【文档说明】天津市实验中学滨海学校2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理科）试题含答案.doc，共(22)页，1.210 MB，由小赞的店铺上传

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2020-2021年度第二学期高二年级期中质量调查（数学理科）试卷满分：150分时长：120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题（每题5分，共60分）1．计算1ii+=（）A．1i−−

B．1i−C．1i−+D．1i+2．已知复数()12zii=−(i为虚数单位)，则z=（）A．5B．2.C．3D．13．复数21izi−=−在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．下列各式中正确的

是（）A．(logax)′=1x=B．(logax)′=ln10xC．(3x)′=3xD．(3x)′=3xln35．已知()sinfxxx=，则导数()f=（）A．0B．1−C．D．−6．已知函数32()5fxxxax=++在3x=−处取得极值，则a=（）A

．4B．3C．2D．3−7．执行如图所示的程序框图，则输出z=（）A．1B．2C．3D．48．设直线1l、2l的方向向量分别为(2,2,1)a=−，(3,2,)bm=−，若12ll⊥，则m等于（）A．－2B．2C

．6D．109．已知a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量．若l1∥l2，则（）A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝152C．x＝3，y＝15D．x＝6，y＝15210．已知且，则x的值为（）A．3B．4C．5D．611．已知函数()2lnkxxxfx=−−在()

0,+上是单调递增函数，则实数k的取值范围是（）A．0kB．1kC．0kD．12．如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，2,4PAABAD===，E为PC的中点，

则异面直线PD与BE所成角的余弦值为（）A．35B．3010C．1010D．31010第II卷（非选择题）二、填空题（每题5分，共20分）13．若复数()()12ziai=−+（i为虚数单位）是纯虚数，则a=___________．14．已知i为虚数单位，若复数z满足()1

5izza+=+−，则实数a的值为______.15．已知函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是________.16．函数32123yxxmx=+++是R上的单调函数，则m的范围是_________.三、解答题（共70分）17．(16分)设复数z1＝

2＋ai(其中a∈R)，z2＝3－4i.（1）若z1＋z2是实数，求z1·z2的值；（2）若12zz是纯虚数，求|z1|.18．(18分)如图，在正方体1111ABCDABCD−中，E为1DD的中点．（1）求证：1//BD平面AC

E；（2）求直线AD与平面ACE所成角的正弦值．19．(18分)已知函数()2lnfxxax=+.（1）当1a=时，求函数()fx在()()22f,处的切线方程；（2）当2a=时，求函数()fx的单调区间和极值.20．(18

分)已知函数32()fxxaxbx=++的图象在点(0,(0))f处的切线斜率为4−，且2x=−时，()yfx=有极值．（1）求()fx的解析式；（2）求()fx在3,2−上的最大值和最小值．2020-2021年度第二学期高二年级期中质量调查（数学理科）答题纸一、选择题（每题5分，共60分）1

23456789101112二、填空题（每题5分，共20分）13._____________14._____________15.____________16._____________三、解答题（共70分）班级姓名座位号---------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------17.（16分）18.（18分）19.（18分）20.（18

分）2020-2021学年度高中数学期中考试卷理科考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文

字说明一、单选题1．计算1ii+=（）A．1i−−B．1i−C．1i−+D．1i+【答案】B【分析】直接由复数的除法运算可得解.【详解】1(1)()11iiiii++−==−.故选：B.2．已知复数()12zii=−(i为虚数单位)，则z=（）A．5B．2.

C．3D．1【答案】A【分析】首先根据两个复数代数形式的乘法运算法则，化简复数z，之后利用复数的模的运算公式求得结果.【详解】因为222ziii=−=+，所以22215z=+=.故选：A.3．复数21izi−=−在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象

限D．第四象限【答案】A【分析】先化简求出z，即可得出结论.【详解】()()()()21+23+31+111+222iiiiziiii−−====−−，其在复平面内对应的点31,22在第一象限.故选：A.4

．下列各式中正确的是（）A．(logax)′=1x=B．(logax)′=ln10xC．(3x)′=3xD．(3x)′=3xln3【答案】D【分析】根据求导公式直接可判断.【详解】由(logax)′=1lnxa，可知A，B均错；

由(3x)′=3xln3可知D正确.故选：D5．已知()sinfxxx=，则导数()f=（）A．0B．1−C．D．−【答案】D【分析】求得()fx，进而可计算得出()f的值.【详解】()sinfxxx=，()sincosfxxxx=+，因此，()f=−

.故选：D.6．已知函数32()5fxxxax=++在3x=−处取得极值，则a=（）A．4B．3C．2D．3−【答案】B【分析】依题意()30f−=，即可求出参数a的值；【详解】解:因为32()5fxxx

ax=++，所以2()310fxxxa=++，由条件知，3x=−是方程()0fx=的实数根，3a=．所以32()53fxxxx=++，()()2()3103313fxxxxx=++=++，令()0fx，解得13x−或3x−，即()fx在1,3

−+和(),3−−上单调递增，令()0fx，解得133x−−，即()fx在13,3−−上单调递减，故()fx在3x=−取得极大值，满足条件；故选：B7．执行如图所示的程序框图，则输出z=（）A．1B．2

C．3D．4【答案】D【分析】直接运行程序框图即得解.【详解】第一次循环得0x=，1y=，1zxy=+=，1m=，1mxy−=−，第二次循环得1x=，1y=，112z=+=，2m=，0mxy−=，第三次循环得2x

=，1y=，213z=+=，3m=，1mxy−=−，第四次循环得3x=，1y=，314z=+=，2m=，2mxy=−=，输出4z=，故选：D8．设直线1l、2l的方向向量分别为(2,2,1)a=−，(3,2,)bm=−

，若12ll⊥，则m等于（）A．－2B．2C．6D．10【答案】D【分析】利用向量垂直数量积为零列方程求解即可．【详解】直线1l、2l的方向向量分别为(2,2,1)a=−，(3,2,)bm=−，且12ll⊥，23220ab

abm⊥=−−+=，解得10m=．故选：D．9．已知a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量．若l1∥l2，则（）A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝152C．x＝3，y＝15D．x＝

6，y＝152【答案】D【分析】利用向量共线的条件列方程组，直接解得.【详解】由l1∥l2得，245=3xy=，解得x＝6，y＝152.故选：D10．已知(1,2,1),(1,,2)abx=−−=−rr且13ab=−rrg，则x的值为（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【分析】由空

间向量数量积的坐标运算求解．【详解】由已知12213abx=−−−=−，解得5x=．故选：C．11．已知函数()2lnkxxxfx=−−在()0,+上是单调递增函数，则实数k的取值范围是（）A．0kB．1kC．0kD．【答案】D12．如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABC

D为矩形，PA⊥底面ABCD，2,4PAABAD===，E为PC的中点，则异面直线PD与BE所成角的余弦值为（）A．35B．3010C．1010D．31010【答案】B【分析】以A点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法可求得结果.【详解】以A

点为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则()2,0,0B，()1,2,1E，()002P,,，()0,4,0D，()1,2,1BE=−，()0,4,2PD=−，设异面直线PD与BE所成角为，则630cos10625PDBEPDBE===.故选：

B.【点睛】方法点睛：本题考查线线角的求法，利用空间向量求立体几何常考查的夹角：设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则①两直线,lm所成的角为(02),cosabab=rrrr；②直线l与平面所成的角为(0

2),sinauau=rrrr；③二面角l−−的大小为(0),cos.uvuv=rrrr第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．若复数()()12ziai=−+（i为虚数单位）是纯虚数，则a=_______

____．【答案】2−【分析】利用复数的乘法运算法则、纯虚数的定义即可得出a.【详解】解：复数()()2+222+11)2(2aiaiziaiiaai−+=−−−+==是纯虚数，20a+=，且120a−，解

得：2a=−.故答案为：2−.14．已知i为虚数单位，若复数z满足()15izza+=+−，则实数a的值为______.【答案】5【分析】根据两个复数相等，实部和实部相等，虚部和虚部相等，即可得出结果.【详解】设,,zmnizmnimnR=+=−

，，则可得()215ima=+−，所以15,2==am.故答案为：5【点睛】本题考查了共轭复数、两个复数相等的转化，考查了理解辨析能力和数学运算能力，属于容易题.15．已知函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是________.

【答案】()1,2−和()4,+【分析】找到y＝f′(x)的图象上函数值为正的区间即可.【详解】由y＝f′(x)的图象可得当()1,2x−和()4,+时，()0fx，此时()fx单调递增，所以函数f(x)的单调递

增区间是()1,2−和()4,+.故答案为：()1,2−和()4,+.16．函数32123yxxmx=+++是R上的单调函数，则m的范围是_________.【答案】[1,)+【分析】32123yxxmx=+++是R上的单调函数，则导函数恒大于等于0或恒小于等于0，而

导函数是开口向上的二次函数，只可能是恒大于等于0，则用判别式求解即可.【详解】32123yxxmx=+++是R上的单调函数，则导函数恒大于等于02'20yxxm=++则440m=−，m1故答案为：[1,)+【点睛】若可导函数

f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．三、解答题17．设复数z1＝2＋ai(其中a∈R)，z2＝3－4i.（1）若z1＋z2是实数，求z1·z2

的值；（2）若12zz是纯虚数，求|z1|.【答案】（1）224i+；（2）52.【分析】（1）由已知求得a，再由复数代数形式的乘除运算求12·zz的值；（2）利用复数代数形式的乘除运算化简12zz，由实部为0且虚部不为0求得a，则1||z可求．【详解】解：（1

）12zai=+（其中)aR，234zi=−，125(4)zzai+=+−，由12zz+是实数，得4a=．124zi=+，234zi=−，则12(24)(34)224zziii=+−=+；（2）由122(2)(34)643834(34)(34)2525zaiaiia

aiziii+++−+===+−−+是纯虚数，得640380aa−=+，即32a=．1395|||2|4242zi=+=+=．18．如图，在正方体1111ABCDABCD−中，E为1DD的中点．（1）求证：1//

BD平面ACE；（2）求直线AD与平面ACE所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）66．【分析】（1）连接BD交AC于点O，连接OE，即可得到1//OEBD，根据线面平行的判定定理即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；【详解】解：（1）连接BD

交AC于点O，连接OE，在正方形ABCD中，OBOD=．因为E为1DD的中点，所以1//OEBD．因为1BD平面ACE，OE平面ACE，所以1//BD平面ACE．（2）不妨设正方体的棱长为2，建立如

图所示的空间直角坐标系Axyz−则(0,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,2,1)ACDE，所以(0,2,0),(2,2,0),(0,2,1)ADACAE===．设平面ACE的法向量为(,,)

nxyz=，所以0,0,nACnAE==所以220,20,xyyz+=+=即,2,xyzy=−=−令1y=−，则1,2xz==，于是(1,1,2)n=−．设直线AD与平面ACE所成角为，则

||26sin|cos,|6||||26ADnADnADn====．所以直线AD与平面ACE所成角的正弦值为66．【点睛】本题考查了立体几何中的线面平行的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面

与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19．已知函数()2lnfxxax=+.（1）当1a=时，求函数()fx在()()22f,处的切线方程；（2）当2a=时

，求函数()fx的单调区间和极值.【答案】（1）92102ln20xy−−+=；（2）函数()fx的增区间为()0,+，该函数无极值.【分析】（1）求出()2f、()2f的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）利用导数分析函数()fx的单调性，

由此可得出结论.【详解】（1）当1a=时，()2lnfxxx=+，则()12fxxx=+，所以，()24ln2f=+，()922f=.所以，函数()fx在()()22f,处的切线方程()()94ln222yx−+=−，因此，所求切线

的方程为92102ln20xy−−+=；（2）当2a=时，()22lnfxxx=+，该函数的定义域为()0,+，()220fxxx=+，所以，函数()fx的增区间为()0,+，该函数无极值.20．已知函数32()fxxaxbx=++的图象在点(0,(0))f

处的切线斜率为4−，且2x=−时，()yfx=有极值．（1）求()fx的解析式；（2）求()fx在3,2−上的最大值和最小值．【答案】（1）32()24fxxxx=+−；（2）最大值为8，最小值为4

027−．【分析】（1）先对函数求导，然后利用导数的几何意义可得(0)4,(2)1240,fbfab==−−=−+=从而可求出,ab的值，进而可得()fx的解析式；（2）先对函数求导，然后令导数等于零，求出极值点，再求出极值和

端点处的函数值，比较可得函数的最值【详解】解：（1）由题意可得，2()32fxxaxb=++．由(0)4,(2)1240,fbfab==−−=−+=解得2,4.ab==−经检验得2x=−时，()yfx=有极大值．所以32()24fxxx

x=+−．（2）由（1）知，2()344(2)(32)fxxxxx=+−=+−．令()0fx=，得12x=−，223x=，()fx，()fx的值随x的变化情况如下表：x3−(3,2)−−2−22,3−232,232()fx+0−0+()fx单调递增极大值单

调递减极小值单调递增函数值384027−8由表可知()fx在[3,2]−上的最大值为8，最小值为4027−．