【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修一）专题2.3 直线的方程（一）：直线方程的几种形式-重难点题型精讲（学生版）.docx，共(9)页，603.715 KB，由小赞的店铺上传

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专题2.3直线的方程（一）：直线方程的几种形式-重难点题型精讲1．直线的点斜式方程(1)直线的点斜式方程的定义：设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程.(2)点斜式方程的使用方法：①已知直线的斜率并且经

过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程.②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x=x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直

线的方程为.2．直线的斜截式方程(1)直线的斜截式方程的定义：设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程.(3)斜截式方程的使用方法：已知直线的斜率以及直线在y轴上的截

距时，可以直接使用该公式求直线方程.3．直线的两点式方程(1)直线的两点式方程的定义：设直线l经过两点()，则方程叫作直线l的两点式方程.(2)两点式方程的使用方法：①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程.②当时，直线方程为(或).③当时，直线方

程为(或).4．直线的截距式方程(1)直线的截距式方程的定义：设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程.(2)直线的截距式方程的适用范围：选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即

直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线.(3)截距式方程的使用方法：①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程.②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为

y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程.5．直线的一般式方程(1)直线的一般式方程的定义：在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程.对于方程Ax+By+

C=0(A,B不全为0)，当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线.当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它

表示垂直于x轴的直线.(2)一般式方程的使用方法：直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线.6．辨析直线方程的五种形式7．方向向量与直线的参数方程除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点

和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的.如图1，设直线l经过点，=(m,n)是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使=t，即()=t(m,n)，所以①.在①中，实数t是对应点P的参变数，简称

参数.由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程.【题型1直线的点斜式方程】【方法点拨】(1)当直线的斜率存在时，已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用公式

求直线方程.(2)若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，此时直线方程为x=；【例1】（2022·全国·高二课时练习）直线的点斜式方程𝑦−𝑦0=𝑘(𝑥−𝑥0)可以表示（）.A．任何一条直线B．不过原点的直

线C．不与y轴垂直的直线D．不与x轴垂直的直线【变式1-1】（2022·全国·高二课时练习）在等腰三角形𝐴𝑂𝐵中，|𝐴𝑂|=|𝐴𝐵|，𝑂(0,0)、𝐴(1,3)，点𝐵在𝑥轴的正半轴上，则直线𝐴𝐵的点斜式方程

为（）A．𝑦−1=3(𝑥−3)B．𝑦−1=−3(𝑥−3)C．𝑦−3=3(𝑥−1)D．𝑦−3=−3(𝑥−1)【变式1-2】（2022·四川乐山·高二期末（文））过点𝐴(2,1)且斜率为2的直线方程为（）A．2𝑥−𝑦+3=0

B．2𝑥−𝑦−3=0C．𝑥−2𝑦+1=0D．𝑥−2𝑦=0【变式1-3】（2022·全国·高二专题练习）过点𝑃(√3,−2√3)且倾斜角为135°的直线方程为（）A．3𝑥−𝑦−5√3=0B．𝑥−𝑦+√3=0C．𝑥+𝑦−√3=0D．𝑥+𝑦+√3=0【题型2直线的斜截式方程

】【方法点拨】已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用公式y=kx+b求直线方程.【例2】（2021·全国·高二课时练习）过点𝑃1(3,−1)与𝑃2(−2,1)的直线的斜截式方程为（）A．𝑦

=25𝑥+15B．𝑦=−25𝑥+15C．𝑦=−25𝑥−115D．𝑦=25𝑥−115【变式2-1】（2021·全国·高二课时练习）直线2𝑥+𝑦−3=0用斜截式表示，下列表达式中，最合理的是（）A．𝑥32+𝑦3=

1B．𝑦=−2𝑥+3C．𝑦−3=−2(𝑥−0)D．𝑥=−12𝑦+32【变式2-2】（2021·辽宁·高一开学考试）已知直线𝑦=𝑘𝑥+4与两坐标轴围成的三角形面积为6，则k值是（）A．±3B．43C．−43D．±43【变式2-3】（2022·江

苏·高二课时练习）已知𝑘∈𝑅，𝑏=𝑘2−2𝑘+3，则下列直线的方程不可能是𝑦=𝑘𝑥+𝑏的是（）A．B．C．D．【题型3直线的两点式方程】【方法点拨】已知直线上的两个点，且时，可以直接使用公式求直线方程.注：①当时，

直线方程为(或).②当时，直线方程为(或).【例3】（2022·全国·高二课时练习）过(1,1),(2,−1)两点的直线方程为（）A．2𝑥−𝑦−1=0B．𝑥−2𝑦+3=0C．2𝑥+𝑦−3=0D．�

�+2𝑦−3=0【变式3-1】（2022·全国·高二课时练习）已知直线l经过(−2,−2)、(2,4)两点，点(1348,𝑚)在直线l上，则m的值为（）A．2021B．2022C．2023D．2024【变式3

-2】（2022·全国·高二课时练习）经过两点(𝑥1,𝑦1)、(𝑥2,𝑦2)的直线方程都可以表示为（）A．𝑥−𝑥1𝑥2−𝑥1=𝑦−𝑦1𝑦2−𝑦1B．𝑥−𝑥2𝑥1−𝑥2=𝑦−𝑦2𝑦1−𝑦2C．(𝑦−𝑦1)(𝑥2−𝑥1)=(𝑥

−𝑥1)(𝑦2−𝑦1)D．𝑦−𝑦1=𝑦2−𝑦1𝑥2−𝑥1(𝑥−𝑥1)【变式3-3】（2022·全国·高二课时练习）已知直线𝑙过点𝐺(1,−3)，𝐻(−2,1)，则直线𝑙的方程为（）A．4𝑥+𝑦+7=0B．2𝑥−3𝑦−11=0C．4𝑥+3𝑦

+5=0D．4𝑥+3𝑦−13=0【题型4直线的截距式方程】【方法点拨】(1)已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用公式求直线方程.(2)已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可

设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程.【例4】（2022·全国·高二）已知直线𝑙过点𝑃(2,3)，且与𝑥，𝑦轴的正半轴分别交于𝐴，𝐵两点．若△𝐴𝑂𝐵的面积

为12（𝑂为坐标原点），则直线𝑙的截距式方程为（）A．𝑥4+𝑦6=1B．𝑥8+𝑦12=1C．𝑥132+𝑦133=1D．𝑥6+𝑦4=1【变式4-1】（2022·全国·高一课时练习）已知△𝐴𝐵

𝐶三顶点坐标𝐴(1,2),𝐵(3,6),𝐶(5,2)，𝑀为𝐴𝐵的中点，𝑁为𝐴𝐶的中点，则中位线𝑀𝑁所在直线的截距式方程为()A．𝑥4+𝑦8=1B．𝑥8+𝑦4=1C．𝑥6+𝑦4=1D．𝑥4+𝑦6=1【变式4-2】（2021·全国·高二专题练习）过两点A(0，

3)，B(－2，0)的截距式方程为．【变式4-3】（2021·全国·高一课时练习）已知直线经过点𝐴(−5,6)和点𝐵(−4,8)，求直线的一般式方程和截距式方程，并根据方程指出直线在x轴、y轴上的截距．【题型5直线的一般式方

程】【方法点拨】(1)设所求直线的一般式方程为Ax+By+C=0(A,B不全为0)，根据条件，列出方程（组），解方程（组），得出直线方程.(2)根据条件，选择适当的直线方程形式，设出直线方程，结合条件，进行求解，最后化为直线的一般式方程.【例5】（2022·全国·

高二课时练习）直线𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0经过第一、三、四象限，则（）A．𝑎𝑏>0,𝑏𝑐>0B．𝑎𝑏<0,𝑏𝑐>0C．𝑎𝑏>0,𝑏𝑐<0D．𝑎𝑏<0,𝑏𝑐<0【变式5-1】（2022·全国·高二课时练习）若方程(𝑚2−

1)𝑥+(𝑚2−𝑚)𝑦+1=0表示一条直线，则实数m满足（）A．𝑚≠0B．𝑚≠1C．𝑚≠−1D．𝑚≠1且𝑚≠−1且𝑚≠0【变式5-2】（2022·吉林·高二阶段练习（理））经过点𝐴(8,−2)，斜率为−2的直线方程为（）A

．𝑥+2𝑦−4=0B．𝑥−2𝑦−12=0C．2𝑥+𝑦−14=0D．𝑥+2𝑦+4=0【变式5-3】（2022·全国·高二课时练习）关于x、y的方程𝑎2𝑥−𝑎𝑦−1=0(𝑎≠0)表示

的直线（图中实线）可能是（）A．B．C．D．【题型6由直线的方向向量求直线方程】【方法点拨】根据直线的方向向量求出直线的斜率，结合直线所过的点，利用点斜式方程的求法即可求出直线方程.【例6】（2022·全国·高二专题练习）过点(1,−1)且方向向量为(−2,3)的直线的方

程为（）A．3𝑥−2𝑦−5=0B．2𝑥−3𝑥−5=0C．3𝑥+2𝑦−1=0D．2𝑥+3𝑦+1=0【变式6-1】（2021·全国·高二课时练习）过点(2,−1)且方向向量为(1,2)的直线的方程为（）A．𝑦=2

𝑥+5B．𝑦=−2𝑥+5C．𝑦=2𝑥−5D．𝑦=−2𝑥−5【变式6-2】（2022·上海·高三专题练习）过点(−1,0)，且与直线𝑥+15=𝑦+1−3有相同方向向量的直线的方程为（）A．3𝑥+5𝑦−3=0B．3𝑥+5𝑦+3=0C．3𝑥+5𝑦−1=0D．5𝑥−3𝑦+

5=0【变式6-3】（2021·全国·高二课时练习）过点𝑃(0，1)，且以𝑎⃑=(−1，2)为方向向量的直线方程为（）A．𝑦=−2𝑥+1B．y＝2x+1C．𝑦=−12𝑥+1D．𝑦=12𝑥+1