−=+，因为23AFFC=

，所以()555,222nACAFcm==−−，所以()()55533,,,22222ncnOCOAACmncmm=+=+−−=−−，因为0,0ABOCACBF==，所以22225

3302220cOAOCmmnAFBFcmn=−−==−−=，得34,55mcnc==，又(),Amn在椭圆上，所以222291625251ccab+=，即()()222222229162525ca

cacaac−+=−，整理得4224255090aacc−+=，即42950250ee−+=，解得259e=或25e=（舍去），所以53e=.故选：D【点睛】关键点睛：根据在于利用向量关系找到点A坐标与c的关系，然后代入椭圆方程构造齐次式求解.二、多项选择题（本大题共3

小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.数列na的前n项和为nS，已知22()nSknnk=−R，则下列结论

正确的是（）A.na为等差数列B.na不可能为常数列C.若na为递增数列，则0kD.若nS为递增数列，则1k【答案】AC【解析】【分析】根据,nnaS的关系求出通项na，然后根据公差即可判断ABC；利用数列的函数性，分析对应二次函数的开口方向

和对称轴位置即可判断D.详解】当1n=时，112aSk==−，当2n时，()()()221212122nnnaSSknnknnknk−=−=−−−−−=−+，显然1n=时，上式也成立，所以()22naknk=−+.对A，因为()()()1222122nnaaknk

knkk−−=−+−−−+=，所以{𝑎𝑛}是以2k为公差的等差数列，A正确；对B，由上可知，当0k=时，{𝑎𝑛}为常数列，B错误；【对C，若{𝑎𝑛}为递增数列，则公差20k，即0k，C

正确；对D，若nS为递增数列，由函数性质可知02322kk，解得23k，D错误.故选：AC10.甲、乙两班各有50位同学参加某科目考试（满分100分），考后分别以110.820yx=+、220.7525yx=+的方式赋分，其中12,xx分别表示甲、乙两班原始考分

，12,yy分别表示甲、乙两班考后赋分．已知赋分后两班的平均分均为60分，标准差分别为16分和15分，则（）A.甲班原始分数的平均数比乙班原始分数的平均数高B.甲班原始分数的标准差比乙班原始分数的标准差高C.甲班每位同学赋分后的分数不低于原始分数D.若甲班王同学赋分后的分数比乙班李同

学赋分后的分数高，则王同学的原始分数比李同学的原始分数高【答案】ACD【解析】【分析】根据期望和标准差的性质求出赋分前的期望和标准差即可判断AB；作差比较，结合自变量范围即可判断C；作出函数0.820,0.7525y

xyx=+=+的图象，结合图象可判断D.【详解】对AB，由题知()()()()121260,16,15EyEyDyDy====，因为110.820yx=+，220.7525yx=+，所以()()()()12120.82060,0.752560,0.816,0.7515ExExDx

Dx+=+===，解得()()()()121250,46.7,20,20ExExDxDx===，所以()()()()1212,ExExDxDx=，故A正确，B错误；对C，因111200.2yxx−=−，10,100x，所以10200.220x−，即110y

x−，所以C正确；对D，作出函数0.820,0.7525yxyx=+=+的图象，如图所示：为由图可知，当12100yy=时，有21xx，又因为0.820yx=+单调递增，所以当12yy时必有12xx

，D正确.故选：ACD11.已知函数()fx及其导函数()fx的定义域为R，若(1)fx+与()fx均为偶函数，且(1)(1)2ff−+=，则下列结论正确的是（）A.(1)0f=B.4是()fx的一个周期C.(2024)0f=D.()fx的图象关于点(2,1)对称【答案】ABD【解析

】【分析】注意到()fx为偶函数则()()2fxfx−+=，由()(1)1fxfx−+=+两边求导，令0x=可判断A；()()11fxfx−−=+结合导函数的奇偶性可判断B；利用()fx的周期性和奇偶性可判断C；根据()()2fxfx−+=和()(1)1fxfx

−+=+可判断D.【详解】因为()fx为偶函数，所以()()fxfx−=，即()()fxfxc−−=+，而(1)(1)2ff−+=，故2c=−，故()()2fxfx+−=，又(1)fx+为偶函数，所以()(1)1fxfx−+=+，即()()2fxfx=−，所以()2()2fxfx−+−

=，故()(2)2fxfx++=即()2(4)2fxfx+++=，()()4fxfx=+，所以4是()fx的周期，故B正确.对A，由()(1)1fxfx−+=+两边求导得()()11fxfx−−=+，令0x=得()()11ff−=，解得()10f=，A正确；对

C，由上知()()2fxfx+−=，所以()01f=，所以()()(2024)450601fff===，C错误；对D，因为()()2fxfx+−=，()()2fxfx=−，故()2(2)2fxfx−++=，故()fx的图象关于(

2,1)对称，故选：ABD【点睛】关键点睛：本题解答关键在于原函数与导数数奇偶性关系，以及对()(1)1fxfx−+=+两边求导，通过代换求导函数的周期.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.曲线()exfxx=−在0x=处的切线方程为______．【答案】

1y=##10y−=【解析】【分析】求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切线方程.【详解】因为()exfxx=−，则()01f=，又()e1xfx=−，所以()00f=，所以曲线()exfxx=−在0x=处的切线方程为1y=．故答案为：1y=13.若复数cos21sin

isin(0π)2z=+−+在复平面内对应的点位于直线yx=上，则的最大值为__________．【答案】21−##12−+【解析】【分析】根据复数对应的点cos21sin,sin2+−

在yx=得212sin1sinsin2−+−=，即可利用二倍角公式以及基本不等式求解.【详解】cos21sinisin(0π)2z=+−+对应的点为cos21

sin,sin2+−，故cos21sinsin2+−=，的故212sin1sinsin2−+−=，由于()0,π，故sin0，则2sin112111

1sinsinsin12sin122sin2sin===−+++++，当且仅当1sin2sin=，即2sin2=，解得π3π,44==时等号成立，故答案为：21−14.过抛物线2:3Cyx=的焦点作直线l交C于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于

M，N两点，若||12AB=，则||MN=__________．【答案】83【解析】【分析】联立直线与抛物线方程，得韦达定理，根据焦点弦的公式可得223332122kABk+=+=，解得213k=，即可求解()111:AMyxxyk=−−+得11Mxk

yx=+，即可代入求解.【详解】2:3Cyx=的焦点为(34,0)，根据题意可知直线l有斜率，且斜率不为0，根据对称性不设直线方程为34ykx=−，联立直线34ykx=−与23yx=可得22223930216kxkxk−++=，设()()

1122,,,AxyBxy，故2121223392,16kxxxxk++==，故21223332122kABxxpk+=++=+=，解得213k=，直线()111:AMyxxyk=−−+，令0y=，则11Mxkyx=+，同理可得22Nxky

x=+，如下图，故()()()211221212121MNMNxxkyxkyxkyyxxkxx=−=+−−=−+−=+−，()()22221212233192141483316kMNkxxxxk+

=++−=+−=故答案为：83四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.记ABCV的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知22cos0abcA−+=．（1）求角C；（2）若AB边上的高为1，ABCV的

面积为33，求ABCV的周长．【答案】（1）π3C=；（2）23.【解析】【分析】（1）利用余弦定理角化边，整理后代入余弦定理即可得解；（2）利用面积公式求出c，然后由面积公式结合余弦定理联立求解可得ab+，可得周长.【小问1详

解】由余弦定理角化边得，2222202bcaabcbc+−−+=，整理得222abcab+−=，所以2221cos222abcabCabab+−===，因为()0,πC，所以π3C=.【小问2详解】由题

知，13123c=，即233c=，由三角形面积公式得1π3sin233ab=，所以43ab=，由余弦定理得()222π42cos333abababab+−=+−=，所以()2416433ab+=+=，所以433ab+=，所以ABCV的周长为43232333

abc++=+=.16.如图，PC是圆台12OO的一条母线，ABCV是圆2O的内接三角形，AB为圆2O的直径，4,22ABAC==．（1）证明：ABPC⊥；（2）若圆台12OO的高为3，体积为7π，求直线AB与平面PBC夹角的正弦值

．【答案】（1）证明见详解；（2）31919.【解析】【分析】（1）转化为证明AB⊥平面12OOCP，利用圆台性质即可证明；（2）先利用圆台体积求出上底面的半径，建立空间坐标系，利用空间向量求线面角即可.

【小问1详解】由题知，因为AB为圆2O的直径，所以ACBC⊥，又4,22ABAC==，所以2222ABABAC=−=，因为2O为AB的中点，所以2OCAB⊥，由圆台性质可知，12OO⊥平面ABC，且12,,,OOP

C四点共面，因为AB平面ABC，所以12OOAB⊥，因为122,OOOC是平面12OOCP内的两条相交直线，所以AB⊥平面12OOCP，因为PC平面12OOCP，所以ABPC⊥.【小问2详解】圆台12OO的体积()2222111ππ

2ππ237π3Vrr=++=，其中11rPO=，解得11r=或13r=−(舍去).由（1）知122,,OOABOC两两垂直，分别以2221,,OBOCOO为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则(2,0,0),(2

,0,0),(0,2,0),(0,1,3)ABCP−，所以(4,0,0),(2,1,3),(2,2,0)ABBPBC==−=−.设平面PBC的一个法向量为(,,)nxyz=，则230,220,nBPxyznBCxy=−++==−+=解得

,3,xyxz==于是可取(3,3,1)n=.设直线AB与平面PBC的夹角为，则22243319sincos,194331ABn===++，故所求正弦值为31919.17.已知函数()lnfxxax=+．（1）若()0fx在(0

,)x+恒成立，求a的取值范围；（2）若()1,()e()xagxffx==−，证明：()gx存唯一极小值点01,12x，且()02gx．【答案】（1）1,e−−；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）参变分离，构造函数()lnxhxx=−，

利用导数求最值即可；（2）求导，利用零点存在性定理结合单调性判断导函数的唯一零点在(12,1)内，利用零点方程代入()0gx，使用放缩法即可得证.【小问1详解】()0fx在(0,)x+恒成立，等价于lnxax−在(0,)+上恒成立，记()

lnxhxx=−，则()2ln1xhxx=−，当0ex时，ℎ′(𝑥)<0，当ex时，ℎ′(𝑥)>0，所以ℎ(𝑥)在()0,e上单调递减，在()e,+上单调递增，所以当ex=时，ℎ(𝑥)取得最小值()lne1eeeh=−=−，所以1ae−，即a的取值范围1,

e−−.【小问2详解】当1a=时，()()e()eln,0xxgxffxxx=−=−，则1()exgxx=−，在因为1e,xyyx==−在(0,)+上均为增函数，所以()gx在(

0,)+单调递增，又()121e20,1e102gg=−=−，所以在区间(12,1)存在0x，使得当𝑥∈(0,𝑥0)时，()0gx，当𝑥∈(𝑥0,+∞)时，()0gx，所以()gx在()00,x上单调递减，在()0,x+上单调递增，所以()gx存在唯一

极小值点01,12x.因为001e0xx−=，即00lnxx=−，所以00000()eln=exxgxxx=−+，因为01,12x，且=exyx+在(12,1)上单调递增，所以012001()=ee2xgxx++，又9e4，所以12

3e2，所以00031()=e222xgxx++=.18.动点(,)Mxy到直线1:3lyx=与直线2:3lyx=−的距离之积等于34，且||3||yx．记点M的轨迹方程为．（1）求的方程；（2）过上的点P作圆2

2:(4)1Qxy+−=的切线PT，T为切点，求||PT的最小值；（3）已知点40,3G，直线:2(0)lykxk=+交于点A，B，上是否存在点C满足0GAGBGC++=？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（

1）2213yx−=（2）2（3）193,44C−−【解析】【分析】（1）根据点到直线距离公式，即可代入化简求解，（2）由相切，利用勾股定理，结合点到点的距离公式可得()24343PTy=−+，即可由二次函数的性质求解，（3）联立直线与双曲线方程得到韦达

定理，进而根据向量的坐标关系可得()02201224,3443kxkkyyyk=−−−=−+=−，将其代入双曲线方程即可求解.【小问1详解】根据(,)Mxy到直线1:3lyx=与直线2:3lyx=−的距离之积等于34，可得333224xyxy−+=，化简得2233xy−=

，由于||3||yx，故2233xy−=，即2213yx−=.【小问2详解】设(,)Pxy，()()2222222441418163433PTPQxyyyy=−=+−−=−+=−+，故当3y=时，PT最小值为2【小问3详解】联立:2(0)lykxk=+与2233xy−=

可得()223470kxkx−−−=，设()()()112200,,,,,AxyBxyCxy，则12122247,33kxxxxkk−+==−−，故()212122444,3kyykxxk+=++=+−设存在点C满足0GAGBGC++=，则1201200433xxxyyy

++=++=，故()02201224,3443kxkkyyyk=−−−=−+=−，由于()00,Cxy在2233xy−=，故22222443333kkkk−−−=−−，化简得421966270kk−+=，即()()223

1990kk−−=，解得2919k=或23k=（舍去），由于()22Δ162830kk=+−，解得27k且23k，故2919k=符合题意，由于0k，故31919k=，故02202419,344334kxkkyk=−=−−−==−−,故193,44C−−，故存

在193,44C−−，使得0GAGBGC++=19.设nN，数对(),nnab按如下方式生成：()00,(0,0)ab=，抛掷一枚均匀的硬币，当硬币的正面朝上时，若nnab，则()()11

,1,1nnnnabab++=++，否则()()11,1,nnnnabab++=+；当硬币的反面朝上时，若nnba，则()()11,1,1nnnnabab++=++，否则()()11,,1nnnnabab++=+．抛掷n次硬币后，记nnab

=的概率为nP．（1）写出()22,ab的所有可能情况，并求12,PP；（2）证明：13nP−是等比数列，并求nP；（3）设抛掷n次硬币后na的期望为nE，求nE．【答案】（1）答案见详解；（2）证明见详解，1111332nnP−=

−−；（3）21113929nnEn=+−−【解析】【分析】（1）列出所有()11,ab和()22,ab的情况，再利用古典概型公式计算即可；（2）构造得1111323nnPP+−

=−−，再利用等比数列公式即可；（3）由（2）得()11111232nnnQP=−=−−，再分nnab，nnab=和nnab讨论即可.【小问1详解】当抛掷一次硬币结果为正时，()()11,1,0ab=；当抛掷一次硬币

结果为反时，()()11,0,1ab=.当抛掷两次硬币结果为（正，正）时，()()22,2,1ab=；当抛掷两次硬币结果为（正，反）时，()()22,1,1ab=；当抛掷两次硬币结果为（反，正）时，()()22,1,1ab=；当抛掷两次硬币结果为（

反，反）时，()()22,1,2ab=.所以，12210,42PP===.【小问2详解】由题知，1nnab−，当nnab，且掷出反面时，有()()11,,1nnnnabab++=+，此时11nnab++=，当nnab

，且掷出正面时，有()()11,1,nnnnabab++=+，此时11nnab++=，所以()()()()()1111112222nnnnnnnnnnPPabPabPabPabP+=+=+=−，所以1111323nn

PP+−=−−，所以13nP−是以11133P−=−为首项，12−为公比的等比数列，所以1111332nnP−−=−−，所以1111332nnP−=−−.【小问3详解】设nnab与nnab的概率均为n

Q，由(2)知，()11111232nnnQP=−=−−显然，111110222E=+=.若nnab，则1nnab=+，当下次投掷硬币为正面朝上时，11nnaa+=+，当下次投掷硬币为反面朝上时，

1nnaa+=;若nnab=，则当下次投掷硬币为正面朝上时，11nnaa+=+，当下次投掷硬币为反面朝上时，1nnaa+=;若nnab，则1nnba=+，当下次投掷硬币为正面朝上时，11nnaa+=+，当下次投掷硬币为反面朝上时，11

nnaa+=+.所以1nnaa+=时，期望不变，概率为111122262nnnQP+=+−;11nnaa+=+时，期望加1，概率为1111111124226262nnnnQP

−+=−+−=−−.所以()11111112144626262nnnnnnnEEEE+=+−++−−=+−−

.故12112111111444626262nnnnnnEEE−−−−−=+−−=+−−+−−=111111

1446262nE−=+−−++−−011111111444626262n−=−−+−−++−−111241612

nn−−=−−−21113929nn=+−−.经检验，当1n=时也成立.21113929nnEn=+−−.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是分1n

naa+=和11nnaa+=+时讨论，最后再化简nE的表达式即可.