【文档说明】2023-2024学年高中数学人教A版2019 选择性必修第二册课后习题 第四章　数列 4-2-2　第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 Word版含答案.docx，共(8)页，65.855 KB，由小赞的店铺上传

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第2课时等差数列前n项和的性质及应用必备知识基础练1.在等差数列{an}中,Sn是其前n项和,a1=-11,𝑆1010−𝑆88=2,则S11=()A.-11B.11C.10D.-102.(2021天津滨海高二期

末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=10,公差d=-72,则Sn取得最大值时n的值为()A.3B.4C.5D.63.在等差数列{an}中,前m项(m为偶数)和为77,其中偶数项之和为44,且am-a1=18,则数列{an}的公差为()A.-4B.4C.6

D.-64.若Sn表示等差数列{an}的前n项和,𝑆5𝑆10=13,则𝑆10𝑆20=()A.19B.18C.310D.135.(多选题)已知数列{an}是公差不为0的等差数列,前n项和为Sn,满足a1+5a3=S8,下列选项正确的有()A.a10=0B.S

7=S12C.S10最小D.S20=06.已知等差数列{an},Sn为其前n项和,S3=9,a4+a5+a6=7,则S9-S6=.7.已知等差数列{an},|a5|=|a9|,公差d>0,则使得其前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是.8.设等

差数列{an}的前n项和为Sn,a1>0,n∈N*,若S12>0,S13<0,则数列{|an|}的最小项是.9.在等差数列{an}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|an|}的前n项和.10.设Sn是等差数列{an}的前n项和,a3=7,.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求

数列{an}的前n项和Sn的最值.从①S6=51;②an=an-1-3;③S5=a3a5中任选一个,补充在上面的问题中并作答.关键能力提升练11.(2022河南驻马店高二期中)等差数列{an}的前n项和为Sn,若S8=2020,则a3+4a4+a8=()A.2020B.1525C.1515D.

201512.(2021新疆乌鲁木齐高三三模)在等差数列{an}中,a3=16,a7=8,Sn是数列{an}的前n项和,则满足数列𝑆𝑛𝑛的前n项和最大的n的值为()A.20B.21C.20或21D.21或2213.在等差数列{an}中,其前n项和

为Sn,nSn+1>(n+1)Sn(n∈N*),且𝑎8𝑎7<-1,则在Sn中()A.最小值是S7B.最小值是S8C.最大值是S8D.最大值是S714.(多选题)(2021广东中山高二期末)设{an}是等差数列,公差为d,Sn是其前n项的和

,且S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论正确的是()A.d<0B.S6与S7是Sn的最大值C.S9>S5D.a7=015.(多选题)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且𝐴𝑛𝐵𝑛=7𝑛+45

𝑛+3,则使得𝑎𝑛𝑏𝑛为整数的正整数n可以是()A.1B.2C.3D.616.(2021湖北武汉月考)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且𝐴𝑛𝐵𝑛=7𝑛+

45𝑛+3,则𝑎3𝑏3=.17.在等差数列{an}中,Sn是其前n项和,且S2011=S2014,Sk=S2009,则正整数k为.18.设数列{an}的各项都为正数,其前n项和为Sn,已知对任意n∈N*,Sn是𝑎𝑛2和an的等差

中项.(1)证明:数列{an}为等差数列,并求an;(2)若bn=-n+5,求{anbn}的最大值,并求出取最大值时n的值.19.在等差数列{an}中,a1=60,a17=12,求数列{|an|}的前n项和.学科素养创新练20.(2021江苏海安高三期末)设数列{an}的前n项和

为Sn,写出一个同时满足条件①②的等差数列{an}的通项公式.①Sn存在最小值且最小值不等于a1;②不存在正整数k,使得Sk>Sk+1且Sk+1<Sk+2.参考答案第2课时等差数列前n项和的性质及应用1.A∵{an}为等差数列,∴{𝑆𝑛𝑛}为等差数列,首项𝑆11=a1

=-11,设{𝑆𝑛𝑛}的公差为d,则𝑆1010−𝑆88=2d=2,∴d=1,∴𝑆1111=-11+10d=-1,∴S11=-11.2.A∵a1=10,d=-72,∴Sn=10n+𝑛(𝑛-1)2×-72=-74n2+474n.

∵n∈N*,抛物线y=-74x2+474x的对称轴为直线x=4714,且开口向下,∴当n=3时,Sn取得最大值为392.故选A.3.B设数列{an}公差为d,由题意得等差数列{an}前m项中,奇数项之和为33,偶数项之和与奇数项之和的差为11,所以𝑚2d=11,即

md=22.又am-a1=(m-1)d=18,所以d=md-18=22-18=4.4.C由题意,得S5,S10-S5,S15-S10,S20-S15成等差数列.∵𝑆5𝑆10=13,∴S10=3S5,∴S15=6S5,S20=10S5,∴𝑆10

𝑆20=310.5.AB因为{an}是等差数列,设公差为d,由a1+5a3=S8,可得a1+9d=0,即a10=0,即选项A正确,又S12-S7=a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0,即选项

B正确,当d>0时,则S9或S10最小,当d<0时,则S9或S10最大,即选项C错误,又因为S19=19a10=0,a20≠0,所以S20≠0,即选项D错误.故选AB.6.5∵S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,而S3=9,S

6-S3=a4+a5+a6=7,∴S9-S6=5.7.6或7由|a5|=|a9|,且d>0,得a5<0,a9>0,且a5+a9=0,所以a7=𝑎5+𝑎92=0,故S6=S7,且为最小值.8.a7设等差数列{an}的公差

为d.∵a1>0,n∈N*,S12>0,S13<0,∴6(a6+a7)>0,13a7<0.∴a7<0,a6>-a7>0,且a6+a8=2a7<0,即a6<-a8.∴-a7<a6<-a8<…,则数列{|an

|}的最小项是a7.9.解等差数列{an}的公差d=𝑎17-𝑎117-1=-12-(-60)16=3,故an=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.由an<0,得3n-63<0,即n<

21.故数列{an}的前20项是负数,第20项以后的项都为非负数.设Sn,S'n分别表示数列{an},{|an|}的前n项和,当n≤20时,S'n=-Sn=-[-60𝑛+𝑛(𝑛-1)2×3]=-32n2+1232n;当n≥21时,S'n=-S20

+(Sn-S20)=Sn-2S20=-60n+𝑛(𝑛-1)2×3-2×(-60×20+20×192×3)=32n2-1232n+1260.故数列{|an|}的前n项和为S'n={-32𝑛2+1232𝑛,𝑛≤20,32𝑛2-1232𝑛+1260,𝑛≥21

.10.解选①:(1)设等差数列{an}的公差为d,由题设知{𝑎1+2𝑑=7,6𝑎1+6×5𝑑2=51,解得a1=1,d=3,∴an=1+3(n-1)=3n-2.(2)由(1)知an=3n-2,数列{an}是递增数列,∴当n=1时,Sn有最小值S

1=1,Sn无最大值.选②:(1)设等差数列{an}的公差为d,由题设知d=an-an-1=-3,∵a3=a1+2×(-3)=7,∴a1=13,∴an=13-3(n-1)=16-3n.(2)由(1)知an=16-3n,

数列{an}是递减数列,令an>0,得n<163,故当n=5时,Sn有最大值S5=5×(13+1)2=35,Sn无最小值.选③:(1)设等差数列{an}的公差为d,由{𝑎3=7,𝑆5=5𝑎3=𝑎3�

�5,得a5=5,∴d=𝑎5-𝑎35-3=-1.∴an=a3+(n-3)d=10-n.(2)由(1)知an=10-n,数列{an}是递减数列,令an=0,得n=10.故当n=9或n=10时,Sn有最大值S9=S10=45,Sn无最小值.11.C∵S8=82(a1

+a8)=4(a1+a8)=2020,∴a1+a8=505,∴a3+4a4+a8=3(a1+a8)=3×505=1515.12.C设等差数列{an}的公差为d,因为{an}是等差数列,所以𝑆𝑛𝑛

也是等差数列,公差为𝑑2,由a3=16,a7=8,可得d=𝑎7-𝑎37-3=8-164=-2,则a1=a3-2d=20,所以𝑆11=a1=20,𝑑2=-1,所以𝑆𝑛𝑛=20-(n-1)=21-n

.可得当n<21,n∈N*时,𝑆𝑛𝑛>0;当n=21时,𝑆𝑛𝑛=0;当n>21,n∈N*时,𝑆𝑛𝑛<0,所以当n=20或n=21时,数列𝑆𝑛𝑛的前n项和取得最大值.故选C.13.A由n

Sn+1>(n+1)Sn,得𝑆𝑛+1𝑛+1>𝑆𝑛𝑛,即𝑆𝑛+1𝑛+1−𝑆𝑛𝑛>0.而𝑆𝑛+1𝑛+1−𝑆𝑛𝑛=𝑑2,所以d>0.因为𝑎8𝑎7<-1,所以𝑎7+𝑎8𝑎7

<0,即a7(a7+a8)<0.由于d>0,因此数列{an}是递增数列,所以a7<0,a7+a8>0,所以a7<0,a8>0,所以在Sn中最小值是S7.14.ABD由S5<S6,得S6-S5=a6>0,由S6=S7,得S7-S6=a7=0,由S7>S8,得a8<0,∴d=a7-a

6<0,故A,D正确;而C选项S9>S5,即a6+a7+a8+a9>0,可得2(a7+a8)>0,由结论a7=0,a8<0,显然C错误;∵S5<S6,S6=S7>S8,∴S6与S7均为Sn的最大值,故B正确.故选ABD.15.ABC𝑎𝑛𝑏𝑛=2𝑎𝑛

2𝑏𝑛=𝑎1+𝑎2𝑛-1𝑏1+𝑏2𝑛-1=2𝑛-12(𝑎1+𝑎2𝑛-1)2𝑛-12(𝑏1+𝑏2𝑛-1)=𝐴2𝑛-1𝐵2𝑛-1=7(2𝑛-1)+45(2𝑛-1)+3=

7𝑛+19𝑛+1=7+12𝑛+1.当n=1,2,3,5,11时,12𝑛+1为整数,即当n=1,2,3,5,11时,𝑎𝑛𝑏𝑛为整数.故选ABC.16.10∵𝐴𝑛𝐵𝑛=7𝑛+45𝑛+3,∴𝑎3𝑏3=2𝑎32𝑏3=𝑎1+𝑎5𝑏1+

𝑏5=5(𝑎1+𝑎5)25(𝑏1+𝑏5)2=𝐴5𝐵5=7×5+455+3=10.17.2016因为等差数列{an}的前n项和Sn可看成是关于n的二次函数,所以由二次函数图象的对称性及S2011=S2014,Sk

=S2009,可得2011+20142=2009+𝑘2,解得k=2016.18.(1)证明由已知,得2Sn=𝑎𝑛2+an,且an>0.当n=1时,2a1=𝑎12+a1,解得a1=1.当n≥2时,2Sn-1=𝑎

𝑛-12+an-1.所以2Sn-2Sn-1=𝑎𝑛2−𝑎𝑛-12+an-an-1,即2an=𝑎𝑛2−𝑎𝑛-12+an-an-1,即(an+an-1)(an-an-1)=an+an-1.因为an+an-1>0,所以an-an-1=1(n≥2).故数列{an}是

首项为1,公差为1的等差数列,且an=n.(2)解由(1)可知an=n.设cn=anbn,则cn=n(-n+5)=-n2+5n=-(𝑛-52)2+254.因为n∈N*,所以当n=2或n=3时,{cn}的最大项

为6.故{anbn}的最大值为6,此时n=2或n=3.19.解等差数列{an}的公差为d=𝑎17-𝑎117-1=12-6016=-3,故通项公式为an=a1+(n-1)d=60+(-3)×(n-1)=63-3n.令an≥0,即63-3n≥0,解

得n≤21,即数列的前21项是非负数,从第22项开始都是负数.设Sn,Tn分别表示数列{an}与数列{|an|}的前n项和,则Sn=𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)2=-32n2+1232n.当n≤21时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|

=a1+a2+…+an=Sn=-32n2+1232n;当n≥22时,Tn=|a1|+|a2|+…+|a21|+|a22|+…+|an|=a1+a2+…+a21-(a22+…+an)=S21-(Sn-S21)=2S21-Sn.由S21=-32×

212+1232×21=630,得Tn=2×630--32n2+1232n=32n2-1232n+1260.故Tn={-32𝑛2+1232𝑛,𝑛≤21且𝑛∈N*,32𝑛2-1232𝑛+1260,𝑛≥22,且𝑛∈N*.20.解因为等差数列{an}的前n项和为Sn=na1

+𝑛(𝑛-1)𝑑2=𝑑2n2+a1-𝑑2n,其对应函数的图象为一抛物线,对称轴为𝑑2-𝑎1𝑑,若Sn存在最小值且最小值不等于a1,则𝑑2-𝑎1𝑑>32,且d>0,整理得a1<-d.又因为不存在正整数k,使得Sk>Sk+1且Sk+1<Sk+2,则连续两项取得最小值,令Sk

=Sk+1,k>1,所以ak+1=a1+kd=0,所以k=-𝑎1𝑑>1.令k=2,a1=-2d,则有an=(n-3)d,令d=2,则an=2n-6为一个符合题意的通项公式.故答案为an=2n-6(不唯一).