【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修一）专题2.11 圆的方程-重难点题型精讲（学生版）.docx，共(8)页，353.450 KB，由小赞的店铺上传

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专题2.11圆的方程-重难点题型精讲1．圆的定义圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径).圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.2．圆的标准方程(1)圆的标准方程：方程(r>0)叫作以点(a,b)为圆心

，r为半径的圆的标准方程.(2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径.(3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程.

3．圆的一般方程(1)方程叫做圆的一般方程.(2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程.下列情况比较适用圆的一般方程：①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F；

②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线方程，求待定系数D，E，F.4．二元二次方程与圆的方程(1)二元二次方程与圆的方程的关系：二元二次方程，对比圆的一般方程，我们可以看出圆

的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程.(2)二元二次方程表示圆的条件：二元二次方程表示圆的条件是5．点与圆的位置关系(1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外.(2)圆A的标准方程为，圆心为

，半径为；圆A的一般方程为.平面内一点.6．与圆有关的对称问题(1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称.(2)圆关于点对称①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点.(3)圆关于直线对称①求已知

圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.7．与圆有关的最值问题(1)与圆的代数结构有关的最值问题①形如t=形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最

值问题；③形如t=形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.(2)与圆的几何性质有关的最值问题①记C为圆心，r为圆的半径，则圆外一点A到圆上距离的最小值为|AC|-r，最大值为|AC|+r；②过圆内一点的最长弦为圆的直径

，最短弦是以该点为中点的弦；③记圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，直线与圆相离，则圆上的点到直线的最大距离为d+r，最小距离为d-r；④过两定点的所有圆中，面积最小的圆是以这两个定点为直径端点的圆.【题型1圆的方程的求法】【方法点拨】(1)圆的标准方程的求法①直接代入法：已知圆心坐标和半径大小

，直接代入求圆的标准方程.②待定系数法：圆的标准方程中含有三个参变量，必须具备三个独立的条件才能确定出圆的方程.当已知曲线为圆时，一般用待定系数法，即列出关于a,b,r的方程组，求出a,b,r.(2)圆的一般方

程的求法待定系数法：①设：根据题意设出圆的一般方程；②列：根据已知条件，建立关于D,E,F的方程组；③解：解方程组，求出D,E,F的值.【例1】（2022·江苏·高二课时练习）经过三个点𝐴(0,0),𝐵(2√3,0),𝐶(0,−

2)的圆的方程为（）A．(𝑥−√3)2+(𝑦+1)2=2B．(𝑥−√3)2+(𝑦−1)2=2C．(𝑥−√3)2+(𝑦+1)2=4D．(𝑥−√3)2+(𝑦−1)2=4【变式1-1】（2022·江苏省高二阶段练习）以原点为圆心，

2为半径的圆的标准方程是（）A．𝑥2+𝑦2=2B．𝑥2+𝑦2=4C．(𝑥−2)2+(𝑦−2)2=8D．𝑥2+𝑦2=√2【变式1-2】（2022·全国·高二课时练习）与圆𝑥2+𝑦2−4𝑥+6𝑦+3=0同圆心，且过点(1,−1)的圆的方程是（）A．𝑥2+�

�2−4𝑥+6𝑦−8=0B．𝑥2+𝑦2−4𝑥+6𝑦+8=0C．𝑥2+𝑦2+4𝑥−6𝑦−8=0D．𝑥2+𝑦2−4𝑥−6𝑦−4=0【变式1-3】（2022·全国·高二专题练习）△�

�𝐵𝐶三个顶点的坐标分别是𝐴(1,1)，𝐵(4,2)，𝐶(3,0)，则△𝐴𝐵𝐶外接圆方程是（）A．𝑥2+𝑦2−3𝑥−5𝑦+6=0B．𝑥2+𝑦2−5𝑥−3𝑦+6=0C．𝑥2+𝑦2−3𝑥−5𝑦−6=

0D．𝑥2+𝑦2−5𝑥−3𝑦−6=0【题型2二元二次方程表示圆的条件】【方法点拨】判断一个二元二次方程是否表示圆，可以从以下几个方面入手：①看系数：与的系数应相等；②看形式：表达式中不应含有xy项；③在比较：要大于0.【例2】（2022·江苏·高二课时

练习）设甲：实数𝑎<3；乙：方程𝑥2+𝑦2−𝑥+3𝑦+𝑎=0是圆，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【变式2-1】（2022·江苏·高二课时练习）若曲线𝐶：𝑥2+𝑦2+2𝑎

𝑥−4𝑎𝑦−10𝑎=0表示圆，则实数𝑎的取值范围为（）A．(−2,0)B．(−∞,−2)∪(0,+∞)C．[−2,0]D．(−∞,−2]∪[0,+∞)【变式2-2】（2022·全国·高二专题练习）若方程𝑥2+𝑦2−4𝑥+2𝑦+5𝑘=0表示圆，则实数k的取值范围是（）A．(

1,+∞)B．(−∞,1)C．[1,+∞)D．(−∞,1]【变式2-3】（2022·内蒙古·高一期中）若方程𝑥2+𝑦2+6𝑥+𝑚=0表示一个圆，则m的取值范围是（）A．(−∞,9)B．(−∞,−9)C．(9,+∞)D．(−9,+∞)【题型3点

与圆的位置关系】【方法点拨】点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外.根据具体条件，可以通过几何法或代数法进行判断.【例3】（2022·四川省高二阶段练习（理））点P(m，3)与圆(x－2)2＋(y－1

)2＝2的位置关系为（）A．点在圆外B．点在圆内C．点在圆上D．与m的值有关【变式3-1】（2021·全国·高二课前预习）两个点𝑀(2,−4)、𝑁(−2,1)与圆𝐶:𝑥2+𝑦2−2𝑥+4𝑦−4=0的位置关系是（）A

．点𝑀在圆𝐶外，点𝑁在圆𝐶外B．点𝑀在圆𝐶内，点𝑁在圆𝐶内C．点𝑀在圆𝐶外，点𝑁在圆𝐶内D．点𝑀在圆𝐶内，点𝑁在圆𝐶外【变式3-2】（2022·全国·高二课时练习）已知点A（1，2）在圆C：𝑥2+�

�2+𝑚𝑥−2𝑦+2=0外，则实数m的取值范围为（）A．(−3,−2)∪(2,+∞)B．(−3,−2)∪(3,+∞)C．(−2,+∞)D．(−3,+∞)【变式3-3】（2022·江苏·高二课时练习）已知点(𝑎,

2)在圆𝑥2+𝑦2−2𝑎𝑥−3𝑦+𝑎2+𝑎=0的外部，则𝑎的取值范围是（）A．(−∞,94)B．(94,+∞)C．(−2,94)D．(2,94)【题型4圆有关的轨迹问题】【方法点拨】求曲线的轨迹方程，常用以下几种方法：直接法、

代入法、定义法等.①“轨迹”与“轨迹方程”有区别，“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小(范围)等特征；“轨迹方程”是方程(等式)，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围.②求动点的轨迹往往先求出动点的轨迹方程，然后由方程研究轨迹图形；求动点的轨迹方程有时需要先

由条件判断轨迹图形，再由图形求方程.【例4】（2022·全国·高二课时练习）已知点𝑀(−2,0)，𝑁(2,0)，则以𝑀𝑁为斜边的直角三角形的直角顶点𝑃的轨迹方程是（）A．𝑥2+𝑦2=4B

．𝑥2−𝑦2=4C．𝑥2+𝑦2=4(𝑥≠±2)D．𝑥2−𝑦2=4(𝑥≠±2)【变式4-1】（2021·全国·高二课时练习）已知A（3，3），点B是圆x2+y2＝1上的动点，点M是线段AB上靠近A的三等分点，则点M的轨

迹方程是（）A．(𝑥−2)2+(𝑦−2)2=19B．(𝑥−2)2+(𝑦+2)2=19C．(𝑥−3)2+(𝑦−3)2=13D．(𝑥−3)2+(𝑦+3)2=13【变式4-2】（2022·江苏·高二课时练习）已知A，B为圆𝐶:𝑥2+𝑦2−2𝑥−4𝑦

+3=0上的两个动点，P为弦𝐴𝐵的中点，若∠𝐴𝐶𝐵=90°，则点P的轨迹方程为（）A．(𝑥−1)2+(𝑦−2)2=14B．(𝑥−1)2+(𝑦−2)2=1C．(𝑥+1)2+(𝑦+2)2=14D．(𝑥+

1)2+(𝑦+2)2=1【变式4-3】（2022·江苏·高二课时练习）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数𝑘(𝑘>0,𝑘≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，𝐴(−4,0

)，𝐵(2,0)，点𝑀满足|𝑀𝐴||𝑀𝐵|=2，则点𝑀的轨迹方程为（）A．(𝑥+4)2+𝑦2=16B．(𝑥−4)2+𝑦2=16C．𝑥2+(𝑦+4)2=16D．𝑥2+(𝑦−4)2=16【题型5与圆有关的对称问题】【方法点拨】(1)圆关

于点对称：①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点.(2)圆关于直线对称：①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂

直平分线.【例5】（2021·全国·高二课时练习）圆(𝑥+2)2+𝑦2=5关于原点𝑃(0,0)对称的圆的方程为（）A．(𝑥−2)2+𝑦2=5B．𝑥2+(𝑦−2)2=5C．(𝑥+2)2+(𝑦+2)2=5

D．𝑥2+(𝑦+2)2=5【变式5-1】（2022·江苏·高二课时练习）若圆𝑥2−2𝑥+𝑦2=0与圆C关于直线𝑥+𝑦=0对称，则圆C的方程为（）A．𝑥2+2𝑥+𝑦2=0B．𝑥2+𝑦

2−2𝑦=0C．𝑥2+𝑦2+2𝑦=0D．𝑥2−2𝑥+𝑦2=0【变式5-2】（2021·全国·高二课时练习）圆(𝑥−1)2+(𝑦−2)2=1关于点(−2,3)对称的圆的标准方程为（）A．(𝑥+5)2+(𝑦−4)2=1B．(𝑥−12)2+(𝑦−5

2)2=1C．(𝑥−5)2+(𝑦+4)2=1D．(𝑥+12)2+(𝑦+52)2=1【变式5-3】（2021·广东·高二阶段练习）若圆𝐶1:(𝑥−1)2+𝑦2=9和圆𝐶2:(𝑥+3)2+(𝑦+2)2=9关于直线𝑙对称，则直线𝑙

的方程是（）A．𝑦=−2𝑥−3B．𝑦=−2𝑥+3C．𝑦=−12𝑥−32D．𝑦=−12𝑥+32【题型6与圆有关的最值问题】【方法点拨】与圆有关的最值问题主要有两类：①与圆的代数结构有关的最值问题

；②与圆的几何性质有关的最值问题；解题时，根据具体题目分析是哪类最值问题，再进行求解即可.【例6】（2022·山西·高三阶段练习）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，已知𝐴，𝐵为圆𝑥2+𝑦2=9上两

动点，点𝑃(1,1)，且𝑃𝐴⊥𝑃𝐵，则|𝐴𝐵|的最大值为（）A．3−√2B．3+√2C．4−√2D．4+√2【变式6-1】（2022·河南·高二阶段练习）若x，y满足𝑥2+𝑦2−2𝑥+4𝑦−20=0，则𝑥2

+𝑦2的最小值是（）A．5B．5−√5C．30−10√5D．无法确定【变式6-2】（2022·全国·高二课时练习）已知点(𝑚,𝑛)在过(−2,0)点且与直线2𝑥−𝑦=0垂直的直线上，则圆𝐶：(𝑥−3√5)2+(𝑦+1)2=4上

的点到点𝑀(𝑚,𝑛)的轨迹的距离的最小值为（）A．1B．2C．5D．3√5【变式6-3】（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，直线𝑦=𝑘𝑥+𝑚(𝑘≠0)与𝑥轴和𝑦轴分别交于𝐴，𝐵两点，|

𝐴𝐵|=2√2，若𝐶𝐴⊥𝐶𝐵，则当𝑘，𝑚变化时，点𝐶到点(1,1)的距离的最大值为（）A．4√2B．3√2C．2√2D．√2