【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修三）专题7.7 二项分布与超几何分布（重难点题型精讲） Word版含解析.docx，共(18)页，257.860 KB，由小赞的店铺上传

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专题7.7二项分布与超几何分布（重难点题型精讲）1．伯努利试验(1)伯努利试验的概念把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.(2)n重伯努利试验的两个特征①同一个伯努利试验重复做n次；②各次试验的结果相互独立.2．二项分布一般地，在

n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)=，k=0，1，2，，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p).3．二项分布的期望与方差一般地，如果XB(n，p)，那么E(X

)=np，D(X)=np(1-p).4．超几何分布(1)定义一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，，r.其中n,N,M

∈，MN，nN，m={0，n-N+M}，r=.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.若随机变量X服从超几何分布，则其均值E(X)==np.(2)求超几何分布的分布列①判断随机变量是不是服从超几何分布；②套用超几何分布中

的概率公式,注意理解公式中各量的意义.5．超几何分布与二项分布的关系(1)超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率求解有截然不同的表达式，但看它们的概率分布列，会发现其相似点.超几何分布与二项分布是两个非常重要

的概率模型，许多实际问题都可以利用这两个概率模型来求解.在实际应用中，理解并辨别这两个概率模型是至关重要的.(2)事实上，在次品件数为确定数M的足够多的产品中，任意抽取n件(由于产品件数N无限多，无放回与有放回无区别，故可看作n重伯努利试验)，其中含有次

品的件数服从二项分布.【题型1二项分布的概率计算】【方法点拨】对于二项分布的概率计算问题，根据二项分布的定义及二项分布的分布列，进行求解即可.【例1】（2022春·新疆·高二阶段练习）已知随机变量𝑋服从二项分布𝑋∼𝐵(6,13)，则𝑃(𝑋=2)

等于（）A．1316B．4243C．13243D．80243【解题思路】由二项分布的概率公式计算．【解答过程】𝑃(𝑋=2)=C62(13)2(1−13)4=80243．故选：D．【变式1-1】（2022·高二单元测试）已知随机变量𝑋~𝐵(2,𝑝)，Y服从两点分布，若𝑃(𝑋≥1

)=0.64，𝑃(𝑌=1)=𝑝，则𝑃(𝑌=0)=（）A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8【解题思路】利用二项分布的概率公式可求p,然后利用两点分布概率公式计算可得结果.【解答过程】随机变量𝑋~𝐵(2，𝑝),𝑃(𝑋≥1)=𝑃(𝑋=1)+

𝑃(𝑋=2)=C21𝑝(1−𝑝)+C22𝑝2=0.64，解得𝑝=0.4（𝑝=1.6舍去，注意：0<𝑝<1），𝑃(𝑌=0)=1−𝑃(𝑌=1)=1−𝑝=1−0.4=0.6．故选:C．【变式1-2】（2022·高二课时练习）设随机变量𝑋~𝐵(

2,𝑝)，若𝑃(𝑋≥1)=59，则𝑝的值为（）A．13B．23C．√53D．49【解题思路】利用二项分布求解即可【解答过程】∵𝑋~𝐵(2,𝑝)，∴𝑃(𝑋=0)=(1−𝑝)2，∴𝑃(𝑋≥1)=1−𝑃(𝑋=

0)=1−(1−𝑝)2=59，解得𝑝=13，故选：A.【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）设随机变量𝜉~𝐵(2,𝑝)，𝜂~𝐵(4,𝑝)，若𝑃(𝜉≥1)=89，则𝑃(𝜂

≥1)=（）A．8081B．6581C．5581D．4081【解题思路】先建立方程𝐶20𝑝0(1−𝑝)2=19求出(1−𝑝)2=19，再计算𝑃(𝜂≥1)即可.【解答过程】解：因为随机变量𝜉~

𝐵(2,𝑝)，𝑃(𝜉≥1)=89，所以𝑃(𝜉≥1)=1−𝑃(𝜉=0)=89，则𝑃(𝜉=0)=19，因为𝑃(𝜉=0)=𝐶20𝑝0(1−𝑝)2，即𝐶20𝑝0(1−𝑝)2=19，解得(1−�

�)2=19随机变量𝜂~𝐵(4,𝑝)中，𝑃(𝜂≥1)=1−𝑃(𝜂=0)=1−𝐶40𝑝0(1−𝑝)4=1−(19)2=8081，故选：A.【题型2二项分布的期望与方差】【方法点拨】根据题目条件，结合二项分布的期望与方差公式，进行转化

求解即可.【例2】（2022·高二课时练习）已知随机变量X服从二项分布𝐵(12,𝑝)，若𝐸(2𝑋−3)=5，则𝐷(3𝑋)等于（）A．83B．8C．12D．24【解题思路】根据二项分布的数学期望和方差公

式，再结合数学期望和方差性质求解即可.【解答过程】随机变量X服从二项分布𝐵(12,𝑝)，𝐸(𝑋)=12𝑝，因为𝐸(2𝑋−3)=2𝐸(𝑋)−3=24𝑝−3=5，所以𝑝=13.因为𝐷(𝑋)=12×13×(1−13)=83，所以𝐷(3𝑋)=9𝐷(𝑋)=24.故选：D

.【变式2-1】（2022春·安徽滁州·高二阶段练习）德国数学家莱布尼茨是世界上第一个提出二进制记数法的人.二进制数被广泛应用于电子电路､计算机等领域.某电子电路每运行一次都随机出现一个四位二进制数𝐴=𝑎1𝑎2𝑎3𝑎4，其中𝑎𝑖(𝑖=1,2,3,4)

出现0的概率为13，出现1的概率为23，记𝑋=𝑎1+𝑎2+𝑎3+𝑎4，当电路运行一次时，𝑋的数学期望𝐸(𝑋)=（）A．43B．2C．83D．3【解题思路】根据二项分布求期望.【解答过程】由题意，𝑋=0,1,2,3,4,𝑃(𝑋=𝑘)=C4𝑘(13)4−𝑘

(23)𝑘，故𝑋∼𝐵(4,23),∴𝐸(𝑋)=4×23=83，故选:C.【变式2-2】（2022春·北京·高二期末）已知随机变量𝜉+𝜂=8，若𝜉∼𝐵(10,0.3)，则𝐸(𝜂),𝐷(𝜂)分别是（）A．4和2.4B．5和2.1C．2和

2.4D．4和5.6【解题思路】由𝜉∼𝐵(10,0.3)求得𝐸(𝜉),𝐷(𝜉)，根据𝜉+𝜂=8，结合均值和方差的性质，即可求得答案.【解答过程】由题意知，𝜉∼𝐵(10,0.3)，故𝐸(𝜉)=10×0.3=3,𝐷(𝜉)=10×0

.3×(1−0.3)=2.1，由于𝜉+𝜂=8，故𝜂=8−𝜉，所以𝐸(𝜂)=8−𝐸(𝜉)=8−3=5,𝐷(𝜂)=(−1)2𝐷(𝜉)=2.1,故选：B.【变式2-3】（2022秋·河南南阳·高三阶段练习）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为𝑝，各成员的支付方式相互

独立，设𝑋为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，𝐷(𝑋)=2.4，且𝑃(𝑋=4)<𝑃(𝑋=6)，则𝐸(𝑋)=（）A．6B．5C．4D．3【解题思路】由二项分布的方差公式可求出𝑝=0.4或�

�=0.6，又因为𝑃(𝑋=4)<𝑃(𝑋=6)可得𝑝>0.5，所以可求出𝑝=0.6，再由二项分布的期望即可求出答案.【解答过程】解：由二项分布的方差公式有𝐷(𝑋)=𝑛𝑝(1−𝑝)=2.4，解得

:𝑝=0.4或𝑝=0.6.而𝑃(𝑋=4)<𝑃(𝑋=6)，即C104𝑝4(1−𝑝)6<C106𝑝6(1−𝑝)4，解得:𝑝>0.5所以𝑝=0.6，从而𝐸(𝑋)=𝑛𝑝=6.故选:A.【题型3二项分布中的最大值问题】【方法点拨】对于二项分布中的最

值问题，结合P(X=k)的单调性确定P(X=k)的最大值和对应的k的值，进行求解即可.【例3】（2022春·山东枣庄·高二期末）某人在11次射击中击中目标的次数为X，若𝑋~𝐵(11,0.8)，若𝑃(𝑋=𝑘)最大，则k＝（）A

．7B．8C．9D．10【解题思路】若𝑃(𝑋=𝑘)最大，则{𝑃(𝑋=𝑘)≥𝑃(𝑋=𝑘+1)𝑃(𝑋=𝑘)≥𝑃(𝑋=𝑘−1)，解出𝑘的范围，代入数值.【解答过程】因为𝑃(�

�=𝑘)=C𝑛𝑘𝑝𝑘(1−𝑝)𝑛−𝑘，若𝑃(𝑋=𝑘)最大，则{𝑃(𝑋=𝑘)≥𝑃(𝑋=𝑘+1)𝑃(𝑋=𝑘)≥𝑃(𝑋=𝑘−1)，化简得：𝑛𝑝+𝑝−1≤𝑘≤𝑛𝑝+𝑝，𝑘∈N.代入已知数值得：8.6≤𝑘≤9.6，所以𝑘=9

时𝑃(𝑋=𝑘)最大.故选：C.【变式3-1】（2022春·北京通州·高二期末）若𝑋∼𝐵(10,12)，则𝑃(𝑋=𝑘)取得最大值时，𝑘=（）A．4B．5C．6D．5或6【解题思路】求得𝑃(𝑋=𝑘)的表达式，结合组

合数的性质求得正确答案.【解答过程】因为𝑋~𝐵(10,12)，所以𝑃(𝑋=𝑘)=C10𝑘⋅(12)𝑘⋅(1−12)10−𝑘=C10𝑘⋅(12)10，由组合数的性质可知，当𝑘=5时C10𝑘最大，此

时𝑃(𝑋=𝑘)取得最大值.故选：B.【变式3-2】（2022春·广东云浮·高二期末）已知𝑋∼𝐵(𝑛,𝑝)，若4𝑃(𝑋=2)=3𝑃(𝑋=3)，则𝑝的最大值为（）A．56B．45C．34D．23【解题思路】根据4𝑃(𝑋=2)=3𝑃(𝑋=3)可得到方程，求得𝑝=4�

�+2，结合n的取值，可得答案.【解答过程】由题意可知𝑛≥3，因为4𝑃(𝑋=2)=3𝑃(𝑋=3)，所以4C𝑛2𝑝2(1−𝑝)𝑛−2=3C𝑛3𝑝3(1−𝑝)𝑛−3，整理得4(1−𝑝)=(𝑛−2)𝑝，即𝑝=

4𝑛+2，又𝑛∈𝑁*，且𝑛≥3，所以𝑝≤45，故选：B.【变式3-3】（2022·全国·高三专题练习）经检测有一批产品合格率为34，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为𝜉，则𝑃(𝜉=𝑘)取得最大值时𝑘的值为（）A．2B．3C．4D．5【解题思路】随

机变量𝜉~𝐵(5,34)，𝑃(𝜉=𝑘)=𝐶5𝑘⋅(34)𝑘⋅(14)5−𝑘，若𝑃(𝜉=𝑘)取得最大值时,则有{𝑃(𝜉=𝑘)⩾𝑃(𝜉=𝑘+1)𝑃(𝜉=𝑘)⩾𝑃(𝜉=𝑘−1)

，𝑘∈𝑁∗，求出𝑘的值.【解答过程】由题意，随机变量𝜉~𝐵(5,34)，∴𝑃(𝜉=𝑘)=𝐶5𝑘⋅(34)𝑘⋅(14)5−𝑘，若𝑃(𝜉=𝑘)取得最大值时，则:{𝑃(𝜉=𝑘)⩾𝑃(𝜉=𝑘+1)𝑃(𝜉=𝑘)⩾𝑃(𝜉=𝑘−1)⇒{𝐶5

𝑘(34)𝑘(14)5−𝑘⩾𝐶5𝑘+1(34)𝑘+1(14)4−𝑘𝐶5𝑘(34)𝑘(14)5−𝑘⩾𝐶5𝑘−1(34)𝑘−1(14)6−𝑘则{15−𝑘×14≥1𝑘+1×341𝑘×34≥16−𝑘×

14，解得3.5⩽𝑘⩽4.5,𝑘∈𝑁∗，则𝑘=4．故选：𝐶．【题型4超几何分布的判断】【方法点拨】对于所给的随机变量X，根据超几何分布的定义来进行判断即可.【例4】（2022·全国·高三专题练习）下列随机事件中的随机变量𝑋服从超几何分布的是（）A．将一枚硬币连抛3

次，记正面向上的次数为𝑋B．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为𝑋C．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为𝑋D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的

次数为𝑋【解题思路】根据超几何分布的定义可判断得选项.【解答过程】解：由超几何分布的定义可判断，只有B中的随机变量𝑋服从超几何分布.故选：B.【变式4-1】（2023·全国·高二专题练习）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，

还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：①X表示取出的最大号码；②X表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分；④X表示取出的黑球个数．这四种变量中服从超几何分布的是()

A．①②B．③④C．①②④D．①②③④【解题思路】根据超几何分布的定义逐项判断后可得正确的选项.【解答过程】对于①，当X表示最大号码，比如𝑋=6表示从黑球编号为1,2,3,4,5中取3个黑球，而𝑋=8表示从6个黑球和编号为7的白球

共7个球中取3个球，故该随机变量不服从超几何分布，同理②中的随机变量不服从超几何分布.对于③，𝑋的可能取值为4,5,6,7,8，𝑋=4表示取出4个白球；𝑋=5表示取出3个白球1个黑球；𝑋=6表示取出2个白球2个黑球；𝑋=7表示取出1个白球3个黑球；𝑋=8表示取出4个黑球；因

此𝑋服从超几何分布.由超几何分布的概念知④符合，故选：B.【变式4-2】（2023·全国·高二专题练习）在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为（）A

．N＝15，M＝7，n＝10B．N＝15，M＝10，n＝7C．N＝22，M＝10，n＝7D．N＝22，M＝7，n＝10【解题思路】根据超几何分布概率模型可得选项.【解答过程】根据超几何分布概率模型得N＝15，M＝7，n＝10，故选：A.【变式4-3】

（2022春·黑龙江绥化·高二期末）一个袋子中100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量𝑋表示样本中黄球的个数，则𝑋服从（）A．二项分布，

且𝐸(𝑋)=8B．两点分布，且𝐸(𝑋)=12C．超几何分布，且𝐸(𝑋)=8D．超几何分布，且𝐸(𝑋)=12【解题思路】利用超几何分布的定义判断，再利用超几何分布的期望公式求解.【解答过程】解：由于是不放回地随机摸出20个球作

为样本，所以由超几何分布得定义得𝑋服从超几何分布，所以𝐸(𝑋)=40×20100=8.故选：C.【题型5二项分布的实际应用】【方法点拨】利用二项分布模型解决实际问题的一般步骤：(1)根据题意设出随机变量；(2)分析随机变量是否服从二项分布；(3)若服从二项分布，则求出参

数n和p的值；(4)根据需要列出相关式子并解决问题.【例5】（2023·全国·高二专题练习）为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数

，期望𝐸(𝑋)=3，方差𝐷(𝑋)=32．(1)求n和p的值，并写出X的分布列.；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．【解题思路】（1）根据二项分布的知识列方程组，求得𝑛,𝑝，并求得𝑋的分布列.（2）结合（1）的分布列求得正确答案.【解答过程】（1

）由题意知，随机变量X服从二项分布𝐵(𝑛,𝑝)，𝑃(𝑋=𝑘)=C𝑛𝑘𝑝𝑘(1−𝑝)𝑛−𝑘，𝑘=0,1,⋯,𝑛．由{𝐸(𝑋)=𝑛𝑝=3𝐷(𝑋)=𝑛𝑝(1−𝑝)

=32，解得𝑛=6，𝑝=12．所以𝑋∼𝐵(6,12)，𝑋的可能取值为0,1,2,3,4,5,6，𝑃(𝑋=0)=C6026=164,𝑃(𝑋=1)=C6126=664=332，𝑃(𝑋=2)=C6226=1564,𝑃(𝑋=3)

=C6326=2064=516，𝑃(𝑋=4)=C6426=1564,𝑃(𝑋=5)=C6526=664=332，𝑃(𝑋=6)=C6626=164，所以X的分布列为：𝑋0123456𝑃16433215645161564332164（2）记事件A表示“需要

补种沙柳”，则𝑃(𝐴)=𝑃(𝑋≤3)，得𝑃(𝐴)=164+332+1564+516=2132，所以需要补种沙柳的概率为2132．【变式5-1】（2022·高二课时练习）某公园种植了4棵棕榈树，各棵棕榈树成活与否是相互独立的，且成活率

均为23，设𝜉为成活棕榈树的棵数.(1)求𝜉的分布列；(2)若有2棵或2棵以上的棕榈树未成活，则需要补种，求需要补种棕榈树的概率.【解题思路】（1）根据题意成活棕榈树的棵数服从二项分布，再求出分布列即可；（2）由题意

计算𝑃(𝜉≤2)即可.【解答过程】（1）易知𝜉所有可能的取值为0，1，2，3，4，且𝑃(𝜉=0)=C40(1−23)4(23)0=181，𝑃(𝜉=1)=C41(1−23)3(23)1=881，𝑃(𝜉=2)=C42(1−23)2(23)2=827，𝑃(𝜉=3)=

C43(1−23)1(23)3=3281，𝑃(𝜉=4)=C44(1−23)0(23)4=1681，所以𝜉的分布列为𝜉01234P18188182732811681（2）记“需要补种棕榈树”为事件A，由（1）得，𝑃(𝐴)=𝑃(𝜉≤2)=181+881+827=1127，所以需

要补种棕榈树的概率为1127.【变式5-2】（2022秋·辽宁沈阳·高二期末）新疆棉以绒长、品质好、产量高著称于世．现有两类以新疆长绒棉为主要原材料的均码服装，A类服装为纯棉服饰，成本价为120元/件，总量中有30%将按照原价2

00元/件的价格销售给非会员顾客，有50%将按照8.5折的价格销售给会员顾客．B类服装为全棉服饰，成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格销售给非会员顾客，有40%将按照8.5折的价格销售给会员顾客．这两类服装

剩余部分将会在换季促销时按照原价6折的价格销售给顾客，并能全部售完．(1)设A类服装单件销售价格为𝜉元，B类服装单件销售价格为𝜂元，分别写出两类服装单件销售价格的分布列，并通过计算比较这两类服装单件收益的期

望（收益=售价-成本）的大小；(2)某服装专卖店店庆当天，全场A，B两类服装均以会员价销售，假设每位来店购买A，B两类服装的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买了服装的顾客中购买A类服装的概率均为13．已知该

店店庆当天这两类服装共售出5件，设X为该店当天所售服装中B类服装的件数，若𝑃(𝑋≤𝑛)≤0.5(𝑛∈N)，求n的所有可能取值．【解题思路】（1）根据给定的信息，求出𝜉，𝜂的可能值及对应的概率，列出分布列并求出

期望作答.（2）求出购买了服装的顾客中购买B类服装的概率，借助二项分布求出n的各个值对应的概率，再比较判断作答.【解答过程】（1）依题意，𝜉的可能值为200，170，120，𝑃(𝜉=200)=0.3,𝑃(𝜉=170)=0.5,𝑃

(𝜉=120)=0.2，𝜉的分布列为：𝜉200170120P0.30.50.2𝜉的期望𝐸(𝜉)=200×0.3+170×0.5+120×0.2=169，𝜂的可能值为300，255，180，𝑃(𝜂=300)=0.2,𝑃(𝜂=255)=0.4,𝑃

(𝜂=180)=0.4，𝜂的分布列为：𝜂300255180P0.20.40.4𝜂的期望𝐸(𝜂)=300×0.2+255×0.4+180×0.4=234，设A类服装、B类服装的单件收益分别为𝑋1元，𝑋2元，则𝑋1=𝜉−120，𝑋2=𝜂−160

，𝐸(𝑋1)=𝐸(𝜉)−120=49（元），𝐸(𝑋2)=𝐸(𝜂)−160=74（元），𝐸(𝑋1)<𝐸(𝑋2)，所以B类服装单件收益的期望大.（2）依题意，𝑋的可能值为0，1，2，3，4，5，显然𝑋~𝐵(5,23)，𝑃(𝑋=0)=(13)5=1

243，𝑃(𝑋=1)=C51(23)1(13)4=10243，𝑃(𝑋=2)=C52(23)2(13)3=40243，𝑃(𝑋=3)=C53(23)3(13)2=80243，𝑃(𝑋=4)=C54(23)4(13)1=80243，𝑃(𝑋=5)=C55(23)5=32243，因为

𝑃(𝑋≤2)=1+10+40243=1781<0.5，𝑃(𝑋≤3)=1+10+40+80243=131243>0.5，所以当𝑃(𝑋≤𝑛)≤0.5(𝑛∈N)时，n可取的值为0，1，2．【变式5-3】（2022春·上海闵行·高二期末）2022年冬奥会刚刚

结束，比赛涉及到的各项运动让人们津津乐道．高山滑雪（A1pineSkiing）是以滑雪板、雪鞋、固定器和滑雪杖为主要用具，从山上向山下，沿着旗门设定的赛道滑下的雪上竞速运动项目．冬季奥运会高山滑雪设男子项目、女子项目、混合项日．其中，男

子项目设滑降、回转、大回转、超级大回转、全能5个小项，其中回转和大回转属技术项目．现有90名运动员参加该项目的比赛，组委会根据报名人数制定如下比赛规则：根据第一轮比赛的成绩，排名在前30位的运动员进入胜者组，直接进入第二轮比赛，排名在后60位的运动员进入败者组进行

一场加赛，加赛排名在前10位的运动员从败者组复活，进入第二轮比赛．现已知每位参赛运动员水平相当．(1)求每位运动员进入胜者组的概率，及每位败者组运动员复活的概率；(2)从所有参赛的运动员中随机抽取5人，设这5人中进入胜者组的人数为X，求X的分布列和数学

期望；(3)从败者组中选取10人，其中最有可能有多少人能复活？试用你所学过的数学和统计学理论进行分析．【解题思路】（1）利用古典概型的概率公式求解即可；（2）由已知可得𝑋∼𝐵(5,13)，依次求出𝑋对应值的概率，写出分布列，并用期望公式求出期望即可；（3）由已知可得复活的人数𝑘∼𝐵(

10,16)，依据已知条件列出不等式即可求解.【解答过程】(1)每位运动员进入胜者组的概率为3090=13,每位败者组运动员复活的概率为1060=16；(2)由已知条件得进入胜者组的人数为𝑋∼𝐵(5,13),所以𝑃(𝑋=𝑛)=C5

𝑛(13)𝑛(1−13)5−𝑛，其中𝑛=0,1,2,3,4,5，所以𝑃(𝑋=0)=C50(13)0(1−13)5=32243，𝑃(𝑋=1)=C51(13)1(1−13)4=80243，𝑃(𝑋=2)=C52(13)2(1−13)3=80243，𝑃(�

�=3)=C53(13)3(1−13)2=40243，𝑃(𝑋=4)=C54(13)4(1−13)1=10243，𝑃(𝑋=5)=C55(13)5(1−13)0=1243，则𝑋的分布列为𝑋012345𝑃

32243802438024340243102431243数学期望𝐸(𝑋)=𝑛𝑝=5×13=53，(3)设从败者组选取的10人中有𝑘(𝑘∈𝑁∗)人复活，则𝑘∼𝐵(10,16)，所以𝑃(𝑘)=C10𝑘(16)𝑘(1−16)10−𝑘，

当𝑃(𝑘)最大时，用满足{𝑃(𝑘)≥𝑃(𝑘-1)𝑃(𝑘)≥𝑃(𝑘+1)，即{C10𝑘(16)𝑘(1−16)10−𝑘≥C10𝑘-1(16)𝑘-1(1−16)11−𝑘C10𝑘(1

6)𝑘(1−16)10−𝑘≥C10𝑘+1(16)𝑘+1(1−16)9−𝑘，解得56≤𝑘≤116，又因为𝑘∈𝑁∗，所以𝑘=1，即最有可能有1人复活.【题型6超几何分布的实际应用】【方法

点拨】利用超几何分布模型解决实际问题的一般步骤：(1)根据题意设出随机变量；(2)分析随机变量是否服从超几何分布；(3)若服从超几何分布，则求出随机变量的概率及分布列；(4)根据需要列出相关式子并解决问题.【例6】（2022春·安徽滁州·高二阶段练习）

北京时间2月20日，北京2022年冬奥会闭幕式在国家体育场举行.北京2022年冬奥会的举行激发了人们的冰雪兴趣，带火了冬季旅游，某旅游平台计划在注册会员中调查对冰雪运动的爱好情况，其中男会员有1000名，女会员有800

名，用分层抽样的方法随机抽取36名会员进行详细调查，调查结果发现抽取的这36名会员中喜欢冰雪运动的男会员有8人，女会员有4人.(1)在1800名会员中喜欢冰雪运动的估计有多少人？(2)在抽取的喜欢冰雪运动的会员中任选3人，记

选出的3人中男会员有𝑋人，求随机变量𝑋的分布列与数学期望.【解题思路】(1)根据分层抽样的定义求出男女会员中喜欢冰雪运动的比例，进而求解；(2)根据超几何分布计算概率.【解答过程】（1）用分层抽样的方法随机抽取36名会员，其中男会员有10001800×36=20（人），女会员有16人，所以

在1800名会员中喜欢冰雪运动的估计有820×1000+416×800=600（人）.（2）𝑋可能的取值有0,1,2,3，𝑃(𝑋=0)=C80C43C123=4220=155,𝑃(𝑋=1)=C81C42C123=48220=1255，𝑃(𝑋=2)=C

82C41C123=112220=2855,𝑃(𝑋=3)=C83C40C123=56220=1455，所以𝑋的分布列为𝑋0123𝑃155125528551455所以𝑋的期望𝐸(𝑋)=0×155+1×1255+2×2855+3×1455=2.【变式6-1】

（2023·全国·高三专题练习）为提高天津市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了天津市旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游4名，其中高级导游2名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游3名.从这9名导游中随机选择4人参加比赛.(1)设𝐴为

事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件𝐴发生的概率；(2)设𝜉为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量𝜉的分布列和数学期望.【解题思路】（1）根据组合数的

计算以及古典概型概率问题的计算公式求得事件𝐴发生的概率.（2）根据超几何分布的知识求得分布列并求得数学期望.【解答过程】（1）由已知条件知，当两名高级导游来自甲旅游协会时，有C22C42=6种不同选法；当两名高级导游来自乙

旅游协会时，有C32C42=18种不同选法，则𝑃(𝐴)=C22C42+C32C42C94=421所以事件𝐴发生的概率为421；（2）随机变量𝜉的所有可能取值为0，1，2，3，4.𝑃(𝜉=0)=C50C44C94=1126

，𝑃(𝜉=1)=C51C43C94=1063，𝑃(𝜉=2)=C52C42C94=1021，𝑃(𝜉=3)=C53C41C94=2063，𝑃(𝜉=4)=C54C40C94=5126，所以，随

机变量𝜉的分布列为𝜉01234𝑃11261063102120635126所以，随机变量𝜉的数学期望为𝐸(𝜉)=0×1126+1×1063+2×1021+3×2063+4×5126=209（人）.【变式6-2】（2022春·黑龙江哈尔滨·高

二期中）近年来，某市为促进生活垃圾分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾桶．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾桶中的生活垃圾，总计400吨，数据统计如下表（单位：吨）．厨余垃圾桶可回

收物桶其他垃圾桶厨余垃圾602020可回收物104010其他垃圾3040170(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率𝑃；(2)某社区成立了垃圾分类宣传志愿者小组，有7名女性志愿者，3名男性志愿者，现从这10名志愿者中随机选取3名，利用节假日到街道进行垃圾分类宣传活动

（每名志愿者被选到的可能性相同）．设𝑋为选出的3名志愿者中男性志愿者的个数，求随机变量𝑋的分布列及数学期望．【解题思路】（1）有表格可得总的厨余垃圾总量,以及投入正确的垃圾投放量,即可求解.（2）根据超几何分布,即可得分布列和期望.【解答过程】（1）由题表可得厨余垃圾共有60+20+2

0=100吨，其中投入厨余垃圾桶的有60吨，所以厨余垃圾投放正确的概率𝑃=60100=35；（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3𝑃(𝑋=0)=C30C73C103=724，𝑃(𝑋=1)=C31C72C103=

2140𝑃(𝑋=2)=C32C71C103=740，𝑃(𝑋=3)=C33C70C103=1120所以X的分布列为X0123P72421407401120所以𝐸(𝑋)=0×724+1×2140+2×740+3×1120=910所以选出的3名志愿者中男性志愿者个

数的数学期望为910．【变式6-3】（2022春·江苏苏州·高二期中）为了解昆山震川高级中学中学高二年级学生身视力情况，对高二年级（1）班—（8）班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行视力监测．经统计，每班10名学生中视力监测成绩达到优

秀的人数统计如下：班号12345678人数86947598(1)若用散点图预测高二年级学生视力情况，从高二年级学生中任意抽测1人，求该生视力监测成绩达到优秀的概率；(2)若从以上统计的高二（2）班的10名学生中按分层抽样抽出5人，再从5人中

任取2人，设X表示2人中视力监测成绩达到优秀的人数，求X的分布列及其数学期望；(3)假设每个班学生视力优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的视力优秀率相等．现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“𝜉𝑘=1”表示第k班抽到的这名同学视力优秀，“

𝜉𝑘=0”表示第k班抽到的这名同学视力不是优秀（𝑘=1，2，，8）．写出方差𝐷(𝜉1)，𝐷(𝜉2)，𝐷(𝜉3)，𝐷(𝜉4)的大小关系．【解题思路】（1）根据散点图可求得抽取的80人中，视力监测成

绩达到优秀的人数，由古典概型概率公式可得结果；（2）首先可确定𝑋所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望；（3）由两点分布方差计算公式可求得𝐷(𝜉1),𝐷(𝜉2),𝐷(𝜉3),𝐷(𝜉4)的值，由此可得大小关系.

【解答过程】(1)抽取的80人中，视力监测成绩达到优秀有8+6+9+4+7+5+9+8=56人，∴从高二年级学生中任意抽测1人，该生视力监测成绩达到优秀的概率𝑝=5680=710.(2)由散点图可知：高二（

2）班的10名学生中，视力监测成绩达到优秀的人数为6人，按分层抽样，所抽5人，有3人视力监测成绩达到优秀，2人视力监测成绩没有达到优秀，记从5人任抽2人，设X表示2人中视力监测成绩达到优秀的人数，则X中能值为0，1，2.∴𝑋所有可能

的取值为0,1,2，∴𝑃(𝑋=0)=𝐶22𝐶52=110,𝑃(𝑋=1)=𝐶21𝐶31𝐶52=35,𝑃(𝑋=2)=𝐶32𝐶52=310则X的分布列为𝑋012𝑃11035310𝐸(𝑋)=0×110+1×

35+2×310=65.(3)由散点图知：𝑃(𝜉1=1)=810=45，𝑃(𝜉1=0)=210=15，∴𝐷(𝜉1)=45×15=425；𝑃(𝜉2=1)=610=35，𝑃(𝜉2=0)=410=25，

∴𝐷(𝜉2)=35×25=625；𝑃(𝜉3=1)=910，𝑃(𝜉3=0)=110，∴𝐷(𝜉3)=910×110=9100；𝑃(𝜉4=1)=410=25，𝑃(𝜉4=0)=610=35，∴𝐷(𝜉4)=25×35=625；∴𝐷(𝜉2)=𝐷(�

�4)>𝐷(𝜉1)>𝐷(𝜉3).