【文档说明】2025届高三一轮复习数学试题（人教版新高考新教材）考点规范练30　平面向量的概念及线性运算 Word版含解析.docx，共(4)页，76.987 KB，由小赞的店铺上传

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考点规范练30平面向量的概念及线性运算一、基础巩固1.设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使𝑎|𝑎|=𝑏|𝑏|成立的充分条件是()A.a=-bB.a∥bC.a=2bD.a∥b,且|a|=|b|答案:C解析:由𝑎|𝑎|表示与a同向的单位向

量,𝑏|𝑏|表示与b同向的单位向量,故只要a与b同向即可,观察可知C满足题意.2.在△ABC中,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=c,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=b.若点D满足𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,则𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗等于(

)A.23b+13cB.53c-23bC.23b-13cD.13b+23c答案:A解析:如图,可知𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+23(𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)=c+23(b-c)

=23b+13c.故选A.3.设向量a,b不共线,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=2a+pb,𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=a+b,𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=a-2b.若A,B,D三点共线,则实数p的值是()A.-2B.-1C.1D.2答案:B解析:∵𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=a+b,𝐶𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗=a-2b,∴𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=2a-b.又A,B,D三点共线,∴𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗共线,∴存在实数λ,使得𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗,即2a+pb=λ(2a-b),∴2=2λ,p=-

λ,解得λ=1,p=-1.4.已知点O,A,B不在同一条直线上,点P为该平面上一点,且2𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,则()A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的反向延长线上C.点P在线段AB的延长线

上D.点P不在直线AB上答案:B解析:因为2𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,所以2𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗.所以点P在线段AB的反向延长线上,故选B.5.已知点O为△ABC外接圆的圆心,且𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐶⃗⃗

⃗⃗⃗=0,则△ABC的内角A等于()A.30°B.60°C.90°D.120°答案:B解析:由𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0,得点O为△ABC的重心.因为点O为△ABC外接圆的圆心,所以△ABC为等边三角形,故A=60°.6.在四边形ABCD中,𝐴�

�⃗⃗⃗⃗⃗=a+2b,𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=-4a-b,𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是()A.矩形B.平行四边形C.梯形D.以上都不对答案:C解析:∵𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=-

8a-2b=2(-4a-b)=2𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,∴𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗∥𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗.又𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗与𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗不平行,∴四边形ABCD是梯形.7.若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足5𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗

⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+3𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,则△ABM与△ABC的面积比为()A.15B.25C.35D.45答案:C解析:设AB的中点为D.由5𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+3𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,得3𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗-3𝐴�

�⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗-2𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗,即3𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑀𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗.如图,故C,M,D三点共线,且𝑀𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=35𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,得△ABM与△ABC对于边AB上的两高之比为3∶5,则△ABM与△ABC的面积比为35,故

选C.8.在△ABC中,E为AB边的中点,D为AC边上的点,BD,CE交于点F.若𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=37𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+17𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,则𝐴𝐶𝐴𝐷的值为.答案:4解析:设𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,因为𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=37𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗

⃗+17𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,所以𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=37𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+17𝜆𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗.因为B,F,D三点在同一条直线上,所以37+17λ=1,所以λ=4,所以𝐴𝐶𝐴𝐷=4.9.已知D为△ABC的边BC的中点,点P满足𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝑃⃗⃗

⃗⃗⃗+𝐶𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=0,𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,则实数λ的值为.答案:-2解析:由𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=0,得𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗.又𝑃

𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,所以𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,所以𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=-2𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,即λ=-2.二、综合应用10.如图,已知AB是圆O的直径,点

C,D是半圆弧的两个三等分点,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=a,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=b,则𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗等于()A.a-12bB.12a-bC.a+12bD.12a+b答案:D解析:如图,连接OC,OD,CD,由点C,D是半圆弧的三等分点

,可得∠AOC=∠COD=∠BOD=60°,从而△OAC和△OCD均为边长等于圆O半径的等边三角形,所以四边形OACD为菱形,所以𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+�

�𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=12a+b,故选D.11.(多选)在△ABC中,D为AC上一点,且满足𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗.若P为BD上一点,且满足𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+μ𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,λ,μ均为正实数,则下列结论正确的是()

A.λμ的最小值为16B.λμ的最大值为116C.1𝜆+14𝜇的最大值为16D.1𝜆+14𝜇的最小值为4答案:BD解析:∵𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,∴𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=4𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,∴𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+4μ�

�𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,又P,B,D三点共线,∴λ+4μ=1.已知λ,μ均为正实数,∴1=λ+4μ≥2√𝜆·4𝜇=4√𝜆𝜇,可得λμ≤116,当且仅当λ=12,μ=18时取等号;1𝜆+14𝜇=(λ+4μ)·(1𝜆+14𝜇)=2+4𝜇𝜆+𝜆4𝜇≥2+

2√4𝜇𝜆·𝜆4𝜇=4,当且仅当λ=12,μ=18时取等号.12.已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是△ABC的重心,动点P满足𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=1312𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+12𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+2𝑂𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗,则点P一定为△ABC的()A.边AB中线的中点B.边AB中线的三等分点(非重心)C.重心D.边AB的中点答案:B解析:设AB的中点为M,则12𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+12𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗,所以

𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=13(𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗),即3𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗-2𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗,

即𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗.因为𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗与𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗有公共点P,所以P,M,C三点共线,且P是CM上靠近点C的一个三等分点.13.已知△ABC是边长为4的正三角形,D,P是△ABC内的两

点,且满足𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=14(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗),𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+18𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,则△APD的面积为()A.√34B.√32C.√3D.2√3答

案:A解析:如图,取BC的中点E,连接AE,因为△ABC是边长为4的正三角形,所以AE⊥BC,𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=12(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗).又𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=14(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗),所以D是AE的中点,即AD=√3.取𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=18𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,以AD,AF为邻边作平行四边形,可知𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+18𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗.因为△A

PD是直角三角形,且DP=AF=12,所以△APD的面积为12×12×√3=√34.14.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=12AB,BE=23BC.若𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=λ1𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+λ2𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗(λ1,λ2为实数),则

λ1+λ2的值为.答案:12解析:因为𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+23(𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)=-16𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,所以λ1=-16

,λ2=23,所以λ1+λ2=12.三、探究创新15.如图,有5个全等的小正方形,𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=x𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+y𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗,则x+y的值是.答案:1解析:由平面向量的运算可知𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗.∵𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=2

𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐻𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗,∴𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐴𝐸⃗⃗⃗

⃗⃗-(2𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗)=3𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗-2𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗.∵𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗不共线,且𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=x𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+y𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗,即x𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+y𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=3�

�𝐸⃗⃗⃗⃗⃗-2𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗,∴x=3,y=-2,∴x+y=1.16.已知a,b不共线,𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=a,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=b,𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=c,𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=d,𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=

e,设t∈R,若3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t使C,D,E三点在一条直线上?若存在,求出实数t的值;若不存在,请说明理由.解:由题设知,𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=d-c=2b-3a,𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=e-c=(t-3)a+tb,C

,D,E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k,使得𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=k𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.因为a,b不共线,所以有{𝑡-3+3𝑘=0,𝑡-2

𝑘=0,解得t=65.故存在实数t=65,使C,D,E三点在一条直线上.