【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修三）专题7.5 离散型随机变量的数字特征（重难点题型精讲）（学生版）.docx，共(9)页，321.677 KB，由小赞的店铺上传

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专题7.5离散型随机变量的数字特征（重难点题型精讲）1．离散型随机变量的均值(1)定义一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示：则称E(X)=+++++为离散型随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望，它反映了随机变量取值的平均水平.(2)对均值(期望)的理解求离

散型随机变量的期望应注意：①期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.②E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态.③均值与随机变量有相同的单位

.2．均值的性质若离散型随机变量X的均值为E(X)，Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是一个离散型随机变量，且E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.特别地，当a=0时，E(b)=b；当a=1时，E(X+b)=E(X)+b；当b=0时，E(aX)=

aE(X).3．离散型随机变量的方差、标准差(1)定义设离散型随机变量X的分布列为则称D(X)=+++=为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为(X).(2)意义随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值

与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.4．方差的有关性质当a，b均为常数时，随机变量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=D(X).特别地，当a=0时，D(b)=0；当a=1

时，D(X+b)=D(X)；当b=0时，D(aX)=D(X).5．两点分布的均值与方差一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p.【题型1均值的性质】【方法点拨】根据均值的性质，进行求解即可.【例1】（2022春·

广东广州·高二期末）设离散型随机变量X的分布列为P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.6，P(X=2)=0.2，则𝐸(2𝑋−3)=（）A．2B．1C．-1D．-2【变式1-1】（2022春·北京大兴·高二期末）已知离散型随机变量𝑋的期望𝐸(𝑋)=1，则𝐸(2𝑋+1)

等于（）A．1B．2C．3D．4【变式1-2】（2022春·河北保定·高二阶段练习）已知随机变量𝜉(𝜉>0)满足𝐸(2−3𝜉)+𝐸2(𝜉)=6，则𝐸(𝜉)=（）A．−1或4B．2C．3D．4【变式1-3】（2022

春·江苏镇江·高二期中）已知X的分布列为：X-101P1216a设Y=2X+1，则Y的数学期望E(Y)的值是()A．−16B．16C．23D．−23【题型2方差的有关性质】【方法点拨】根据题目条件，结合方差的有关性质，进行转化求解即可.【例2】（2022春·重庆沙坪坝·

高二阶段练习）设X，Y为随机变量，且𝐸(𝑋)=2,𝐸(𝑋2)=6,𝑌=2𝑋−1，则𝐷(𝑌)=（）A．9B．8C．5D．4【变式2-1】（2022春·山东淄博·高二期末）已知随机变量X的方差为𝐷(𝑋

)=3，则𝐷(13𝑋)=（）A．9B．3C．13D．19【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列如下：236P1213a则𝐷(3𝑋+2）的值为（）A．2B．6C．8D．18【变式2-3

】（2022春·河北·高二校联考期中）已知随机变量X的分布列如下表：X−2012Pn1613m若𝐸(𝑋)=0，则𝐷(3𝑋−1)=（）A．6B．7C．20D．21【题型3离散型随机变量的均值的求法】【方法点拨】第一步，理解随机变

量X的意义，写出X的所有可能取值；第二步，求X取每个值时的概率；第三步，写出X的分布列，由均值的定义来求均值.【例3】（2022秋·上海金山·高三期中）已知某随机变量X的分布为𝑋−101𝑃0.30.2𝑚则𝐸(𝑋)等于（

）A．0.5B．0.3C．0.2D．无法确定【变式3-1】（2022春·北京顺义·高二期末）已知离散型随机变量X的分布列如下表，则X的数学期望𝐸(𝑋)等于（）X012P0.2a0.5A．0.3B．0.8C．1.2D．1.3【变

式3-2】（2022春·江苏徐州·高二期中）设𝑎为正实数，若随机变量𝑋的分布列为𝑃(𝑋=𝑖)=𝑖2𝑎(𝑖=1,2,3)，则𝐸(𝑋)=（）A．3B．1C．73D．23【变式3-3】（2022春·江苏连云港·高二期末）已知离散型随机变量X的分

布列如下表：X012P0.64q21－2q则E(X)=（）A．0.56B．0.64C．0.72D．0.8【题型4离散型随机变量的方差、标准差】【方法点拨】第一步，理解随机变量X的意义，写出X的所有可能取值；第二步，

求X取每个值时的概率；第三步，写出X的分布列，由均值的定义来求均值.第四步，利用方差的计算公式，进行求解即可.【例4】（2022春·辽宁锦州·高二期末）随机变量𝑋的分布列是𝑋−112𝑃𝑎𝑏13若𝐸(2𝑋+1)=2，则𝐷(�

�)=（）A．1B．4C．117D．74【变式4-1】（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量𝑋的分布列为：𝑋12𝑃𝑎𝑏则随机变量𝑋的方差𝐷(𝑋)的最大值为（）A．14B．12C．1D．2【变式4-2】（2022秋·辽宁

·高三阶段练习）已知随机变量𝑋的分布列如下表所示，若𝐸(𝑋)=2，则𝐷(𝑋)=（）𝑋123𝑃13𝑚𝑛A．23B．43C．83D．2【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）设0<𝑚<1，随机变量的分布列为：𝜉0𝑚1𝑃𝑎3132𝑎−13

则当𝑚在(0,1)上增大时（）A．𝐷(𝜉)单调递增，最大值为12B．𝐷(𝜉)先增后减，最大值为13C．𝐷(𝜉)单调递减，最小值为29D．𝐷(𝜉)先减后增，最小值为16【题型5两点分布的均值与方差】【方法点拨】根据两点分布的定义，结

合均值、方差的性质和计算公式，进行求解即可.【例5】（2023·全国·高三专题练习）设随机变量𝑋服从两点分布，若𝑃(𝑋=1)−𝑃(𝑋=0)=0.4，则𝐸(𝑋)=（）A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7【变式5-1】

（2023·全国·高二专题练习）已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，满足𝑃(𝑋=0)=29𝑃(𝑋=1)，且𝑃(𝑋=0)<𝑃(𝑋=1)，则𝐸(𝑋)=（）A．13B．12C．23D．14【变式5-2】（2022春·广东中山·高二

阶段练习）某运动员罚球命中得1分，不中得0分，如果该运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球一次的得分𝑋的方差为（）A．0.14B．0.16C．0.18D．0.2【变式5-3】（2022·高一课时练习）设一随机试验的结果只有𝐴和𝐴，且𝑃(𝐴)=𝑚

，令随机变量𝜉={1,𝐴发生0,𝐴不发生，则𝜉的方差𝐷(𝜉)=（）A．𝑚B．2𝑚(1−𝑚)C．𝑚(𝑚−1)D．𝑚(1−𝑚)【题型6均值与方差的综合应用】【方法点拨】(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型以及可能用到的事件类型和公式.(2)确定随机变量的分布列，

计算随机变量的均值、方差.(3)对照实际意义，回答概率、均值、方差等所表示的结论.【例6】（2023秋·安徽宿州·高二期末）我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层师选，甲､乙两家

建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为23，甲､乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．(1)求甲公司至少答对2道题目的概率；

(2)请从期望和方差的角度分析，甲､乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小

时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14,16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12,23；两人滑雪时间都不会超过3小时．(1)求甲、乙两人所付滑雪费

用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E(ξ)，方差D(ξ)．【变式6-2】（2023·北京·高三专题练习）开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、

使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程.某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，现随机抽取100个学生进行调查，获得数据如下表：男女支持方案一2416支持方案二2535假

设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立.(1)从样本中抽1人，求已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率；(2)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设𝑋为抽出两

人中女生的个数，求𝑋的分布列与数学期望；(3)在（2）中，𝑌表示抽出两人中男生的个数，试判断方差𝐷(𝑋)与𝐷(𝑌)的大小.（直接写结果）【变式6-3】（2022·全国·高三专题练习）已知投资甲､乙两个项目的利润率分别为随机变量𝑋1和𝑋2.经统计分析，𝑋1和𝑋2的分布列分

别为表1：𝑋10.30.180.1𝑃0.20.50.3表2：𝑋20.250.15𝑃0.20.8(1)若在甲､乙两个项目上各投资100万元，𝑌1和𝑌2分别表示投资甲､乙两项目所获得的利润，求𝑌1和𝑌2的数学期望和方差，并由此分析投资甲､乙两

项目的利弊；(2)若在甲､乙两个项目总共投资100万元，求在甲､乙两个项目上分别投资多少万元时，可使所获利润的方差和最小？注：利润率=利润投资额.