【文档说明】四川省眉山市仁寿第一中学校南校区2023-2024学年高三上学期10月阶段测试文科数学试题 含解析.docx，共(22)页，983.690 KB，由小赞的店铺上传

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仁寿一中2024届10月阶段性测试文科数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上.2．答选择题时，必须使用2B铅笔将

答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔将答案书写在答题卡规定的位置上.4．考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一､选择题：本大题共12

小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合N|2,10AxxBxax==−=∣，若BA，则实数=a（）A.12或1B.0或1C.1D.12

【答案】B【解析】【分析】先求得合0,1A=，再分0a=和0a，两种情况讨论，结合题意，即可求解.【详解】解：由集合*N|20,1Axx==，对于方程10ax−=，当0a=时，此时方程无解，可得集合B=

，满足BA；当0a时，解得1xa=，要使得BA，则满足11a=，可得1a=，所以实数a的值为0或1.故选：B.2.已知i为虚数单位，复数13zi=−，则4z=（）A.13i−B.13i+C.13i−−D.13i−+【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算可得答案.【详解】

复数13zi=−，则()()()413i44443i13i1313i13i13iz++====++−−+.故选：B.3.已知实数x，y满足约束条件2010xxyxy+−+，则3zxy=+的最小值为（）．A.4B.9C.4

−D.9−【答案】A【解析】【分析】画出可行域，结合目标函数的几何意义即可求出最小值.【详解】如图所示，目标函数即3yxz=−+，其中z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小．据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，联立直线

方程20xxy=+=，可得()2,2A−．据此可知目标函数的最小值为：min33224zxy=+=−=．故选：A．4.某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为（）A.7.6B.7.8C.8D.8.

2【答案】B【解析】【分析】首先分析数据的情况，再根据平均数公式计算可得.【详解】依题意这组数据一共有5个数，中位数为8，则从小到大排列8的前面有2个数，后面也有2个数，又唯一的众数为9，则有两个9，其余数字均只出现一次，则最

大数字为9，又极差为3，所以最小数字为6，所以这组数据为6、7、8、9、9，所以平均数为678997.85++++=.故选：B5.已知空间中a，b，c是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列说法正确的是（）．A.若ab⊥rr，bc⊥，则ac∥B.若⊥，

⊥，则⊥C.若a⊥，b⊥，则ab∥D.若a⊥，a⊥，则⊥【答案】C【解析】【分析】根据空间中垂直于同一条直线的两条直线可以是平行、相交或异面即可判断A；根据空间中两平面的位置关系即可判断B；根据空间中两直线的位置关系即可判断C；根据线面垂直的性质判断面面平行即可判断D．【详解

】对于A，空间中垂直于同一条直线的两条直线可以是平行、相交或异面，故A错误；对于B，垂直于同一个平面的两个平面可以是平行、相交，故B错误；对于C，垂直于同一个平面两条直线是平行的，故C正确；对于D，垂直于同一条直线的两个平面平行，故D错误．故选：C．6.已知命题p：若在边长

为1的正方形ABCD内任取一点M，则1MA的概率为4．命题q：若函数())()4,1,2fxxxx=+，则()fx的最小值为4，则下列命题为真命题的是（）的A.pqB.pC.()()pq

D.()pq【答案】D【解析】【分析】根据几何概型概率的计算判断命题p为真命题，函数的最值与函数单调性的关系判断命题q为假命题，进而根据命题的且和非运算判断.【详解】满足条件的正方形ABCD，如下图示：其中满足动

点M到定点A的距离|MA|⩽1的平面区域如图中阴影所示，则正方形的面积S正方形=1，阴影部分的面积为4，故动点M到定点A的距离|MA|⩽1的概率4p=.故命题p为真命题．对于函数())4,1,2fxxxx=+，则()()()2222410xxfxxx+−=−=，则f

(x)在区间[1,2)上单调递减，f(x)无最小值，故命题q为假命题．据此结合题意可得()pq是真命题.故选：D.7.“1a=”是“()lg1axfxax+=−是奇函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C

.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由()lg1axfxax+=−是奇函数，逐步化简，计算可得1a=，由此即可得到本题答案.【详解】当1a=时，()1lg1xfxx+=−，由101xx+−得11x−，则()fx的定义域关于原点对称，又()()11

lglg11xxfxfxxx−+−==−=−+−，则()fx是奇函数，故充分性成立；若()lg1axfxax+=−是奇函数，则()()0fxfx−+=，即lglg011axaxaxax−++=+−，所以2222lg01axax−=−，则222211axax−=−，故22221axax−=−，

所以21a=，故1a=，不一定推得1a=，从而必要性不成立；所以“1a=”是“()lg1axfxax+=−是奇函数”的充分不必要条件.故选：A8.已知()2,0a=，13,22b=，则ab−与12ab+的夹角等于（）A.150B.90C.60D.

30【答案】C【解析】【分析】根据向量模的坐标公式,向量夹角的坐标公式，即可求解.【详解】因为向量()2,0a=，13,22b=，所以33,22ab−=−，则2233223ab+−=−=，

同理,133222ab+=，312ab+=所以()131122cos,12322abababababab−+−+===−+，所以ab−与12ab+的夹角为π3.故选：C.9.

把边长为2正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角DACB−−，则三棱锥DABC−的外接球的球心到平面BCD的距离为（）A.33B.22C.63D.12【答案】A【解析】【分析】由图形的几何性质得球心位置，利用

等体积转化求点面距离即可.【详解】由图所示，易知三棱锥D-ABC的外接球球心为AC的中点O，易得OB=OC=OD=1，且OC⊥OB，DO⊥面OBC，计算可得BC=CD=BD=2，设球心到平面BCD的距离为d，则()211

133111232343DOBCOBCDVVdd−−===.故选：A10.若函数()()3221fxxaxa=−+R在()0,+x内有且只有一个零点，则a的值为（）A.2B.1C.3D.5【答案】C【解析】【分析】对函数进行求导，并

分类讨论函数的单调性，根据单调性结合已知可以求出a的值.【详解】由函数()()3221fxxaxa=−+R在()0,+x内有且只有一个零点,又()()()230,+fxxxax¢-违＝,①当0a时，()0,+x上()()230fxxxa?＝＞，可得函数()fx在()0,+x

上单调递增，且()01f＝，的在()fx\在()0,+x上没有零点，故舍去；②当a＞0时，在()0,+x上()()230fxxxa?>＝的解为x3a＞，()fx\在0,3ax单调递减，在,3a

x+单调递增，又()fx只有一个零点，310327aaf=−+=解得3a＝．故选：C.11.设ln44a=，24ln4eb−=，e2ec=，则（）A.abcB.<<bcaC

.cbaD.<<cab【答案】D【解析】【分析】构建函数()lnxfxx=，求导判断其单调性，利用单调性比较大小，注意()()42aff==.【详解】由题意可得ln4ln242a==，222eln4ln42ee2b−==，eln

e2eec==，设()lnxfxx=，0x，则()21lnxfxx−=，故当()0,ex时，()0fx¢>，()fx单调递增；当()e,x+时，()0fx，()fx单调递减；因为()()42aff==，2e2bf=，(

)ecf=，且2e0e2e42，可得()()2eaffc==，()2e42affb==，所以<<cab.故选：D.12.已知函数()πsin,(0)6fxx=+将其向右平移π3个

单位长度后得到()gx，若()gx在π,π3上有三个极大值点，则()fx一定满足的单调递增区间为（）A.4π2π,5757−B.4π2π,3939−C.3π5π,1313D.5π7π,1919

【答案】A【解析】【分析】根据平移变换得函数()ππsin,(0)36gxx=−+，由()gx在π,π3上有三个极大值点，结合正弦函数图象可得131922，再求π6x+的范围，

结合正弦函数的单调性，由此可判断答案.【详解】解：有题意可得()πππsin,(0)336gxfxx=−=−+，由π,π3x得πππ2ππ,36636x−++，由于()gx在π,π3上

有三个极大值点，所以9π2ππ13π2362+，解得131922，当4π2π,5757x−，π42[,]6576576x+−++而42[,][,)57657622

−++−，故A正确，当4π2π,3939x−，π42[,]6396396x+−++而426351[,][,)3963967878−++−，故B不正确，当3π5π,1313x，π35[,]6136136x

+++，而355298[,][,)136136378++，故C不正确，当5π7π,1919x，π57[,]6196196x+++，而5721411[,][,)1961961143

++，故D不正确，故选：A.第Ⅱ卷二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.已知幂函数()()21mfxmmx=+−的图象与坐标轴没有公共点，则()2f=__________【答案】12##0.5【解析】【分析】利用幂函数的定义及性质计算即可.【详解】

由题意可知2111mmm+−==或2m=−，又当1m=时，()fxx=与坐标轴有交点，不符合题意；所以2m=−，此时()()()2211222fxxf−===.故答案为：1214.圆C的圆心在x轴正半轴上，与y轴相切，且被直线0xy−=截得的弦长为22，直线l：cossi

n10xy++=与圆C相切，则直线l的斜率是________【答案】33【解析】【分析】根据所给条件求出圆的方程，再利用圆心到直线的距离求出cos，即可得出直线斜率.【详解】设圆C的方程222(),0xayaa−+

=，则圆心到直线0xy−=的距离22|0|211aa−=+，所以222()222aa−=，解得2a=，所以圆C的方程22(2)4xy−+=，则圆心C(2,0)到直线l的距离22cos12cossind+==+丨2

丨，则1cos2=或3cos2=−（舍去），所以sin23=，故直线l的斜率cos3sin3k=−=.故答案为：33.15.已知定义在R上的函数()fx满足()()11fxfx−=+，且()1fx−是偶函数，当13x时，()12

4xfx=+，则()2log40f=__________【答案】114##2.75【解析】【分析】利用函数的奇偶性、周期性结合对数运算法则计算即可.【详解】由()1fx−是偶函数，()()11fxfx−=+，所以()()()()()11

131fxfxfxfxfx−−=−−+=−=+，即()()4fxfx=+，故()fx的一个周期为4，所以()()25log22225111log40log404log2244fff=−==+=.故答案为：11416.设a，b均为正数，且21

ab+=，则下列结论：①11421ab++；②2222432abab+；③2sin21ab+；④2lne1ba−−−；其中正确的有__________（填序号）．【答案】②③④【解析】【分析】利用基本不等式即可判断①；首先利用基本不等式求ab的取值

范围，再变形222224124ababab+=−−，即可求解，判断②；首先利用不等式放缩，并构造函数()sinfxxx=−，01x，利用导数判断函数的单调性，即可判断③；不等式等价于21ln1eebaa−−+=，再利用不等式放缩，

构造函数，利用导数，即可判断④.【详解】①由212ab++=，,0ab得()1111112112121222221221221221babaababababab+++=+++=+++=

++++，当2121baab+=+，即211ab=+=时，即1,0ab==时等号成立，由0b可知，“=”不能取到，即11221ab++，故①错误；②()222222222224414124abababababababab+−+==−=−−，因为1

222abab=+，即108ab，当122ab==时，等号成立，所以18ab，所以22222412432ababab+=−−，故②正确；③由21ab+=，,0ab，得01a，那么201aa，则2sinsin

aa，设()sinfxxx=−，01x，()cos1fxx=−，01x，则()0fx，函数()fx单调递减，且()00f=所以()0sinfxxx=−，即sin,01xxx，即sinaa，所以2s

inaa，因为21ab+=，所以2sin21ab+，故③正确；④不等式2lne1ba−−−等价于21ln1eebaa−−+=，设()ln1hxxx=+−，()0,1x，()1110xhxxx−=−=，所以函数()hx在区间()0,1上单调递

增，()10h=，所以在区间()0,1上，()0hx，即ln10xx+−，则ln1xx+，()0,1a，即ln1aa+，设()1exgxx−=−，()0,1x，()10e1xgx−−=，所以函数()gx在区间()0,1上单调递减，()10g=，所以在区

间()0,1上，()0gx，即1e0xx−−，则1exx−，()0,1a，即1eaa−，即1ln1eaaa−+，即1ln1eaaa−+，综上，不等式2lne1ba−−−成立，故④成立.故答案为：②③④【点睛】思路点睛：本题考

查根据条件等式，判断不等式的综合应用问题，前2个不等式比较简单，利用基本不等式即可判断，后2个不等式需要对不等式进行放缩，再构造函数，利用导数判断函数的单调性，即可判断不等式.三､解答题：本大题共6小题，共70分.

解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知数列na满足0na，()()()()()*12313131313Nnnaaaaan+=+++．（1）证明：数列1na是等差数列；（2）求数列1nnaa+

的前n项和nT．【答案】（1）证明见解析（2）nT()*N64nnn=+【解析】【分析】（1）利用退一作商法，结合等差数列的知识证得数列1na是等差数列.（2）利用裂项求和法求得nT.【小问1详解】因为()()()()12313131313nnaaaaa++++=①，所

以当2n时，()()()()1231113131313nnaaaaa−−++++=②．因为0na，所以由①②得113nnnaaa−+=，即113nnnnaaaa−−+=．所以1113nnaa−+=，即1113n

naa−−=−．由()()()()12313131313nnaaaaa++++=，得1113aa+=，所以112a=−，所以12na=−．所以数列1na是以-2为首项，-3为公差的等差数列．【小问2详解】由（1）得()()*123131Nnnnn

a=−−−=−+，即()*1N31nann=−−，所以111111313233132nnaannnn+=−−=−−+−+．所以1223341nnnTaaaaaaaa+=++++1

11111111111325358381133132nn=−+−+−++−−+111111111325588113132nn=−+−+−+

+−−+1113232n=−+()*64nnn=+N．18.如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，AFDE⊥，F是垂足.（1）求证：AFDB⊥；（2）求将ABD△绕AD旋转一周所得几何体的表面

积和圆柱表面积之比.【答案】（1）证明见解析（2）2223+【解析】【分析】（1）利用线线垂直证线面垂直，再得线线垂直；（2）利用圆锥、圆柱的表面积公式计算即可.【小问1详解】根据圆柱性质，DA⊥平面ABE，因为EB平面A

BE，所以DAEB⊥，因为AB是圆柱底面的直径，点E在圆周上，所以AEEB⊥，又,,AEADAAEAD=平面DAE，故EB⊥平面DAE，因为AF平面DAE，所以EBAF⊥，又AFDE⊥，且,,EBDEEEBDE=I

平面DEB，故AF⊥平面DEB，因为DB平面DEB，所以AFDB⊥.【小问2详解】将ABD△绕AD旋转一周所得几何体为圆锥，其母线为DB，半径AB，设==ABADa，则2DBa=，故该圆锥的表面积为

()()221π2π21πSaaaa=+=+，又圆柱表面积为222132π2ππ222aSaaa=+=，所以圆锥表面积和圆柱表面积之比为()2221π22233π2aa++=.19.人工智能教育是将人工智能与传统教育相融合，借助人工智能和大数据技术打造一个智能化教

育生态，通过线上和线下结合的学习方式，让学生享受到个性化教育．为了解某公司人工智能教育发展状况，通过中国互联网数据平台得到该公司2017年—2021年人工智能教育市场规模统计表，如表所示，用x表示年份代码（2017年用1表示，2

018年用2表示，依次类推），用y表示市场规模（单位：百万元）．x12345y4556646872附1：线性回归方程：ˆˆˆybxa=+，其中()()()11222111ˆ====−−−==−−nniiiiiinniiixxy

yxynxybxxxnx，ˆˆaybx=−；附2：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++，nabcd=+++．20()PKk0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k2.0722.7063.8415.0

246.6357.87910.828（1）已知y与x具有较强线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；（2）该公司为了了解社会人员对人工智能教育的满意程度，调研了200名参加过人工智能教育的人员，得到数据如表：满意不满意总计男90110女30

总计150完成22列联表，并判断是否有97.5%的把握认为社会人员的满意程度与性别有关？【答案】（1）6.641.2yx=+（2）列联表见解析，有97.5%的把握认为社会人员的满意程度与性别有关【解

析】【分析】（1）利用公式求出ˆˆ,ba，即可得出结论；（2）求得2K，与观测值比较，即可得出结论．【小问1详解】由题意得，1234535x++++==，4556646872615y++++==，51145256364468572

981iiixy==++++=，的522222211234555iix==++++=，则51522211598153616.655535iiiixyxybxx==−−===−−，616.6341.2aybx=−=−=，所以

y关于x的线性回归方程为6.641.2yx=+．【小问2详解】由题意得如下22列联表：满意不满意总计男9020110女603090总计15050200由22200(90306020)6.0615.0241109015050K

−=，所以有97.5%的把握认为社会人员的满意程度与性别有关．20.在ABC中，coscos2cosaBbAcC+=．（1）求C；（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC存在且唯一确定，求c和sinA的值．条件①:22a=，AC边上中线的长为5；

条件②:6b=，ABC的面积为6；条件③:10cos10B=−，AC边上的高BD的长为2．注:如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）π4C=（2）答案见解析【解析】【分析】（

1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换，即可求解；（2）若选择①，结合余弦定理，即可判断；若选择②结合面积公式，余弦定理，以及正弦定理，即可求解；若选择③结合三角恒等变换公式，以及直角三角形的三角公式，即可求解.【小问1详解】在ABC中，

因为sinsinsinabcABC==，再由coscos2cosaBbAcC+=可得sincossincos2sincos+=ABBACC.所以()sin2sincosABCC+=，即sin2sincosCCC=.因为sin0C，所以2cos2C=，()0,πC，所以π4C=.

【小问2详解】选择条件①：设点D为AC中点，则5BD=，22BC=，BCD△中，根据余弦定理()()2222522422DCDC=+−,解得：1DC=或3DC=，这样2AC=或6AC=，则ABC不唯一确定；选择条件②：在ABC中，112sin66222A

BCSabCa===，解得22a=.所以22222cos8362226202cababC=+−=+−=.解得25c=.在ABC中，因为sinsinacAC=，所以5sin5A=.选择条件③：在A

BC中，因为10cos10B=−，ππ2B，的所以2310sin1cos10BB=−=，在ABC中，sinsin()sincoscossinABCBCBC=+=+310210251021025−=在Rt△ABD中，可

得225sin55BDcA===；21.已知函数()()212ln22fxxaxax=−+−，aR．（1）当1a=−时，求函数()fx的极值．（2）是否存在实数a，对任意的m，()0,n+，且mn，有()()fmfn

amn−−恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）极大值52−，极小值2ln24−；（2）1,2a−−.【解析】【分析】（1）求出函数导数，利用()0fx=，分析函数的单调性，由单调性可得函数极值；（2）假设存在

，将已知条件转化为()()fmamfnan−−，构建新的函数()()gxfxax=−，显然只要()gx在(0,)+为增函数即成立，等价于不等式()0gx在(0,)+恒成立，解得a的取值范围即为答案.【小问1详解】当1a=−时，(

)212ln32fxxxx=+−，2232()3(0)xxfxxxxx−+=+−=，令()0fx=，解得1x=或2x=，当1x或2x时，()0fx，当12x时，()0fx，所以()fx在(0,1)和(2,)+上单调递增，在(1,2)

上单调递减，所以()fx的极大值为5(1)2f=−，极小值为(2)2ln24f=−.【小问2详解】假设存在实数a，对任意的m，()0,n+，且mn，都有()()fmfnamn−−恒成立，不妨设0nm，

若()()fmfnamn−−，即()()fmamfnan−−.令2211()()2ln(2)2ln222gxfxaxxaxaxaxxaxx=−=−+−−=−−.显然只要()gx在(0,)+为增函数即成立因为()(

)221122222xaaxxagxxxxx−−−−−=−−==，要使()gx在(0,)+为增函数则()0gx在(0,)+恒成立，即只需120a−−，则12a−.故存在1,2a−−满足题意．22.在平面

直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为1cos1sinxtyt=+=+（t为参数），)0,π．以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为4cos=．（1）求2C的直角坐标方程；（2）已知点(1,1)P，设1C与2C的交点为A，B．

当22111PAPB+=时，求1C的极坐标方程．【答案】（1）224xyx+=（2）()πR4=【解析】【分析】（1）根据222cosxyx=+=将极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将曲线1C的参数方程代入2C的直角坐标方程，根据t的几何意义可设1PAt=

，2PAt=，列出韦达定理，由22111PAPB+=求出，即可求出1C的普通方程与极坐标方程.【小问1详解】因为曲线2C的极坐标方程为4cos=，即24cos=，因为222cosxyx

=+=，所以224xyx+=，所以2C的直角坐标方程为224xyx+=.【小问2详解】将曲线1C的参数方程为1cos1sinxtyt=+=+（t为参数）代入2C的直角坐标方程，整理得()

22sincos20tt+−−=，由t的几何意义可设1PAt=，2PAt=，因为点(1,1)P在2C内，所以方程必有两个实数根，所以()122sincostt+=−−，122tt=−，因为()()()2222212121222222212122112s

in21ttttPBPAttPAPBPAPBtttt+−+===−++==，所以sin21=，因为)0,π，所以π22=，即π4=，所以1C的普通方程为yx=，则1C的极坐标方程为()πR4=.23.已知,0x

y，满足2xy+=．（1）求223++xxyy的最小值；（2）证明：()22222+xyxy．【答案】（1）113；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由条件等式转化为关于y的二次函数求最值；（2）首先利

用基本不等式变形为()()()2222222222xyxyxyxyxyxyxy+++=+，再变形利用基本不等式证明.【详解】（1）由题意，()()2222233223324++=++=−+=−+xxyyxxyyyyyy，由二次函数知识，知上式在13y=时，

取到最小值113．（2）证明：由题目条件以及均值不等式可以得到：()()()()()22222222222222112222222+++++=+=+=xyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxy，当且仅当1xy==等号成立．【

点睛】关键点点睛：本题第二问用了两次基本不等式，两次基本不等式求最值，注意两次等号成立的条件要相等，才能保证等号成立.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com