【文档说明】2022-2023学年高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）1-4-1充分条件与必要条件（分层作业） 含解析.doc，共(13)页，1.534 MB，由envi的店铺上传

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-1-1.4.1充分条件与必要条件（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2021·河北·大名县第一中学高一阶段练习）设xR，则“1x”是“11x”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条

件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】111xx，但11x不能推出1x，从而判断出结论.【详解】1x时，101x，故充分性成立，11x，解得：0x或1x，故必要性不成立，所以“1x”是“11x”的充分不必要条件.故选：A2．（2022·全国·高一专题练

习）荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.“这句来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”是“至千里”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用命

题间的关系及命题的充分必要性直接判断.【详解】由已知设“积跬步”为命题p，“至千里”为命题q，“故不积跬步，无以至千里”，即“若p，则q”，其逆否命题为“若q则p”，反之不成立，所以命题p是命题q的必要不充分条件，故选：B.3．（2022·全国·高一专题练习）“260xx−−=”是“3x=

”的（）-2-A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】求解一元二次方程，结合充分性和必要性即可容易判断和选择.【详解】因为260xx−−=，故可得2x=−

或3，若260xx−−=，则不一定有3x=，故充分性不满足；若3x=，则一定有260xx−−=，故必要性成立，综上所述：“260xx−−=”是“3x=”的必要不充分条件.故选：B.4．（2021·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高一期中）“7x

”是“5x”成立的是（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】结合充分、必要条件的知识确定正确答案.【详解】75;57xxxx，所以“7x”是“5x”成立的

充分不必要条件.故选：A5．（2022·河南驻马店·高一期末）“2x=”是“2320xx−+=”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】解方程2320xx−+=，利用集合的包含关系判断可得出结

论.【详解】解方程2320xx−+=可得1x=或2x=，2Ü1,2，因此，“2x=”是“2320xx−+=”的充分不必要条件.故选：A.6．（2022·贵州黔东南·高一期末）对于实数x，“0＜x＜1”是“x＜2”的（）条件A．充要B．既不充分也不必要C．必要不充分D．充分不必要-3-

【答案】D【分析】从充分性和必要性的定义，结合题意，即可容易判断.【详解】若01x，则一定有2x，故充分性满足；若2x，不一定有01x，例如3x=−，满足2x，但不满足01x，故必要性不满足

；故“0＜x＜1”是“x＜2”的充分不必要条件.故选：D.7．（2022·河南·濮阳一高高一期中（理））命题“21,2,30xxa−，”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．3aB．2aC．4aD．2a【答案】D【分析】根据全称命题的性质，结合充分

不必要条件的定义进行求解判断即可.【详解】21,2,32]3[,1xx，因为命题“21,2,30xxa−，”为真命题，所以有3a，显然选项A是充要条件，由2a不一定能推出3a，由4a不一定能推出3a，由2a一定能推出3a，故选：D8．（2022·

全国·高一专题练习）已知命题p：“11xx−=−”，命题q：“1x=”．则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】分析得到命题p：“1x=或2

x=”再判断即可【详解】命题p：令10tx=−，可得2tt=，即()10tt−=，故1t=或0=t，解得1x=或2x=，故p是q的必要不充分条件故选：B二、多选题9．（2021·吉林·汪清县汪清第四中学高一阶段练习）命题“∀1≤x≤3，2x－a≤0”是真命题的一个充分-4

-不必要条件是（）A．a≥9B．a≥11C．a≥10D．a≤10【答案】BC【分析】由命题为真求出a的范围，然后由集合的包含关系可得.【详解】由13x得219x，因为命题为真，所以9a，记为{|9}Aaa=，

因为要求命题为真的充分不必要条件，所以所选答案中a的范围应为集合A的真子集.故选：BC三、解答题10．（2021·吉林·梅河口市第五中学高一期中）集合3621AxxBxmxm==+，．(1)若2m=，求,ABAB；(2)若xB是xA的必要条件，求实数m的取值范围．【答

案】(1)35ABxx=，{|26}xxAB=；(2)5,32【分析】（1）将m的值代入集合B，然后根据交集与并集的定义即可求解；（2）由题意，可得AB，根据集合的包含关系列不等式组求解即可得答

案.(1)解：当2m=时，{|25}Bxx=，又36Axx=，所以35ABxx=，{|26}xxAB=；(2)解：因为xB是xA的必要条件，所以AB，即(3,6][,21]mm+，所以有3216

mm+，解得532m，所以实数m的取值范围为5,32.11．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高一开学考试）已知集合2{20}Axxx=+−，{213}Bxmxm=++(m)R．(1)当1m=−时，求A

B，AB；(2)若xA是xB的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【答案】(1)11ABxx=−，22ABxx=−；(2)32,2−−【分析】（1）求出集合B，进而求出交集和并集；（2）根据xA是xB的充

分不必要条件得到A是B的真子集，进而得到不等式组，求出实数m的取值范围.-5-(1)21Axx=−．当1m=−时，12Bxx=−所以11ABxx=−，22ABxx=−；(2)xA是

xB的充分不必要条件∴A是B的真子集，故21231mm+−+即322m−−所以实数m的取值范围是32,2−−.【能力提升】一、单选题1．（2021·浙江省杭州第二中学高一期中）“a<b”是“a2<b2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】通过举反例，结合不等式的性质，由充分条件与必要条件的概念，即可判定出结果.【详解】若2a=−，1b=，则满足ab，不满足22ab；由22ab可得()()0abab+−

，不能推出ab，所以“a<b”是“a2<b2”的既不充分也不必要条件.故选：D.2．（2021·江西·模拟预测）设abcR，，，则“0abc=”是“4440abc++=”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件【答案】B【分析】根据充分性和必要

性的判断方法来判断即可．【详解】当0abc=时，若1,0abc===，不能推出4440abc++=，不满足充分性；当4440abc++=，则0abc===，有0abc=，满足必要性；所以“0abc=”是“4440abc++=”的必要不充分条件．-6

-故选：B二、多选题3．（2021·全国·高一课时练习）（多选）下列是“0a，0b”的必要条件的是（）A．()()22130ab+++=B．0ab+C．0ab−D．0ab【答案】BD【分析】由0,0ab判断各个选项是

否成立可得．【详解】取2a=−，4b=−，得()()221320ab+++=，故A不是“0a，0b”的必要条件；由0a，0b，得0ab+，故B是“0a，0b”的必要条件；取2a=−，4b=−，得()2420ab

−=−−−=，故C不是“0a，0b”的必要条件；由0a，0b，得0ab，故D是“0a，0b”的必要条件．故选：BD．4．（2021·浙江·效实中学高一期中）下列命题中是真命题的为（）A．“11ab”是“2ab+

”的充要条件B．“21x=”是“1x=−”的必要不充分条件C．“0a或0b”是“0ab”的充要条件D．“集合A=”是“ABA=”的充分不必要条件【答案】BD【分析】根据充分条件，必要条件的概念依次分析即可得答案.【详解】解：对于

A选项，当11ab时，2ab+，但反之，2ab+不能得到11ab，故错误；对于B选项，21x=不能得到1x=−，反之1x=−能够得到21x=，故正确；对于C选项，“0a且0b”是“0ab”的充要条件，故错误；对于D选项，由ABA=得AB，所以A=能够推出ABA=，

反之，不一定成立，故正确.故选：BD5．（2021·辽宁·高一阶段练习）下列命题是真命题的有（）-7-A．一次函数(1)ykxk=++的图像一定经过点()11−−，B．已知,xyR，则xy=是22xy=的充要条件C．外心在某条边上的三角形一定是直角三角形.

D．若xy+能被5整除，那么,xy都能被5整除.【答案】AC【分析】转化(1)(1)ykxkkxx=++=++，令1x=−，可判断A；若22xy=，则xy=，可判断B；若三角形的外心在某条边上，则这条边所对的圆周角为直角，可判断C；取2,3xy==可判断D【详解】选

项A，(1)(1)ykxkkxx=++=++，令1x=−，则1y=−，与k无关，故一次函数(1)ykxk=++的图像一定经过点()11−−，，正确；选项B，若22xy=，则xy=，故xy=是22xy=的充分不必要条件，错误；选项C，若三角形的外

心在某条边上，则这条边所对的圆周角为直角，故一定是直角三角形，正确；选项D，当2,3xy==时，xy+能被5整除，但,xy不能被5整除，错误.故选：AC三、填空题6．（2021·浙江·丽水外国语实验学校高一阶段练习）已

知:12:2pxqaxa+，.若q是p的必要条件，则实数a的取值范围是___________.【答案】[0，1]【分析】由q是p的必要条件，则pq，即122aa+，从而可得答案.【详解】设集合1,2,,2ABaa==+由q

是p的必要条件，则pq，即AB所以122aa+，解得01a故答案为：[0，1]7．（2021·上海市延安中学高一期中）已知条件：25mxm+，条件：01x，若是的必要条件，则实数m的取值范围为________

___.-8-【答案】)2,0−【分析】根据必要条件的定义可得到两集合的包含关系，由包含关系可构造不等式组求得结果.【详解】Q是的必要条件0125xxxmxm+0251mm

+，解得：20m−，即m的取值范围为)2,0−.故答案为：)2,0−8．（2022·江苏·高一）从符号“”“¿”“”中选择适当的一个填空：（1）xA_________xAB；（2）xABU_________xAB；（3）()UxAB

ð_________()()UUxAB痧；（4）()UxABð_________()()UUxAB痧.【答案】¿【分析】根据特例结合交集并集的定义可推导（1）（2）；由交集并集补集的定义可推导（3）（4）【详解】（1）令1,2,2,3

AB==，则2AB=，此时1A，但1AB，故xA¿xAB；（2）()()ABAB，若xABU，则必有xAB，所以xABUxAB；令1,2,2,3AB==，则2AB=，1,2,3AB=，此

时1AB，但1AB，故xAB¿xABU；综上所述，xABUxAB；（3）若()UxABð，则xABU，-9-则xA且xB，则UxAð且UxBð，则()()UUxAB痧，故()UxABð()()UUxAB痧；若()()UUxAB痧，则UxAð且UxBð，则

xA且xB，则xABU，则()UxABð，故()()UUxAB痧()UxABð；综上所述，()()UUxAB痧()UxABð；（4）若()UxABð，则xAB，则xA或xB，则UxAð或UxBð，则()()UUxAB痧

，故()UxABð()()UUxAB痧；若()()UUxAB痧，则UxAð或UxBð，则xA或xB，则xAB，则()UxABð，故()()UUxAB痧()UxABð；综上所述，()()UUxAB痧()UxABð；9．（

2021·江苏·高一期中）已知集合|1,AxxmmR=，3,6B=,“xB”是“xA”的充分-10-条件，则实数m的取值范围是_______.【答案】(6,)+【分析】根据充分条件转化为集合BA,建立不等式求解即可.【详解】因为“xB”是“xA”的充分条件

，所以3,6|1,BAxxmmR==,所以6m，故答案为：(6,)+四、解答题10．（2021·安徽·高一期中）设集合()()150Axxx=+−，集合212Bxaxa=−+，其中Ra.(1)当1a=

时，求AB；(2)若“xA”是“xB”的必要不充分条件，求a的取值范围.【答案】(1)15xx−；(2)(),2−【分析】（1）直接求出两个集合的并集即可；（2）先将必要不充分条件转化为集合间的包含关系，然后根据集合B是否

为空集进行分类讨论即可(1)由题意得：15Axx=−当1a=时，13Bxx=故15ABxx=−(2)由“xA”是“xB”的必要不充分条件可得：BAÜ当B=时，得212aa−+解得：13a；当B时，1312521aaa+−−，解得123a

.综上，a的取值范围为：(),2−-11-11．（2022·江苏扬州·高一期末）已知集合{|211}Axaxa=−+，{|03}Bxx=．(1)若a＝1，求AB；(2)给出以下两个条件：①A∪B＝B；②“xA

“是“xB”的充分不必要条件．在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若_____________，求实数a的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】(1){|03}ABxx=≤≤；(2)1[,)

2+【分析】（1）由并集定义计算；（2）若选择①，则由A∪B＝B，得AB，然后分类讨论：A=与A两类求解；若选择②，得A是B的真子集，同样分类A=与A求解．(1)当1a=时，集合{|12}Axx=，

因为{|03}Bxx=，所以{|03}ABxx=≤≤；(2)若选择①，则由A∪B＝B，得AB．当A=时，即211aa−+，解得2a，此时AB，符合题意；当A时，即211aa−+，解得2a，所以21013aa−

+，解得：122a；所以实数a的取值范围是1[,)2+．若选择②，则由“xA“是“xB”的充分不必要条件，得A⫋B．当A=时，211aa−+，解得2a，此时A⫋B，符合题意；当A时，211aa−+，解得2a，所

以21013aa−+且等号不同时取，解得122a；所以实数a的取值范围是1[,)2+．12．（2022·辽宁朝阳·高一开学考试）已知集合13Axx=，41Bxaxa=−−，若“xA”是“x

B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【答案】4,5【分析】根据给定条件可得AÜB，再借助集合的包含关系列式计算作答.【详解】因“xA”是“xB”的充分不必要条件，于是得AÜB，而集合13Axx=，41Bxaxa=−−，-12-因此，4113aa−−

或4113aa−−，解得45a或45a，即有45a，所以实数a的取值范围为4,5.13．（2021·全国·高一课时练习）从①1xaxa−，②2xaxa+，③3xaxa+这三个条件中任选一个补充到下面的问

题中，并解答．问题：已知集合13Axx=，B=______，是否存在实数a，使得“xA”是“xB”的必要不充分条件？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】由“xA”是“xB”的必要不充分条件可得

BÜA，再选择各条件，借助集合的包含关系列式计算即得.【详解】选条件①，因为“xA”是“xB”的必要不充分条件，则有BÜA，又1Bxaxa=−，13Axx=，则113aa−或11

3aa−，解得23a或23a，因此，23a，所以实数a的取值范围为2,3.选条件②，因为“xA”是“xB”是必要不充分条件，则有BÜA，又2Bxaxa=+，13Axx=，则1

23aa+或123aa+，无解，所以不存在满足题意的实数a.选条件③，因为“xA”是“xB”的必要不充分条件，则有BÜA，又3Bxaxa=+，13Axx=，所以133aa+或133aa+，无解，所以不存在满足题意的实数a.

14．（2021·上海·格致中学高一阶段练习）设集合22MttmnmnZ==−，，.（1）证明：属于M的两个整数，其积也属于M；（2）判断32、33、34是否属于M，并说明理由；（3）写出“偶数()2kkZ属于M”的一个充要条件并证明.【答案】（1）见解析；（2）32M，33M，

34M理由见解析；（3）k为偶数，证明见解析.-13-【分析】（1）设1t，2tMÎ，则对12tt进行化简，观察其是否满足集合M的条件，进行判断即可；（2）用反证法进行判断即可；（3）证明充要条件时既要证充分性，又要证必要性.【详解】（1）设集合22

MttmnmnZ==−，，中的元素22111=−tmn，22222=−tmn，所以()()22222222222212112212121212=−−=−−+ttmnmnmmmnnmnn()()()()22222222121212121212122122=+−+=+−+mmnnm

nnmmmnnmnnm，因为，mnZ，所以1212+mmnn，1212+mnnmZ，所以有1t，2tMÎ，则12ttMÎ，所以属于M的两个整数，其积也属于M.（2）因为223262=−，所以32M；假设33M，则()()2233=+=−−mmnnmn，因为，

mnZ，所以mn+与mn−有相同奇偶性，因为33为奇数，所以mn+与mn−一个为奇数一个为偶数，则mn+与mn−有相同奇偶性相矛盾，所以不成立，所以33M；假设34M，同上可得()()2234=+=−−mmnnmn，因为，mnZ，所以mn+与mn−有相同奇偶

性，因为34为偶数，所以mn+与mn−均为偶数，所以()()+−mnmn应为4的倍数，而34不是4的倍数，所以假设不成立，所以34M.（3）“偶数()2kkZ属于M”的一个充要条件是k为偶数.充分性：因为k为偶数，设2ka=()aZ，所以24=ka，而()()22114+−−=aaa

，所以()()22211=+−−kaa满足集合22MttmnmnZ==−，，，所以偶数()2kkZ属于M；必要性：因为偶数()2kkZ属于M，所以()()222==−+−mkmnmnn，因为，mnZ，所以mn+与mn−有相同奇偶性，因为()2kkZ为偶数，所以

mn+与mn−均为偶数，所以()()+−mnmn应为4的倍数，2k必为4的倍数，即k必为2的倍数，所以k为偶数.【点睛】本题主要考查集合与元素之间的关系以及充要条件，解题的关键是会用反证法证明，以及会证明充要条件.