【文档说明】江苏省南通市如皋中学2020-2021学年高一下学期第二次阶段考试数学（创新班）试题 含答案.doc，共(10)页，1.604 MB，由小赞的店铺上传

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江苏省如皋中学2020-2021学年度第二学期第二次阶段考试高一数学（创新班）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.已知i为虚数单位，复数z满足()2i34iz+=+，记z为z的共轭复数，则z=（）A．29

3B．553C．295D．52.已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A．若//,//,mn则//mnB．若m⊥，n，则mn⊥C．若m⊥，mn⊥，则//nD．若//m，mn⊥，则n⊥3.

已知na是等差数列，满足()()153693218aaaaa++++=，则该数列前8项和为（）A．36B．24C．16D．124.记nS为数列na的前n项和，若21nnSa+＝，则10S＝（）A．-1024B．-1023C．1023D．10245.正三棱锥PABC−的高

为2，侧棱与底面ABC成45角，则点A到侧面PBC的距离为（）A．3B．23C．355D．6556.古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin18表示.

若实数n满足224sin184n+=，则221sin188sin18n−=（）A．14B．12C．54D．327.若()fx图象上存在两点A，B关于原点对称，则点对,AB称为函数()fx的“友情点对”（点对,AB与,BA视为同一个“友情点对”）若()32,0,0xxxfxea

xx=恰有两个“友情点对”，则实数a的取值范围是（）A．1,0e−B．10,eC．()0,1D．()1,0−8.已知菱形ABCD边长为2，60ABC=，沿对角线AC折叠成三棱锥BACD

−，使得二面角BACD−−为60°，设E为BC的中点，F为三棱锥BACD−表面上动点，且总满足ACEF⊥，则点F轨迹的长度为（）A．23B．33C．3D．332二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分

，在每小题的四个选项中，有多项符合项目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知复数ππ1cos2sin222zi=++−（其中i为虚数单位）下列说法正确的是

（）A．复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限B．z可能为实数C．2cosz=D．1z的实部为1210.已知等差数列na的前n项和为nS，若831a=，10210S=，则（）A．19919Sa=B．数列22na是公比为8的等比

数列C．若()1nnnba=−，则数列nb的前2020项和为4040D．若11nnnbaa+=，则数列nb的前2020项和为20202424911.四边形内接于圆O，5,3,60ABCDADBCD====，下列结论正确的有（）A．四边形ABCD为梯形B．圆O的直径为7C．四

边形ABCD的面积为5534D．ABD的三边长度可以构成一个等差数列12如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上（不含端点）且BEBF=，将AED，DCF分别沿DE，DF折起，使A

、C两点重合于点1A，则下列结论正确的有（）A．1ADEF⊥B．当12BEBFBC==时，三棱锥1AFDE−的外接球体积为6πC．当14BEBFBC==时，三棱锥1AFDE−的体积为2173D．当14BEBFBC==时，点1A到平面DE

F的距离为4177三、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分13.过点(5,2)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程是．14.已知等比数列}{na的前n项和为nS，若12,38124=−=SSS,则8S＝．15.如图，某湖有一半径为100m的半圆形岸边，现决定在圆心O处设

立一个水文监测中心(大小忽略不计)，在其正东方向相距200m的点A处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足ABAC=，90BAC=．定义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”；设AOB=．则“直接监测覆

盖区域”面积的最大值为___________．16.若函数f(x)=|sinx|(x≥0)的图象与过原点的直线有且只有三个交点，交点中横坐标的最大值为α，则2(1)sin2+=．四、解答题:本大题共6小题，共70

分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）在①2coscosabcBC−=；②()22243Sabc=+−；③πsincos6cAaC=−这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．在△ABC中，a，b，c分别

是角A，B，C的对边，已知，6ab−=，且△ABC的面积934S=，求△ABC的周长．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18.（本小题满分12分）已知数列na的前n项和为Sn，已知2133aa==，且当2n≥，*Nn时，111234nnnnSaSS+−−++=．（1）证明数

列1nnaa+−是等比数列；（2）设11nnnnabaa++=，求数列nb的前n项和为Tn．19.（本小题满分12分）在正方体1111ABCDABCD−中,E为棱1DD的中点（1）求证：1D;BEAC∥平面（2）求证：平

面EAC⊥平面1ABC．（3）若=4AB，求三棱锥1BAEC−的体积.20.（本小题满分12分）如图，已知多面体111ABCABC，1AA，1BB，1CC均垂直于平面ABC，120ABC=，14AA=，11CC=，12ABBCBB===．(1)证明：1AB⊥平面111A

BC；(2)求直线1AC与平面1ABB所成的角的正弦值．21.（本小题满分12分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111PABCD−，下部分的形状是正四棱柱1111ABCDABCD−(如图所示)，并要

求正四棱柱的高1OO是正四棱锥的高1PO的四倍.（1）若16,PO2,ABmm==则仓库的容积是多少？（2）若正四棱柱的侧棱长为6m,则当1PO为多少时，仓库的容积最大？22.（本小题满分12分）C1B1A1CBA已知函数22()ln(1)1xfxxx=

+−+．（1）求()fx的单调区间；（2）若不等式1(1)enan++≤对任意*nN恒成立，求a的取值范围．DBDBDAADBCDCDACDACD13.x＋2y－9＝0或2x－5y＝014.915.()210000525000m+16.217.【解】选①，由2coscosabcBC

−=及正弦定理得，2sinsinsincoscosABCBC−=，整理得，()()2sincossincossincossinsinsinACCBBCBCAA=+=+=−=，因为()0πA，，故sin

0A，所以2cos1C=，1cos2C=，又因为()0πC，，故3C=．…………………4分据934S=，得19sin324abC=，即9ab=．又6ab−=，据余弦定理得()222222cos6945cababCabab=+−

=−+=+=，所以35c=（负舍）．…………………7分又()()222464972ababab+=−+=+=，故62ab+=（负舍），所以△ABC的周长为6235abc++=+．…………10分选②，由()22243Sabc=+−，得()2221si

n32abCabc=+−，即222sin32abcCab+−=．据余弦定理知222cos2abcCab+−=，故sin3cosCC=，又()0πC，，显然π2C，得tan3C=，π3C=，…………………4分下同①．选③，由πsincos6CAaC=−及正弦定理得πsinsinsi

ncos6CAAC=−，又()0πA，，sin0A，故πsin=cos6CC−，即31sin=cossin22CCC+，得13sincos22CC=，又()0πC，，显然π2C，故tan3C=，π3C=，…………………4分下同①．18.【解】（1）

当2n≥，*Nn时，111234nnnnSaSS+−−++=，即()11123nnnnnSSaSS+−−−+=−，所以当2n≥，*Nn时，1123nnnaaa+−+=，即()112nnnnaaaa+−−=−．又2133aa==

，得11a=，2120aa−=，故当2n≥，*Nn时，10nnaa−−，所以11=2nnnnaaaa+−−−为定值，其中2n≥，*Nn，所以数列1nnaa+−是首项为2，公比为2的等比数列．……………5分（2）由（1）知12nnnaa+−=．当2n≥，*

Nn时，()()()112211nnnnnaaaaaaaa−−−=−+−++−+=()112212222112112nnnn−−−−++++=+=−−，又11a=符合上式，所以21nna=−．故()()()()()()1

111121211211212121212121nnnnnnnnnnnnnabaa+++++−−−+====−−−−−−−，所以12nnTbbb=+++=12231111111212121212121nn+−+−++

−−−−−−−=11112121n+−−−=11121n+−−．…………………12分19.……………4分……………8分……………12分20.【解析】(1)由2AB=，14AA=，

12BB=，1AAAB⊥，1BBAB⊥得11122ABAB==，所以2221111ABABAA+=．故111ABAB⊥．由2BC=，12BB=，11CC=，1BBBC⊥，1CCBC⊥得115BC=，由2ABBC==，120ABC=得23AC=，由1CCAC⊥，得113AC=，所以2221111

ABBCAC+=，故111ABBC⊥．因此1AB⊥平面111ABC．………6分(2)如图，过点1C作111CDAB⊥，交直线11AB于点D，连结AD．由1AB⊥平面111ABC得平面111ABC⊥平面1ABB，由

111CDAB⊥得1CD⊥平面1ABB，所以1CAD是1AC与平面1ABB所成的角．DABCA1B1C1由115BC=，1122AB=，1121AC=得1116cos7CAB=，1111sin7CAB=，所以13CD=，故11139sin13CDCA

DAC==．因此，直线1AC与平面1ABB所成的角的正弦值是3913．………12分21.(2)设A1B1=a(m),PO1=h(m)，则0<h<6,OO1=4h.连结O1B1.因为在11RTPOB中，222111OBPOPB+=，所以22

2362ah+=，即()22236.ah=−………12分22.（1）()fx的定义域(1)−+,，22222ln(1)22(1)ln(1)2()1(1)(1)xxxxxxxfxxxx++++−−=−=+++，（1分）令2()2(1)ln

(1)2gxxxxx=++−−，(1)x−+,，()2ln(1)2gxxx=+−，（2分）令()2ln(1)2hxxx=+−，(1)x−+,，2()21hxx=−+，当10x−＜＜时，()0hx＞，当0x＞时，()0

hx＜，（3分）所以()hx在(10)−,单调递增，在(0)+,单调递减，又(0)0h=，故()0hx≤，即当1x−＞时，()0gx≤，所以()gx在(1)−+,单调递减，（4分）于是当10x−＜＜时，()(0)0gxg=

＞，当0x＞时，()(0)0gxg=＜，所以当10x−＜＜时，()0fx＞，当0x＞时，()0fx＜，所以()fx的单调递增区间为(10)−,，单调递减区间为(0)+,．（6分）（2）不等式1(1

)enan++≤*()nN等价于1()ln(1)1nan++≤，又111n+＞，故11ln(1)ann−+≤，（8分）设11()ln(1)xxx=−+，(01]x,，222222(1)ln(1)()()(1)ln(1)ln(1)xxxfxxxxxxx++−==+++，又()(

0)0fxf=≤，故当(01]x,时，()0x＜，（10分）所以()x在(01],单调递减，于是1()(1)1ln2x=−≥，故11ln2a−≤，所以a的取值范围为1(1]ln2−−,．（12分）考生若有其它解法，应给予充分尊重，并参照本标准评分．