【文档说明】2022-2023学年高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）1-2集合间的基本关系（分层作业） 含解析.doc，共(17)页，1.809 MB，由envi的店铺上传

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-1-1.2集合间的基本关系（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2022·江苏·高一）设集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，则实数x的值组成的集合为（）A．{5}B．{1

}C．{0，5}D．{0，1}【答案】C【分析】利用集合相等求解.【详解】解：因为MN=，所以25xx=，解得0x=或5，x\的取值集合为0,5，故选：C2．（2022·江苏·高一）下列集合中表示同一集合的是（）．A．()3,2M=，()2,3N=B．10Mx

x=+，10Nyy=+C．(),1Mxyxy=+=，1Nyxy=+=D．1,2M=，()1,2N=【答案】B【分析】根据集合相等,检查集合中的元素是否一样即可判断.【详解】选项A，集合M，N为点集，而点()3,2与点()2,3为不同的点，故A错；选

项C，集合M为点集，集合N为数集，故C错；选项D，集合M为数集，集合N为点集，故D错；选项B，集合M，N表示的都是“大于1−的实数”，为同一个集合．故选：B3．（2022·江苏·高一）设集合13Axx=−，集合Bxxa=，若AB，则a的取值范围为（）-2-A．3

aB．13a−C．1a−D．1a−【答案】D【分析】直接由AB求解即可.【详解】由AB可得1a−.故选：D.4．（2022·江苏·高一）已知集合{2,3,1}A=−，集合2{3,}Bm=．若BA，则

实数m的取值集合为（）A．{1}B．3C．{1,1}−D．3,3−【答案】C【分析】根据B是A的子集列方程，由此求得m的取值集合.【详解】由于BA，所以211mm==，所以实数m的取值集合为{1,1}−.故选

：C5．（2022·全国·高一专题练习）已知2{|1}Axx==，1|Bxxa==，若BA，则a的值为()A．1或－1B．0或1或－1C．1−D．1【答案】A【分析】A＝{－1，1}，若BA，则1a＝±1，据此即可求解﹒【详解】2{|1}1,1Axx===−，11|Bxxa

a===，若BA，则1a＝1或－1，故a＝1或－1．故选：A．6．（2021·浙江·玉环中学高一阶段练习）集合2{|310}Mxaxx=+-=至多有1个真子集，则a的取值范围是（）A．49a−B．94a−C．0a=D．0a=或4

9a−【答案】D【分析】由题意得M元素个数，分类讨论求解【详解】当0a=时，1{}3M=，满足题意，-3-当0a时，由题意得940a=+，得49a−，综上，a的取值范围是9(,]{0}4−−故选：D7．（2022·全国·高一专题练习）下列四个选项中正确的是（）A．10,1

B．10,1C．{0,1}D．10,1【答案】D【分析】根据集合与集合的关系及元素与集合的关系判断即可；【详解】解：对于A：1Ü0,1，故A错误；对于B：10,1，故B错误；对于C：Ü0,1，故C错误；对于D：10

,1，故D正确；故选：D二、多选题8．（2022·河北·石家庄市第十五中学高一开学考试）设123,,,AaaaBxxA==，则（）A．AB=B．ABC．BD．AB【答案】BC【分析】根据题意先用列举法表

示出集合B，然后直接判断即可.【详解】依题意集合B的元素为集合A的子集，所以123121323123{,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}}Baaaaaaaaaaaa=所以AB，B，所以AD错误，BC正确.故选：BC9．（2022·全国·高一专题练习）

下列关系正确的是（）A．0B．{0}C．{}{0}D．Ü{}【答案】ABD-4-【分析】利用元素与集合之间的关系，集合与集合之间的关系判断即可.【详解】由空集的定义知：0，A正确.{0},

B正确.{}{0}，C错误.Ü{},D正确.故选：ABD.三、填空题10．（2021·广东·江门市广雅中学高一阶段练习）已知集合0,1A=，则集合A的真子集个数为______．【答案】3【分析】根据集合A，写出其真子集，即可得答案.【详解】因为集合0,1A=，所以集合

A的真子集为{0}、{1}、，所以集合A在真子集个数为3.故答案为：311．（2022·全国·高一专题练习）已知集合2230Axxx=−−=，20Bxax=−=，且BA，则实数a的值为___________.【答案】2a=−或23a=或0【分析】先求得集合A，

分情况讨论，0,aB==满足题意；当0a时，220Bxaxa=−==，因为BA，故得到21a=−或23a=，解出即可.【详解】解：已知集合22301,3Axxx=−−==−，

20Bxax=−=，当0,aB==，满足BA；当0a时，220Bxaxa=−==，因为BA，故得到21a=−或23a=，解得2a=−或23a=；故答案为：2a=−或23a=或0.1

2．（2022·江苏·高一单元测试）满足1AÜ{1，2，3}的所有集合A是___________．-5-【答案】{1}或{1，2}或{1，3}【分析】由题意可得集合A中至少有一个元素1，且为集合{1，2，3}的真子集，从而可求出集合

A【详解】因为1AÜ{1，2，3}，所以集合A中至少有一个元素1，且为集合{1，2，3}的真子集，所以集合A是{1}或{1，2}或{1，3}，故答案为：{1}或{1，2}或{1，3}四、解答题13．（2022·全国·高一专题练习）已知集合A={x|2a＜x＜a+1，B=|1x

−＜x＜5，求满足AB的实数a的取值范围.【答案】1,2−+【分析】根据集合之间的关系，列出相应的不等式组，解不等式组即可求解.【详解】由题意，集合{|21}{|15}AxaxaBxx=+=−，，因为AB，若=A，则21aa+，解得1a，符

合题意；若A，则212115aaaa+−+，解得112a−，所求实数a的取值范围为1,2−+.14．（2022·全国·高一专题练习）设集合{|16}Axx=−，{|121}Bxmx

m=−+，且BA．(1)求实数m的取值范围；(2)当xN时，求集合A的子集的个数．【答案】(1){|2mm−或502m}，(2)128【分析】（1）按照集合B是空集和不是空集分类讨论求解；（2）确定集合A中元素（个数），然后可得子集个数．(1)当121mm−

+即2m−时，B=，符合题意；当B时，有12111216mmmm−+−−+，解得502m．-6-综上实数m的取值范围是{|2mm−或50}2m；(2)当xN时，{0,1,2,3,4,5,6

}A=，所以集合A的子集个数为72128=个．15．（2020·四川·双流中学高一阶段练习）已知集合{|23}Pxx=−，{|0}Qxxa=−(1)若PQ，求实数a的取值范围；(2)若PQ=，求实数a的取值范围．【答案】(1)(,2]−

−，(2)[3,)+【分析】（1）由已知，PQ可得集合P是集合Q的子集，结合两个集合的范围，可得直接求解出实数a的取值范围.（2）由已知，PQ=可得集合P和集合Q没有交集，结合两个集合的范围，可得直接求解出实数a的取值范围.(1)已知{|23}Pxx=−，{|}Qx

xa=，要满足PQ，即P中的任意一个元素都是Q中的元素，则2a−，即实数a的取值范围是：(,2]−−(2)当PQ=，即P与Q没有公共元素，因为P和Q都不可能为空集，所以要使得两个集合没有公共元素，则3a，即实数a的取值范围：[3,)+．【能力提升】一、单

选题1．（2021·湖北·孝感市孝南区第二高级中学高一期中）给出下列关系式：①0；②3−Z；③20xxx=；④*{0}N；⑤211(,)45xyxyxy−=+=，其中正确

的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】①空集中不含任何元素，由此可判断①；②3−是整数，故可判断②正确；③通过解方程2xx=，可得出20,1xxx==，故可判断③；④根据*N为正整数集可判断④；-7-⑤

通过解方程2145xyxy−=+=，得()21(,)1,145xyxyxy−==+=，从而可判断⑤.【详解】①0，故①错误；②3−是整数，所以3−Z，故②正确；③由2xx=，得0x=

或1x=，所以20,1xxx==，所以20xxx=正确；④*N为正整数集，所以*{0}N错误；⑤由2145xyxy−=+=，得11xy==，所以()21(,)1,145xyxyxy−==+=，所以211(,)45xyxyxy−=

+=错误.所以正确的个数有2个.故选：B.2．（2021·河南·高一阶段练习）规定：在整数集Z中，被7除所得余数为k的所有整数组成一个“家族”，记为k，即7knkn=+Z，0,1,2,

3,4,5,6k=，给出如下四个结论：①20215；②33−；③若整数a，b属于同一“家族”，则0ab−；④若0ab−，则整数a，b属于同一“家族”．其中，正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】根据“家族”的定义逐一判断

四个选项即可得正确答案.【详解】对于①：因为202128875=+，所以20215，故①正确；对于②：因为()3714−=−+，所以34−，故②错误；对于③：若a与b属于同一“家族”，则1

7ank=+，27bnk=+，()1270abnn−=−（其中12,nnZ），故③正确；对于④：若0ab−，设7abn−=，nZ，即7anb=+，nZ，不妨令7bmk=+，mZ，0,1,

2,3,4,5,6k=，则()777amnkmnk=++=++，mZ，nZ，所以a与b属于同一“家族”，故④正确；即①③④为正确结论．故选：C．3．（2021·辽宁·东北育才双语学校高一期中）已知集合15Axx=，3Bxaxa

=−+．若-8-()BAB，则a的取值范围为（）A．,132−−B．3,2−−C．(,1−−D．3,2−+【答案】C【分析】由集合包含关系可得BA，讨论B=、B分别求参数范围，最后取并集即可得结果.【详解】由()

BAB，可得BA，当B=时，3aa−+，即32a−，满足题设；当B时，3aa−+，即32a−，且135aa−+，可得312a−−；综上，a的取值范围为(,1−−.故选：C.4．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合1,3,Am=，

1,Bm=，BA，则m=（）A．9B．0或1C．0或9D．0或1或9【答案】C【分析】根据BA可得3m=或mm=，根据集合元素的互异性求得答案.【详解】由BA可得：3m=或mm=，当3m=时，9m=，符合题意；当mm=

时，0m=或1m=，但1m=时，1,1B=不合题意，故m的值为0或9,故选：C5．（2022·全国·高一专题练习）已知集合2{|320}Axxx=−+=，{|15,}BxxxN=−，则满足ACBÜ的集合C的个数为（）A．4B．7C．8D．15【答案】B-9

-【分析】由题知1,2A=，0,1,2,3,4B=，进而根据集合关系列举即可得答案.【详解】解：由题知2{|320}1,2Axxx=−+==，{|15,}0,1,2,3,4BxxxN=−=,

所以满足ACBÜ的集合C有1,2,1,2,3,0,1,2,1,2,4,0,1,2,3,0,1,2,4,1,2,3,4，故集合C的个数为7个.故选：B6．（2022·全国·高一专题练习）同时满足：①1,2,3,4,5M，②aM，则6aM−的非空集合M有（）A

．6个B．7个C．15个D．16个【答案】B【分析】根据所给条件确定M中元素，再根据M是所给集合的子集，得到所有的M即可求解.【详解】1a=时，65a−=；2a=时，64a−=；3a=时，63a−=；4a=时，62a−=；5a=，61a−=，∴非空集合M为3，

1,5，2,4，1,3,5，2,3,4，1,2,4,5，1,2,3,4,5，共7个．故选：B二、多选题7．（2021·福建福州·高一期中）已知集合2,4M=，集合MNÜ1,2,3,4,5，则集合

N可以是（）A．2,4B．2,3,4C．1,2,3,4D．1,2,3,4,5【答案】ABC【分析】根据集合的包含关系，逐一检验四个选项的正误即可得正确选项.【详解】因为集合2,4M=，对于A：2,4N=满足MNÜ1,2,3

,4,5，所以选项A符合题意；对于B：2,3,4N=满足MNÜ1,2,3,4,5，所以选项B符合题意；-10-对于C：1,2,3,4N=满足MNÜ1,2,3,4,5，所以选项C符合题意；对于D：1,2,3,4,

5N=不是1,2,3,4,5的真子集，故选项D不符合题意，故选：ABC.三、填空题8．（2022·全国·高一专题练习）若集合()21420Axaxx=−+−=有且仅有两个子集，则实数a的值是___

_．【答案】±1【分析】分析出集合A有1个元素，对a讨论方程解的情况即可.【详解】因为集合()21420Axaxx=−+−=有且仅有两个子集，所以集合A有1个元素.当a=1时，1|4202Axx=−==，符合题

意；当a≠1时，要使集合A只有一个元素，只需()()244120a=−−−=，解得：1a=−；综上所述：实数a的值是1或-1.故答案为：±1.9．（2021·全国·高一课时练习）集合,,Axyxyxy=−+，2222,,0Bxyxy=+−，若AB=，则xy

+=______．【答案】1−或1【分析】由元素互异性可得220xy−，即0xy−且0xy+，可得0xy=，再由xyxy−+可得0y，0x=，在讨论0y、0y时，根据元素的确定性列方程组可得y的值即可求解.【详解】因为2222,,0Bxyxy=+−，所以2

20xy−即()()0xyxy−+，所以0xy−且0xy+，可得0xy=，因为xyxy−+，所以0y，0x=，当0x=时，,,0Ayy=−，22,,0Byy=−，当0y时，22yyyy=−=−可得：1y=，-11-当0y时，22yy

yy−==−，可得：1y=−，所以xy+=1−或1，故答案为：1−或1.10．（2022·江苏·高一）已知集合|4Axx=或5x−，|13Bxaxa=++，若BA，则实数a的取值范围_________．【答案】|8aa−

或3a【分析】根据BA，利用数轴，列出不等式组，即可求出实数a的取值范围.【详解】用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示，或要使BA，只需35a+−或14a+，解得8a−或3a．所以实数a的取值范围|8aa−或3a.故答案为：|8aa−或3a11．（2021

·江西·赣州市赣县第三中学高一阶段练习）已知集合U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，2，3，4，5}，B={4，5，6，7，8}，则是集合U的子集但不是集合A的子集，也不是集合B的子集的集合个数为____________.【答案】196个【分析】先找出集合U

的子集个数，再减去集合A或集合B的子集个数，即可得出结果.【详解】集合U的子集个数为28，其中是集合A或集合B的子集个数为552222+−，所以满足条件的集合个数为()85522222196−+−=.【点睛】本题主要考查子集的概

念，解题的关键是会判断子集个数.-12-四、解答题12．（2022·四川凉山·高一期末）已知集合220Axxxm=++=，是否存在这样的实数m，使得集合A有且仅有两个子集？若存在，求出所有的m的值组成的集合M；若不存在，请

说明理由.【答案】存在，1【分析】当方程有一解时，集合A只有一个元素即可满足题意.【详解】存在实数m满足条件，理由如下：若集合A有且仅有两个子集，则A有且仅有一个元素，即方程220xxm++=只有一个根，∴2240m=−=，解

得1m=.∴所有的m的值组成的集合1M=.13．（2022·全国·高一专题练习）已知集合2{|210}AxRmxx=−+=，在下列条件下分别求实数m的取值范围：(1)A=；(2)A恰有一个元素.【答案】(1)()1,+，(2)0,1【分析】()1若A=，则关于x的方程2210

mxx−+=没有实数解，则0m，且440m=−，由此能求出实数m的取值范围．()2若A恰有一个元素，所以关于x的方程2210mxx−+=恰有一个实数解，分类讨论能求出实数m的取值范围．(1)若A=，则关于x的方程221

0mxx−+=没有实数解，则0m，且440m=−，所以1m>，实数m的取值范围是()1,+；(2)若A恰有一个元素，所以关于x的方程2210mxx−+=恰有一个实数解，讨论：①当0m=时，12x=，满足题意；②当0m时，44

0m=−=，所以1m=．-13-综上所述，m的取值范围为0,1．14．（2022·全国·高一专题练习）已知()22240,2110AxxxBxxaxa=+==+++−=∣∣.(1)若A是B的子集，求实数a的值；(2

)若B是A的子集，求实数a的取值范围.【答案】(1)1a=；(2)1a−„或1a=.【分析】（1）由题得4,0BA==−，解2Δ0402(1)401aa−+=−+−=−即得解；（2）由题得BA，再对集合B分三种情况讨论得

解.(1)解：由题得4,0A=−.若A是B的子集，则4,0BA==−，所以2Δ0402(1),1401aaa−+=−+=−=−.(2)解：若B是A的子集，则BA.①若B为空集，则()22Δ4(1)41880aaa=+−−=+，解

得1a−；②若B为单元素集合，则()22Δ4(1)41880aaa=+−−=+=，解得1a=−.将1a=−代入方程()222110xaxa+++−=，得20x=，即0,0xB==，符合要求；③若B为双元

素集合，4,0BA==−，则1a=.综上所述，1a−„或1a=.15．（2021·全国·高一课时练习）已知集合13Axx=，1Bxxa=.（1）若A⫋B，求实数a的取值范围；（2）若BA，求实数a的

取值范围.【答案】（1）)3,+（2）(),3−【分析】（1）根据A⫋B，结合集合的包含关系，即可求得a的取值范围．（2）根据BA，结合集合的包含关系，即可求得a的取值范围．-14-【详解】（1）由题意，集合13Axx=，

1Bxxa=，又由A⫋B，可得3a，所以实数a的取值范围是)3,+；(2)由集合13Axx=，1Bxxa=，又由BA，当B=时，1a，满足题意；当B时，13aa，所以13a，综上可知：3a，即实数a的取值范围是(),3−.1

6．（2021·全国·高一课时练习）已知集合2260Mxxx=−−=，20Nxax=−=，且NMÜ，求实数a的值.【答案】0或43−或1.【分析】解一元二次方程求出集合M，根据NMÜ可分为N=和N两种情况来讨论，构造方程求得结果.【详解】集合

23260,22Mxxx=−−==−依题意NMÜ，则可分N=和N两种情况.当0a=时，N=，符合题意；当0a时，2Na=，NMQÜ，232a=−或22a=，解得43a=−或1a=.所以实数a的值为0或43−或1.17

．（2021·全国·高一课前预习）已知{Ax=|2320}xx−+=，{Bx=|20}ax−=，且B⊆A，求实数a组成的集合C【答案】（1）0a=；（2）0,1,2.【分析】首先通过解一元二次方程，得带集合A，根据空集的概念，

以及包含关系的本质所在，需要对B进行分类讨论，按,BB=两种情况进行讨论，从而求得结果-15-【详解】由x2－3x＋2＝0，得x＝1，或x＝2.∴A＝{1,2}．∵B⊆A，∴对B分类讨论如下：(1)若B＝∅，即

方程ax－2＝0无解，此时a＝0.(2)若B≠∅，则B＝{1}或B＝{2}．当B＝{1}时，有a－2＝0，即a＝2；当B＝{2}时，有2a－2＝0，即a＝1.综上可知，符合题意的实数a所组成的集合C＝{0,1,2}【点睛】该题考查

的是有关集合具备包含关系时有关参数的取值问题，在解题的过程中，需要注意的是先确定集合A，之后需要对B进行讨论，分其为空集与不是空集两种情况.18．（2020·全国·高一课时练习）已知集合()|==Axfxx()|==Bxffxx其中函数()()2,.

fxxaxbabR=++（1）若1,3A=，求集合B；（2）若A是单元素集，则A、B之间的关系如何？（3）一般情况下，猜想A与B之间的关系，并给予证明.【答案】（1）1,3；（2）AB=；（3）AB，证明见解析.【分析】（1）首先根

据题意得到11x=，23x=为方程()210+−+=xaxb的根，从而得到33=−=ab，()233=−+fxxx，再根据()ffxx=，得到()()222333333−+−−++=xxxxx，解方程即可得到集合B.（2）首先根据A是单元

素集，设Am=，得到()()2fxxmx=−+，再根据()|==Bxffxx得到方程()()2220−+−+−=xmxmxm，根为xm=，从而得到Bm=，即AB=.（3）首先设xt=为方程()fxx=的根，即()=ftt，

tA，又因为()=fftt，得到tB，即可得到AB.【详解】（1）因为()fxx=，所以()210+−+=xaxb.若1,3A=，则11x=，23x=为方程()210+−+=xaxb的根，-16-所以13113+=−=ab，解得33=−

=ab，即()233=−+fxxx.又因为()ffxx=，即()()233−+=fxfxx.()()222333333−+−−++=xxxxx，整理得4326121030−+−+=xxxx，432265

71030−++−+=xxxxx，()()()()2517310−−+−−=xxxxx，()()3215730−−+−=xxxx，()()()322132730−−−−+=xxxxx()()()()2132130

−−−−−=xxxxx()()3130−−=xx，解得11x=，23x=，故1,3B=.（2）若A是单元素集，设Am=，则xm=为方程()0−=fxx的唯一根，所以()()2−=−fxxxm

，即()()2fxxmx=−+.对集合()|==Bxffxx，则()()2−+=fxmfxx，所以()()222−+−+−+=xmxmxmxx，即()()2220−+−+−=xmxmxm，因为()220−+−xmxm，()20−xm，所以方程()(

)2220−+−+−=xmxmxm的解为xm=，即Bm=，故AB=.（3）设xt=为方程()fxx=的根，即()=ftt，tA.则()()==fftftt，所以xt=为方程()ffxx=的根，故tB，所以AB【点睛】本题主要考查集合

间的关系，同时考查了二次方程的根系关系，属于难题.-17-