【文档说明】江西省上饶市横峰中学2020-2021学年高二下学期第一次月考数学（理）试题（详解）含答案.doc，共(15)页，968.500 KB，由小赞的店铺上传

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横峰中学2020-2021学年下学期高二数学第一次月考（理科）考试时间：120分钟命题人：审题人：一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）1．观察下列式子:213122+，221151233++，222111712344+++，…，则

可归纳出()2221111231n+++++小于（）A．1nn+B．211nn−+C．211nn++D．21nn+2．下列求导结果正确的是（）A．cossin66=−B．()133xxx−=C．()22loglogexx=D．()sin2cos2xx=3．函数(

)fx的导函数为()(2)fxxx=−+，则()fx函数有（）A．最小值(0)fB．最小值(2)f−C．极大值(0)fD．极大值(2)f−4．如图①所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB

所围成的弓形面积的2倍，则函数y＝f(x)的图像是（）A．B．C．D．5．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是（）A．y＝un，u＝x2－1B．y＝(u－1)n，u＝x2C．y＝tn，t＝(x2－1)nD．y＝(t－1)n，t＝x2－16．

已知函数()yfx=的导函数为()fx，且满足()()21lnfxxfx=+，则曲线在点()()1,1Pf处的切线的斜率等于（）A．e−B．1−C．1D．e7．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36＝

22×32，所以36的所有正约数之和为(1＋3＋32)＋(2＋2×3＋2×32)＋(22＋22×3＋22×32)＝(1＋2＋22)(1＋3＋32)＝91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为（）A．20

1B．411C．465D．5658．已知()yfx=的图象如图所示，则()Afx与()Bfx的大小关系是（）A．f′(xA)＞f′(xB)B．f′(xA)＜f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB)D．不能确定9．若2()24fxxxlnx=−−，则()0fx的解集为()A

．(0,)+B．()()1,02,−+C．(2,)+D．(1,0)−10．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸被称为“十天干”，子､丑､寅､

卯､辰､巳､午､未､申､酉､戌､亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子､乙丑､丙寅､……､癸酉､甲戌､己亥､丙子､……､癸未､甲申､乙酉､丙戌､……､癸巳､……，共得到60个组合，周而复始，循环记录.已知18

94年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2021年是“干支纪年法”中的（）A．庚子年B．辛丑年C．己亥年D．戊戌年11．函数()fx的定义域为,(1)0,()ffx=R为()fx的导函数，且()0fx，则不等式()()20xfx−

的解集是（）A．(,1)(2,)−+B．(,1)(1,)−+C．(0,1)(2,)+D．(,0)(1,)−+12．设函数()sin1xxfxxeex−=+−−+，则满足()(32)2fxfx+−的x取值范围是（）A．(3,)+B．(1,)

+C．(,3)−D．(,1)−二、填空题（共20分，每小题5分）13．设x，yR，用反证法证明命题“如果224xy+，那么2x且2y”时，应先假设“___________”.14．函数()fx的定义域为开区间()

,ab，导函数()fx在(),ab内的图象如图所示，则函数()fx在开区间(),ab内有极小值点___________个.15．观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律，猜想第n个图中有_________

__小圆圈.16．设()()022lim2xfxfxx→+−−=−，则曲线()yfx=在点()()22f,处的切线的倾斜角是_______．三、解答题（共6小题，17题10分，后面5题每题12分，共70分）17．求下列函数的导函数：（1）cosxyex=；（2

）1lnxyxx+=+．18．已知函数321()(0)3fxxmxm=−．（1）当f(x)在x＝1处取得极值时，求函数f(x)的解析式；（2）当f(x)的极大值不小于23时，求m的取值范围．19．已知直线l：y＝4x＋a和曲线C：y＝x3－2x2＋3相

切．求：（1）切点的坐标；（2）a的值．20．已知数列na的前n项和为nS，214a=，且()1*1122nnnaSnNn−=+−.（1）求12S、24S、38S；（2）由（1）猜想数列2nnS的通项公式，并用数学归纳法证明.2

1．（1）求证：123aaaa−−−−−（其中3a）.（2）已知,,abc三数成等比数列,且,xy分别为,ab和,bc的等差中项.求证:2acxy+=.22．已知函数()()23xfxxem=−+.（1）讨论(

)fx的单调性；（2）若()()221210,,,48xxxxRfx+−，求m的取值范围.参考答案1．C【分析】根据已知式子分子和分母的规律归纳出结论.【详解】由已知式子可知所猜测分式的分母为1n+，分子第1n+个正奇数，即21n+，()2221112112

311nnn+++++++.故选：C.2．C【分析】利用导数的求导法则以及复合函数的求导法则可判断各选项的正误.【详解】对于A选项，cos06=，A选项错误；对于B选项，()

33ln3xx=，B选项错误；对于C选项，()22log1logln2exxx==，C选项正确；对于D选项，()()sin2cos222cos2xxxx==，D选项错误.故选：C.3．C【分析】根据导函数求出函数的单调区间，根

据极值的定义即可得出结果.【详解】由()(2)fxxx=−+，令()()20fxxx=−+，解得20x−，即函数的单调递增区间为()2,0−；令()()20fxxx=−+=，解得2x=−或0x=；令()()20fxxx=−+，解得0x或2x−，即函数的单调递减区间为()

,2−−，()0,+，所以函数的极大值(0)f.故选：C4．D【分析】根据y与x的变化趋势结合导数的几何意义判断即可；【详解】解：不妨设A固定，B从A点出发绕圆周旋转一周，刚开始时x很小，即弧AB长度很小，这

时给x一个改变量x，那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量非常小，即弓形面积的变化较慢；当弦AB接近于圆的直径时，同样给x一个改变量x，那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量将较大，即弓形面积的变化较快；从直径的位置开始，随着B点的继续旋转，弓形面积的变化又由变化

较快变为越来越慢．由上可知函数y＝f(x)的图像应该是首先比较平缓，然后变得比较陡峭，最后又变得比较平缓，对比各选项知D正确．故选：D．5．A【分析】直接根据函数的结构，找到内层函数和外层函数即可得解.【详解】函数y＝(x

2－1)n，可由y＝un，u＝x2－1，利用复合函数求导.故选：A.6．B【分析】对函数求导，根据导数的几何意义求出曲线在点()()1,1Pf处的切线斜率即可.【详解】由()()21lnfxxfx=+可得()()121fxfx=+，则()()1211ff=+，所以()11f

=−，由导数的几何意义可得，曲线在点()()1,1Pf处的切线的斜率等于()11kf==−.故选：B.7．C【分析】这是一个类比推理的问题，在类比推理中，参照36的所有正约数之和的方法可得到200的所有正约数之和

．【详解】200的所有正约数之和可按如下方法得到：因为200＝23×52，所以200的所有正约数之和为(1＋2＋22＋23)·(1＋5＋52)＝465，所以200的所有正约数之和为465.故选：C.8．B【分析】根据导

数的几何意义，结合图象可得答案.【详解】由导数的几何意义可知，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)＜f′(xB)．故选：B9．C【分析】由题意，可先求出函数的定义域及函数的导数，再解出不等式()0fx

的解集与函数的定义域取交集，即可选出正确选项．【详解】解：由题，()fx的定义域为(0,)+，4()22fxxx=−−，令4220xx−−，整理得220xx−−，解得2x或1x−，结合函

数的定义域知，()0fx的解集为(2,)+．故选：C．10．B【分析】根据“干支纪年法”的规则判断．【详解】天干的周期为10，地支的周期为12，因为1894年是“干支纪年法”中的甲午年，所以2014年为甲午年，从2014年到2021年，经过了7

年，所以“天干”中的甲变为辛，地支中的午变为丑，即2021年是辛丑年，故选：B.11．A【分析】依题意可得()fx再定义域上单调递增，又()10f=，即可得到1x时，()0fx；1x时，()0fx；再分类讨论分别计算最后取并集即可；【详解】解：由题意可知()fx在

(),−+单调递增，又()10f=，1x时，()0fx；1x时，()0fx；对于()()20xfx−，当2x时，不等式成立，当12x时，()20,0xfx−，不等式不成立；当1x时，20x−，且()0fx，不等式成立不等式的解集(,1)(2,)−

+故选：A.12．A【分析】设()sin−=+−−xxgxxeex，()gx为奇函数且单调递增，进而化简不等式，即可求出结果.【详解】设()sin−=+−−xxgxxeex，则()()1fxgx=+()sin()−−=−+−+=−

xxgxxeexgx，()gx为奇函数()'cos1,cos12,2xxxxgxxeexee−−=++−−−+'()cos10−=++−xxgxxee所以()sin−=+−−xxgxxeex在R上单调递增()(32)()(32)22+−=+−+fx

fxgxgx()(32)0()(32)()(23)+−−−−gxgxgxgxgxgx2-3xx，解得3x故选：A【点睛】方法点睛：解与复合函数有关的不等式，讨论函数奇偶性和单调性是常用的方法.本题考查了解决问题的综合能力和逻辑推理能力，属于难题.13．2x

或2y【分析】假设结论的反面成立，即结论的否定．注意存在量词与全称量词的互换．【详解】结论：2x且2y的否定是2x或2y．故答案为：2x或2y．14．1【分析】根据导函数的图象和极小值的定义可得极小值点的个数.【详解】从导函数的图象上可得导数的零点有4个，其中满

足零点左侧附近导数小于零且右侧附近导数大于零的零点有1个，故答案为：1.15．2nn1−+【分析】仔细观察每个图形中圆圈的个数与对应顺序之间的关系，从而归纳出第n个图形中小圆圈的个数.【详解】观察图中5个图形小圆圈

的个数分别为1，1×2+1，2×3+1，3×4+1，4×5+1，…，故第n个图中小圆圈的个数为(n-1)·n+1=n2-n+1.故答案为：n2-n+116．34【分析】利用导数的定义，化简整理，可得(2)1f=−，根据导数的几何意义，即可求得答案.【详解】

因为00(2)(2)(2)(2)(2)(2)limlimxxfxfxfxfffxxx→→+−−+−+−−==00(2)(2)(2)(2)limlim2(2)2xxfxffxffxx→→+−−−+==−

−，所以(2)1f=−，则曲线()yfx=在点(2,(2))f处的切线斜率为1−，即tan1=−，又[0,)所以所求切线的倾斜角为34．故答案为：3417．（1）()cossinxyexx=−；（2）22111xyxxx−=−+=.【分析】（1）根据导数的积的运

算法则和求导公式计算即可；（2）原函数可化为11lnyxx=++，然后利用反比例函数、对数函数的导数公式可得答案.【详解】（1）()()'coscossinxxyexexx−==；（2）()11ln1ln0xyx

xxxx+=+=++，所以()221110xyxxxx−=−+=.18．（1）31()3fxxx=−；（2）[1，＋∞)．【分析】（1）求导，由()10f=求出m，进而得出解析式；（2）根据导数求出极大值，再解不等式得出m的取值范围．【详解】（1）因为321()(0)

3fxxmxm=−，所以f′(x)＝x2－m2.因为f(x)在x＝1处取得极值，所以f′（1）＝1－m2＝0(m＞0)，所以m＝1，故31()3fxxx=−（2）f′(x)＝x2－m2.令f′(x)＝

0，解得x＝±m.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－m)－m(－m，m)m(m，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗由上表，得3332()()33mfxfmm

m=−=−+=极大值，由题意知2()3fx极大值，所以m3≥1，解得m≥1.故m的取值范围是[1，＋∞)．19．（1）249(,)327−或(2，3)；（2）a＝12127或a＝－5．【分析】（1）设切点为00(,)Pxy，求出导函数，得切线斜率，由已知切线方程求得切点坐标；（2）

切线坐标代入已知切线方程可求得参数a．【详解】解：（1）设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，∵y′＝3x2－4x，由题意可知直线l的斜率k＝4，∴200344xx−=，解得x0＝23−或x0＝2，代入曲线的方程，得切点的坐标为249(,)327−或(2，3)．（2）当切点为249(,)3

27−时，有4924273a=−+，解得a＝12127；当切点为(2，3)时，有3＝4×2＋a，解得a＝－5．∴a＝12127或a＝－5．20．（1）112S=，244S=，398S=；（2）()2*2nnSnnN=，证明见解析.【分析】（1）由()1

*1122nnnaSnn−=+−N，分别令1n=，2n=，3n=求解：（2）由（1）猜想，数列2nnS的通项公式为()2*2nnSnn=N，由1n=时成立，再假设()*nkkN=，22

kkSk=成立，然后论证1nk=+时成立即可.【详解】（1）()1*1122nnnaSnn−=+−N，当1n=时，1111112aSS==+−，解得12S=，即有112S=；当2n=时，22121121422aSSS=−=+−=

，解得216S=，则244S=；当3n=时，2332311223aSSS=−=+−，解得372S=，则398S=；（2）由（1）猜想可得数列2nnS的通项公式为()2*2nnSnn=N.下面运用数学归纳法证明.①当1n=时，由（1）可得112S=成立

；②假设()*nkkN=，22kkSk=成立，当1nk=+时，1111111221kkkkkaSSSk+−+++=−=+−+，即有()221112221221kkkkkkSSkkk+−=−=−=−+，则()()()1111221kkkSkkk

+−=+−+，当1k=时，上式显然成立；当1k时，()()221121212kkkSkk++=+=+，即()21112kkSk++=+，则当1nk=+时，结论也成立.由①②可得对一切*nN，22nnSn=成立.【点睛】方法点睛：“归纳—猜想—证明”的模式

，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性．21．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）

利用分析法证明不等式；（2）由等差中项可得2abx+=，2bcy+=，再由等比数列得2bac=，代入式子化简可得.【详解】（1）要证：123aaaa−−−−−（3a），即证：321aaaa+−−+−（3a），两边平方得：232323221aaaaaa−+

−−+−−（3a），即证：321aaaa−−−（3a），两边平方得：22332aaaa−−+，即02又02恒成立，故原不等式成立（2）,xyQ分别为为,ab和,bc的等差中项，2abx+=且2bcy+=又,,abc三数成等比数列，2bac=()

()()()2222()2222acacbcababacacbcabbcabbcabbcabacbacacbcxy++++++=+++++++++=+=+=+2()2abacacbcabacacbc+++==+++所以2acxy+=【点睛】方法点睛

：本题考查利用分析法证明不等式，及利用数列证明等式，利用分析法证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理，简单事实或题设的条件即可，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.22．（1）在(,3)−−和(1,)

+上递增，在(3,1)−上递减；（2）42,27e++.【分析】（1）直接求函数()fx的导数，进而判断函数的单调性；（2）由()()221210,,,48xxxxRfx+−，可知()()221minmax48xx

fx−，分别求函数最值即可.【详解】（1）由()()23xfxxem=−+，得()22()23(3)(1)xfxxxexxe=+−=+−，当3x−或1x，()'0fx，当31x−时，()'0fx，所以()

fx，在(,3)−−和(1,)+上递增，在(3,1)−上递减；（2）因为()fx在(0,1)上递减，在(1,)+上递增，所以()(1)2fxfme=−…，因为()22121(0,),,48xxxxRfx+−，所以22248xx

me−−恒成立，令22xt=，则0t，即：232mtte−+在(0,)+上恒成立，令23()2gttte=−+，则2()23(23)gttttt=−=−，所以()gt在20,3上递增，在2,3+上递减，所以24(

)2327mge=+，故m的取随范围的42,27e++.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化

为函数的单调性、极(最)值问题处理．