【文档说明】2021-2022学年高一数学北师大版必修1教学教案：第四章 1.2 利用二分法求方程的近似解 （5）含解析【高考】.doc，共(9)页，376.500 KB，由小赞的店铺上传

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-1-《利用二分法求方程的近似解》教学设计一、教材分析与学情分析1、本节课教材分析本节内容选自北师大版高一数学上学期《必修1》第四章第§1.2节．是学生在学习了方程解的存在性的基础上，进一步用函数研究方程，即利用二分法求方程的近似解，使学生进一步体会函数与方程的关系，使学生感受函数的核心地位.同

时为必修3学习算法做准备.本节课的主要任务是探究二分法基本原理，给出用二分法求方程近似解的基本步骤，使学生学会借助计算器用二分法求给定精度的方程的近似解．通过探究让学生体验从特殊到一般的认识过程，渗透逐步逼近和无限逼近思想（极限思想），体会“近似是普遍的、精确则是特殊的”辩证唯物主义观

点．引导学生用联系的观点理解有关内容，通过求方程的近似解感受函数、方程、不等式以及算法等内容的有机结合，使学生体会知识之间的联系．所以本节课的本质是让学生体会函数与方程的思想、数形结合的思想、逼近的思想和初步感受程序

化地处理问题的算法思想．2、本节课地位、作用“二分法”的理论依据是“函数零点的存在性定理”，本节课是上节学习内容《利用函数性质判定方程解的存在》的自然延伸；是数学必修3算法教学的一个前奏和准备；同时渗透数形结合思想、函数与方程、逼近思想和算法思想等.3、学生情况分析学生已初步

理解了函数图象与方程的根之间的关系，具备一定的用数形结合思想解决问题的能力，这为理解函数零点附近的函数值符号提供了知识准备．但学生仅是比较熟悉一元二次方程解与函数零点的关系，对于高次方程、超越方程与对应函数零点之间的联系的认识比较模糊，计算器的使用不够熟练，这些都给学生学习本节内容造成一

定困难.-2-二、教学目标根据教材内容和学生的实际情况，本节课的三维教学目标设定如下：【知识与技能】：通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的一种方法，会用二分法求某些具体方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系，体会

程序化解决问题的思想.【过程与方法】：借助计算器用二分法求方程的近似解，让学生充分体验近似的思想、逼近的思想和程序化地处理问题的思想及其重要作用，并为下一步学习算法做知识准备．【情感态度与价值观】：通过探究、展示、交流，养成良好的学习品质，增强合作意识.通过具体问题体会逼近过程，感受精确与近

似的相对统一.三、教学重点、难点重点：二分法原理及其探究过程，用二分法求方程的近似解.难点：对二分法原理的探究，对精度、近似值的理解.四、教法、学法与教学手段教法分析：教师要处理好传授知识和培养能力的关系，要关注个体差异，满足不同层次学生的需要，因此，在教学中必须以

充分暴露整个思维过程，认知过程为主要宗旨，通过问题引导、讨论交流、动手实践等探究活动来形成师生互动.因此，本节课我采用问题探索、师生互动探究式的教学方法.学法分析：相对教师的教法，学生应当采用自主探究、研讨发现的学习方法.老

师要鼓励、引导学生自主探索，使学生在讨论、分析、交流、实践等多种活动加深对二分法的感受和理解，同时鼓励主要通过小组活动方式，对所学的内容进行分析，归纳总结、讨论和交流，让学生经历知识的形成过程和发展过程，这就极大的

发挥了学生的积-3-极性和主动性.学法指导：分组合作、互动探究、搭建平台、分散难点.教学手段：计算机、投影仪、计算器.五、教学过程（一）设置情景，问题引入在数学学习中，解方程是我们经常遇到的问题.问题1：你会求哪些类型方程的解？有哪些方程不会求解？你会求下列方程的根吗？2(1

).213;(2).3210;(3).ln260.xxxxx+=−−=+−=对于前两个方程，学生很快找出解决办法，最后一个方程学生无法根据之前学过的知识进行求解，这时教师适时总结：一元一次方程、一元二次方程我们会解，但是对于超越方程、高次方程从方程角度难以求出方程的根．教师追问：那么，第三

个方程是不是就无解呢？生：不是.师：如果有解，该如何求出它的解或近似解？引出本节课的课题.【设计意图】：从学生熟悉的方程入手，引入求方程根的话题，引起学生的认知冲突，激起进一步探究的欲望.问题2：方程ln260xx+−=是

否有解？能不能求方程的近似解？为了解决这个问题，先回顾上节课的内容.复习回顾：（1）方程的根与函数零点的关系.（2）函数零点存在性定理.方程()0fx=有实根函数()yfx=有零点.所以求方程ln260xx+−=求函数()ln26fxxx=+−的零点.教师用几何画板展示出函数()ln26fx

xx=+−的图像让学生直观判断有没有零点.【点拨】：当从方程角度直接入手难以求出方程的根时，我们可以转化为求该方程相-4-应函数的零点的问题.（二）互动探究，获得新知以求方程ln260xx+−=的近似解（精度为0.1）为例进行探究.探究1：怎样确定解所

在的区间？（1）图像法：教师用几何画板展示.（2）试值法：f(x)=lnx+2x-6方程ln260()ln26xxfxxx+−==+−相应的函数是，由上面两种方法我们得出函数()ln26fxxx=+−在区间（2,3）内有一个零点，这一节课的重点就是如何找出这个零点的位置.教师引导分析：根

据我们的分析，我们可以将“求方程ln260xx+−=的近似解”问题转变为“找函数()ln26fxxx=+−在区间（2,3）内的近似零点”问题.【设计意图】：进一步理清思路，明确问题，使问题由“求”变为“找”，问题的提出，进一步激发

学生利用二分法探究问题的热情.探究2：怎样缩小解所在的区间？为了解决这个问题，我们先来看个视频和玩个小游戏：播放视频并邀请学生现场模拟吉林卫视《心动价给你》中猜商品价格环节：游戏规则：某手机的价格在400—2000元之间，猜测它的价格，猜对了将

给予奖励．每次猜后主持人会给出“高了”还是“低了”的提示，在20秒内且误差不超过10元时算猜对.让学生思考：（1）主持人给出高了还是低了的提示有什么作用？x1234()fx-4-1.3071.0993.386-5

-（2）误差不超过10元，怎么理解？（3）如何猜才能最快猜出商品的价格？经过三个问题的引导，大家很快便总结出猜价格的方法：不断取中点值与真实值比较，懂得判断真实值所属区间，区间长度不断缩短，直到“猜值”与真实值的误差小于10元为止.这种方法在数学中我们叫做“二分法”.【设计意图】：使学生更加

轻松有趣的学习，通过猜价格游戏来引出二分法的概念，让学生更容易接受二分法的思想和体会到学习二分法的使用价值，学生理解用二分法的思想缩小解所在的区间.回到例题“求方程ln260xx+−=的近似解.（精度为0.1）”.探究3：你有进一

步缩小函数零点范围的方法吗？引导学生：通过刚刚游戏中取“中点”的方法逐步缩小零点所在的范围（区间）。（一般地,我们把x=2ba+称为区间(,)ab的中点）.【设计意图】：从游戏把学生拉回本节主题，把游戏和本例的解决过程融合到一起对比分析比较，使学生真正的理解二分法的本质

.给出教材上的规范的定义：1.二分法的定义：对于在区间ba,上连续不断且满足()()0fafb的函数)(xfy=，通过不断地把函数)(xf的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零

点近似值的方法叫做二分法．想一想：二分法的实质是什么？探究4：区间缩小到什么程度满足要求？给定精度，对于零点所在区间ba,，当||ab−时，我们称达到精度.此时，区间ba,内任何一个值都是零点满足精度的近似值.追问：精度0.1指的是什么？例题1、借助计算器，求函数()ln26fxx

x=+−零点的近似值.（精度为0.1）解：由前面的分析知：初始区间为（2，3），且(2)0,(3)0ff.-6-次数2ab+()2abf+零点所在区间区间长度ab−12.5-0.084（2.5，3）0.522.750.512（2.5，2.75）0.25

32.6250.215（2.5,2.625）0.12542.56250.066（2.5，2.5625）0.0625由于2.5625-2.5=0.0625<0.1,所以，函数零点的近似值可以为：2.5625（或2.5）.【设计意图

】：引导学生画出数轴.从“数”和“形”两个角度去体会函数零点的意义，掌握函数零点近似值的求法．注意鼓励学生用通俗的语言概括上面求方程近似解的方法的思想，理解二分法的本质内涵.问题4：精度改为0.01会怎么样？教师用Excel演示不同精度的区间

变化情况.2.用二分法求零点近似值的步骤：给定精度，用二分法求函数)(xf的零点近似值的步骤如下：1、确定区间ba,，验证()()0fafb，给定精度；2、求区间ba,的中点c；3、计算()f

c：（1）若()fc=0，则c就是函数的零点；（2）若()()0fafc，则令bc=（此时零点0(,)xac）；（3）若()()0fcfb，则令ac=（此时零点0(,)xcb）；4、判断是否达到精度：即若||ab−，则得到零点的近似值为a（或b）；否则重复步骤2～4．3.口诀

：-7-定区间，找中点，中值计算两边看.同号去，异号算，零点落在异号间.周而复始怎么办？根据精度来判断.【设计意图】：让学生进一步总结用二分法求方程近似解的思维过程，归纳解题步骤，使学生由经验水平上升到理

论水平.通过归纳总结形成理论知识，培养学生的概括能力.（三）变式训练，巩固新知变式1.利用计算器，求方程310xx+−=的近似解（精度为0.1）.解：令3()1fxxx=+−，问题转化为求连续函数()fx的零点的近似值.因为(0)0,(1)0ff

.所以初始区间为（0，1）.次数2ab+()2abf+零点所在区间区间长度ab−10.5-0.375（0.5，1）0.520.750.172（0.5，0.75）0.2530.0625-0.131（0.625，0.75）0.12540.68750.012（0.625，

0.6875）0.0625由于0.6875-0.625=0.0625<0.1,所以，原方程的近似解可以为：0.6875（或0.625）.以上过程由学生合作完成（两人一组，一人负责用计算器计算，一人负责填表，共同找出函数零点的近似值），对学生的做题情况进行展示.【设计意图】：让学生从

中进一步体会二分法“逐渐逼近”的思想，并巩固用二分法求函数零点近似值的方法.（四）检验成果，深化理解1.下列函数的图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是（）0xyCBxy0Axy0Dxy0-8-思维升华：在零点的附近连续且()()0fafb.【设计意图】：让学生辨析什

么情况下适应用二分法求零点，辨析过程也是学生认知完善的过程.2.用二分法求连续函数()yfx=在(1,2)x内零点近似值的过程中得到(1)0,(1.5)0,(1.25)0fff，则零点落在区间（

）.(1,1.25)A.(1.25,1.5)B.(1.5,2)CD.不能确定【设计意图】：进一步巩固如何判断零点所属区间的方法.（五）课堂小结，回顾反思本节课你学到了哪些知识？有哪些收获？1、二分法的实质：一分为二、逐步逼近.2、用二分法求方程的近似解的步骤.3、数学思想：

数形结合、函数与方程、逼近思想.【设计意图】：通过学生对自己所学的知识进行归纳、整理、反思，把零碎的认知和知识点形成一个完整的知识体系.六、课外作业1.必做题：书面作业：（1）课本P119习题4-1A组2、3、4.（2）利用计算器求方程237xx+=

的近似解(精度为0.1).2．选做题：查阅资料：查找有关资料或利用Internet查找有关高次代数方程的解的研究史料．【设计意图】：必做题是对本节课所学知识的反馈，选做题是对本节课内容的拓展与延伸.两种不同形式

的作业，既加深了学生对二分法的理-9-解和感受，也培养了学生主动探索能力.七、板书设计课题：利用二分法求方程的近似解1、二分法的定义.2、求函数零点的近似值的步骤.3、例题分析.4、变式训练.投影