【文档说明】2023-2024学年高中数学人教A版2019 选择性必修第二册课后习题 第五章　一元函数的导数及其应用 第五章综合训练 Word版含答案.docx，共(11)页，90.478 KB，由小赞的店铺上传

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第五章综合训练一、单项选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2021江西景德镇高二期末)若f(x)=lnx+x3,则limΔ𝑥→0f(1+2𝛥x)-f(1)𝛥x=()A.1B

.2C.4D.82.(2021河南九师联盟高二联考)已知函数f(x)=2x+3f'(0)·ex,则f'(1)=()A.32eB.3-2eC.2-3eD.2+3e3.曲线f(x)=x3+x-2在P0处的切线平行于直线y=4x-1,

则点P0的坐标为()A.(1,0)B.(2,8)C.(1,0)或(-1,-4)D.(2,8)或(-1,-4)4.函数f(x)=3x2+lnx-2x的极值点有()A.0个B.1个C.2个D.无数个5.(2021广西河池高二期末)已知函数f(x)=lnx-ax-2在

区间(1,2)上不单调,则实数a的取值范围为()A.12,1B.12,1C.13,12D.12,236.(2021天津南开中学高二期中)已知x=2是f(x)=2lnx+ax2-3x的极值点,则f(x)在13,3上的最大值是()A.2ln3

-92B.-52C.-2ln3-1718D.2ln2-47.设a=e,b=πlnπ,c=3ln3,则a,b,c的大小关系是()A.a<c<bB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b8.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf'(x)=1+x,且f(1)=2

,不等式f(x)≥(a+1)x+1有解,则正实数a的取值范围是()A.(0,√e]B.(0,√e)C.(0,1e]D.(0,1e)二、多项选择题(在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求)9.下列结论不正确的是()A.若y

=cos1𝑥,则y'=-1𝑥sin1𝑥B.若y=sinx2,则y'=2xcosx2C.若y=cos5x,则y'=-sin5xD.若y=12xsin2x,则y'=xsin2x10.如果函数y=f(x)

的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则下述结论正确的是()A.函数y=f(x)在区间(3,5)内单调递增B.当x=-12时,函数y=f(x)有极大值C.函数y=f(x)在区间(1,2)内单调递增D.当x=2时,函数y=f(x)有极大值11.

(2021广东湛江一模)已知函数f(x)=x3-3lnx-1,则()A.f(x)的极大值为0B.曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线为x轴C.f(x)的最小值为0D.f(x)在定义域内单调12.若直线l与曲线C满足下列两个条件:①直线l在点P(x0,y0)处与曲线C相切;②曲线C在点P附

近位于直线l的两侧,则称直线l在点P处“切过”曲线C.则下列结论正确的是()A.直线l:y1=0在点P(0,0)处“切过”曲线C:y2=x3B.直线l:y1=x-1在点P(1,0)处“切过”曲线C:y2=lnxC.直线l:y1=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y2

=sinxD.直线l:y1=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y2=tanx三、填空题13.若函数f(x)=alnx+bx2+3x的极值点为x1=1,x2=2,则a=,b=.14.某莲藕种植塘每年的固定

成本是2万元,每年最大规模的种植量是10万斤,每种植1斤藕,成本增加1元.销售额y(单位:万元)与莲藕种植量x(单位:万斤)满足y=-16x3+ax2+x(a为常数),若种植3万斤,利润是232万元,则要使销售利润最大,每年需种植莲藕万

斤.15.(2021江苏连云港检测)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足:对任意x>0,有f(x)+xf'(x)>0成立且f(1)=2,则不等式f(x)<2𝑥的解集为.16.已知函数f(x)=x3+3ax2+3x+1,当x∈[2,+∞)时,f(x)≥0恒

成立,则实数a的取值范围是.四、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知函数f(x)=12ex(cosx+sinx)0≤x≤π2.(1)求函数f(x)的导数f'(x);(2)求函数f(x)的值域.18.设函数f(x)=alnx+12𝑥+32x+

1,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的极值.19.(2021甘肃兰州一中高二月考)已知函数f(x)=x+alnx+1.(1)求函数f(x)的单调区间和极值;(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为-a+1,求实

数a的值.20.已知函数f(x)=lnx-4ax,g(x)=xf(x).(1)若a=18,求g(x)的单调区间;(2)若a>0,求证:f(x)≤14𝑎-2.21.某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度),设该

蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).(1)

将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.22.设函数f(x)=lnx-(1-1𝑥).(1)求证:当x>1时,f(x)>0;(2)若关于x的不等式ln𝑥𝑥<a(x-1)对任意x∈(1,+∞)恒成立,求实数a的取值

范围.参考答案第五章综合训练1.D由题意f'(x)=1𝑥+3x2,所以f'(1)=1+3=4,所以limΔ𝑥→0f(1+2𝛥x)-f(1)𝛥x=2𝑙𝑖𝑚𝛥x→0𝑓(1+2Δ𝑥)-𝑓(1)2Δ𝑥=2f'(1)

=8.故选D.2.C因为f'(x)=2+3f'(0)·ex,所以f'(0)=2+3f'(0),所以f'(0)=-1,所以f'(x)=2-3ex,所以f'(1)=2-3e.故选C.3.C依题意令f'(x)=3x

2+1=4,解得x=±1,f(1)=0,f(-1)=-4,故点P0的坐标为(1,0)或(-1,-4),故选C.4.A函数定义域为(0,+∞),且f'(x)=6x+1𝑥-2=6𝑥2-2𝑥+1𝑥,令6x2-2x+1=0,则Δ=-20<0,所以f'(x)>0恒成立,即f(x)

在定义域上单调递增,无极值点.5.B由f'(x)=1𝑥-a=1-𝑎𝑥𝑥可知,当a≤0时函数f(x)在(1,2)上单调递增,不合题意;当a>0时,函数f(x)的极值点为x=1𝑎,若函数f(x)在区

间(1,2)上不单调,必有1<1𝑎<2,解得12<a<1.故选B.6.A由题意f'(x)=2𝑥+2ax-3且f'(2)=0,解得a=12,则f'(x)=2𝑥+x-3=𝑥2-3𝑥+2𝑥=(𝑥-1)(𝑥-2)𝑥

.∴当1<x<2时,f'(x)<0;当x<1或x>2时,f'(x)>0.∴在区间13,1,(2,3]上,函数f(x)单调递增;在区间(1,2)上,函数f(x)单调递减.∵f(3)=2ln3-92>f(1)=-52,∴f(x)在

13,3上的最大值是2ln3-92.故选A.7.A构造函数f(x)=𝑥ln𝑥,则f'(x)=ln𝑥-1(ln𝑥)2,当x>e时,f'(x)>0,则f(x)在(e,+∞)上单调递增.又e<3<π,∴f(e)<f(3)<f(π),即elne<3ln3<πlnπ,故

a<c<b.故选A.8.C因为f'(x)=1+1𝑥,故f(x)=x+lnx+C,其中C为常数.因f(1)=2,所以C=1,即f(x)=x+lnx+1.不等式f(x)≥(a+1)x+1有解可化为x+lnx+1≥(a+1)x+

1,即ln𝑥𝑥≥a在(0,+∞)上有解.令g(x)=ln𝑥𝑥,则g'(x)=1-ln𝑥𝑥2,当x∈(0,e)时,g'(x)>0,g(x)在(0,e)上单调递增;当x∈(e,+∞)时,g'(x)<0,

g(x)在(e,+∞)上单调递减.故g(x)max=g(e)=1e,所以0<a≤1e,故选C.9.ACD对于A,y=cos1𝑥,则y'=-1𝑥2sin1𝑥,故错误;对于B,y=sinx2,则y'=2xcosx2,故正确;对于C,y=cos5x,则y'=-5sin5x,故错误;对于

D,y=12xsin2x,则y'=12sin2x+xcos2x,故错误.故选ACD.10.CD当x∈(-∞,-2)时,函数f(x)单调递减;当x∈(-2,2)时,函数f(x)单调递增;当x∈(2,4)时,函数f(x)单调递减

;当x∈(4,+∞)时,函数f(x)单调递增.因此当x=-2时,函数f(x)取极小值,当x=2时,函数f(x)取极大值;当x=4时,函数f(x)取极小值.结合选项易知,A,B错误,C,D正确,故选CD.11.BCf(x)=x3-3lnx-1的定义域为(0,+∞),f'(x)=

3x2-3𝑥=3𝑥(x3-1).令f'(x)=3𝑥(x3-1)=0,得x=1.当x变化时,f(x),f'(x)变化情况如下表:x(0,1)1(1,+∞)f'(x)-0+f(x)单调递减极小值单调递增所以f(x)的极小值也是最小值,最小值为f(1)=0,无极大

值,在定义域内不单调,故C正确,A,D错误;对于B,由f(1)=0及f'(1)=0,得y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y-0=0(x-1),即y=0,故B正确.故选BC.12.ACDA项,因为y'2=3x2,当x=0时,y'2=0,所以l

:y1=0是曲线C:y2=x3在点P(0,0)处的切线.当x<0时,y2<0;当x>0时,y2>0.所以曲线C在点P附近位于直线l的两侧,结论正确.B项,y'2=1𝑥,当x=1时,y'2=1,在P(1,0)处的切线为l:y1=x-1.令h(x)=x-1-lnx,则h'(x)=1-1𝑥

=𝑥-1𝑥(x>0),当x>1时,h'(x)>0;当0<x<1时,h'(x)<0,所以h(x)min=h(1)=0.故x-1≥lnx,即当x>0时,曲线C全部位于直线l的下侧(除切点外),结论错误.C

项,y'2=cosx,当x=0时,y'2=1,在P(0,0)处的切线为l:y1=x,由正弦函数图象可知,曲线C在点P附近位于直线l的两侧,结论正确.D项,y'2=1cos2𝑥,当x=0时,y'2=1,在

P(0,0)处的切线为l:y1=x,由正切函数图象可知,曲线C在点P附近位于直线l的两侧,结论正确.故选ACD.13.-2-12f(x)的定义域为(0,+∞).f'(x)=𝑎𝑥+2bx+3=2𝑏𝑥2+3𝑥+𝑎𝑥.因为函数f(x)的极值点为x1=1,x2=2

,所以x1=1,x2=2是方程f'(x)=2𝑏𝑥2+3𝑥+𝑎𝑥=0的两个根,即为方程2bx2+3x+a=0的两根.所以由根与系数的关系知{-32𝑏=1+2,𝑎2𝑏=1×2,解得{𝑎=-2,𝑏=-12.14.8设销售利润为g(x),则g(x

)=-16x3+ax2+x-2-x=-16x3+ax2-2(0<x≤10).因为g(3)=-16×33+a×32-2=232,所以a=2,则g(x)=-16x3+2x2-2,求导得g'(x)=-12x2+4

x=-12x(x-8),当x∈(0,8)时,g'(x)>0;当x∈(8,10)时,g'(x)<0.所以g(x)在(0,8)上单调递增,在(8,10)上单调递减,则当x=8时,g(x)取得最大值.所以要使销售利润最大,每年需种植莲藕8万斤.15.(0,1)令g(x)=xf(x)

-2,x∈(0,+∞),g(1)=f(1)-2=0,∵g'(x)=f(x)+xf'(x)>0,∴g(x)=xf(x)-2在x∈(0,+∞)上单调递增,∴满足不等式g(x)<0=g(1)的解为0<x<1,即不等式f(x)<2𝑥的解集为(0,1).16.[-54,+∞)当x∈[2,+∞)时

,f(x)≥0,即x3+3ax2+3x+1≥0,即x+3𝑥+1𝑥2≥-3a.令g(x)=x+3𝑥+1𝑥2,则g'(x)=𝑥3-3𝑥-2𝑥3.令h(x)=x3-3x-2,则h'(x)=3x2-3=3(x+1)

(x-1),易知h'(x)≥0在x∈[2,+∞)上恒成立,∴h(x)在x∈[2,+∞)内单调递增,∴h(x)≥h(2)=0,也就是x3-3x-2≥0在x∈[2,+∞)上恒成立,∴g'(x)≥0在x∈[2,+∞)上恒成立,

g(x)在x∈[2,+∞)内单调递增,∴g(x)的最小值为g(2)=154,-3a≤g(2)=154,解得a≥-54.17.解(1)因为f(x)=12ex(cosx+sinx)(0≤𝑥≤π2),所以f'(x)=12ex(cosx+sinx)+12ex(-sinx+c

osx)=excosx.故函数f(x)的导数f'(x)=excosx.(2)因为0≤x≤π2,所以f'(x)=excosx≥0,函数f(x)在[0,π2]上单调递增,所以f(x)min=f(0)=12e0(cos0+sin0)=12

,f(x)max=f(π2)=12eπ2(cosπ2+sinπ2)=12eπ2.故函数f(x)的值域为[12,12eπ2].18.解(1)因为f(x)=alnx+12𝑥+32x+1,故f'(x)=𝑎𝑥−12𝑥2+32.由于曲线y=f(x)在点(1,f(1))

处的切线垂直于y轴,故该切线斜率为0,即f'(1)=0,从而a-12+32=0,解得a=-1.(2)由(1)知f(x)=-lnx+12𝑥+32x+1(x>0),f'(x)=-1𝑥−12𝑥2+32=3𝑥2-2𝑥-12𝑥2=(

3𝑥+1)(𝑥-1)2𝑥2,令f'(x)=0,解得x1=1,x2=-13因x2=-13不在定义域内,舍去,当x∈(0,1)时,f'(x)<0,故f(x)在(0,1)上单调递减;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(1,+∞)上单调递增.

故f(x)在x=1处取得极小值f(1)=3,无极大值.19.解(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1+𝑎𝑥=𝑥+𝑎𝑥.当a≥0时,f'(x)>0恒成立,f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值;当a<0时,令f'(x)>0,解得x>-

a,令f'(x)<0,解得0<x<-a,所以f(x)的单调递增区间为(-a,+∞),单调递减区间为(0,-a),此时f(x)有极小值f(-a)=-a+aln(-a)+1,无极大值.综上,当a≥0时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间,无极值;当a<0时,f(x)的单调递

增区间为(-a,+∞),单调递减区间为(0,-a),极小值为f(-a)=-a+aln(-a)+1,无极大值.(2)f'(x)=1+𝑎𝑥=𝑥+𝑎𝑥,x∈[1,e],由f'(x)=0得x=-a.①若

a≥-1,则x+a≥0,即f'(x)≥0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上单调递增,∴f(x)min=f(1)=-a+1,即2=-a+1,则a=-1,符合条件;②若a≤-e,则x+a≤0,即f'(x)≤0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在

[1,e]上单调递减,∴f(x)min=f(e)=-a+1,即e+a+1=-a+1,则a=-e2,不符合条件;③若-e<a<-1,当1<x<-a时,f'(x)<0,∴f(x)在(1,-a)上单调递减,当-a

<x<e时,f'(x)>0,∴f(x)在(-a,e)上单调递增,∴f(x)min=f(-a)=-a+1,即-a+aln(-a)+1=-a+1,则a=-1,不符合条件.综上所述,a=-1.20.(1)解由a=18,得g(x)=xlnx-12x2(x>0),则g'(x)=l

nx-x+1.令h(x)=lnx-x+1,则h'(x)=1-𝑥𝑥.故h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,h(x)max=h(1)=0.从而当x>0时,g'(x)≤0恒成立,故g(x)的单调递减区间为(0,+∞)

,无单调递增区间.(2)证明f'(x)=1𝑥-4a=1-4𝑎𝑥𝑥.由a>0,令f'(x)=0,得x=14𝑎,故f(x)在(0,14𝑎)上单调递增,在(14𝑎,+∞)上单调递减.所以f(x)ma

x=f(14𝑎)=ln14𝑎-1.只需证明ln14𝑎-1≤14𝑎-2.令t=14𝑎>0,即证lnt-t+1≤0(*),由(1)易知(*)式成立,故原不等式成立.21.解(1)∵蓄水池的侧面的建造成本为200πrh元,底面

的建造成本为160πr2元,∴蓄水池的总建造成本为(200πrh+160πr2)元,即200πrh+160πr2=12000π,∴h=15𝑟(300-4r2),∴V(r)=πr2h=πr2×15𝑟(300-4r2)=π5(300r-

4r3),又由r>0,h>0可得0<r<5√3,故函数V(r)的定义域为(0,5√3).(2)由(1)中V(r)=π5(300r-4r3),0<r<5√3,可得V'(r)=π5(300-12r2)(0<r<5√3),令V'(r)=π

5(300-12r2)=0,则r=5,∴当r∈(0,5)时,V'(r)>0,函数V(r)单调递增,当r∈(5,5√3)时,V'(r)<0,函数V(r)单调递减,所以当r=5,h=8时该蓄水池的体积最大.22.(1)证明∵f(x)=lnx-(1-1𝑥),∴f'(x)=1𝑥−1𝑥2=𝑥-1�

�2.当x>1时,f'(x)>0.∴f(x)在(1,+∞)内单调递增,∴f(x)>f(1)=0,得证.(2)解设h(x)=ln𝑥𝑥-a(x-1),x∈(1,+∞),则h'(x)=1-ln𝑥𝑥2-a=1-ln𝑥-𝑎𝑥2𝑥2,当a≥1时,

1-ax2<0,lnx>0,∴h'(x)<0,∴h(x)在x∈(1,+∞)内单调递减,∴h(x)<h(1)=0恒成立,即不等式ln𝑥𝑥<a(x-1)对任意x∈(1,+∞)恒成立;当a≤0时,在(1,+∞)内有

h(e)=1e-a(e-1)>0,故不合题意;当0<a<1时,∵lnx>1-1𝑥对任意x∈(1,+∞)恒成立;∴h(x)=ln𝑥𝑥-a(x-1)>1-1𝑥𝑥-a(x-1)=𝑥-1𝑥2-a(x-1)=𝑥-1𝑥2(1-ax2),∴当x∈(1,1√𝑎)

时,h(x)≥0,故不合题意.综上,实数a的取值范围为[1,+∞).