【文档说明】四川省凉山州西昌市2021-2022学年高一下学期期中考试数学（理）试题 含解析.docx，共(16)页，943.658 KB，由小赞的店铺上传

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西昌市2021—2022学年度下期期中检测高一数学（理科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，试题卷4页，答题卡2页.全卷满分为150分，考试时间120分钟.答题前考生务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答

题卡的指定位置；选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，其他试题用0.5毫米签字笔书写在答题卡对应题框内，不得超越题框区域.考试结束后将答题卡收回.一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）．1.求cos60sin15co

s15的值为（）A.14B.12C.32D.18【答案】D【解析】【分析】由二倍角正弦公式和特殊角三角函数值可求得结果.【详解】11111cos60sin15cos15sin30cos6022228===

.故选：D.2.已知向量(4,4),(5,1)OAOB=−=−−，则13AB等于（）A.(3,1)B.(3,1)−C.(3,1)−D.(1,3)【答案】C【解析】【分析】根据向量的坐标运算求解即可.【详解】解：由题意得：(5,1)(4

,4)(9,3)ABOBOA=−=−−−−=−(3,1)13AB=−故选：C3.,,abc分别是△ABC内角A，B，C的对边，若7,11,6abc===，则△ABC的形状是（）A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形【答案】A【解析】【分析】利用余弦定理求出最大边

所对角的余弦，再判断作答.【详解】在△ABC中，因7,11,6abc===，则最大边为b，其所对角B是最大角，由余弦定理得：22222276113cos022767acbBac+−+−===−，因

此角B是钝角，所以△ABC是钝角三角形.故选：A4.已知向量()1,2a=，()3,1b=−，()1,c=．若()//cab+，则=（）A.16−B.15C.14−D.14【答案】D【解析】【分析】由向量平行的坐标表示可直接构造方程求得结果.【详解】()4,1ab+=，()//

cab+，41=，解得：14=.故选：D.5.已知sincos12sincos3+=−，则πtan(α)4+值为（）A.35B.45−C.35-D.45【答案】C【解析】【分析】先根据等式求出tan，然后利用两角和的正切公式代入求解即可.【详解】解：由题

意得：sincos12sincos3+=−tan112tan13+=−，解得：tan4=−tantanπtan14134tan()41tan1(4)51tantan4++−++====−−−−−的故选：C6.2021年央视中秋晚会选址在卫星之城西昌，为做好秋晚

的前期录制工作，现要测量位于邛海两岸的AB，两个秋晚录制地点间的距离，经测量点AB在点的北偏东15方向上，在点B正东方且距离为2km处确定一点C，测得A在C的北偏西45方向上，则AB两个秋晚录制地点间的距离为（）A.3kmB.63kmC.263k

mD.23km【答案】C【解析】【分析】先求出ABC的三个角，再运用正弦定理即可求出AB的长度．【详解】解：在ABC中，依题意知521212B=−=，4C=，那么3ABC=−−=，由正弦定理sinsinABBCCA=，又因为2kmCB=，所以22s

in262kmsin332BCCABA===，故选：C．7.已知,,0,2，且sin2sin5sincos2cos5cos−=+=，则+的值为（）A.

6B.4C.34D.56【答案】B【解析】【分析】将两式平方再相加即可得到()2cos2+=，再根据,的范围计算可得；【详解】解：因为sin2sin5sincos2cos5cos−=+=，所以()22sin2sin5sin−=，即222sin22

sinsin2sin5sin−+=①，()22cos2cos5cos+=，即222cos22coscos2cos5cos++=②，两式相加得22coscos22sinsi

n35−+=，所以()2coscossinsin1−=，即()2cos2+=，因为,0,2，所以()0,+，所以4+=；故选：B8.已知,,abc分别是ABC内角,,ABC所对的边，,bc是方程23350

xx−+=的两个根，且5cos25A=，则=a（）A.5B.23C.25D.11【答案】B【解析】【分析】由韦达定理求出两根之和，两根之积，由半角公式求出cosA，再由余弦定理求出23a=.【详解】由题意得：33,5bcbc+==，由5cos25A=可得：213cos2cos121255AA=−

=−=−，由余弦定理得：()222222227103cos22105bcbcabcaaAbcbc+−−+−−−====−，解得：23a=故选：B9.在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，E是线段OD的中点，A

E的延长线与CD交于点F，则EF等于（）A.11124ABAD+B.1134ABAD−C.1164ABAD+D.1143ABAD−【答案】A【解析】【分析】依题意根据三角形相似得到13DFDC=，再根据平面向量线性运算法则计算可得；【详解】解：依题意DEFBEA∽，所以13DF

DEABBE==，即13DFDC=，所以()1111114343124EFEDDFBDDCADABABABAD=+=+=−+=+；故选：A10.若sin40cos127sin50sin53a=+，2(cos34sin34)2b=−，

221tan391tan39c−=+则,,abc的大小关系是（）A.abcB.bacC.cabD.acb【答案】D【解析】【分析】由已知得a利用两角和的正弦公式求解，b用两角和的余弦公式求解，c

先利用正切化弦，再利用余弦的二倍角公式求解，然后将三个值都化在()0,90内，利用函数()sinfxx=的单调性求解即可.【详解】由已知得sin40cos127sin50sin53a=+sin40cos

127cos50sin127=+()sin40127sin167sin13=+==，2(cos34sin34)2b=−cos45cos34sin45sin34=−cos79sin11==，221tan391tan39c−=+2222cos39sin39cos39sin

39−=+22cos39sin39cos78sin12=−==，因为()sinfxx=在()0,90x上单调递增，所以sin13sin12sin11，所以acb，故选：D.11.已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90，AD＝4，BC＝2，P是腰DC上的动点，则

|2|PAPB+的最小值为（）A.8B.7C.6D.4【答案】A【解析】【分析】以D为原点建立直角坐标系，利用坐标关系即可求出.【详解】由题以D为原点建立直角坐标系，则()()4,0,2,ABa，设CDa=，设()0,,0Pyya，则(

)()()24,22,8,23PAPByayay+=−+−=−，则()222823PAPBay+=+−，当23ay=，即23ya=时，|2|PAPB+取得最小值为8.故选：A.12.已知P为ABC内任意一点

，若满足()0,,0xPAyPBzPCxyz++=，则称P为ABC的一个“优美点”．则下列结论中正确的有（）①若1xyz===，则点P为ABC的重心；②若1x=，2y=，3z=，则16PBCABCSS=；③若PAPBPBPCPAPC==，则点P为ABC的垂心；④若1x=，3

y=，1z=且D为AC边中点，则25BPBD=．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D【解析】【分析】设BC中点为M，由已知等式可得2PAMP=，由重心性质可知①正确；取AC中点D，BC中点E，由已知等式可得2PDEP=，则可得P

与A到直线BC距离之比，由此可知②正确；由PAPBPBPC=可得0PBCA=，即PBAC⊥，同理得PABC⊥，PCAB⊥，由垂心定义知③正确；由已知等式可得23PDBP=，由此知④正确.【详解】对于①，当1xyz===时，0PAPBPC++=；设BC中点为M，则2PB

PCPM+=，即22PAPMMP=−=，P为ABC的重心，①正确；对于②，当1x=，2y=，3z=时，230PAPBPC++=uuruuruuurr，()2PAPCPBPC+=−+，取AC中点D，BC

中点E，2PAPCPD+=，2PBPCPE+=，24PDPE=−，即2PDEP=，P到直线BC距离1d与D到直线BC距离2d之比为：1:3，即12:1:3dd=；又D为AC中点，点A到直线BC距离322dd=，1

3:1:6dd=，13::1:6PBCABCSSdd==，即16PBCABCSS=，②正确；对于③，由PAPBPBPC=得：()0PAPBPBPCPBPAPCPBCA−=−==，PBAC⊥，同理可得：PABC

⊥，PCAB⊥，P为ABC的垂心，③正确；对于④，当1x=，3y=，1z=时，30PAPBPC++=，3PAPCPB+=−，又D为AC边中点，233PDPBBP=−=，又BPPDBD+=，32BPB

PBD+=，25BPBD=，④正确.故选：D.二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）．13.已知向量,ab的夹角为120，且2=a，1=b，则向量a在b方向上的投影为________．【答案】1−【解析】【分析】由向量投影定义可直接求得结果.【详解】向量a在b方向上的投

影为：cos,2cos1201aab==−.故答案为：1−.14.tan26tan343tan26tan34++=_________．【答案】3【解析】【分析】根据两角和的正切公式tantantan()1tantan

++=−可令26,34==，代入求解即可.【详解】解：由题意得：由两角和的正切公式tantantan()1tantan++=−，可令26,34==tan26tan34tan6031tan26tan34

+==−，可得tan26tan343tan26tan343++=故答案为：315.若π(0,)2，1cos3π6+=，则πsin2=6−（）__________．【答案】79−【解析】【分析】利用已知找到角之间的关系即

π2π236=++和π2π236+−+π2=，即可求解.【详解】由已知条件得∵ππ26π223++−=，∴ππsin2=sincos62ππ2233−−=++（

）22π171216392cos+−=−=−=，故答案为：79−.16.在ABC中，6AB=，35AC=．点M满足1154AMABAC=+．过点M直线l分别与边,ABAC交于点,DE且1ADAB=，1AEAC=．已知点G为ABC的外心，AGABAC

=+uuuruuuruuur，则AG为______．【答案】310【解析】【分析】由,,DME三点共线可设()()101AMtADtAEt=+−，由此可利用t表示出,，得到()544AGtABtAC=+−，利用向量线性运算可表示出,C

GBG，由外心特点可知AGBGCG==，由此可构造方程求得t，结合向量数量积的运算律可求得2AG，进而得到结果.【详解】,,DME三点共线，可设()()101AMtADtAEt=+−，15ABtAD=，()114ACtAE=−，即15ADABt=，(

)141AEACt=−，()1151141tt==−，即5t=，44t=−，()544AGtABtAC=+−；()534CGAGACtABtAC=−=+−，()()5144BGAGABtABtA

C=−=−+−，G为ABC的外心，AGBGCG==，()()()()()()()()22222222222404044304034254040515188ttABACtACttABACtACtABttABACtABttABAC−+−=−+−+−=−+−−，整理可得：()(

)()2210873603158810136036tABACtACttABACtABt=−=−−=−=−，360315360361088ttABACtt−−==−，解得：7372t−−=（舍）或7372t−+=；()()22222223603629001044

454488tAGABABACACttttt−=++=+−+−−()2218012607201807490tttt=−−+=−+−=，的310AG=.故答案为：310.三、解答题（本题共6个小题，17题10分，18-22每题12分，共70分，解答题应写

出文字说明、证明过程或演算步骤）．17.已知向量,ab的夹角4=，22a=，3b=（1）求ab；（2）求a与ab−夹角的余弦值.【答案】（1）6（2）1010【解析】【分析】（1）由向量数量积的定义可直接求得结果；（2）利用向量数量积运算律可求得ab−，根据向量夹角公式可

求得结果.【小问1详解】2cos22362abab===.【小问2详解】22281295abaabb−=−+=−+=，()28610cos,10225aabaabaabaabaab−−−−====

−−18.已知、均为锐角，4tan3=，()10cos10+=−（1）求cos2的值（2）求()tan−的值．【答案】（1）725−（2）379−【解析】.【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系求出cos，再利用二倍角公式

计算可得；（2）首先求出tan2，再根据同角三角函数的基本关系求出()sin+、()tan+，最后由()()tantan2−=−+利用两角差的正切公式计算可得；【小问1详解】解：、为锐角，22sin4tancos3sincos1==+=，

解得4sin53cos5==，27cos22cos125=−=−【小问2详解】解：因为22422tan243tan21tan7413===−−−，.、为锐角且()10cos10+=−，所以()()2310sin1cos10

+=−+=，()()()sintan3cos++==−+，所以()()()()243tan2tan37tantan2241tan2tan79137−+−+−=−+===−+++19.已知向量33cos

,sin22a=，cos,sin22b=，()3,1c=，其中R．（1）若//ab时，则值的集合；（2）求ac+的取值范围．【答案】（1）,kkZ=（2）1,3.【

解析】【分析】（1）由向量平行坐标运算可得sin0=，由此可得取值集合；（2）由向量数量积运算可求得2354sin23ac+=++，由3sin1,123+−可求得ac+的取值范围.【小问1详解】

//ab，333cossinsincossinsin0222222−=−==，()kkZ=，即值的集合为：,kkZ=.【小问2详解】2223332123cos2

sin454sin2223acaacc+=++=+++=++，R，3sin1,123+−，21,9ac+，13ac+，即ac+的取值范围为1,3.20.在锐

角△ABC中，角A，B，C的对边分别是,,abc．已知222sinsinsinBCA+−3sinsin0BC−=．（1）求A;（2）求coscosbCcBa−的取值范围．【答案】（1）6（2）()1,1−【解析】【分

析】（1）先利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解角A即可；（2）利用正弦定理边化角，再利用两角差的正弦公式恒等变形，根据△ABC为锐角三角形及（1）的结论求出角C的范围，最后利用正弦三角函数的性质求出范围即可.【小问

1详解】在△ABC中由正弦定理得22230bcabc+−−=,由余弦定理得22233cos222bcbcAbcbca+===−，∵π(0,)2A，∴π6A=；【小问2详解】设△ABC外接圆半径为r，coscos2sincos2cossin2sin

()2sinbCcBrBCrBCBCarA−−==−5π2sin(2)6C=−，∵△ABC为锐角三角形，∴π02π02BC，即5ππ062π02CC−，∴ππ32C，∴π5ππ2666C−−，∴15π1sin(2)2

62C−−，即5π2sin(2)(1,1)6C−−.21.,,abc分别是△ABC内角,,ABC所对的边．已知2a=，cos2cos2cos0bABcA+−=．（1）求△ABC外接圆半径；（2）若D是BC边中

点且线段2ADbc=，求△ABC的面积．【答案】（1）233（2）32【解析】【分析】（1）先利用正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式恒等变形，最后利用正弦定理求出外接圆半径即可；（2）由（1）及余弦定理可得224bcbc+−=，再利用平面向量加减运算可得2ADABAC=+uuuruuuruu

ur，两边同时平方再结合224bcbc+−=即可求出2bc=，面积即可求解.【小问1详解】的由已知条件cos2cos2cos0bABcA+−=可知，设△ABC外接圆的半径为r，由正弦定理得sincossincos2cossin0BAABAC+−=，即()si

n2cossinABAC+=，∵()πCAB=−+，∴()sinsin0CAB=+，∴1cos2A=，又∵()0,πA，∴π3A=，由正弦定理得42sin3arA==，即22333r==，【小问2详解】△ABC中

由余弦定理得2222cosabcbcA=+−，即224bcbc+−=①，∵D是BC边中点，∴2ADABAC=+uuuruuuruuur，两边同时平方可得22242ADABABACAC=++，又∵2ADbc=，∴221()4bccbcb=++，即223

bcbc+=②，联立①②解得2bc=，∴13sin22SbcA==.22.定义运算abadbccd=−，函数sin1()cosxmfxmxm−=−()mR．（1）当0m=时，求函数()fx最小正周期及单调递增区间;（2）若对任意的12,[,0]2xx

−，都有12()()2fxfx−恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）,,()44kkkZ−+（2）1,1−【解析】【分析】（1）可得1()sin22fxx=，即可求出周期，令222()22kxkk

Z−+可求单调递增区间；（2）令sincostxx=+，可得任意maxmin[1,1],()()2tgtgt−−，讨论对称轴的范围即可求出.【小问1详解】由定义可得2()sincos(sincos)fxx

xmxxmm=−++−，当0m=时，1()sin22fxx=，所以T=，令222()22kxkkZ−+，解得44kxk−+，所以()fx的单调递增区间为,,44kkkZ−+

；【小问2详解】令sincos2sin,,042txxxx=+=+−，则[1,1]t−，21sincos2txx−=，2211()(),[1,1]22fxgttmtmmt==−+−

−−，任意的,02x−，()()122fxfx−恒成立，等价于任意()()12[1,1],2tgtgt−−恒成立，即任意maxmin[1,1],()()2tgtgt−−，()ygt=对称轴tm=，①

当1m−时，()gt在[1,1]−单调递增，22maxmin()(1)2,()(1)gtgmmgtgm==−=−=，所以maxmin()()|2|2gtgtm−=，解得11m−，因为1m−，所以此时m；②当10m−时，()gt在[1,]m−单调递减，在[,

1]m单调递增，所以22maxmin11()(1)2,()()22gtgmmgtgmmm==−==−−，则22maxmin111()()(1)2222gtgtmmm−=−+=−，解得13m−≤≤，因为10m−，所以10m−；③当01m时，()gt在[1,]m−单调递减

，在[,1]m单调递增，所以22maxmin11()(1),()()22gtgmgtgmmm=−===−−，所以2maxmin11()()222gtgtmm−=++，解得31m−，因为01m，所以01m；④当1m>时，()gt在[1,1]−单调递减，所以22ma

xmin()(1),()(1)2gtgmgtgmm=−===−，所以maxmin()()|2|2gtgtm−=，解得11m−，因为1m>，所以m.综上，1,1m−.